1、精選優質文檔-傾情為你奉上近世代數基礎學習報告現代數學現代數學的主要研究方向為結構數學,結構反映事物構成部分之間的關系，部分與整體的關系,或幾種事物間的相互組成聯系。現代數學的基礎是集合，在集合上附加代數結構、分析結構和拓撲結構或集合結構得到數學的各種分支。本門課程的主要學習內容就是以集合理論為基礎而逐步展開的。群論是在集合上賦予運算法則，形成群、環、域等基本的運算系統；流形同樣是在集合上賦予相應的結構而形成具有獨特性質的數學研究對象。這些抽象的理論往往會在實際系統中得到應用，用集合的思想去解決問題往往會提升效率。一 抽象代數1.1 群定義群是特殊的集合，它是一個包含了二元運算法則并滿足一定條

2、件的集合。一般說來，群是指對于某種運算法則滿足以下四個條件的集合：(1) 封閉性：若，則存在唯一確定的使得；(2) 結合律成立：任意，有；(3) 單位元存在：存在對任意，滿足；(4) 逆元存在：對任意，存在唯一確定的使得； 若群還滿足交換律，則成為交換群或者阿貝爾群。若群中元素個數有限，則為有限群；否則稱為無限群。有限群的元素個數稱為有限群的階。子群對于群，若集合對于群上定義的二元運算構成一個群，則稱是的子群，記做。小結在群論的研究中，我們需要關心的是個元素之間的運算關系，即群的結構，而不用去管某個元素的具體含義是什么。1.2 環當在一個集合上附加兩種代數運算，而這兩種運算是有機集合，可得到所

3、謂的環。定義設是一個非空集合，其上定義了兩種二元運算，通常表示為加法+和乘法，若(1) 是交換群 (2) 是半群 (3) 乘法對加法滿足分配律則稱為一個環。環也是一種群。子環環的一個非空子集，若對于的兩種運算構成一個環，則稱為的子環。整環設為含單位的環，且。若為沒有零因子的交換環，則稱為整環。1.3 域域也是一種環，要求要滿足交換律，除了有+的單位元還要有的單位元(二者不等)，除了+的單位元外其他元素都有的逆元。1.4 群的應用群是刻畫事物對稱性的有效工具，比如圖形的對稱、函數的對稱等。二 微分幾何微分幾何學是運用數學分析的理論研究曲線或曲面上一點的鄰域的性質，即研究一般曲線或曲面在小范圍上的

4、性質。它主要包含曲線論和曲面論。曲線論主要就是Frenet公式，曲面論主要是從曲面上曲線的弧長公式推出曲面的第一基本形式（等距變換，保角變換，內蘊量的性質），從曲面與切平面間的有向距離推出第二基本形式，而曲率的推導順序是：曲面上曲線的曲率、法曲率、主曲率、高斯曲率和平均曲率。微分幾何有兩個十分重要的基礎：坐標變換和求導的技巧。在學習微分幾何之前需要熟練運用這兩個部分。標架標架，這一概念在張量分析的學習中曾經涉及到。張量可以看作一個實體（幾何體，幾何量），這個實體由這組分量和分量所對應的基共同構成。通常說的張量是不依賴于坐標系的，而觀察者和標架是等同的。用一個坐標系來充當觀察者，再配上時間坐標，

5、標架成為四維的。坐標系和標架（或者觀察者）是不同的，同一個標架下可以觀察到多個“坐標系”。測地線曲面上測地曲率恒等于零的曲線，稱為測地線。平面上的測地線就是直線；測地線的概念就是平面上直線的概念在曲面上的推廣。曲面上的曲線，當且僅當它是直線或者它的主法向量處處是曲線的法向量時，它才是測地線。旋轉面上的經線是測地線，球面上的大圓周是測地線。距離最短的曲線在相對論中的專業術語是測地線，事實上，相應于速度小于C、等于c、大于c 的三種測地線分別稱為類時測地線，類光測地線和類空測地線。三 微分流形3.1微分流形的數學定義n 維流形就是一個Hausdorff 空間，它的每一點有開鄰域與n 維歐式空間的開

6、集同胚。微分流形是一類重要的拓撲空間，它除了具有通常的拓撲結構外，還添加上了微分結構，因而可以應用微積分學，從而就能建立一些微分幾何的性質。3.2流形描述流形（Manifold），是局部具有歐幾里得空間性質的空間。流形在數學中用于描述幾何形體，它們提供了研究可微性的自然的舞臺。物理上，經典力學的相空間和構造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實例。3.3 流形的應用可以把經典數學分析中的幾個著名公式，如格林公式、高斯公式、斯托克司公式等在高維的流形上，利用外微分，統一為一個形式。空間最最本質的東西就是有關測度的概念。測度不同，導致空間定義，空間結構和形式的不同。歐氏空間和黎曼空間的區別也在于此，有了測度的概念，任何空間的構