1、1.2.3數列的綜合應用專題限時訓練（小題提速練）（建議用時：45分鐘）1.已知數列an為等差數列，滿足OAa3O即a20130c其中A,B,C在一條直線上，O為直線AB外一點，記數列an的前n項和為S,則S2015的值為（）A2015B.2015C.2016D.2013解析：依題意有a3+a2013=1,故&015=a3+；2013-2015=2015.故選A.答案：A2.（2019葫蘆島一模）數列an是等差數列，bn是各項均為正數的等比數列，公比q>1,且a5=b5,則（）A.a3+a7>b4+b6B.a3+a7>b4+b6C.a3+a7Vb4+b6D.a3+a7

2、=b4+b6解析：數列an是等差數列，3是各項均為正數的等比數列，公比q>1,由a3+a7=2a5=2b5,b4+b6、2b4b6=2b5,a3+a7wb4+b6,由于q>1可彳導a3+a7Vb4+b6,故選C.答案：C3.（2019春龍鳳區校級月考）在等差數列an中，其前n項和是若S>0,Sio<0,則SiS2S9,在，S中最大的是（）a1a2a9SiA.-a1BasC£S9D._a9解析：依題意，數列an是等差數列，其前n項和是S,S9>0,Si0<0,所以9a5>0,a5+a3V0,所以a5>0,a6<0,所以公差d<

3、0,所以當6<n<9時一<0,當1wnw5時一>0.chan又因為當1WnW5時，S單調遞增，an單調遞減,SG所以當1wnw5時，一單調遞增，所以最大.故選C.ana5答案：C4.(2019師大附中月考)已知數列an,bn滿足d=1,且an,an+i是方程x2bx+2n=0的兩根，則bi0等于()A.24B.32C.48D.64解析：由已知得anan+1=2n,an+ian+2=2n+1,則a=2,所以數列an的奇數項與偶數項an都是公比為2的等比數列，可以求出a2=2,所以數列an的項分別為：1,2,2,4,4,8,8,16,16,32,32，而bn=an+an+i

4、,所以bio=aio+日1=32+32=64.故選D.答案：D5.已知數列an,bn滿足bn=an+an+1,則“數列為等差數列”是“數列bn為等差數列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：若數列an為等差數列，設其公差為d1,則bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2an=2d1.所以數列bn是等差數列；若數列bn為等差數列，設其公差為d2.則豚+16=(an+1+an+2)(an+1)=an+2an=d2,不能推出數列an為等差數列,所以“數列an為等差數列”是“數列bn為等差數列”的充分不必要條件，故選A.答

5、案：A6.若等差數列an的前n項和s=n2,則型譽的最小值為()an1A.43B.8C.6D.7一一2一一一，2S+2412解析：由&=門，則an=SS1=2n1,所以-=n+一>443.由均值不等式知當n八一，一2s+24n=3或4時，式子有取an十1an+1n中,即n=2>/3時，取等號.又nCN*且3<2，3<4,所以當12小值，最小值為3+=7.故選D.3答案：D7 .(2019黑龍江大慶一中模擬)已知函數f(x)=x2+ax的圖象在點A(0,f(0)處的切線l.1一、.一一.與直線2xy+2=0平行，若數列f-n的前n項和為S，則&。的值為（）

6、325A.19B.二20C.119256D.20102011462解析：因為f(x)=x=2，b=4時等萬成立，選d.答案：D9.已知數列an的前n項和為點（n,&+3）（nN）在函數y=3X2'的圖象上，等比數列bn滿足bn+bn+1=an（nCN）,其刖n項和為Tn,則下列結論正確的是（）A.Sn=2TnB.Tn=2bn+1C.Tn>anD.Tn<bn+1解析：因為點（n,S+3）（nCN*）在函數y=3X2'的圖象上，所以$=32n3,所以an=32nt,所以bn+bn+1=32"1,因為數列bn為等比數列，設公比為q.則b1+b1q=3,b

7、?+b2q=6,解得b1=1,q=2.所以bn=201,1=2“一1,所以Tn<bn+1,故選D.+ax,所以f'(x)=2x+a.又函數f(x)=x2+ax的圖象在點A(0,f(0)一，,2,1處的切線l與直線2xy+2=0平行，所以f'(0)=a=2,所以f(x)=x2+2x,所以=fn2n+2n2nn+21.11111所以Sa-,13+24+35+111111325研22=2*1十萬一五一五=46?故選A答案：A8 .設a>0,b>0,若3是3a與32b的等比中項,則a+b的最小值為（A.4B.11C.D.84解析：木是3a與32b的等比中項，3aX32

8、b=3a+2b=(小)2=3, -a+2b=1. +=(a+2b)|+r=4+"+a>4+2、/-a=8,當且僅當生=a且a+2b=1,即aab'aabab；abab答案：D10.已知等差數列an中，a3=9,a5=17,記數列1的前n項和為若Sn+iSw；m（mCZ）,an10對任意的nCM恒成立，則整數m的最小值是（）A.5B.4D.2C.3解析：因為等差數列an中，a3=9,a5=17,所以公差d=a5a317953L4.由an=a3+(n3)d得,an=4n3,11=an4n-3_111n+1mb4n+1-3=4口+1_3+4n+23+42n+13<4n+

9、1行'所'比數m的最小值為4.故選B.答案：B11.已知數列an滿足a1a2a3an=2n2(neN*),且對任意nCN*都有工+°+二vt,則實a1a2an數t的取值范圍為（）一1.A.+003一1.B. +003一2C. +003_2D. +003解析：依題意得,當n1時，小=0£3$=2=加2（n1）2=22n-.又a*；1111112211,因此an=22n1,a=獰，數列£；是以2為首項，4為公比的等比數列.等比數列111-4，12的前n項和等于=11th<1,因此實數t的取值范圍是-,+°°.故選D.13433

10、14答案：D12.已知三個數a1,a+1,a+5成等比數列，其倒數重新排列后為遞增的等比數列an的前三項，則能使不等式a+&+anW）+工+成立的自然數n的最大值為（）a1a2aA.9C.7B.8D.5解析：因為a1,a+1,a+5成等比數列，所以（a+1）2=（a1）（a+5）,，a=3,倒數重一，一一，111,一新排列后恰好為遞增的等比數列3n的前三項，為公比為2,數列8421-,是以8為首3n1,，項，2為公比的等比數列.則不等式111一一31+32+3nW+一等價于a32a-1-2n81121812<1，整理得2n<27,Kn<7,112答案：C二、填空題13

11、.已知數列是等差數列，且土一1,它的前n項和S有最小值，則S取到最小正數時的n=解析：由題意可知.一37d>0,又一v1,36所以36<0,37>0,26+既>0,從而Sii<0,S2>0,所以S取到最小正數時的n的值為12.答案：12114. （2019呼倫貝爾一模）數列3n=nn+1的前n項和為S,若S,Sn,S成等比數列（m>1）,則正整數n值為解析：3n=nn+1nn+1.11111.1n.刖n項和$=12+23+廠才=再S,Sm,S成等比數列（n>1）,2m解得n=2mk,令2m+1m>0,m>1,解得1Vm<1+取,

12、m=2,n=8.故答案為8.答案：815. （2019武漢調研）設等差數列an滿足33+37=36,3436=275,且3n3n+1有最小值，則這個最小值為解析：設等差數列an的公差為d,因為33+37=36,所以34+36=36,與3436=275聯立,34=11,解得36=2534=25,或36=11.34=11,36=2531=10,時'可得d=7,此時3n=7n17,32=3,33=4,易知當nW2時,3n<0,當n>3時,3n>0,所以3233=-12為3n3n+1的取/、值;34=25,36=1131=46,時，可得d=-7,此時3n=7n+53,37=4

13、,38=3,易知當n<7時,3n>0,當n>8時,3n<0,所以3738=-12為3n3n+1的最小值.綜上，3n3n+1的最小值為一12.答案：1216. （2019昆明調研）將數列3n中的所有項按每一行比上一行多1項的規則排成如下數陣:3132,3334,35,3637,38,39,310記數陣中的第1列數31,32,34,構成的數列為bn,S為數列bn的前n項和.若$=251,貝U356=.解析：當n>2時，因為Sn=2bn1,所以Sn1=2bn11,所以bn=2bn2bn1,所以bn=2bn1（n>2且nCN）,因為b=2b11,所以b=1,所以數列

14、bn是首項為1,公比為2的等比數列，所以bn=2n1.設31,32,34,37,311,的下標1,2,4,7,11,構成數列Cn,則C2C1=1,C3-02=2,C4-C3=3,C5-C4=4,，CnCn1=n1,累加得，CnC1=1+2+3+4+（門-1）,所-nn1.,nn110以Cn=2+1,由Cn=2+1=56,得n=11,所以356=bn=2=1024.答案：1024專題限時訓練(大題規范練)(建議用時：60分鐘)1.已知數列an滿足a=3,an+i=2ann+1,數列bn滿足bi=2,bn+i=bn+ann,nCN*.(1)證明：ann為等比數列；ann1(2)數列JCn滿足Cn=

15、-,求證數列Cn的前n項和Tn<-.bn+1bn+1+13解析：(1)證明：因為an+1=2an-n+1,所以an+1-(n+1)=2(an-n).又a1=3,所以a1=2,所以數列ann是以2為首項，2為公比的等比數列.(2)證明：由(1)知，an-n=2-2n1=2n.所以bn+1=bn+ann=bn+2n,即bn+1bn=2.1b2-b1=2b3-b2=22,b4-b3=23,bnbn1=2n1.2-1-2n1一累加求和得bn=2+2.,一=2n(n>2).I2當n=1時，b=2,滿足bn=2n,所以bn=2n.ann2n所以Cn=bn+1bn+1+1=2n+12n+1+11

16、113-27TT+7<3.2n+12n+1.1,-J1所以Tn=2+1-22+1+22+1-23+1+2n2n+1+12.已知等差數列an的首項a1=1,公差d>0,且第2項、第5項、第14項分別是一個等比數列白勺第2項、第3項、第4項.求數列an的通項公式；n均有Si>-6.1一*設bn=nT(nCN),$=b1+b+bn,是否存在實數t,使得對任意的總成立？若存在，求出最大的整數t;若不存在，請說明理由.2解析：(1)由題息得(add)(ad13d)=(ad4d),整理得2a1d=d2.,.ai=1,d>0,d=2.*、an=2n-1(nCN).一-11111(2)

17、.bn=-T-=-：-=-,''nan+32nn+12nn+1，Sn=b1+b2+bn1+1，2223nn+11-1=2n+12n+1假設存在整數t滿足S>總成立.36ccn+1n11.-s=2nzr-mrr=2n+2n+1>0，.數列Sn是遞增的.1.S=7為Sn的取小值，4一t1故前<，即t<9.364又tZ,，適合條件的t的最大值為8.3.已知數列an中，a=2,an-sh1-2n=0(n>2,nCN).(1)寫出a2,23的值(只寫出結果)，并求出數列an的通項公式；1111.c1.(2)設bn=+一，若對任意的正整數n,不等式t2-2t+->bn恒成立，求an+1an+2an+3a2n6實數t的取值范圍.解析：(1)a2=6,a3=12.當n>2時，an=an-(a2a1)+(a3a2)+(anan1)=2+2X2+2X3+2n=2(1+2+3+n)=n(n+1).因為當n=1時，a1=2也滿足上式，所以an=n(n+1).1111(2)bn=+an+1an+2an+3a2nn+1n+2n+2n+3+2n2n+1=7-