1、西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院1.5 1.5 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式一、全概率公式二、貝葉斯公式西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例1 有三個(gè)箱子，分別編號為有三個(gè)箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有號箱裝有1個(gè)紅個(gè)紅球球4個(gè)白球，個(gè)白球，2號箱裝有號箱裝有2紅紅3白球，白球，3號箱裝有號箱裝有3紅球紅球. 某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率得紅球的概率.解：記解：記 Ai=球取自球取自i號箱號箱, i=1,2,3; B =取得紅球取得紅球B發(fā)生總是伴隨著發(fā)生總是伴隨著A1，A2，A3 之一同時(shí)發(fā)生，之一同時(shí)發(fā)生，123一、全

2、概率公式一、全概率公式西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院即即 B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B兩兩互斥兩兩互斥P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)運(yùn)用加法公式得運(yùn)用加法公式得將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式在概率計(jì)算中常用的全概率公式.對求和中的每一項(xiàng)對求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得運(yùn)用乘法公式得31iiiABPAPBP)()()(代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(B)=8/15西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院l 樣本空間劃分樣本空間劃分 l 1,nijiiA AA 1niiBA B1A2A3A4

3、A5A6ABl基本思想基本思想l 把復(fù)雜事件分解為互不相容的較簡單事件之和，把復(fù)雜事件分解為互不相容的較簡單事件之和， 通過分別計(jì)算這些較簡單事件的概率，再利用概率的通過分別計(jì)算這些較簡單事件的概率，再利用概率的可加性，得到復(fù)雜事件的概率。可加性，得到復(fù)雜事件的概率。西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院定理定理1.1(全概率公式全概率公式)如果事件如果事件 構(gòu)成一個(gè)完備事件組，而且構(gòu)成一個(gè)完備事件組，而且 則對于任何一個(gè)事件則對于任何一個(gè)事件 ，有，有 ()0,1,2, ,iP AinB1( )() (|)niiiP BP A P B A(1.21)12,nAAA（1全概率公式中的事件組是完備事件組；全概率公

4、式中的事件組是完備事件組；（2該公式一般用于：所求事件的概率可能由某些原因引發(fā)，該公式一般用于：所求事件的概率可能由某些原因引發(fā)， 而這些原因又構(gòu)成完備事件組；而這些原因又構(gòu)成完備事件組；（3在應(yīng)用該公式時(shí)，必須先找出引發(fā)該事件的完備事件組。在應(yīng)用該公式時(shí)，必須先找出引發(fā)該事件的完備事件組。注意：注意：西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院1( )()iiP BP AB1( )() (|)iiiP BP A P B A乘法定理乘法定理證明關(guān)鍵：找完備事件組證明關(guān)鍵：找完備事件組 ，利用，利用概率的可加性及乘法公式概率的可加性及乘法公式 12,nAAA西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院【例【例2】播種用的一等小麥種子中混有】播

5、種用的一等小麥種子中混有2%的二等種的二等種子，子，1.5%的三等種子，的三等種子，1%的四等種子。用一、二、的四等種子。用一、二、三、四等種子長出的穗含三、四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結(jié)的穗含，求這批種子所結(jié)的穗含50顆顆以上麥粒的概率？以上麥粒的概率？41( )( ) ( |)95.5% 0.5 2% 0.15 1.5% 0.1 1% 0.050.4825iiiP BP A P B A解：設(shè)從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子的解：設(shè)從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子的事件是事件是A1、A2

6、、A3、A4，則它們構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃，則它們構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分。設(shè)分。設(shè)B=“從這批種子中任選一顆，所結(jié)的穗含從這批種子中任選一顆，所結(jié)的穗含50顆以上顆以上麥粒麥粒”，那么：，那么：西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院【例【例3】市場上某種商品由三個(gè)廠家同時(shí)供獲】市場上某種商品由三個(gè)廠家同時(shí)供獲,其供應(yīng)其供應(yīng)量為量為:甲廠家是乙廠家的甲廠家是乙廠家的2倍倍,乙乙.丙兩個(gè)廠家相等丙兩個(gè)廠家相等,且各且各廠產(chǎn)品的次品率為廠產(chǎn)品的次品率為2%,2%,4%, (1)求市場上該種商品的次品率求市場上該種商品的次品率.解：設(shè)解：設(shè)Ai表示取到第表示取到第i 個(gè)工廠產(chǎn)品，個(gè)工廠產(chǎn)品，i=1,2,3,B表示取到表示

7、取到次品次品, 由題意由題意 得得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 =0.02531( )() (|)iiiP BP A P B A由全概率公式得由全概率公式得:西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院【例【例4】甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊】甲、乙、丙三人同時(shí)對飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人擊三人擊中的概率分別為中的概率分別為0.4、0.5、0.7. 飛飛 機(jī)被一人擊中而擊落機(jī)被一人擊中而擊落的概率為的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為被兩人擊中而擊落的概率為0.6, 若三人都若三人都擊中擊中, 飛機(jī)必定被擊落飛

8、機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī)被擊落的概率求飛機(jī)被擊落的概率. 設(shè)設(shè)B=飛機(jī)被擊落飛機(jī)被擊落 Ai=飛機(jī)被飛機(jī)被i人擊中人擊中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)那么那么 B=A1B+A2B+A3B求解如下求解如下:西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院可求得可求得: 為求為求P(Ai ) , 設(shè)設(shè) Hi=飛機(jī)被第飛機(jī)被第i人擊中人擊中, i=1,2,3 將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得將數(shù)據(jù)代入計(jì)算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.3123()()P AP H H H2123123123()(

9、)P AP H H HH H HH H H1123123123()()P AP H H HH H HH H H西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院于是于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飛機(jī)被擊落的概率為即飛機(jī)被擊落的概率為0.458.西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院【例【例5】設(shè)甲袋中有】設(shè)甲袋中有n只白球，只白球，m只紅球，乙袋中有只紅球，乙袋中有N只只白球，白球，M只紅球。現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，然后只紅球。現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，然后再從乙袋中取出一只，問取到白球的概率？再從乙袋

10、中取出一只，問取到白球的概率？BB) 1)()(111)|()()|()()(MNmnnNmnMNNnmmMNNnmnBApBpBApBpAp解：設(shè)解：設(shè)B=“從甲袋中取一只白球放入乙袋從甲袋中取一只白球放入乙袋”，那么那么=“從甲袋中取出一紅球放入乙袋從甲袋中取出一紅球放入乙袋”；B、為為的劃分。又設(shè)的劃分。又設(shè)A=“從乙袋取到一只白球從乙袋取到一只白球”,西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院練習(xí)練習(xí) 10個(gè)乒乓球中有個(gè)乒乓球中有7個(gè)新球，第一次隨機(jī)地取出個(gè)新球，第一次隨機(jī)地取出2個(gè)，用完后個(gè)，用完后放放 回去，第二次又隨機(jī)地取出回去，第二次又隨機(jī)地取出2個(gè)，個(gè)， 問第二次取到幾個(gè)新球的概率最大？問第二次取

11、到幾個(gè)新球的概率最大？ 西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院該球取自哪號箱的可能性該球取自哪號箱的可能性最大最大?實(shí)際中還有下面一類問題，是實(shí)際中還有下面一類問題，是“已知結(jié)果求原因已知結(jié)果求原因” 這一類問題在實(shí)際中更為常見，它所求的是這一類問題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小發(fā)生可能性大小. 某人從任一箱中任意摸出某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是求該球是取自取自1號箱的概率號箱的概率.1231紅紅4白白或者問或者問:西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院二、貝葉斯公式二、貝葉斯公式 有三個(gè)箱子，分別

12、編號為有三個(gè)箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有號箱裝有1個(gè)紅球個(gè)紅球4個(gè)白球，個(gè)白球，2號箱裝有號箱裝有2紅球紅球3白球，白球，3號箱裝有號箱裝有3紅球紅球. 某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球是紅球,求該球是取自求該球是取自1號箱的概率號箱的概率 .1231紅紅4白白?西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院)()()|(11BPBAPBAP記記 Ai=球取自球取自i號箱號箱, i=1,2,3; B =取得紅球取得紅球求求P(A1|B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(運(yùn)用全概率公式運(yùn)用全概率公式計(jì)算計(jì)算P(B)將這里得到的公式一

13、般化，就得到將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式貝葉斯公式1231紅紅4白白?西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院定理定理1.2(貝葉斯公式貝葉斯公式) 如果事件如果事件 構(gòu)成一構(gòu)成一個(gè)完備事件組，而且個(gè)完備事件組，而且 則對于則對于任何一個(gè)事件任何一個(gè)事件 ，假設(shè)，假設(shè) ，有，有()0,1,2, ,iP Ain( )0P B B1() (|)(|)() (|)mmmniiiP AP B AP ABP A P B A12,nA AA(1.22)m=1,2,n 該公式于該公式于1763年由貝葉斯年由貝葉斯(Bayes)給出給出. 它是在觀察到事件它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致已發(fā)生的條件下，尋找

14、導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率發(fā)生的每個(gè)原因的概率. 西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院注意注意:l先驗(yàn)概率：公式先驗(yàn)概率：公式1.22中，中，事件事件 看作是導(dǎo)致事看作是導(dǎo)致事件件B發(fā)生的發(fā)生的“因素因素”， 是是在事件在事件B已經(jīng)出現(xiàn)這一信息得知已經(jīng)出現(xiàn)這一信息得知前出現(xiàn)的概率，通常稱為先驗(yàn)前出現(xiàn)的概率，通常稱為先驗(yàn)概率。概率。lP(Aj|B)是在事件是在事件B發(fā)生的條件發(fā)生的條件下，某個(gè)原因下，某個(gè)原因Aj發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，稱為稱為 后驗(yàn)概率；后驗(yàn)概率；Bayes公式又公式又稱為后驗(yàn)概率公式或逆概公式，稱為后驗(yàn)概率公式或逆概公式，用它進(jìn)行的判斷方法稱為貝葉用它進(jìn)行的判斷方法稱為貝葉斯決策。斯決策。(

15、)mP A12,nA AA即即1AnAB2A1( )P A2()P A()nP A先驗(yàn)概率(|)iP A B后驗(yàn)概率西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院11131() (|)(|)0.4() (|)iiiP A P B AP A BP A P B A【例【例6】市場上某種商品由三個(gè)廠家同時(shí)供獲】市場上某種商品由三個(gè)廠家同時(shí)供獲,其供應(yīng)量為其供應(yīng)量為: 甲甲廠家是乙廠家的廠家是乙廠家的2倍倍,乙乙,丙兩個(gè)廠家相等丙兩個(gè)廠家相等,且各廠產(chǎn)品的次品率且各廠產(chǎn)品的次品率為為2%,2%,4%,(1)求市場上該種商品的次品率求市場上該種商品的次品率.(2)若從市場上的商品中隨機(jī)抽取一 件,發(fā)現(xiàn)是次品,求它是甲廠生產(chǎn)的概率

16、?解：解：(2)設(shè)設(shè)Ai表示取到第表示取到第i 個(gè)工廠產(chǎn)品，個(gè)工廠產(chǎn)品，i=1,2,3,B表示取表示取到次品到次品, 由題意得由題意得: P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25 P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由由Bayes公式得公式得:西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院【例【例7】某一地區(qū)患有癌癥的人占】某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試，患者對一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗(yàn)反應(yīng)是，正常人對這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)

17、是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大問此人是癌癥患者的概率有多大?那么那么 表示表示“抽查的人不患癌癥抽查的人不患癌癥”. C求解如下求解如下: 設(shè)設(shè) C=抽查的人患有癌癥抽查的人患有癌癥， A=試驗(yàn)結(jié)果是陽性試驗(yàn)結(jié)果是陽性，求求 P(C|A).知知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04CC西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.由貝葉斯公式，可得由貝葉斯公式，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入數(shù)據(jù)計(jì)算得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得 P(CA)= 0.1066 2. 檢出陽

18、性是否一定患有癌癥檢出陽性是否一定患有癌癥? 1. 這種試驗(yàn)對于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？這種試驗(yàn)對于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院 如果不做試驗(yàn)如果不做試驗(yàn),抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率患者陽性反應(yīng)的概率是患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng)，若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng)則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息，此人是患者的概率為則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息，此人是患者的概率為從從0.005增加到增加到0.1066,將近增加約將近增加約21倍倍.1. 這種試驗(yàn)對于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義這種試驗(yàn)對于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義.P(CA)= 0.1066 P(C)=0

19、.005 西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院 試驗(yàn)結(jié)果為陽性試驗(yàn)結(jié)果為陽性 , 此人確患癌癥的概率為此人確患癌癥的概率為 P(CA)=0.1066 2. 即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有癥，這種可能性只有10.66% (平均來說，平均來說，1000個(gè)人個(gè)人中大約只有中大約只有107人確患癌癥人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過再，此時(shí)醫(yī)生常要通過再試驗(yàn)來確認(rèn)試驗(yàn)來確認(rèn). 西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院【例【例8】【二進(jìn)信道】在數(shù)字通信中，由于隨機(jī)干擾，因此接收】【二進(jìn)信道】在數(shù)字通信中，由于隨機(jī)干擾，因此接收到的信號與發(fā)出的信號可能不同，為了確定發(fā)出的信號，

20、通常到的信號與發(fā)出的信號可能不同，為了確定發(fā)出的信號，通常需要計(jì)算各種概率。若發(fā)報(bào)機(jī)以需要計(jì)算各種概率。若發(fā)報(bào)機(jī)以0.7和和0.3的概率發(fā)出信號的概率發(fā)出信號0和和1；當(dāng)發(fā)出信號當(dāng)發(fā)出信號0時(shí)，以概率時(shí)，以概率0.8和和0.2收到信號收到信號0和和1；同樣地，當(dāng)發(fā)；同樣地，當(dāng)發(fā)出信號出信號1時(shí)，接收機(jī)以概率時(shí)，接收機(jī)以概率0.9和和0.1收到信號收到信號1和和0。計(jì)算：當(dāng)接。計(jì)算：當(dāng)接收機(jī)收到信號收機(jī)收到信號0時(shí)，發(fā)報(bào)機(jī)是發(fā)出信號時(shí)，發(fā)報(bào)機(jī)是發(fā)出信號0的概率？的概率？ 解：記：A0=“發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出信號0”， A1=“發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出信號1”，B =“接收機(jī)收到信號0”。易知 949. 059. 056. 01 . 03 . 08 . 07 . 08 . 07 . 0)|()()|()()|()()|(1100000ABpApABpApABpApBAp1 . 0)|(, 8 . 0)|(3 . 0)(, 7 . 0)(1010ABpABpApAp00118 . 00.20.90.1西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院【例