1、2019-20202019-2020 年高中數學第二章參數方程年高中數學第二章參數方程 2.2.12.2.1 直線的參數方程學案新人教直線的參數方程學案新人教B B 版選修版選修對應學生用書 P25讀教材填要點1.直線的參數方程：經過點 M(x,y)，傾斜角為a的直線 l 的參數方程為000，x=x+tcosa,0(t 為參數).y=y+tsina,k0參數 t 的絕對值表示參數 t 所對應的點 M 到定點 M 的距離.，x=x+lt2.過點 M(x,y)且與平面向量 a a=(l,m)平行的直線 l 的參數方程為0 0, ,t000y=y+mt0R R當M0M一與a a同向時，七取正數；當M

2、0M與& &反向時，t 取負數-小問題大思維1.經過點 M(1,5)且傾斜角為3 的直線，以定點 M 到動點 P 的位移 t 為參數的參數方程是什么？提示：根據直線參數方程的定義，易得x=1+1cosn3x=1+21,值？、y=5+1sin*y=5+%.x=T-七，2.已知直線 l 的參數方程為提示：直線 l 的參數方程可化為x=1+tcos，、y=2+tsin(t 為參數),則直線 l 的斜率為何3n43nT故直線的斜率為 tan3n=4=高頻考點題組化，名師_點就通對應學生用書 P25直線參數方程的求法例 1已知直線 l 的方程為 3x4y+l=0,點 P(l,l)在直線

3、l 上，寫出直線 l 的參數方程，并求點 P 到點 M(5,4)和點 N(2,6)的距離.思路點撥本題考查直線參數方程的求法及其簡單應用解答本題需要根據直線方程確定直線的傾斜角a，然后寫出直線 l 的參數方程.3精解詳析由直線方程 3x4y+1=0 可知，直線的斜率為 4設直線的傾斜角為a,34sina=匚，cosa=755又點 P(1,1)在直線 l 上,因為 3X54X4+1=0，所以點 M 在直線 l 上.4由 1+5t=5,得 t=5,即點 P 到點 M 的距離為 5.5因為點 N 不在直線 l 上，故根據兩點的距離公式,可得|PN|=；十 22+廠2=；34.直線的參數方程可以從它的

4、普通方程轉化而來，設直線的點斜式方程為yy0=k(xx).其中 k=tana，a為直線的傾斜角，代入上式，得$=池 2任x),a工號，即-二鼻=-y.cosa2cosasina記上式的比值為 t,整理后得fx=x+tcosa,0則 tana3=4所以直線 l 的參數方程為4Jx=1+5 七，3ly=+51.y=y+tsina.I07則 2 乜=tt=12n1.一直線過 P0(3,4),傾斜角 a=4，求此直線與直線 3x+2y=6 的交點 M 與 P。之間的距離將它代入 3x2y6=0得3l3+解得 t=直線的參數方程的應用(直線與圓)fx=1+31,例2已知直線的參數方程為|y=2七，它與曲

5、線(y2)2x2=】交于 AB 兩點.(1)求|AB|的長；(2)求點 P(1,2)到線段 AB 中點 C 的距離.思路點撥本題主要考查直線的參數方程與圓的綜合應用.解答本題需先求出直線 l的參數方程，然后根據相關概念及性質求解即可.精解詳析(1)把直線的參數方程對應的坐標代入曲線方程并化簡得 7t2+612=0.設 A，B 對應的參數分別為 t1，t2所以，線段|AB|的長為i3+2tt|=5：t+t24tt=廠1212127解：x=3設直線的參數方程為y=4+t,t.=6，|MP|t|=11-J25tt3(2)根據中點坐標的性質可得 AB 中點 C 對應的參數為飛2=亍所以，由 t 的幾何

6、意義可得點 P(1,2)到線段 AB 中點 C 的距離為冷 32+厶2157不用求出 A,B 兩點的坐標，根據直線參數方程中 t 的幾何意義，再根據根與系數的關系即可求出 AB 及點 P 到 AB 中點 C 的距離.2.已知直線 l 經過點 P(1,1),傾斜角 a=n.6(1)寫出直線 l 的參數方程設 l 與圓 X2+y2=4 相交于兩點 A,B,求點 P 到 A,B 兩點的距離之積.y=1+tsin.6x=1+t,2即1ly=1+t.t1t2=2，則點P到 A,B兩點的距離之積為 2.X=1+tcos解：(1)直線的參數方程為n6(2)把x=1+t,ly=1+2t代入 x2+y2=4,得

7、(1+t)2+(1+t)2=4,t2+(ij3+1)t2=0,直線的參數方程的應用(直線與圓錐曲線)例 3過點 P（亠尹，0）作傾斜角為a的直線與曲線 x2+2y2=l 交于點 M,N,求|PM|PN|的最小值及相應的a的值.思路點撥本題考查直線與橢圓的位置關系解答本題需要先確定直線的參數方程然后利用參數的幾何意義求解精解詳析設直線的參數方程為ly=tsina代入曲線方程并整理得3(1+sima)t2+CjlOcosa)t+=0,x=xtcosa，直線的參數方程0,+.中，參數 t 具有明顯的幾何意義，搞清參數 t 的y=ytsina幾何意義是解決此類問題的關鍵，x=3cosQ,3已知橢圓的參

8、數方程!y=2sinQ心2n），求橢圓上一點P到直線解：由題意，得P(3cosQ,2sinQ)，直線：2x+3y10=0.1|6cosQ+6sinQ10|d=X=2+tcosa,t 為參數,則|PM|PN|=|tj2|=21sin2a所以當 sin2a=1 時，即a=號時,|PM|PN|的最小值為 4 此時a=亍fx=2-31,、y=2+2t的最短距離6 也 sin。10而 6 邁 sin(Q10W-6 邁一 10,6 邊一 10,解析：選 C 題目所給的直線的斜率為 2,選項 A 中直線斜率為 1,選項 D 中直線斜率106 邊 10+6 邁勺価，飛.d課下們練經典化貴在觸類痔通對應學生用書

9、 P27、選擇題，x=1+21,1若直線的參數方程為 A?航，則直線的斜率為（）A3BC-2D解析：選 Dky2_31_3=x1=21=2，x=a+1,2直線 l 的參數方程為+、y=b+1,之間的距離為（）A|t1|l 上的點 P對應的參數是，則點匚與 P（a,b）B2|t|1必歲 tj解析：選 C 點 P對應的點的坐標為（a+1,b+t 丿，|PPJ=；a+1a2+b+t】b2=“.J212=,;211J.3.下列可以作為直線 2xy+1=0 的參數方程的是（）x=1+1,A.、y=3+1，x=1t,c.y=32t，X=1t,B.y=52tD.廠x=2+-15ly=5+5tmin為 2，所

10、以可以排除 A、D 兩項；B、C 兩項中直線斜率均為 2,但 B 項中直線的普通方程為2xy+3=0,故選 C.數).二、填空題5.直線 l 過點 M/1,5),傾斜角是專，且與直線 xy/3=0 交于 M,則|MM|的長為tx=i+2，ly=5+.代入 xy=0,得(1 一-加)t=8+.3.解得|MM0|=11|=10+6 冷 3.答案：10+；36.直線 F=2阮，ly=3+p2t上與點 A(2,3)的距離等于迪的點的坐標是解析：設 P(221,3+邊 t)是直線上滿足條件的點，則(一 V2t)2+(./2t)2=(邊)2,|x=2+1,4.過點(0,2)且與直線互相垂直的直線的參數方程

11、為()ly=2+tB-ly=rC.”=一阮ly=2tD.”=2-3tly=t|x=2+1,解析：選 B 直線化為普通方程為 y=Q3x+l2 寸 3，其斜率氣=羽,設所求直線的斜率為 k, 由 kk=1,得 k=故參數方程為x=,，31,y=2t(t 為參解析：直線 l 的方程為1t2=25廠fx=一 4+t,離為寸 2,若該直線的參數方程改寫成(t 為參數)，則在這個方程中點P對、y=t應的 t 值為解析：由|PMO|=2知，t=土爲，代入第一個參數方程，得點 P 的坐標分別為(一 3,1)或(一 5,1),再把點 P 的坐標代入第二個參數方程可得 t=1 或 t=一 1.答案：土 1，x=

12、3+at,8直線 1=一 1+4 七過定點x3a解析：消去 t 得 1=4,即一(y+1)a+4x-12=0,則 x=3,且 y=T 時，對于任何 a 都成立.答案：(3,一 1)三、解答題9.直線 1過點 M(1,2),且與向量 a=(3,1)共線.(1)寫出該直線的參數方程；(2)直線 12的方程為 2x+y1=0,且 t 交 12于 N,求|MN|.，x=1+31,解：(1)直線 1 的參數方程為c+1y=2t.(2)把 11的參數方程代入 12的方程中,得2(1+31)+2 一 t 一 1=0.3(413、解得 t=5，N的坐標為(一 5，斤.7設直線的參數方程為x=4+半t,2ly2

13、t，點 P 在直線上，且與點 M0(4,0)的距5|MN|2=(9)2+(3)2=90|MN|=310斷 l1與 l2的位置關系解：法一：將直線 1勺參數方程化為普通方程，得 y=2x+i；將 12的參數方程化為普通方程，得 y=x2.因為匕k2=2xf-|j=-1,所以兩直線垂直.法二：由參數方程知 1與向量 a a1=(2,4)平行，12與向量 a a2=(2,-1)平行.又2X2+4X(1)=0,.1 丄 1,12即兩條直線垂直y=3+tsin 乎=3+jt.62(2) 消去曲線 C 中的參數， 得 4x2+y216=0,把直線的參數方程代入曲線 C 的普通方程，得 4、一 3J2+A+

14、|tj2=16,化簡為 13 匕+收仃+傀勺)t+116=0.由 t 的幾何意義，知|PA|PB|=|tt2|,116|PA|PB|=|t12|=iy.(3)由 t 的幾何意義知，中點 M 對應的參數為乎,x=1+21,10-已知直線 1 的參數方程為y=1+41,l 的參數方程為試判11.設直線 1 過點 P(3,3)，且傾斜角為5n丁.(1)寫出直線 1 的參數方程；，x=2cosQ,(2)設此直線與曲線 C：門、y=4sinQ設 A,B 中點為 M,求|PM|.解： (1)直線1 的參數方程是(oweW2n)交于 A,B 兩點，求|PA|PB|；x=1+21,5x=3+tcos=3620

15、19-20202019-2020 年高中數學第二章參數方程年高中數學第二章參數方程 2 22 22 2 圓的參數方程學案新人教圓的參數方程學案新人教 B B版選修版選修對應學生用書 P28讀教材填要點如圖，質點以勻角速度w做圓周運動，圓心在原點，半徑為 R,記 t 為時間，運動開始時 t=0,質點位于點 A 處，在時刻 t,質點位于點 M(x,y)處，e=wt，e為 Ox 軸正向，x=Rcoswt，到向徑所成的角，則圓的參數方程為|y=Rsinwt(OWeW2n).，x=x+Rcose,若圓心在點 M(x,y)處，半徑為 R,則圓的參數方程為0iTD門000y=y+Rsine0(OWeW2n)

16、.小問題大思維，x=Rcose,1.方程口門(OWeW2n)是以坐標原點為圓心，以 R 為半徑的圓的參數、y=Rsine方程，能否直接由圓的普通方程轉化得出？提示：以坐標原點為圓心，以 R 為半徑的圓的標準方程為 x2+y2=R2，即(x)2+(y)=1.，x=Rcose，E),也可寫成|=只$訕e20，x=r+r20，x=r+rcos20，y=rsin20.，x=2cose,2參數方程門（OWeWn）表示什么曲線？、y=l+2sine提示：表示圓心為（0,1），半徑為 2 的圓的上半部分即半圓（包括端點）高頻考點題組化，名師一點就通對應學生用書 P29求圓的參數方程例 1點 M 在圓（xr）

17、2+y2=r2（r0）上，O 為原點，x 軸的正半軸繞原點旋轉到0M 形成的角為0以0為參數，求圓的參數方程.思路點撥本題考查圓的參數方程的求法.解答此題需要借助圖形分析圓上點 M（x,y）的坐標與0之間的關系，然后寫出參數方程.1當 M 在 x 軸上方時,ZMOZx=20.x=rrcos20，y=rsin20.2當 M 在 x 軸下方時,ZMOZx=20，y=rcossmxR=COSI 討 sin，x=Rcose,則y=Rsine.精解詳3當 M 在 x 軸上時,對應申=0 或申=2綜上得圓的參數方程為x=r+rcos2(p,nnly=rsin2,飛呵勺（1）由于選取的參數不同，圓有不同的參

18、數方程一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數為參數，因此得到的參數方程也可以有不同的形式，形式不同的參數方程，它們表示的曲線卻可以是相同的另外在建立曲線的參數方程時，要注明參數及參數的取值范圍（2）確定圓的參數方程，必須根據題目所給條件，否則，就會出現錯誤，如本題如果把fx=r+rcos,參數方程寫成（的意義就改變了.y=rsin,1._ 設 y=tx （t 為參數） ，則圓 x2+y24y=0 的參數方程是解析：把丫=七乂代入 X2+y24y=0,h4t4t2得x=i+t2,y=1+t2，4tx=1+t2,：參數方程為一4t2ly=k4tX=1+t2,4t2ly=1Tt2圓的參數方程的應用，

19、x=a21,答案：例2（福建高考）已知直線1的參數方程為jy=牡（t為參數），圓 C 的參數，x=4cosQ,方程為|y=4sin6&為參數).(1)求直線 I 和圓 C 的普通方程；(2)若直線 l 與圓 C 有公共點，求實數 a 的取值范圍.思路點撥(1)化參數方程為普通方程利用圓心到直線的距離 dW4 可求.精解詳析(1)直線 l 的普通方程為 2x-y-2a=0,圓 C 的普通方程為 x2+y2=16.(2)因為直線 l 與圓 C 有公共點，|-2a|故圓 C 的圓心到直線 l 的距離 d=|W4,5解得一；,r5a.5.解決此類問題的關鍵是化圓的參數方程為普通方程后再求解2.

20、設點 M(x,y)在圓 x2+y2=1 上移動，求點 Q(x(x+y),y(x+y)的軌跡的參數方程.解：設M(cosQ,sinQ)(OWB2n)，點 Q(x1，yj,=cosQQ+sinQ,貝卅1OWQW2n,y=sinQcosQ+sinQ,I1即為所求的參數方程.，x=cosQ,例 3已知點 P(x,y)是圓OWQW2n 上的動點.y=1+sinQ求叩 3x+y 的取值范圍；(2)若 x+y+a20 恒成立，求實數 a 的取值范圍.思路點撥本題考查圓的參數方程的求法及不等式的恒成立問題.解決本題需要正確求出圓 x2y2=2y 的參數方程，然后利用參數方程求解.，x=cosQ,精解詳析(1)

21、TP 在剛.門上,、y=1+sinQp3x+y=：3cosQ+sinQ+1=2sin(Q+號)+1.：2+lW；3x+yW2+1,即；3x+y 的取值范圍為-1,3.(2)x+y+a=cosQ+sinQ+1+a 三 0,.a 三一(cos0+sin0)1.又一(cos0+sin0)1=、;2sin(0+丁)一 1W21,.a2j21,即 a 的取值范圍為*21,+).(1)解決此類問題的關鍵是根據圓的參數方程寫出點的坐標， 并正確確定參數的取值范圍(2)利用圓的參數方程求參數或代數式的取值范圍的實質是利用正、余弦函數的有界性，x=1+cos0,3.將參數方程門(0W0W2n)轉化為直角坐標方程

22、是、y=sin0，該曲線上的點與定點 A(1,1)的距離的最小值為解析：易得直角坐標方程是(x1)2+y2=1,所求距離的最小值應為圓心到點 A 的距離減去半徑，易求得為、51.答案：(x1)2+y2=1.；51一、選擇題，x=2+2cos0,1.圓的參數方程為門 0W0W2n.則圓的圓心坐標為()、y=2sin0A.(0,2)B.(0,2)C.(2,0)D.(2,0)解析：選 D 圓的普通方程為(x2”+y2=4.故圓心坐標為(2,0).Ix=/5cos0,2. 若直線 2xy3+c=0 與曲線(廠(0W0W2n)相切，則實數 cly=P5sin0等于()A.2 或8B.6 或4C.2 或

23、8D.4 或6Ix=/5cose,解析：選 C 將曲線lly=：5sinQ直線 2x-y-3+c=0 與圓 X2+y2=5 相切,的最大值為()A.36C.26解析：選 A 設 P(2cosa,sina),代入得(2cosa5)2(sina4)2=25sin2acos2a-6cosa8sina3=26+10sin(a0)(tan0=4,0為銳角).:最大值為 36.為實數)，若曲線 C 上恰有 3 個點到直線 l 的距離等于 1,則 b=()B.2D.土電解析：選 D 將曲線 C 和直線 l 的參數方程分別化為普通方程為 x2+y2=4 和 y=x+b.依題意，若要使圓上有 3 個點到直線 l

24、 的距離為 1,只要滿足圓心到直線的距離為 1 即可,、填空題5.把圓 X2+y2+2x4y+1=0 化為參數方程為.解析：圓 X2+y2+2x4y+1=0 的標準方程是(x+1)2+(y2”=4,圓心為(一 1,2),半徑為 2,(OWeW2n)化為普通方程為 X2+y2=5，由-,;5,解得 c=2 或&3.P(x,y)是曲線，x=2+cosa,y=sinaOWaW2n 上任意一點，則(x5)2+(y+4)2B.6D.254.已知曲線 C：Ix=2cose,y=2sinQ心)和直線，x=t,y=t+b(t 為參數,bA.C.0故參數方程為x=12cosey=22sine(OWQW2n).=1,解得 b=；2.為解析：將圓 C 的方程代入直線方程，得cose1sinea=0，即 a=1(sinQ+cosQ)=1J2sine+普.-lWsine+書 Wl,：l-V2WaWl+邊.答案：1；2,1+2Q=.解析：直線為 y=xtanQ，圓為(x4)2+y2=4,作出圖形，相切時，易知傾斜角為 65n8.已知動圓 X2+y22axcosQ2bysinQ=0(a，b 是正常數，且 aMb,Q為參數),則圓心的軌跡的參數方程為解