1、第二一章重積分§1二重積分概念1. 把重積分蝌xyds作為積分和的極限，計算這個積分值，其中D=0,1?0,1并D用直線網x=-,y=丄(i,j=1,2,川n-1)分割這個正方形為許多小正方形，每一nn小正方形取其右上頂點為其節點。證明：蝌xydxdy=lim邋-鬃2=lim4n(n+1)=-Dxi=1j=1nnnxn442. 證明：若函數f(x,y)在有界閉區域D上可積，貝Uf(x,y)在D上有界。證明：假設f(x,y)在D上可積，但在D上無界。則對D的任一分割T=S1,S2,|l(Sn,f(x,y)必在某個小區間Sk上無界。,I=蝌f(x,y)dxdy,D當i1k時，任取pi蝧i

2、，令G=?f(Pi)Sii1k由于f(x,y)在Sk上無界，即存在Pk蝧k使得|f(Pk)>"；1+G。從而Lskn邋f(Pi)Lsii=1f(Pi)ii)+f(Pk)Sk硈f(Pk)_k-i構k?f(Pi)sk>2+1.ik(*)另一方面，由于f(x,y)在D上可積，取e=1，故存在d>0，對任意D的分割T二S1,S2,川川Sn當T<S時,nT的任一分？f(PiLOi)都滿足i11n?f(pjLoi-I<1i=1而(*)式與此矛盾，所以，f(x,y)在D上有界證明二重積分中值定理(性質7)證明：函數f(x,y)在有界閉區域D上連續，則f(x,y)在D上

3、存在最大值M與最小值m,且對D中一切(x,y)點，有m#f(x,y)M.有性質6知，ms。£蝌f(x,y)do£MSd,D1即m#蝌f(x,y)d(TMSDD有介值定理存在(U?D使得蝌f(xy)d°=UERSd.D4:若f(x,y)為有界閉區域D上的非負連續函數，且在D上不恒為零，則蝌f(x,y)dQ0D證明：由已知，存在Po(Xo,yo)?D，使f(Xo,y°)>0則存在§>0,1對一切p(x,y)?Di，其中(Di二U(P0,3?D)，有f(x,y)>-f(Xo,yo)>0而f(x,y)在有界閉域D上非負連續，則有

4、1蝌f(x,y)d盧蝌f(x,y)do+蝌f(x,y)dc?-f佻小金o其中(表示DDiD-Di2為Di的面積)5.若f(x,y)在有界閉區域D上連續，且在D內任一子區域D'iD上有蝌f(x,y)d(r=0則在D上f(x,y)o0.d'證明：用反證法：假設在D內存在一點p0(x0,y0)使f(x0,y0)10，不妨設f(Xo,y°)>0。則存在S>0。使得一切(x,y)?Di(其中(Di=U(Po,6?D)，1 1、有f(x,y)>f(xo,y°)>0。這時，蝌f(x,y)d(/?-f(xo,Yo)Sd10，這與2Di2題設蝌f(x,

5、y)dc二0產生矛盾(Sd1表示為D1的面積)d'§21.2直角坐標系下二重積分的計算1.設f(x,y)在區域D上連續，試將二重積分蝌f(x,y)ds化為不同順序的累次D積分：(1)D有不等式y3x,ya,x?b(0a<b)所確定的區域。D由不等式y3x,y0,x2+y2?1所確定的區域；(3)D由不等式x2+y2?1與xy?1所確定的區域；D=(x,y)|x|+|y|?1.解：(1)：積分區域D如圖21-1.b蝌f(x,y)dxdy=蝌dxDbf(x,y)dy=蝌dybf(x,y)dxy：積分區域D如圖所示蝌f(x,y)dxdy=蝌2dxD蝌f(x,y)dxdy=蝌2

6、dxDx0f(x,y)dy+1蝌2dx2f(x,y)dy=蝌2dyi-y2f(x,y)dxy(3):積分區域如圖所示蝌f(x,y)dxdy=蝌dxD(4):積分區域如圖所示11-x21-x1f(x,y)dy=蝌dy1-y21-yf(x,y)dx1蝌f(x,y)dxdy=蝌dx_(仆)f(x,y)dy+蝌dxD2.在下列積分中改變累次積分的順序：蝌1+xdx-(1+x)1-xx-1f(x,y)dy=蝌dy1-y1-1-yf(x,y)dx+蝌dy1-yf(x,y)d(2)(3)(4)解：(1)22xlxx1Ldx2a蝌dx1蝌血(2蝌d蝌(3)2a蝌dxa=蝌dy2lxx11-x2dx一cf(x,

7、y)dy1-x22f(x,y)dyj2ax2一2f(x,y)dy;2ax-xx202x3lx21(3-x)02f(x,y)dy.y.4yf(x,y)dy+蝌d2.f(x,y)dy=蝌dy丄f(x,y)dy+蝌df(x,y)dy=蝌dy2x-1-x2f(x,y)dx+蝌ly2yf(x,y)dx.21-1-yf(x,y)dx1(4)蝌dxJ2ax2玄&畑；a-a2-y2y22ax201f(x,y)dx+蝌dy3f(x,y)dy+蝌dx=蝌dy3.計算下列二重積分：(1)2aa+a2-y21(3-x)02f(x,y)dy2a2af(x,y)dx+蝌dy空f(x,y)dx(2)(3)(4)解：

8、(1)(2)：(3):3-2yyf(x,y)dx號(p>0)所圍成的區域；y2)dc,其中D=(x,y)|0#x1,、x#y2x蝌xy2ds,其中D由拋物線y2=2px與直線x=D蝌(x2+D蝌皐蝌vxdc其中D=(x,y)|xD(a>0),其中D為圖中的陰影部分+y2?x5_p_21j"、一一128蝌(x2+y2)dxdy=蝌dxx(x2+y2)dy=?0(x2+-x2)dx=云蝌xy2dxdy=Dy2dyp_p22y2p12-xlxxxdx=y2(號)2-H)2dy=2-p22p157-：2+-3蝌二aa-a2-(x-a)21aa皿0甘dy=?0(甘x-a2ix一2x

9、dy=2?°x、1-xdx=蝌TXdxdy=蝌d.一8-、x)dx=(2.2-)a"33. 求由坐標平面及x=2，y=3，x+y+z=4所圍的角柱體的體積;解：V=蝌zdxdy=蝌(4-x-y)dxdy=蝌dD132x0(4-x-y)dy+蝌dx0(4-x-y)dy=556§3格林公式曲線積分與路線的無關性1.應用格林公式計算下列曲線積分：(1) B(x+y)2dx-(x2+y2)dy，其中L是以A(1,1),B(3,2),C(2,5)為頂點的三角形，方向取正向；(2) Qb(exsiny-my)dx+(excosy-m)dy,其中m為常數，AB為由(a,

10、6;)到(°,°)經過圓x2+y2=ax上半部的路線。1解：(1)AB的方程：y二(x+1)(1#x3);2BC的方程：y=-3x+11(2#x3)；CA的方程：y二4(x-3)(1#x2)。222抖PP=(x+y),Q=(x+y),-=-4x-2y抖(y則三角形域S被分成兩部分和S2。原式=蝌(-4x-2y)dxdy=蝌(-4x-2y)dxdy+蝌(-4x-2y)dxdySs23-x+31x1(-4x-2y)dy(x+1)2S2Bldxx-1(x+1)23(-4x-2y)dy+蝌d=-463連接點O(O.O)與點A(a.0)，構成封閉路線AOA，在險段OAy二0,dy=0

11、.于是Qaqb(exsiny-my)dx+(excosy-m)dy=0'AOAAOABAO、由格林公式2my)dx+(excosy-m)dy=?mdxdy=-mpa-22CjD:x2+y2?ax因此原式=a282 .應用格林公式計算下列曲線所圍的平面面積:(1) 星形線：x=acos31,y=asin31;(2) 雙扭線：(x2+y2)2=a2(x2-y2)解(1)有圖的對稱性可知ydx32ydx323a2p222sin2tdt=o(2)令x=r(q)cosq,y=r(q)sinq，可得x=acosq、cos2q,y=asinq.cos2q利用圖的對稱性,p刁22acos2qdq=ao

12、(1)(1.1)、0.0)(1.1)(2)Q.0)(3)(1Q.(6.8)(4)Q.0)(1.2)(5)Q.1)解:(1)(x-y)(dx-dy)ydx-xdy，沿在右半平面的路線;證明：若L為平面上封閉曲線，I為任意方向向量，貝Ucos(|,n)=0，其中n為曲線L的外法線方向。證：設(n,x),(l,n),與(l,x)分別表示外法線與x軸正向、I與外法線n以及l與x軸正向的夾角，則(l,n)=(n,x)+(l,n).cos(l,n)二cos(l,x)cos(n,x)+sin(l,x)sin(n,x)，cos(n,x)ds二dy-sin(n,x)ds二dx于是蝌cos(l,n)ds二匚-si

13、n(l,x)dx+cos(l,x)dy，其中cos(l,x)與sin(l,x)是常數.由格林公式，有Rcos(l,n)ds二0求積分值I二Rxcos(n,x)+ycos(n,y)Jis其中L為包圍有界區域的圭寸閉曲線，n為L的外法線方向。解：設T為L的切線方向，S為區域Dde面積，I=蝌xcos(n,x)+ycos(n,y)ps=xcos(T,y)+ycos(T,x)ds=?xdy-ydx=2S3. 驗證下列積分與路線無關，并求它們的值：22(2xcosy-ysinx)dx+(2ycosx-xsiny)dy1)x2xdx+ydy沿不通過原點的路線；2.2x+yj(x)dx+y(y)dy,其中j

14、(x),y(y)為連續函數.P(x,y)=x-y,Q(x,y)=y-x.抖P=-1,=-1則抖P=Q抖yx則抖y故積分與路徑無關。、(1.1)(1.1)取路線y=x，有蝌(x-y)(dx-dy)=0(dx-dy)=0(0.0)(0.0)22(2)P=2xcosy-ysinx,Q=2ycosx-xsiny;Q=-2xsiny-2ysinx,=-2sinx-2xsinyx抖-二,則積分與路徑無關，取(0.0)到(x,y)折線，抖/x(x,y)22(2xcosy-ysinx)dx+(2ycosx-xsiny)dy1(0.0)(x,0)=蝌蝌2xdx+x=蝌2xdx+2_=ycosx+xcosy/c、

15、y1抖°(3)P=,Q=-,=xx抖/蝌.2)11=(1.2)d(-Y)=-上艮Dx2(2.1)xxx,y2(2ycosx-xsiny)dy(x.0)y2o(2ycosx-xsiny)dy2Q1二飛.積分與路徑無關，且xxy(1.2)_(2.1)-蝌當(x,y)?(0.0)時,d(#)=x'x：彎是全微分.x2x+y故積分與路徑無關(6.8).j原式=Q0)d(、x2+y2)=.x2+y2|需)=9(5)x因j(x)W(y)為連續函數，則F(x)=蝌j(u)du與G(y)=分別是j(x)和W(y)的原函數，于是dF(x)+G(y)=dF(x)+dG(y)=j(x)dx+

16、65;(y)dy故與路徑無關則(1.2)q1)j(x)dx+y(y)dy=F(x)+G(y)12=蝌(x)dx+1W(y)dy6.求下列全微分的原函數：(1)(2)y1W(r)dr(2.2)=F(1)+G(2)-F(2)-G(1)2222(x+2xy-y)dx+(x-2xy-y)dyexey(x-y+2)+ydx+exey(x-y)+1dyy(3)f(、.x2+解(1)：2P=x+2xy-)xdx+f(.、x2+)ydyU(x,y)=(丸,y°)2y,=2x2xy2.華=,)x-xym故與路徑無關:其原函數y)(x2+2xy-y2)dx+(x2-22xy-y)dy=x2x+x02y2

17、2xy-y)dx+?(x-2xy-y0y2)dyx2y-xy2-y3+C3P=exey(x-y+2)+y,Q=exey(x-y)+1，礦Q=exey(x-y+1)+1,故積分與路徑無關，其x.(x,y)蝌蝌exey(x-y+2)+ydx+exey(x-y)+1dy=(1-eyy)dy+?exey(x-0y+2)+ydy=(x-y+1)ex+y+yex+1(3):P=fGx2+y2)x,Q=fGx2+y2)y,抖=f'弓2,故積分與路徑無關抖yx也+y令du=fG,x2+y2則原函數U(x,y)二q)xdx+仏b)ydy=2f(E)d(x2+y2)1tx2+y2)d(x2+y2)7.為了

18、使曲線積分qF(x,y)(ydx+xdy)與積分路線無關，則可微函數F(x,y)應滿足怎樣的條件？解：P=yF(x,y),Q=xF(x,y).則積分與路徑無關的等價條件是抖Q=P:耳=y.即xFx(x,y)=yFy(x,y)§4二重積分的變量變換1.對積分蝌f(x,y)dxdy進行極坐標變換并寫出變換后不同順序的累次積分:D(1) 當D為由不等式a2?x2y23b2,y0所確定的區域；(2) D=(x,y)|x2+y23y,x0(3) D=(x,y)|0#x1,0?xy?1解:(1)令xrcosq,則將d變成d'=(r,q)|a#rb,0#qp?y=rsinq,IaP從而蝌f

19、(x,y)dxdy=蝌f(rcosq,rsinq)rdrdq=蝌drqrf(rcosq,rsinq)dqDD'(2)令Xrcosq,則將d變成d'=(r,q)|0#qsinq,從而?y=rsinqp.sinq蝌f(x,y)dxdy=蝌f(rcosq,rsinq)rdrdq二蝌dq°rf(rcosq,rsinq)drDD'1p=蝌dr2rf(rcosq,rsinq)dq.*0arcsinr人彳x=rcosq,(3)令了.?y=rsinq,PP-#q,0#rcosq1,0?r(cosqsinq)?1,則蝌f(x,y)dxdy=蝌dqDsecq)rf(rcosq,r

20、sinq)dr+蝌dqQcosq+sinqrf(rcosq,rsinq)dr=蝌2drPiprf(rcosq,rsinq)dr+蝌2dr-4Tpp21rf(rcosq,rsinq)dq+蝌+arccos_4.2P.-arcsin4P-424dri2rrf(rcosq,rsinq)dq1+蝌dr22.用極坐標計算下列二重積分：(1)蝌sinx2+_y2dxdy,其中D=(x,y)|p2?D-arccos.P4x2,i4f(rcosq,rsinq)rdqy2?4p2；解：令rcOsq,將D變換成極坐標平面下區域?y=rsinq,D=(r,q)|0#q2p,p#r2p則蝌sinx2+y2dxdy=D

21、2prsinrdr=2pp2p2rcosr+sinr|p=-6p蝌r(cosq+sinq)rdrdqd'3p4(cosq+sinq)4dq'4cosq+sinq=蝌4dqo43p-4318£(§+2sin2q-?cos4q)dq=-(3)蝌|xy|dxdy,其中D為圓域：x2Dr2(sinq+cosq)dr=p蝌f(t)dt=-3蝌|xy|dxdy=蝌|rcosq鬃sinq|rdrdq=D=-=2|sin2q|dq?(4)蝌f'(x2+yar3dr02)dxdy,其中D為圓域1蝌|sin2q|r3drdq2Dx2+y2?R2.D解：令?x=則蝌f&#

22、39;(x2+Drcosq,極坐標平面下區域D'=(r,q)|O#qrsinq,y2)dxdy=蝌f'(r2)rdrdq=蝌卩dq2p,0#rR,(r2)dr蝌(x+y)dxdy,其中D=(x,y)|x2+y2?xy;D解：令/rcosq，由方程x2+y2=x+y可知y|(00)=1,則極坐標下區域?y=rsinq,!4禳；ad'=I|r,q)|-#qsinq+cosq.則蝌(x+y)dxdy=1鉿4d3pR2p24costdt=0解：令?x=rcosq,將。變換成極坐標平面下區域?y=rsinq,+y2?a2;D=(r,q)|0#q2p,0#ra,則=pQf'

23、(t)dt=p輊(R2)-f(0).3.在下列積分中引入新變量u、v后，試將它化為累次積分:22-x蝌dxf(x,y)dy,若u=x+y,v=x-y;亠01-x由得XX?u<.(u+v)21(u-v)2則變換后的區域D'=(u,v)|1#u2,-u#v4-u12121212?(x,y)=，?(u,v)犏(u+v),*(u-v)dv.12f(x,y)dy=-蝌d(2)蝌f(x,y)dxdy,其中D=(x,y)|x+、科3a：D44若x=ucosv,y=usinv;解：在變換x-?y=4cosv4sinv2-xlx1-x24-ulu-u,x0,y?0.?(x,y)=?(u,v)蝌f(

24、x,y)dxdy=4蝌dv4ucosv'“禳亠下，區域D為|u,v)10#ua,0usinv鉿-4ucos3vsinv4usin3vcosvpa334.4ousinvcosvf(ucosv,usinv)du=4usin3vcos3vDa=4蝌dv(3)蝌f(x,y)dxdy，其中D=(x,y)|x+y3a,xD解：由x+y=u,y=uv,將D變換成D'(u,v)|0#ua則蝌f(x,y)dxdy=蝌f(u-uv,uv)ududv=蝌duP2usin3vcos3v?f(ucos4v,usin4v)dv.00,y?0.若xy=a,0#v1,|J=1f(u-uv,uv)鬃dv0D1a

25、=蝌dvof(u-uv,uv)鬃du.4.試作適當變換，計算下列積分：(1)蝌(x+y)sin(x-y)dxdy,D=(x,y)|0?xy#p,0x-y?p;D11解令x=(u+v),y=(u-v),22則D色(u,v)10#u1p,0#vp,心匕1蝌(x+y)sin(x-y)dxdy=蝌usinv-dudv于是DD°21P12udusinvdv=p.u,y=uv.1-v-uvuy(2)蝌ex+ydxdy,D=(x,y)|x+y3,x0,y?0.D解令x=v-u,y=u,則D0(u,v)|0#uv,0#v,J(u,v)=1.yu于是1蝌ex+ydxdy=_蝌evdudv=DD010v

26、uduev1=2(e-1).5求由下列曲面所圍立體V的體積:(1)V是由z=x2+y2和z=x+y所圍的立體;解立體V在平面上投影區域為：D=(x,y)|x2+y2?xy,1+rsinq,21+rsinq,2則D0=(r,q)|0#q2p,0#rV=蝌(x+y)-(x2+y2)dxdyD1所以=蝌(-r2)rdrdqD022R212p=蝌dq02(2-r)rdr=-.2222(2)V是由曲面z=+和2z=+所圍的立體494922解：體V在平面上的投影區域為D:+?4.496.求由下列曲線所圍的平面圖形面積：(1)x+y=a,x+y=b,y=ax,y=bx(0<a<b,0<a&

27、lt;b);22xy22(2)(飛+;j=x+yab(3)(x2+y2)2=2a2(x2-y2)(x2+y2?a2)解：令u=x+y,v=y,則xD0(u,v)|a#ub,a#vb,J=(1Ub所以，SD=蝌dxdy=蝌2dudv=蝌ududd0(1+v)22bu.(b-a)(b-a)2dv=(1+v)22(1+a)(1+b)令孑ysq,則?y=brsinq,D0=(r,q)|0#q2p,0#r>/a2cosq+b2sin2qJ=abr,所以2pSD=蝌dxdy=蝌abrdrrv=ab蝌dqDD0Ja2cos2q+b2sin2qrdr0122=尹p(a+b)(3)解；圓x2+y2=a2與

28、雙紐線(x2+y2)2=2a2(x2-y2)在第一象限交點為令p-brcosjy=rsinj,a#r_2acos2jpS=4蝌dj2acos2jrdrop=2°6dj(2a2cos2ja2燦§5三重積分1計算下列積分：蝌？(xy+z2)dxdydz,其中V=-2,5?3,3?0,1;V(2)蝌？xcosycoszdxdydz其中V=0,1創犏號臌臌2,蝌？dxdydz3,其中V是由x+y+z=1與三坐面所成的域;蝌蝌-(1+x+y+z)3(4)蝌？ycos(x+z)dxdydz,其中V是由y=，x,y=0,z=0及x+z=V2所圍成的區域解25315(1)蝌蝌(xy+z)d

29、xdydz=2dx蝌dy°(xy+z2)dz=蝌dxV31(xy+-)dy=14;31pTcoszdz=-;2(2)蝌蝌xcosycoszdxdydz=°xdx蝌cosydy(3)積分區域如圖21-18,dxdydz3(1+x+y+z)1-z1-x-zdx?0蝌？V1=蝌011=2蝌dz輊犏臌1+x+z)51-zdy(1+x+y+11._dx4z)31=(In2-2(4)積分區域如圖21-19。蝌?ycos(x+z)dxdydzVp.x=蝌dx0P-x1ydy蝌cos(x+z)dz=2.試改變下列累次積分的順序。1蝌血x(1-2sinx)dx=16(1)1-xx+y0dy?

30、0f(x,y,z)dz；V(2)(1)三重積分積分區域如圖所示,V=(x,y,z)0#zx+y,0#y1-x,0#x1體V在xoz平面上的投影Dzx=(X,z)0#x1,0#z1貝U11-xx+y蝌dx0dy?0f(x,y,z)dz=110dz蝌dy1x1-x111-x1z1-y蝌dxodz蝌f(x,y,z)dy+°dx蝌dz乙xf(x,y,z)dy=蝌dz°dy蝌f(x,y,z)dx+dx(2)三重積分積分區域如圖所示。V=(x,y,z)0#zx2+y2,0#y1,0#x1,體在xoz平面投影Dxz=(乙x)0#z1+x2,0#x1442+2蝌dx0dy?0"y

31、f(x,y,z)dz2=蝌1dx0dz蝌1f(x,y,z)dy+dx蝌x2x2dz12f(x,y,z)dy,2-x2=蝌dzJ廠dx0f(x,y,z)dy+vz蝌2dzo1.dxf(x,y,z)dy+蝌dz右dx?1f(x,y,z)dyVz-x2g1vz-x23.計算下列三重積分與累次積分：(1)蝌?dxdydz，其中V由x2+y2+z2?r2和x2+y2+z2?2rz所確定;1蝌dx1-xJ2-X2-y220dy?Fzdz.解：（1）用平行于xoy平面去截積分區域V,截面為:2D-i:x+2y?2rz2D2:x+y2?r2所以蝌？dxdydz=蝌2dz蝌Z2dxdyDirrdz蝌Z2dxdy

32、2D2r=p蝌z2(2rz-z2)dz+Prz2(r2-2z2)dz=595480Pr.因為V在xy平面上的投影區域D=(x,y)|0#y,1-x2,0#x1.乙(x,y)=、.x2+y2,Z2(x,y)=、2-1所以蝌dx1所以蝌dx1-x22-x2-y220do"記p=蝌dq1.-'2-r20rdr蝌z2dz=r|-3r2)2-r3dr1(2-r2)2-50=討2-1).154.利用適當的坐標變換，計算下列各曲線面所圍成的體積:(1)z=x2+y2,z=2(x2+y2),y=x,y=x2;(2)解(1)所以2+¥鼢+驏極=1(x吵0,y0,z?0,a0,b>

33、;0,c>0).因為V由兩個旋轉拋物面，平面y=x和母線平行于z軸的柱面y=x2所圍成，V在xy平面上的投影區域D=(x,y)|x2#yx,0#x1.222Z1(x,y)=x+y,Z2(x,y)=2(x+y2),V=蝌蝌dxdydz=Vsinq嚴dr2r2Psinq2rdz=蝌dqJ°r3drP4814sin4qsecqdq=-423tanq(1+tanq)dtanq=-35?(x,y,z)?(r,j,q)S'x=arsinjcos2q,y=brsinjsin2z=crcosj,q,hp-2p-22asinjcosq2bsinjsinqccosj.2arcosjcosq

34、brcosjsin2q-crsinj-2arsinjcosqsinq2brsinjsinqcosq02=2abcrsinjsinqcosq,V=蝌蝌!xdydz=Vpp022abcsinjdj蝌sinqcosqdq01血=扣5.設球體積x2+y2+z2?2x上各點的密度等于該點到坐標原點的距離。求這球體體積的質量。密度函數f(x,y,z)2+x+,則z球體M=蝌？Vxy2+z2dxdydz，應用球面坐標變換x2+y2+z2?2xV:x2+y2+z2?2x變成V6=|lr,q,J)|-#qP,0#Jp,0#r2sinJcosqpp2sinJcosqpp2sinJcosq所以M=蝌dqodJ?35

35、rsinJdr=p8§6重積分的應用1.求曲面az=xy包含在圓柱x2+y2=a2內那部分的面積.解:設曲面面積為s,由于，十？則蝌(1+(彳)2+(|)2dxdy,其中D:x2+y2?a2.由廣義極坐標變換，得2p12222p12蝌dq°ar.1+rdr=a蝌dqqr.1+rdr=2p(2-1)a2.S=S=3披xzy2.求錐面z=,x2+y2被柱面z2=2x所截部分的曲面面積。解：曲面在xOy平面上的投影區域D:x2+y2?2x,而則S=蝌d(1+(H)2+(_y)2dxdy=72蝌dxdy=V2x.3.求下列均勻密度的平面的平面薄板重心：2土31,y0;2(1)求橢圓令+a解：設重心坐標為(x,y),由對稱性x=0,蝌rydxdyy=D二；bp蝌ydxdy蝌rdxdyabpddr1224b=蝌dqabrsinqdr=.ab盯03p蝌rydxdyDy=-=蝌rdxdy-2ha-聶)h蝌ydxdy(a+b)hb+2a-h.3(a+b)h-(y-h)+aydyLi(x):y=其中，L2(x):y=2h驏a亠，b7"alx+2尹，2h驏a+x-+h.a-b桫2r4.求下列均勻密度物體的重心：(1)z?1x2-y2,z?0;解設物體