1、2.3 2.3 函數(shù)值域的求法函數(shù)值域的求法2022年5月6日星期五高中數(shù)學高中數(shù)學 函數(shù)函數(shù)y = f ( x )因變量因變量自變量自變量對應法則對應法則自變量自變量x的取值范圍為的取值范圍為 _因變量因變量y的取值范圍為的取值范圍為 _定義域定義域值域值域 1:在初中我們學習了哪幾種函數(shù)在初中我們學習了哪幾種函數(shù)?函數(shù)函數(shù)表達式表達式是是什么什么?它們的它們的定義域定義域各是什么各是什么? 一次函數(shù)一次函數(shù) :反比例函數(shù)反比例函數(shù): 二次函數(shù)二次函數(shù) :y=ax+b(a0) 定義域定義域為為R) 0( kxky定義域定義域為為x|x 0 f(x)=ax2+bx+c(a0)定義域定義域為為R

2、 值域值域 呢呢?值域值域為為y|y 0 當當a0時，時，值域值域為為: abacyy44|2 當當a0時，時，值域值域為為: abacyy44|2 值域值域為為R常用的求函數(shù)的值域的方法有以下幾種： 1.直接法 2.配方法 3.換元法 4.判別式法 5.分離系數(shù)法 6圖像法1.直接法：有的函數(shù)的結構并不復雜，可以通過基本函數(shù)的值域及不等式的性質直接觀察求出函數(shù)的值域。 例例1：求函數(shù)：求函數(shù) 的值域的值域1xy二、配方法： 形如形如 y=ax2+bx+c(a0) 的函數(shù)常用配方法求的函數(shù)常用配方法求函數(shù)的值域函數(shù)的值域, 要注意要注意 f(x) 的取值范圍的取值范圍. 例例2 (1)求函數(shù)求

3、函數(shù) y=x2+2x+3 在下面給定閉區(qū)間在下面給定閉區(qū)間上的值域上的值域: -4, - -3 ; -4, 1 ; -2, 1 三：換元法 通過代數(shù)換元法或者三角函數(shù)換元法通過代數(shù)換元法或者三角函數(shù)換元法, 把無把無理函數(shù)化為代數(shù)函數(shù)來求函數(shù)值域的方法理函數(shù)化為代數(shù)函數(shù)來求函數(shù)值域的方法( (關注新元的取值范圍關注新元的取值范圍) ). 例例3 求函數(shù)求函數(shù) 的值域的值域:注：換元法是一種非常重工的數(shù)學解題方法，它可以使復雜問題簡單化，但是在解題的過程中一定要注意換元后新元的取值范圍。 y=x- - x- -1 3、求下列函數(shù)的值域：、求下列函數(shù)的值域：（1）y = x +x 1解：設解：設

4、t = x 1則則 x = 1 t 2 且且 t 0 y = 1 t 2 + t 45)21(2 t xyo1由圖知：由圖知：45 y45,( 故函數(shù)的值域為故函數(shù)的值域為（2）y = 2x 3 +134 x134 x解：設解：設 t = 04132ttx且則tty 3213227212 tt3)1(212 t xyo27由圖知：由圖知：27 y故函數(shù)的值域為：故函數(shù)的值域為：),27 四、判別式法四、判別式法例例4 求函數(shù)求函數(shù) y = 的值域的值域. 主要適用于形如主要適用于形如 y = ( (a, d不同時為零不同時為零) )的函數(shù)的函數(shù)( (最最好是滿足分母恒不為零好是滿足分母恒不為零

5、) ).ax2+bx+c dx2+ex+f 能轉化為能轉化為 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函數(shù)常用判別式法求函的函數(shù)常用判別式法求函數(shù)的值域數(shù)的值域. 1223222 xxxx求函數(shù)求函數(shù) y = 的值域的值域1223222xxxx解：由題知解：由題知 x R，則有，則有2yx 2 + 2yx + y = x 2 2x 3( 2y 1 )x 2 + 2( y + 1 )x + ( y + 3 ) = 00,21 時時當當 y0)3)(12(4)1(42 yyy0432 yy2114 yy且且有有解解時時當當67,21 xy21 y故函數(shù)的值域為故函數(shù)的值域為 4，1 例例5、求下

6、列函數(shù)的值域、求下列函數(shù)的值域: (1) y =521 xx解：由解：由5227)52(21 xxy522721 x05227 x21 y故函數(shù)的值域為故函數(shù)的值域為),21()21,( 練習求下列函數(shù)的值域練習求下列函數(shù)的值域(1)y=3x+2(-1x1) (2) xxy1解解:(1) -33x3 -13x+25 即即-1y5 值域值域是是-1，5y=xxx111-1x1解解:(2)01xy1即函數(shù)的即函數(shù)的值域值域是是 y| y R且且y 1 （3） 求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域：求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域： y=x2-4x+1 y=x2-4x+1 x 3,4 y=x2-4x+1

7、 , x 0,1 y=x2-4x+1 x 0,5解：解： y=x2-4x+1 = (x-2)2-3頂點為頂點為(2,-3)，頂點橫坐標頂點橫坐標為為2. (對稱軸對稱軸x=2)拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域拋物線的開口向上，函數(shù)的定義域R x=2時，時，ymin=-3 ,無最大值；函數(shù)的無最大值；函數(shù)的值域值域是是y|y-3 .當當x=3時，時，y= -2, x=4時，時，y=1 在在3,4上上,ymin =-2， ymax =1； 值域值域為為-2，1. 頂點橫坐標頂點橫坐標2 3,4，解略解略:解解頂點橫坐標頂點橫坐標2 0,5 當當x=0時，時，y=1, x=2時，時，y=-3, x=5

8、時，時，y=6, 在在0,1上，上， ymin =-3， ymax =6 值域值域為為-3，6. 求下列函數(shù)的值域：求下列函數(shù)的值域：（1）y = （2）y =（3）y = x2+4x+3 (-3x1x1)（4）y =3-2x-x2 x-3,13241 xx3312 xx變式變式:(1)求函數(shù)求函數(shù) 的值域的值域612xxy(2)求函數(shù)求函數(shù) , x 3,5 的值域的值域612xxy（5）、求下列函數(shù)的值域）、求下列函數(shù)的值域: （1）y = | x + 1 | | 1 x |解：由解：由 y = | x + 1 | | x 1 |當當 x 1 時，時，y = ( x + 1 ) + ( x 1 ) = 2當當 1 x