1、最小二乘法主要用來(lái)求解兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的回歸方程，該方法適用于求解與線性回歸方程相關(guān)的問(wèn)題，如求解回歸直線方程，并應(yīng)用其分析預(yù)報(bào)變量的取值等破解此類問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)如下： 析數(shù)據(jù)，分析相關(guān)數(shù)據(jù)，求得相關(guān)系數(shù)r,或利用散點(diǎn)圖判斷兩變量之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系，若呈非線性相關(guān)關(guān)系，則需要通過(guò)變量的變換轉(zhuǎn)化構(gòu)造線性相關(guān)關(guān)系. 建模型根據(jù)題意確定兩個(gè)變量，結(jié)合數(shù)據(jù)分析的結(jié)果建立回歸模型. 求參數(shù)利用回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式，求出b,a，的值從而確定線性回歸方程. 求估值.將已知的解釋變量的值代入線性回歸方程y=bx+a中，即可求得y的預(yù)測(cè)值.注意:回歸直線方程的求解與應(yīng)

2、用中要注意兩個(gè)方面：一是求解回歸直線方程時(shí)，利用樣本點(diǎn)的中心（x,y）必在回歸直線上求解相關(guān)參數(shù)的值；二是回歸直線方程的應(yīng)用，利用回歸直線方程求出的數(shù)值應(yīng)是一個(gè)估計(jì)值，不是真實(shí)值.經(jīng)典例題：下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖.M60402000SO6040藥OIt-yOK-alL為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為1,217)建立模型：y=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為)建立模型：y=99+17.5t.(1) 分別

3、利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值;(2) 你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說(shuō)明理由.思路分析：(1)兩個(gè)回歸直線方程中無(wú)參數(shù)，所以分別求自變量為2018時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，就得結(jié)果,(2)根據(jù)折線圖知2000到2009，與2010到2016是兩個(gè)有明顯區(qū)別的直線，且2010到2016的增幅明顯高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2018的預(yù)測(cè).解析：(1)利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為=30.4+13.5x19=226.1(億元).利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為=99+17

4、.5x9=256.5(億元).(2)利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠理由如下：(i) 從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線y=-30.4+13.5t上下，這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從2010年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型得到的

5、預(yù)測(cè)值更可靠.(ii) 從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理，說(shuō)明利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.線性回歸方程是利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的回歸分析，來(lái)確定兩種或兩種以上變數(shù)間相總結(jié)：若已知回歸直線方程，則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預(yù)測(cè)值;若回歸直線方程有待定參數(shù)，則根據(jù)回歸直線方程恒過(guò)中心點(diǎn)求參數(shù).(H)利用(I)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人

6、均純4攵入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分罐為I"JJ-U工厲-以旳刃4"18!a.jn.f卜二,ay-bit(2011年全國(guó)新課標(biāo)2卷理19)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入珅單位:F元的數(shù)據(jù)如下表年份2007200820092010201120122013年份代12346-7人均純收入F2.93.33.64.44.85.25.9(I)求廠關(guān)于的線性回歸方程;互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法之一，線性回歸也是回歸分析中第一種經(jīng)過(guò)嚴(yán)格研究并在實(shí)際應(yīng)用中廣泛使用的類型。按自變量個(gè)數(shù)可分為一元線性回歸分析方程和多元線性回歸分析方程。線性方程不難

7、，公式會(huì)直接給出，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)在選擇題，這部分難度同樣是在于計(jì)算，剛開(kāi)始學(xué)這部分知識(shí)的時(shí)候很多同學(xué)沒(méi)有耐心計(jì)算，其實(shí)很簡(jiǎn)單的列個(gè)表格算就行了愛(ài)主利用題口公式豐(I)由題意得：/41-2.9+33+3.64-4.4+4.8+52+5.96=0.5/*aybt=430.5x4=2.3所求線性回歸方程為：$=05+2.3（ID由1）中的回歸方程的斜率可知，2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐漸增加-令/=9得=_p=0.5x9+2.3=6,8t預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元口某公司要推出一種新產(chǎn)品，分6個(gè)相等時(shí)長(zhǎng)的時(shí)段進(jìn)行試銷，并對(duì)賣出的產(chǎn)品進(jìn)行跟蹤以及收集顧客

8、的評(píng)價(jià)情況（包括產(chǎn)品評(píng)價(jià)和服務(wù)評(píng)價(jià)），在試銷階段共賣出了480件，通過(guò)對(duì)所賣出產(chǎn)品的評(píng)價(jià)情況和銷量情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，一方面發(fā)現(xiàn)對(duì)該產(chǎn)品的好評(píng)率為5/6，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，對(duì)產(chǎn)品和服務(wù)兩項(xiàng)都沒(méi)有好評(píng)有30件，另一方面發(fā)現(xiàn)銷量和單價(jià)有一定的線性相關(guān)關(guān)系，具體數(shù)據(jù)如下表：時(shí)段，123456'單價(jià)乳（元）800820840S60m銷量y件）904-S380756®能否在犯譜誤的概率不超過(guò)0001的前提下，認(rèn)為產(chǎn)品好評(píng)和服務(wù)好評(píng)有關(guān)？該產(chǎn)品的成本是SOO/E/ft,預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量和單價(jià)仍然服從這糠的線性相關(guān)關(guān)系該公司如果柜獲得最犬刑潤(rùn)，此產(chǎn)品的定價(jià)應(yīng)為塞少元？（.參考公式

9、：線性回歸方程中系數(shù)計(jì)算公式分別為參考數(shù)據(jù)?(K2>k)Q450.100.050.0250.010O.OQ50.001.k2.0722.706S.8415.0246.6357.87910.82866gXiVi=40660Q,匸Xi3=4342000)n=l1=1解(球由題意/得產(chǎn)品好評(píng)和服務(wù)好評(píng)的2X2列聯(lián)表:服務(wù)好評(píng)服務(wù)粧有好評(píng)絶計(jì)產(chǎn)品好評(píng)31090400產(chǎn)品沒(méi)有好評(píng)-5030£0，總計(jì)3601204®0耳中a=310fb=90?c=5Q；430,aJ-bc=48Q0f'-TvV代九疋二ncad_bc>2得K1=S<10.S2S.(a+b-fe+

10、d)(a+G).(b+d)二不能在氾錯(cuò)誤的概率不0.001的前扌昱下，認(rèn)為產(chǎn)品好評(píng)和撮務(wù)好評(píng)有去設(shè)獲得的利潤(rùn)為貨元，根?居計(jì)算可得，=850,?=80,代入入回歸方程得，-0.2.+250：4=(-Q.2x+25&)(x-500)=-G.2x2+350x-125000.此跚圖象為開(kāi)向下，対稱軸方程為x=875i1當(dāng)x=875時(shí)，較(x)取的最大值.即該公司如果想獲得最大利潤(rùn),±0境希歸働癥青,考點(diǎn)分析:線性回歸方程.線性回歸方程是高考新增內(nèi)容，主要考查散點(diǎn)圖、變量間的相關(guān)關(guān)系的判斷以及線性回歸方程的求法。題干分析：(1)由題意得到2x2列聯(lián)表，由公式求出K2的觀測(cè)值，對(duì)比參考

11、表格得結(jié)論；(2)求出樣本的中心點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算回歸方程的系數(shù)，寫出利潤(rùn)函數(shù)w的解析式，求出w(x)的最大值以及對(duì)應(yīng)的x的值.解題反思:高考對(duì)線性回歸方程的考查力度逐步增加，以前只有很少題型出現(xiàn)，但在近幾年高考試題中就很常見(jiàn)了，逐漸成為高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問(wèn)題之一，由此可以看出這部分知識(shí)的重要性了。3.（2017.山東卷）為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為y=bxa.已知史x=225,史y=1600,iii=1i=1b=4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24,據(jù)此估計(jì)其身高為（）A.16

12、0B.163C.166D.170解析由已知得x=22.5,y=160,回歸直線方程過(guò)樣本點(diǎn)中心（x,y），且b=4,.160二4X22.5+y，解得y=70.二回歸直線方程為$=4x+70,當(dāng)x=24時(shí)，$二166.故選C.（2016全國(guó)III卷）如圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位:億噸）的折線圖.年生活垃墟兀車花竝理昴丿注：年份代碼17分別對(duì)應(yīng)年份20082014. 由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明； 建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：fy=9.32,ft.y=40

13、.17,七（y亍）2=0.55,/72.646.i=11i=111v.=1I“參考公式：相關(guān)系數(shù)廠=/17N丿耳石鄉(xiāng)®一刑回歸方程y=a+%中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：X（Zj-7）（vr-y）1=,a=Nb"T尸i=解由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得t=4,f(tt)2=28,i=1i0.55.f(t.t)(y.y)=ft.y.i=1i=1氓y.=4017-4X932=289，所以2.890.55X2X2.6460.99.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說(shuō)明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.由y=9.32=7=,A1.33

14、1及得b=j(tit)(yiy)2.89十=心0.103,f(t.t)228i=1iAA-a=yZ?t1.3310.103X40.92.所以，y關(guān)于t的回歸方程為Z=0.92+0.10t.將2016年對(duì)應(yīng)的t=9代入回歸方程得：:=0.92+0.10X9=1.82.所以預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量約為1.82億噸.探究提高1.求回歸直線方程的關(guān)鍵及實(shí)際應(yīng)用（1）關(guān)鍵：正確理解計(jì)算b，Z的公式和準(zhǔn)確地計(jì)算.（2）實(shí)際應(yīng)用：在分析實(shí)際中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值.（2017唐

15、山一模）某市春節(jié)期間7家超市的廣告費(fèi)支出Xj（萬(wàn)元）和銷售額yi（萬(wàn)元）數(shù)據(jù)如下：超市ABCDEFG廣告費(fèi)支出x.i1246111319銷售額y.19324044525354 若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程； 用對(duì)數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程$=121nx+22，經(jīng)計(jì)算得出線性回歸模型和對(duì)數(shù)模型的R2分別約為0.75和0.97,請(qǐng)用R2說(shuō)明選擇哪個(gè)回歸模型更合適，并用此模型預(yù)測(cè)A超市廣告費(fèi)支出為8萬(wàn)元時(shí)的銷售額.參數(shù)數(shù)據(jù)及公式：x=8，y=42，fx.y=2794，fx2=708，i=1ZZi=1Z”空心兒一打”_b=；tel=y7Jti2=0.7.（1）解析"3.918>3.841，且P（K2k0=3.841）=0.05，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想“這種血清能