1、一、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法一、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法二、例二、例1.1.定義定義 求函數(shù)求函數(shù) 在滿足函數(shù)在滿足函數(shù)),(21nxxxfy 方程組限制條件）方程組限制條件）)1()(0),(0),(0),(21212211nmxxxFxxxFxxxFnmnn 的所有點的所有點),(21nxxx的極值，就是條件的極值，就是條件極值。函數(shù)方程組極值。函數(shù)方程組1 1稱為聯(lián)系方程組。稱為聯(lián)系方程組。一、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法一、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法2.2.問題問題 討論四元函數(shù)討論四元函數(shù)),(4321xxxxfy (2)(2)滿足聯(lián)系方程組滿足聯(lián)系方程組( (限制條件限制條件) ) 0)

2、,(0),(4321243211xxxxFxxxxF(3)(3)條件下取極值的必要條件條件下取極值的必要條件. .即若點即若點 是這個條件極值的是這個條件極值的),(040302010 xxxxP極值點極值點, ,其坐標應(yīng)滿足什么樣的方程其坐標應(yīng)滿足什么樣的方程? ?設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 所有偏導數(shù)在點所有偏導數(shù)在點 的某鄰的某鄰21,FFf0P域域 連續(xù)，且矩陣連續(xù)，且矩陣G的秩為的秩為2 2，不妨設(shè)函數(shù)行列式不妨設(shè)函數(shù)行列式. 0),(),(04321 PxxFF04232221241312111PxFxFxFxFxFxFxFxF 所以方程組所以方程組(3)(3)滿足方程組確定的隱函數(shù)滿足方程組確

3、定的隱函數(shù)定理的條件，則存在點定理的條件，則存在點 的鄰域的鄰域),(02010 xxQVV隱函數(shù)組隱函數(shù)組),(),(214213xxxxxx 使使 . 0),(),(, 0),(),(,21212122121211xxxxxxFxxxxxxF ).,(),(000000214213xxxxxx （4 4）（5 5），在，在 存在唯一一組有連續(xù)偏導數(shù)的存在唯一一組有連續(xù)偏導數(shù)的假設(shè)假設(shè) 是極值點，那么是極值點，那么 的坐標必滿足方程的坐標必滿足方程(4).(4).0P0P將將(4)(4)式代入函數(shù)之中式代入函數(shù)之中, ,),(4321xxxxff化為的二元函數(shù)化為的二元函數(shù), ,設(shè)設(shè)21,

4、xx),(),(,),(21212121xxxxxxfxxg 若點若點 是條件極值的極值點，那是條件極值的極值點，那么么),(040302010 xxxxP),(02001xxQ點點 必是函數(shù)必是函數(shù) 的穩(wěn)定點。的穩(wěn)定點。),(21xxg根據(jù)多元函數(shù)極值的必要條件，點根據(jù)多元函數(shù)極值的必要條件，點),(02001xxQ（6 6）. 021 xgxg由由6 6式可得式可得1xg , 014131 xxfxxfxf 2xg . 024232 xxfxxfxf 滿足方程組滿足方程組（7 7）再對再對5 5式分別關(guān)于式分別關(guān)于 求偏導數(shù)，有求偏導數(shù)，有21, xx , 0, 0142132121411

5、3111xxFxxFxFxxFxxFxF （8 8） . 0, 02422322224123121xxFxxFxFxxFxxFxF （9 9）從方程組從方程組(8)(9)(8)(9)解出解出,2211xxxx 并將其代入并將其代入方程方程(7)(7)，可以得到點，可以得到點 必滿足的方程。必滿足的方程。),(02001xxQ即選擇適當?shù)某?shù)即選擇適當?shù)某?shù)21, 分別乘方程分別乘方程(8)(8)兩個方程，即兩個方程，即 . 0, 01422132212214111311111xxFxxFxFxxFxxFxF 加減消去法加減消去法將它們與方程組將它們與方程組7 7的第一個方程等號的第一個方程等號

6、兩端分別相加，有兩端分別相加，有132231131221111xxFxFxfxFxFxf用同樣的方法去乘方程組用同樣的方法去乘方程組9 9），與），與7 7）的第二個方程兩端相加，有的第二個方程兩端相加，有. 014224114xxFxFxf232231132222112xxFxFxfxFxFxf. 024224114xxFxFxf為了消去偏導數(shù)為了消去偏導數(shù),2211xxxx 令令 , 0, 042241143223113xFxFxfxFxFxf （1010）從而有從而有 . 0, 022221121221111xFxFxfxFxFxf （1111）方程組轉(zhuǎn)化為方程組方程組轉(zhuǎn)化為方程組(10

7、)(11).(10)(11).若點若點),(040302010 xxxxP是極值點，則其坐標和是極值點，則其坐標和必須滿足六個方程必須滿足六個方程21, 常數(shù)常數(shù). 4 , 3 , 2 , 102211 ixFxFxfiii ,0),(43211 xxxxF. 0),(43212 xxxxF3.3.定理定理1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(4321xxxxfy ),(43211xxxxF),(43212xxxxF的所有偏導數(shù)在點的所有偏導數(shù)在點),(040302010 xxxxP的某鄰域的某鄰域G G連續(xù)，且矩陣連續(xù)，且矩陣 的秩為的秩為2 2，若點，若點),(040302010 xxxxP是函數(shù)是函

8、數(shù)),(4321xxxxfy 滿足聯(lián)系方程組滿足聯(lián)系方程組 0),(0),(4321243211xxxxFxxxxF的極值點，的極值點， 04232221241312111PxFxFxFxFxFxFxFxF 則存在常數(shù)則存在常數(shù)1 與與,2 與與 和點和點 的四個的四個0P04030201,xxxx必同時滿足下列方程組：必同時滿足下列方程組：（共六個方程）（共六個方程）. 4 , 3 , 2 , 102211 ixFxFxfiii ,0),(43211 xxxxF. 0),(43212 xxxxF1 2 坐標坐標此定理可以推廣多個函數(shù)的情況此定理可以推廣多個函數(shù)的情況. .一般情況下求條件極值

9、的步驟如下一般情況下求條件極值的步驟如下: :引進輔助函數(shù)引進輔助函數(shù).),(2211214321FFfxxxx 令函數(shù)令函數(shù) 關(guān)于關(guān)于214321, xxxx的偏導數(shù)為的偏導數(shù)為0 0，即，即 0),(0),(432122432111211xxxxFxxxxFxFxFxfxiiii （定理的六個方程）（定理的六個方程）求函數(shù)求函數(shù)),(4321xxxxfy 在滿足聯(lián)系方在滿足聯(lián)系方0),(43211 xxxxF，0),(43212 xxxxF程組程組. 4 , 3 , 2 , 1 i 的普通的普通的極值問題轉(zhuǎn)化為求輔助函數(shù)的極值問題轉(zhuǎn)化為求輔助函數(shù)極值，稱為拉格朗日乘數(shù)法。極值，稱為拉格朗日

10、乘數(shù)法。例例1 1 求三維歐氏空間求三維歐氏空間 的一點的一點3R),(cba到平面到平面 的距離的距離. . 0 DCzByAx例例2 2 設(shè)設(shè)n n個正數(shù)之和之和是個正數(shù)之和之和是 , ,nxxx,21求函數(shù)的最大值求函數(shù)的最大值nnxxxu21 a練習練習zyx , ,zyxu23 將正數(shù)將正數(shù)1212分成三個正數(shù)分成三個正數(shù)之和之和 使得為最大使得為最大解令解令)12(),(23 zyxzyxzyxF , ,那那么么 12 0 020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx )4( ,12)3( ,)2( ,2)1( ,323322zyxyxyzxzyx 由由 (1) (1)，(2) (2) 得得(5) ,32xy 由由 (1) (1)，(3) (3) 得得(6) ,31xz .691224623max u將將 (5) (5)，(6) (6) 代入代入 (4) (4)： 123132 xxx于是，得于是，得, 6 x, 4 y. 2 z這是唯一可能的極值點。這是唯一可能的極值點。因為由問題本身可知，最大值一定存在，因為由問題本身可知，最大值一定存在，所以最大值就在這個可能的極值點處取得。所以最大值就在這個可能的極值點處取得。故，最大值故，最大值即