1、二次函數綜合題1. (2021重慶A卷)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線曠=/+法+。經過A(0,-l), 8(4,1).直線AB交 x軸于點C, P是直線AB下方拋物線上的一個動點.過點P作PDLAB,垂足為。，PE/X軸，交鉆于 點£.(1)求拋物線的函數表達式；(2)當APDE的周長取得最大值時，求點P的坐標和APZ把周長的最大值；(3)把拋物線y = V+bx + c平移，使得新拋物線的頂點為(2)中求得的點尸.M是新拋物線上一點，N 是新拋物線對稱軸上一點，直接寫出所有使得以點A, B, M, N為頂點的四邊形是平行四邊形的點M的 坐標，并把求其中一個點”的坐標的過程寫出來

2、.備用圖與y軸交于點C.(1)求該拋物線的解析式；(2)直線/為該拋物線的對稱軸，點。與點C關于宜線/對稱，點P為宜線4)下方拋物線上一動點，連接 PA, PD,求AE4。面積的最大值.(3)在(2)的條件下，將拋物線產加+桁-4("0)沿射線4)平移4扭個單位，得到新的拋物線點E為點尸的對應點，點歹為的對稱軸上任意一點，在y上確定一點G,使得以點。，E, F , G為 頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點G的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程.備用圖3. (2020重慶A卷)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y = /+bx + c與直線他相交于A, B兩點,

3、其中 A(-3,4), B(O,-1).(1)求該拋物線的函數表達式；(2)點P為直線河下方拋物線上的任意一點，連接P4, PB,求AftAB面積的最大值;(3)將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線y = qx2+8x + q(4H0),平移后的拋物線與原拋物線 相交于點C,點。為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點£,使以點8, C, D, E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由.備用圖4. (2020重慶B卷)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫 =2+旅+ 2(。K0)與y軸交于點C,與x軸交于A, B兩點(點A在點B的左側

4、)，且A點坐標為(-& , 0),直線5c的解析式為y =-立x + 2.(1)求拋物線的解析式；(2)過點A作A£)BC,交拋物線于點。，點E為直線上方拋物線上一動點，連接CE, EB, BD, DC.求四邊形8EC。面積的最大值及相應點E的坐標；備用圖(3)將拋物線y =加+加+ 2(" 0)向左平移&個單位，已知點M為拋物線y =奴) +灰+ 2(。x 0)的對稱 軸上一動點，點N為平移后的拋物線上一動點.在(2)中，當四邊形BECD的面積最大時，是否存在以A, E, M, N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由

5、.5. (2019重慶A卷)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y =2-2x-3與x軸交于點A, B (點A在點8 的左側)，交y軸于點C,點。為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點E.（1）連接W）,點M是線段8£上一動點（點用不與端點B,。重合），過點M作用交拋物線于點N （點N在對稱軸的右側），過點N作軸，垂足為H,交BD亍點F ,點尸是線段OC上一動點，當MV取得最大值時，求H尸+尸P +的最小值；315（2）在（1）中，當MN取得最大值，HF + FP + -PC取得最小值時，把點P向上平移三個單位得到點。， 連接AQ，把AAOQ繞點。順時針旋轉一定的角度以0。360。），得到4

6、OQ，其中邊交坐標軸 于點G.在旋轉過程中，是否存在一點G,使得NQ' = NQ'OG?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點0 的坐標；若不存在，請說明理由.6. （2019重慶B卷）在平面直角坐標系中，拋物線y =-蟲W+蟲x + 26與x軸交于A, 8兩點（點A在點3左側），與y軸交于點C,頂點為。，對稱軸與x軸交于點Q.(1)如圖1,連接AC, BC.若點P為直線8C上方拋物線上一動點，過點尸作PEy軸交8C于點E, 作PF_L8c于點F,過點8作BG/AC交)，軸于點G .點H, K分別在對稱軸和y軸上運動，連接P”， HK.當AP歷的周長最大時，求尸，+ /K +更KG

7、的最小值及點”的坐標.2(2)如圖2,將拋物線沿射線AC方向平移，當拋物線經過原點O時停止平移，此時拋物線頂點記為D, N為直線OQ上一點，連接點。，C, N , DC7V能否構成等腰三角形？若能，直接寫出滿足條件的點 N的坐標；若不能，請說明理由.7. (2018重慶A卷)如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線)，= -x2+4x上，且橫坐標為1,點B與點A關于拋物線的對稱軸對稱，直線他與y軸交于點C,點。為拋物線的頂點，點E的坐標為(1,1).(1)求線段的長；(2)點P為線段A3上方拋物線上的任意一點，過點P作AB的垂線交AB于點，點尸為y軸上一點,當APBE1的面積最大時，求尸 + “

8、尸+FO的最小值；2(3)在(2)中，尸" +取得最小值時，將AC尸繞點C順時針旋轉60°后得到,過點2F'作CF，的垂線與直線AB交于點Q,息R為拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點S ,使以點。，Q, R, S為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點S的坐標，若不存在，請說明理由.曾用圖8. (2018重慶B卷)拋物線y =-逅f-氈x +6與x軸交于點A , B (點A在點5的左邊)，與y軸 63交于點C ,點。是該拋物線的頂點.(1)如圖1,連接8,求線段8的長；(2)如圖2,點P是直線AC上方拋物線上一點，尸軸于點F，的與線段AC交于點E；

9、將線段05 沿X軸左右平移，線段03的對應線段是。出，當尸E +EC的值最大時，求四邊形尸。小。周長的最小值, 并求出對應的點。的坐標；(3)如圖3,點H是線段的中點，連接CH ,將AOBC沿直線CH翻折至 O2B2C的位置,再將 O2B2C 繞點與旋轉一周，在旋轉過程中，點。2，C的對應點分別是點O：，C，直線03G分別與直線AC, x軸 交于點、M , N.那么，在。2打(7的整個旋轉過程中，是否存在恰當的位置，使AAAW是以MN為腰的等 腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的線段的長；若不存在，請說明理由.9. (2021沙坪壩區校級模擬)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線丫 =

10、0+法+ 3的圖象經過點(2,3), 與x軸分別交于點A、點8(-1,0),與)，軸交于點C.(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1,過點8作8W/4C交拋物線于點M，點P是直線AC上方拋物線上一動點，連接P3交AC 于點N,連接P/0, NM ,當5"闞取得最大值時，求點P的坐標和Sv.最大值；(3)如圖2,將該拋物線向左平移1個單位長度得到拋物線y'與原拋物線相交于點E,點尸為原拋物線上 對稱軸上一點，在平面直角坐標系中是否存在點Q,使以F、C、E,。為頂點的四邊形為矩形，請直接 寫出。點坐標.10. (2021渝中區校級模擬)如圖，拋物線丫 =公2+反-3(。0)與工軸

11、交于4、B兩點，交y軸于點C,OB = 3,拋物線經過點(2,5).(1)求該拋物線解析式；(2)如圖1,該拋物線頂點。，連接班、BC,點P是線段3£下方拋物線上一點，過點尸作PE/)，軸， 分別交線段或)、BC于點F、E,過點P作PG_L3Q下點G,求26PG +EF的最大值，及此時點P的 坐標；(3)如圖2,在y軸左側拋物線上有一動點M ,在y軸上有一動點N,是否存在以4V為直角邊的等腰直 角三角形AMN?若存在,請直接寫出點M的坐標.11. . (2021 九龍坡區校級模擬)若直線y = -2x + 4與y軸交于點A ,與x軸交于點3,二次函數 y = ax2+3x + c的圖

12、象經過點A,交x軸于C、O兩點，且拋物線的對稱軸為直線x = 3 .2(1)求二次函數的解析式；(2)過點C作直線CEA5交y軸于點E,點P是直線CE上一動點，點0是第一象限拋物線上一動點, 求四邊形APBQ面積的最大值與此時點Q的坐標；(3)在(2)的結論下，點E是拋物線的頂點，對稱軸與x軸交于點G,直線E。交x軸于點尸，在拋物線 的對稱軸上是否存在一點，使得NA/FQ + NC4O = 45。，求點M的坐標.圖1圖212. (2021 沙坪壩區校級模擬)在平面直角坐標系中，拋物線丫 =這2+法+。工0)與x軸交于A,(A在3的左側)，與y軸交于點C(0,6),其中AB = 8, tanZC

13、4B = 3.(1)求拋物線的表達式； (2)點P是直線8C上方拋物線上點，過點P作尸D/MC交x軸于點。，交8c于點E,求JI5PE-08E的最大值及點P的坐標.(3)將該拋物線沿射線C4方向平移2而個單位長度得到拋物線凹，平移后的拋物線與原拋物線相交于點尸，點G為拋物線X的頂點，點M為直線FG上一點，點N為平面上一點.在(2)中，當 MPE-丘BE 的值最大時，是否存在以尸、E、M、N為頂點的四邊形是菱形，若存在，直接寫出點N的坐標；若不13. (2021 沙坪壩區校級模擬)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線=以2 +%x-2(a>0)與x軸交于A(-2,0), 8(1,0)兩點，與y

14、軸交于點C.(1)求拋物線的函數表達式；(2)若點。是第三象限內拋物線上一個動點，連接AC,過點。作于點E,求線段小最大值及 此時點D的坐標；(3)將拋物線向右平移5個單位得到拋物線y.拋物線y與拋物線y交于點F ,連接CF,若點尸是x軸 上一動點，是否存在這樣的點尸，使得NPCB = NOC戶，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請 說明理由.14. (2021沙坪壩區校級一模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線G :y = -；x2+fer + c的圖象與坐標軸 交于A、B、C三點，其中點A的坐標為(0,8),點B的坐標為(Y,0),點。的坐標為(0,4).（1）求該二次函數的表達式及點

15、C的坐標；（2）若點尸為該拋物線在第一象限內的一動點，求"CD面積的最大值;（3）如圖2,將拋物線G向右平移2個單位，向下平移5個單位得到拋物線G，M為拋物線Q上一動點，N為平面內一動點，問是否存在這樣的點M、N,使得四邊形DMCN為菱形，若存在，請直接寫出點N的 坐標；若不存在，請說明理由.圖1圖215. （2021九龍坡區校級模擬）已知，二次函數丫 =-蟲+ 圖象與x軸交于A、B兩點,與y軸 62交于點C,連接AC、BC.（1）如圖1，請判斷AA3C的形狀，并說明理由;(2)如圖2, £)為線段AB上一動點，作。PAC交拋物線于點P,過P作PEJ_x軸，垂足為E,交BC

16、于點尸，過戶作FGL尸£,交DP于G ,連接CG, OG,求陰影部分面積S的最大值和。點坐標；(3)如圖3,將拋物線沿射線AC方向移動|有個單位得到新的拋物線y' = or2+版+以。0),是否在新 拋物線對稱軸上存在點M,在坐標平面內存在點N,使得以C、B、M、N為頂點的四邊形是以CB為 邊的矩形？若存在，請直接寫出N點坐標；若不存在，請說明理由.圖1圖2圖316. (2021坪山區模擬)如圖，拋物線y = or2-2x + c與x軸相交于A(-1,O), 3(3,0)兩點.(1)求拋物線的函數表達式；(2)點C在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將AABC沿直線AC翻折

17、得到AB'C,點B'恰好落 在拋物線的對稱軸上.若點G為直線AC下方拋物線上的一點，求當4ZTG面積最大時點G的橫坐標； (3)點尸是拋物線上位于對稱軸右側的一點，在拋物線的對稱軸上存在一點Q使得MiPQ為等邊三角形, 請直接寫出此時直線AP的函數表達式.17. (2021江岸區模擬)如圖，拋物線yuF+for + c交x軸于A、B兩點(點A在點3的左側)，交)，軸 于點C(0,5),連接BC,其中OC = 5Q4.(1)求拋物線的解析式;（2）如圖1,將直線BC沿y軸向上平移6個單位長度后與拋物線交于。、E兩點，交），軸于點G,若點P 是拋物線上位于直線下方（不與A、8重合）

18、的一個動點，過點P作尸M/y軸交3E于點M ,交BC 于點H，過點M作MN_L3C于點M ,求PM + N”的最大值及此時點P的坐標；（3）如圖2,當點P滿足（2）問條件時，將ACBP繞點C逆時針旋轉?（0。90。）得到CB'產，此時 點方恰好落到直線ED上，已知點尸是拋物線上的動點，在直線田上是否存在一點Q,使得以點C、8、 尸、。為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由.圖1圖2_ 一 一一 一.1 , 718. （2021沙坪壩區校級模擬）在平面直角坐標系中，拋物線y =x2-'x + 3與x軸交于A、B兩點（點A在點8的左側），交y軸

19、于點C .點。是拋物線上位于直線8C下方的一點.（1）如圖1,連接AO, CD,當點。的橫坐標為5時，求區10c :(2)如圖2,過點。作DE/AC交8C于點E,求DE長度的最大值及此時點。的坐標;(3)如圖3,將拋物線y =1x2-Zx + 3向右平移4個單位，再向下平移2個單位，得到新拋物線 22y' = ax2+bx + c.新拋物線與原拋物線的交點為點F, G為新拋物線的對稱軸上的一點，點，是坐標平面內一點，若以C, F, G, ”為頂點的四邊形是矩形，請求出所有符合條件的點坐標.圖1圖2圖319. (2021 九龍坡區校級模擬)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線、=亦2+法

20、-2(4/0)交x軸于4-1,0), 8(4,0),交 y 軸于點 C.(1)求該拋物線解析式；(2)點P為第四象限內拋物線上一點，連接P8,過C作CQ 液交x軸于點Q,連接PQ,求APBQ面 積的最大值及此時點P的坐標；(3)在(2)的條件下，將拋物線y = a?+法-2(aw0)向右平移經過點Q ,得到新拋物線 y = a,x2 +blx+cl(al *0),點E在新拋物線的對稱軸上，是否存在平面內一點F,使得A, P, E, F為 頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點尸的坐標；若不存在，請說明理由.備用圖20. (2021九龍坡區校級模擬)如圖，拋物線y = c/+bx + c(ax

21、0)與x軸交于點A、B (點A在點B的 左邊)，與y軸交于點C,點A、C的坐標分別為(-3,0)、(0,2),對稱軸為直線x = -2.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點。與點C關于拋物線的對稱軸對稱，連接AC,過點。作。EAC交拋物線于點E,交y軸 于點M .點尸是直線AC下方拋物線上的一動點，連接。尸交AC于點G,連接EG,求A£FG的面積的最 大值以及取得最大值時點F的坐標；（3）在（2）的條件下，點尸為平面內一點，在拋物線上是否存在一點。，是以點P、。、尸、C為頂點 的四邊形為矩形，如果存在，直接寫出點。的坐標，如果不存在，說明理由.21. （2021渝中區模擬）如圖，已

22、知拋物線、=以2+4* +。與直線旗相交于點40,1）和點3（3,4）.（1）求該拋物線的解析式；（2）設C為直線上方的拋物線上一點，當AABC的面積最大時，求點C的坐標;（3）將該拋物線向左平移2個單位長度得到拋物線丫 =平2+3+（尸0）, 平移后的拋物線與原拋物線相交于點。，是否存在點E使得A4DE是以A3為腰的等腰直角三角形？若存 在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由.22. （2021萬州區模擬）在平面直角坐標系xQy中，拋物線y =-2x-6與x軸交于點A、B （點A在 點5左側），與y軸交于點C,頂點為點O.（1）求點、B、。的坐標;（2）如圖1,點P在直線5。下方拋物線

23、上運動（不含端點區、D）,記APC3的面積為記APZM的面積為S),求2£-52的最大值及此時點P的坐標;(3)如圖2,將該拋物線沿直線。8平移，設平移后的新拋物線的頂點為(。與。不重合)，新拋物線與直線/汨的另一個交點為點E,在平面直角坐標系中是否存在點F,使以點C、D'、E、尸為頂點的四邊23. (2021渝中區校級二模)在平面直角坐標系中，拋物線丫 =以2+法+ 3與y軸交于點C,與x軸交于A, 8兩點(點A在點8的左側)，其中4-2,0),并且拋物線過點0(4,3).(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1,點P為直線C3上方拋物線上一點，過尸作尸E/y軸交于點E,連接C

24、P, PD, DE , 求四邊形CPDE面積的最值及點P的坐標;(3)如圖2,將拋物線沿射線C8方向平移得新拋物線y = qx2+x + j(qH0),是否在新拋物線上存在點M ,在平面內存在點N,使得以A, C, M , N為頂點的四邊形為正方形？若在，直接寫出此時新拋物 線的頂點坐標，若不存在，請說明理由.圖1圖2724. (2021 沙坪壩區模擬)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫 = :/+反+。與x軸交于點4(-1,0), 8(3,0) 與y軸交于點C.(1)求該拋物線的函數表達式；(2)點P是直線8C下方拋物線上的任意一點，連接/>8, PC,以PB , PC為鄰邊作平行四邊

25、形CP8D,求四邊形C7W/）面積的最大值;（3）將該拋物線沿射線CB方向平移卓個單位，平移后的拋物線與y軸交于點點M為直線3c上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點N,使以點C, E, M, N為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.25. （2021九龍坡區模擬）如圖，已知拋物線丫 =以?+法+ 2的圖象與x軸交于4 , B兩點,與y軸交于點C. -1 , 3是關于x的一元二次方程以2+反+ 2 =。的兩個根.（1）求該拋物線的解析式；（2）過點A作">/BC交拋物線于點。，AD與y軸交于點E, P為直線3c上方拋物線上的一個動點, 連接2

26、4交8c于點產，求%"的最大值及此時點2的坐標；(3)在(2)的條件下，點為拋物線上一動點，在平面內找一點N,是否存在以點A , M , N, P為 頂點的四邊形是以小為邊的矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標，若不存在，請說明理由.備用圖26. (2021重慶模擬)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y = or2-x + c(aH0)與x軸交于4-1,0)、8(3,0)兩點，直線4c與y軸交于點C,與拋物線交于點。，OA = OC .(1)求該拋物線與直線AC的解析式；(2)若點E是x軸下方拋物線上一動點，連接AE、CE.求AACE面積的最大值及此時點E的坐標；（3）將原拋物線沿射線A

27、E）方向平移2近個單位長度，得到新拋物線：新拋物線與原拋物線交于點尸，在直線45上是否存在點P,使以點P、D、尸為頂點的三角形是等腰三角形？若 存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.為27. （2021 沙坪壩區校級模擬）如圖I,在平面直角坐標系中，拋物線丫 = 0+法+ 3與x軸交于4-3石，0）、B#,0）兩點，交y軸于點C.連接AC、CB.（1）求拋物線的解析式：（2）若點尸是拋物線上第二象限上一點，過尸點作于M ,過尸作PN/y軸交AC于點N,當 APMV周長有最大值時，求夕點坐標及周長最大值.(3)如圖2,將拋物線向右平移個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到新的拋物線，

28、M點在新 拋物線后的對稱軸上，N點為平面內一點，使以3、C、M、N為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出N點 坐標.圖1圖228. (2021渝中區校級模擬)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y = ；x2+&x + c與x軸相交于4(6,0), 8(-2,0)兩點，與y軸交于點C,。為拋物線頂點，連接4).圖1圖2圖3（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2, P為直線4）下方拋物線上的一個動點（不與A、D重合），連接F4, PD,求A4PD面積的最大值及相應點P的坐標；（3）如圖3,連接AC,將直線AC沿射線A4方向平移生叵個單位得到直線/,直線/與拋物線的兩個交 2點分別為M在N的左側）

29、，在拋物線對稱軸上是否存在點K,使ACMK是以KC為腰的等腰三角形？ 若存在，請直接寫出點K的坐標；若不存在，請說明理由.1729. （2021渝中區校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y = -±f+'x + 2與x軸相交于A , 228兩點，與y軸交于點C.(1)求3、C兩點的坐標；(2)點P為直線BC上方拋物線上的任意一點，過P作PF/X軸交直線8C于點尸，過尸作尸E/y軸交 直線8c于點E,求線段EF的最大值及此時。點坐標；(3)將該拋物線沿著射線4c方向平移當個單位得到新拋物線)，N是新拋物線對稱軸上一點，在平面 直角坐標系中是否存在點。，使以點8、C、Q

30、、N為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點。點 的坐標；若不存在，請說明理由.備用圖30. (2021北倍區校級模擬)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線丫 =加+法+ 3與y軸交于點C,與x軸交于點A, B,連接BC.點A的坐標為(JJ, 0) . tan ZOBC = . 4(1)求拋物線的解析式；(2)點P為線段3c下方的拋物線上一動點，過點尸作軸交于點O,過點。作OELy軸，垂 足為點£ ,求PD +更DE的最大值及此時點P的坐標；2(3)將拋物線y = o?+陵+ 3沿射線C4方向平移34個單位長度，得到拋物線y', M為y'對稱軸上一動 點，在平面直角

31、坐標系內是否存在一點N,使得以B、M , N、C四個點為頂點的四邊形是菱形？若存 在，請直接寫出N點的坐標，若不存在，在請說明理由.備用圖二次函數(中考25題)參考答案參考答案與試題解析一.解答題(共30小題)1.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=f+6x+c經過A (0, - 1), B (4, 1).直線AB 交x軸于點C, P是直線A8下方拋物線上的一個動點.過點尸作垂足為力, PEx軸，交AB于點E.(1)求拋物線的函數表達式；(2)當的周長取得最大值時，求點尸的坐標和周長的最大值：(3)把拋物線y=/+bx+c平移，使得新拋物線的頂點為(2)中求得的點P. M是新拋 物線上一點，N

32、是新拋物線對稱軸上一點，直接寫出所有使得以點A, B, M, N為頂點 的四邊形是平行四邊形的點M的坐標，并把求其中個點M的坐標的過程寫出來.備用圖【分析】(1)利用待定系數法將4 (0, - 1), B (4, 1)代入y=W+fcr+c,即可求得答 案；(2)先運用待定系數法求出AB的函數表達式，設尸(r, ? - 1/ - 1),其中0</<4,2根據點E在直線y=/x-1上，PEx軸，可得出PE= - 2 (2) 2+8,再根據2£)£：sXAOC,即可得到PDE的周長1=-.嶇+1° (z-2) 2+2蠣+8,運用二次函數最 55值方法即可求

33、出答案：(3)分兩種情況：若A8是平行四邊形的對角線，若A8是平行四邊形的邊，分別 進行討論即可.【解答】解：(1).,拋物線y=W+bx+c經過A (0, - 1), B (4, 1),.(c=-lI16+4b+c=1一解得：2,C-1該拋物線的函數表達式為-=? - 5 7 ：(2)如圖1,設直線A8的函數表達式為)=丘+,VA (0, - 1), B (4, 1),.Jn=T ,4k+n=l2解得：i 2 ,n=-l二直線A8的函數表達式為y=±.” 1,令 y=0,得x-1=(),2解得：彳=2,：.C (2, 0),設 PG,1),其中 0<f<4,2點E在直線

34、y=Lx - 1上，PE/x軸，2- -t - 1X - 1 ,22- It,：.E (2r - it,產-1f - 1),2：.PE=t- (2產-7t) = - 2尸+8t= - 2 G- 2) 2+8,'：PDLAB,NAOC=/PDE=90° ,又；PEx軸，：.ZOCAZPED,"AO=, OC=2,；.AC=網,AOC的周長為3+遙，令PDE的周長為/,則對£=絲, 1 PE.=色叵5 - 2 (r- 2) 2+8= - .+1° (r- 2) 2+絲ZE+8, 555.當f=2時，尸CE周長取得最大值，最大值為絲ZS+8. 5此時，

35、點尸的坐標為(2, -4).(3)如圖2,滿足條件的點M坐標為(2, - 4), (6, 12), ( - 2, 12).由題意可知，平移后拋物線的函數表達式為y=-4x,對稱軸為宜線x=2,若AB是平行四邊形的對角線，當A/N與AB互相平分時，四邊形是平行四邊形，即經過AB的中點C (2, 0),點N的橫坐標為2,.點M的橫坐標為2,.,.點M的坐標為(2, -4),若A8是平行四邊形的邊，I .當MN/18且MN=AB時，四邊形A8MW是平行四邊形，VA (0, - 1), B (4, 1),點 N 的橫坐標為 2,.點M的橫坐標為2-4= -2,.點M的坐標為(-2, 12)：II.當N

36、MA8且NM=48時，四邊形A8MN是平行四邊形，VA (0, - 1), B (4, 1),點 N 的橫坐標為 2,.點M的橫坐標為2+4=6,.點M的坐標為(6, 12)；綜上所述，點例的坐標為(2, -4)或(-2, 12)或(6, 12).【點評】本題是二次函數有關的綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，二次函 數圖象和性質，三角形周長，平行四邊形性質等，熟練掌握待定系數法、二次函數圖象 和性質及平行四邊形性質等相關知識，運用分類討論思想和數形結合思想是解題關鍵.2.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線(a¥0)與x軸交于點A (-1, 0), B (4, 0),與y軸交于點

37、C.(1)求該拋物線的解析式；(2)直線/為該拋物線的對稱軸，點。與點C關于直線/對稱，點P為直線AO下方拋 物線上一動點，連接力，PD,求布。面積的最大值.(3)在(2)的條件下，將拋物線y二癥+法-4 (a#0)沿射線平移4&個單位， 得到新的拋物線yi,點E為點P的對應點，點尸為yi的對稱軸上任意一點，在yi上確 定一點G,使得以點。，E, F, G為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的 點G的坐標，并任選其中一個點的坐標，寫出求解過程.備用圖【分析】(1)直接代入點A, B坐標即可；(2)作七丫軸交直線AO于H,通過鉛垂高表示出4尸。的面積即可求出最大面積;(3)通過平

38、移距離為4/，轉化為向右平移4個單位，再向下平移4個單位，得出平 移后的拋物線關系式和E的坐標，從而平行四邊形中，已知線段OE,分OE為邊還是對 角線，通過點的平移得出G的橫坐標即可.【解答】解：(1)將A ( - 1, 0), B (4, 0)代入丫=丁+加-4得(a-b-4=0116a+4b-4=04a=i, lb=-3 .y=xz - 3x - 4,(2)當 x=0 時，y= - 4, 點 C(0, -4), 點。與點C關于直線/對稱，且對稱軸為直線五=3, 2：.D (3, -4), A ( - 1, 0),二直線AD的函數關系式為：y=-x-l,設尸(/n. zn2 - 3/n -

39、4).作PHy軸交直線AD于H,'.H (m. -tn - 1),：.PH=- (m2-3m-4)=-川+2加+3,S/apd= X PH X 4=2 ( - irr+2m+3) = - 2/n2+4w+6,當m=- 女丁 = 1時，Saapd最大為8, 2X (-2)(3) .直線AO與x軸正方向夾角為45° ,.沿A。方向平移為歷，實際可看成向右平移4個單位，再向下平移4個單位,:P (1, - 6),：.E (5, - 10),拋物線 y=7 - 3x- 4 平移后 yi =7 - 1 lx+20, 二拋物線yi的對稱軸為：直線工=號， 當力E為平行四邊形的邊時： 若D

40、平移到對稱軸上F點，則G的橫坐標為生,2代入 yi =/ - llx+20 得 y=-空,若E平移到對稱軸上F點，則G的橫坐標為工,2代入 >1 =，- llx+20 得 y= 4Gg，號).若OE為平行四邊形的對角線時， 若E平移到對稱軸上F點,則G平移到。點,.G的橫坐標為互,2代入 yi x1 - llx+20 得 y=-, 4【點評】本題是二次函數綜合題，考查了待定系數法求函數關系式，鉛垂高求三角形的 面積，以及平移的性質和平行四邊形的性質和判定，解決問題的關鍵是沿AD平移效歷轉 化為右平移4個單位，再向下平移4個單位，屬于中考壓軸題.3.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=

41、/+6x+c與直線AB相交于A, 8兩點，其 中 A ( -3, -4), B (0, - 1).(1)求該拋物線的函數表達式；(2)點尸為直線45下方拋物線上的任意一點，連接以，PB,求%B面積的最大值；(3)將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線yumf+bix+ci (aiO),平移后的 拋物線與原拋物線相交于點C,點。為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中 第37頁(共142頁)是否存在點E,使以點8, C, D, E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請宜接寫出點E(2) 以B 面積 S=XPHX (xb-xa) = (x- 1 - /-4x+l) X (0+3)=-旦x2-222

42、9x,即可求解；2(3)分8c為菱形的邊、菱形的的對角線兩種情況，分別求解即可.1 c=-故拋物線的表達式為：y=f+4x-l；(2)設直線A8的表達式為：y=lc(+t,則Y=：k+t,解得 故直線AB的表達式為：y=x-l,過點P作y軸的平行線交AB于點H, 十圖1設點 P (x, /+4X-1),則 H (x, x- 1),%8 面積 S=2XPX (xb-xa) = (x - 1 - x2 - 4x+l)221Ic=-l'k=l t=-l'< (0+3) = - x2 -,22【解答】解：(1)將點4、8的坐標代入拋物線表達式得1-4=9/b+c,解得/VO,故S

43、有最大值，當x=-3時，S的最大值為紅;228(3)拋物線的表達式為：y=x2+4x - 1 = (x+2) 2- 5,則平移后的拋物線表達式為：y=/-5,聯立上述兩式并解得：卜=7,故點C(-l, -4)；ly=-4設點。(-2,”)、點E (s,力，而點B、C的坐標分別為(0, - 1), ( - 1, -4)；當BC為菱形的邊時，點C向右平移1個單位向上平移3個單位得到B,同樣D (E)向右平移1個單位向上平移3個單位得到E (D),即-2+1 =s 且0?+3=/®或-2 - l=s且 m - 3=l,當點。在E的下方時，則8E=8C,即.，+ (什1) 2=12+32，當

44、點。在E的上方時，則BD=BC,即22+ (m+1) 2=12+32,聯立并解得：s= - 1, f=2或-4 (舍去-4),故點E(-l, 2)；聯立并解得：s= - 3. t= - 4±-/6( 故點 E ( - 3, - 4 +>/g)或(-3, -4-76);當8C為菱形的的對角線時，則由中點公式得：-l=s-2且-4 - 1=利+，此時，BD=BE,即 2?+ (/n+1) 2=s2+ (r+1) 2,聯立并解得：s=l, f=-3,故點 E (1, -3),綜上，點E的坐標為：(-1, 2)或(-3, -4+/)或(7, -4-遙)或(1, - 3).【點評】本題考

45、查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、菱形的性質、圖形 的平移、面積的計算等，其中(3),要注意分類求解，避免遺漏.4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫=/+云+2 (a/0)與y軸交于點C,與x軸交于第39頁(共142頁)4, 8兩點（點A在點8的左側），且A點坐標為（-&, 0）,直線8c的解析式為y= -返 x+2.3（1）求拋物線的解析式；（2）過點A作ACBC,交拋物線于點。，點E為直線BC上方拋物線上一動點，連接 CE, EB, BD, DC.求四邊形面積的最大值及相應點E的坐標；（3）將拋物線丫=0?+公+2（4#0）向左平移加個單位，已知點M為拋物線丫=加+法

46、+2 （aWO）的對稱軸上一動點，點N為平移后的拋物線上一動點.在（2）中，當四邊形 BECD的面積最大時，是否存在以A, E, M, N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在， 直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.備用圖【分析】利用直線BC的解析式求出點B、C的坐標，則y=a+bx+2=a （x+近）（x - 3,/2）=0 - 2yJ2a - 6a,即-6a=2,解得：a=-,即可求解； 3（2）四邊形 BECD 的面積 S=SaBCE+Sabcd=XEFX08+X （xd - xc） XBH,即可 22求解；（3）分AE是平行四邊形的邊、4E是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可.

47、【解答】解：（1）直線8C的解析式為y=-運-r+2,令y=0,貝！ x=3a/5，令x=0,3貝 1 y2,故點8、C的坐標分別為（3加，0）、（0, 2）；貝U 尸+公+2=。（x+5/2）（X - 3近）a （W-2&X-6）=/-2近ax - 6a,即-6a=2,解得：a=-,3故拋物線的表達式為: y= - Ax2+2V2x+20;33（2）如圖，過點B、E分別作y軸的平行線分別交CD于點H,交BC于點F,：AD/BC,則設直線AO的表達式為：y=-返（x+如）, 3聯立©并解得：x=4衣，故點。（4&,-也），3由點C、。的坐標得，直線CD的表達式為：丫=

48、-2返.計2,3當 x=3加時，ycz>=-冬叵x+2= - 2,即點 （3&, -2）,_3設點£ （x, 2+氏2）, 則點 F （x,-返x+2）, 333則四邊形 5ECO 的面積 S=Sabce+SaBCD=工X£FXO8+>lx (xd - xc') XBH=工義(-222-2) X,/ *0<0,故S有最大值，當X=3返時，S的最大值為空此時點£（2返，§）；22422（3）存在，理由：y= - -xl+?''x+2- - （x-V2）2+> 拋物線 丫=以2+法+2 （a*0）向左平

49、移我個 3333單位，則新拋物線的表達式為：y=-工/+, 33點、A、E的坐標分別為（-加, 0）、（2返，$）：設點M（加, m）,點N（，s）, s22當4E是平行四邊形的邊時,故點N的坐標為當AE是平行四邊形的對角線時由中點公式得解得故點N的坐標綜上點N的坐標為位向上平移義個單位得到N (M),要注意分類求解，避免遺漏 (共142頁)圖形的平移、面積的計算等，其中【點評】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數的性質、平行四邊形的性質點A向右平移業4個單位向上平移2個單位得到E,同樣點M (N)向右平移力4個單5.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=W-2x-3與x軸交于點4, 8

50、(點4在點8的左側)，交y軸于點C,點。為拋物線的頂點，時稱軸與x軸交于點E.(1)連接BC,點M是線段8。上一動點(點M不與端點B,。重合)，過點M作MN LBD,交拋物線于點N (點N在對稱軸的右側)，過點N作Na_Lx軸，垂足為，交BD 于點凡點P是線段OC上一動點，當MN取得最大值時，求的最小值； 3(2)在(1)中，當MN取得最大值，尸+FP+小PC取得最小值時，把點P向上平移返32個單位得到點Q,連接4。,把AOQ繞點。順時針旋轉一定的角度a(0° <a<360° ), 得到?!' OQ',其中邊A' Q'交坐標軸于點

51、G.在旋轉過程中，是否存在點G,使 得/Q，=/Q，OG?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標；若不存在，請說 明理由.可得|NF|= (2/w - 6) - (m2 - 2m - 3) = - /n2+4/?/ - 3,根據二次函數的性質得 m=2 a=2時，N/取到最大值，此時MV取到最大值，此時”F=2,此時產(2, -2),在x 軸上找一點K (30, 0),連接CK,過點尸作CK的垂線交CK于點J點，交y軸于4點尸，sin/OCK=L 直線KC的解析式為：y=-2&x-3,從而得到直線FJ的解析3式為：y=& X土返聯立解出點J( 2-2& , -19-

52、47) 得fp+Ipc的最小值即為42993FJ的長，且|五/|=工+巨最后得出工pc|,”加=上也Z0；3333(2)由題意可得出點Q (0, -2), AQ=® 應用"直角三角形斜邊上的中線等于斜 邊上的一半”取AQ的中點G,連接OG,則OG=GQ=4AQ=Y,此時，ZAQO=Z 22GOQ,把AO。繞點。順時針旋轉一定的角度a (0° <a<360° ),得到aA' OQ', 其中邊4' Q'交坐標軸于點G,則用OG=GQ1分四種情況求解.【解答】解：(1)如圖1,拋物線)，=/-2%-3與、軸交于點人，

53、8(點A在點8的左側)，交y軸于點C,令y=0 解得：加=-1, x2=3,令x=0,解得：y=-3,"(-1, 0), B (3, 0), C (0, - 3)丁點。為拋物線的頂點，且一上=二2=1,b =，X X (-3)-4= - 42 a 2 4a4X1，點。的坐標為。(1, -4),直線8D的解析式為：y=2x-6,由題意，可設點N (團，序-2機-3),則點F(m, 2/w - 6)/.NF = (2m - 6) - (m2 - 2ni - 3) = - m2+4zn - 3.當根=一L = 2時，N尸取到最大值，此時MN取到最大值，此時尸=2,2 a此時，N (2, -

54、 3), F (2, - 2), H (2, 0)在x軸上找一點K (一§返，0),連接CK,過點F作CK的垂線交CK于點J點，交y4軸于點P,；.sinNOCK=工，直線 KC 的解析式為：y=-2& x-3,且點 F(2, -2), 3：.PJ=LpC,直線R/的解析式為：尸亞X-493 42.點八空返,.至輪.)：.FP+lpC的最小值即為E/的長，且|F/|=3陟+招+學片子(2)由(1)知，點 P (0,年，如圖2G點落在y軸的負半軸，則G (0,.把點P向上平移零個單位得到點Q.點 Q(0, - 2).在 RtZAOQ 中，ZAOG=90° , 4Q=巡

55、，取 AQ 的中點 G,連接 OG,則 OG=GQ=_1/10=逅，此時，NAQO=/GOQ22把AOQ繞點。順時針旋轉一定的角度a (0° <a<360° ),得到?!' OQ',其中邊A' Q'交坐標軸于點G-零)，過點Q'作Q'IA.x軸交x軸于點I, S.ZGOQ'= ZQ'則 N/OQ'= ZOAQ'= ZOAQ,在RtZO/Q，中根據勾股定理可得|O/ =點。的坐標為Q,如圖3當G點落在y軸的正半軸上時，同理可得Q當G點落在x軸的正半軸上時，同理可得如圖5綜上所述，所有滿

56、足條件的點的坐標為：（2匹，-2匹）,（嫗,織£）,（ -2逅，55555W5） （ _ Ws _ 2'5' 5 '【點評】本題主要考查了二次函數圖象與坐標軸的交點求法和與幾何圖形結合的綜合能 力的培養及直角三角形的中線性質.要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起 來，利用通過求點的坐標來表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.6.在平面直角坐標系中，拋物線y=-返/+返x+2«與x軸交于A, 8兩點（點A在點428左側），與y軸交于點C,頂點為。，對稱軸與x軸交于點Q.（1）如圖1,連接AC, BC.若點P為直線BC上方拋物線上一動點，過點P作尸Ey 軸交BC于點£作PFLBC于點凡 過點8作BGAC交y軸于點G.點4, K分別在 對稱軸和v軸上運動，連接尸H, HK.當APE尸的周長最大時，求P”+HK+1kG的最2小值及點H的坐標.（2）如圖2,將拋物線沿射線AC方向平移，當拋物線經過原點0時停止平移，此時拋 物線頂點記為。，N為直線。上一點，連接點O' , C, N, £>' CN能否構成等腰 三角形？若能，直接寫出滿足條件的點N的坐標；若不能，請說明理由.【分析】(1)首先證明PEFsZBCO,推出當PE最大時，ZX