1、一、條件極值與拉格朗日乘數法一、條件極值與拉格朗日乘數法二、例二、例1.1.定義定義 求函數求函數 在滿足函數在滿足函數),(21nxxxfy 方程組限制條件）方程組限制條件）)1()(0),(0),(0),(21212211nmxxxFxxxFxxxFnmnn 的所有點的所有點),(21nxxx的極值，就是條件的極值，就是條件極值。函數方程組極值。函數方程組1 1稱為聯系方程組。稱為聯系方程組。一、條件極值與拉格朗日乘數法一、條件極值與拉格朗日乘數法2.2.問題問題 討論四元函數討論四元函數),(4321xxxxfy (2)(2)滿足聯系方程組滿足聯系方程組( (限制條件限制條件) ) 0)

2、,(0),(4321243211xxxxFxxxxF(3)(3)條件下取極值的必要條件條件下取極值的必要條件. .即若點即若點 是這個條件極值的是這個條件極值的),(040302010 xxxxP極值點極值點, ,其坐標應滿足什么樣的方程其坐標應滿足什么樣的方程? ?設函數設函數 所有偏導數在點所有偏導數在點 的某鄰的某鄰21,FFf0P域域 連續，且矩陣連續，且矩陣G的秩為的秩為2 2，不妨設函數行列式不妨設函數行列式. 0),(),(04321 PxxFF04232221241312111PxFxFxFxFxFxFxFxF 所以方程組所以方程組(3)(3)滿足方程組確定的隱函數滿足方程組確

3、定的隱函數定理的條件，則存在點定理的條件，則存在點 的鄰域的鄰域),(02010 xxQVV隱函數組隱函數組),(),(214213xxxxxx 使使 . 0),(),(, 0),(),(,21212122121211xxxxxxFxxxxxxF ).,(),(000000214213xxxxxx （4 4）（5 5），在，在 存在唯一一組有連續偏導數的存在唯一一組有連續偏導數的假設假設 是極值點，那么是極值點，那么 的坐標必滿足方程的坐標必滿足方程(4).(4).0P0P將將(4)(4)式代入函數之中式代入函數之中, ,),(4321xxxxff化為的二元函數化為的二元函數, ,設設21,

4、xx),(),(,),(21212121xxxxxxfxxg 若點若點 是條件極值的極值點，那是條件極值的極值點，那么么),(040302010 xxxxP),(02001xxQ點點 必是函數必是函數 的穩定點。的穩定點。),(21xxg根據多元函數極值的必要條件，點根據多元函數極值的必要條件，點),(02001xxQ（6 6）. 021 xgxg由由6 6式可得式可得1xg , 014131 xxfxxfxf 2xg . 024232 xxfxxfxf 滿足方程組滿足方程組（7 7）再對再對5 5式分別關于式分別關于 求偏導數，有求偏導數，有21, xx , 0, 0142132121411

5、3111xxFxxFxFxxFxxFxF （8 8） . 0, 02422322224123121xxFxxFxFxxFxxFxF （9 9）從方程組從方程組(8)(9)(8)(9)解出解出,2211xxxx 并將其代入并將其代入方程方程(7)(7)，可以得到點，可以得到點 必滿足的方程。必滿足的方程。),(02001xxQ即選擇適當的常數即選擇適當的常數21, 分別乘方程分別乘方程(8)(8)兩個方程，即兩個方程，即 . 0, 01422132212214111311111xxFxxFxFxxFxxFxF 加減消去法加減消去法將它們與方程組將它們與方程組7 7的第一個方程等號的第一個方程等號

6、兩端分別相加，有兩端分別相加，有132231131221111xxFxFxfxFxFxf用同樣的方法去乘方程組用同樣的方法去乘方程組9 9），與），與7 7）的第二個方程兩端相加，有的第二個方程兩端相加，有. 014224114xxFxFxf232231132222112xxFxFxfxFxFxf. 024224114xxFxFxf為了消去偏導數為了消去偏導數,2211xxxx 令令 , 0, 042241143223113xFxFxfxFxFxf （1010）從而有從而有 . 0, 022221121221111xFxFxfxFxFxf （1111）方程組轉化為方程組方程組轉化為方程組(10

7、)(11).(10)(11).若點若點),(040302010 xxxxP是極值點，則其坐標和是極值點，則其坐標和必須滿足六個方程必須滿足六個方程21, 常數常數. 4 , 3 , 2 , 102211 ixFxFxfiii ,0),(43211 xxxxF. 0),(43212 xxxxF3.3.定理定理1 1 設函數設函數),(4321xxxxfy ),(43211xxxxF),(43212xxxxF的所有偏導數在點的所有偏導數在點),(040302010 xxxxP的某鄰域的某鄰域G G連續，且矩陣連續，且矩陣 的秩為的秩為2 2，若點，若點),(040302010 xxxxP是函數是函

8、數),(4321xxxxfy 滿足聯系方程組滿足聯系方程組 0),(0),(4321243211xxxxFxxxxF的極值點，的極值點， 04232221241312111PxFxFxFxFxFxFxFxF 則存在常數則存在常數1 與與,2 與與 和點和點 的四個的四個0P04030201,xxxx必同時滿足下列方程組：必同時滿足下列方程組：（共六個方程）（共六個方程）. 4 , 3 , 2 , 102211 ixFxFxfiii ,0),(43211 xxxxF. 0),(43212 xxxxF1 2 坐標坐標此定理可以推廣多個函數的情況此定理可以推廣多個函數的情況. .一般情況下求條件極值

9、的步驟如下一般情況下求條件極值的步驟如下: :引進輔助函數引進輔助函數.),(2211214321FFfxxxx 令函數令函數 關于關于214321, xxxx的偏導數為的偏導數為0 0，即，即 0),(0),(432122432111211xxxxFxxxxFxFxFxfxiiii （定理的六個方程）（定理的六個方程）求函數求函數),(4321xxxxfy 在滿足聯系方在滿足聯系方0),(43211 xxxxF，0),(43212 xxxxF程組程組. 4 , 3 , 2 , 1 i 的普通的普通的極值問題轉化為求輔助函數的極值問題轉化為求輔助函數極值，稱為拉格朗日乘數法。極值，稱為拉格朗日

10、乘數法。例例1 1 求三維歐氏空間求三維歐氏空間 的一點的一點3R),(cba到平面到平面 的距離的距離. . 0 DCzByAx例例2 2 設設n n個正數之和之和是個正數之和之和是 , ,nxxx,21求函數的最大值求函數的最大值nnxxxu21 a練習練習zyx , ,zyxu23 將正數將正數1212分成三個正數分成三個正數之和之和 使得為最大使得為最大解令解令)12(),(23 zyxzyxzyxF , ,那那么么 12 0 020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx )4( ,12)3( ,)2( ,2)1( ,323322zyxyxyzxzyx 由由 (1) (1)，(2) (2) 得得(5) ,32xy 由由 (1) (1)，(3) (3) 得得(6) ,31xz .691224623max u將將 (5) (5)，(6) (6) 代入代入 (4) (4)： 123132 xxx于是，得于是，得, 6 x, 4 y. 2 z這是唯一可能的極值點。這是唯一可能的極值點。因為由問題本身可知，最大值一定存在，因為由問題本身可知，最大值一定存在，所以最大值就在這個可能的極值點處取得。所以最大值就在這個可能的極值點處取得。故，最大值故，最大值即