1、 有限元法基礎有限元法基礎 1第第11 11章章 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 本章參考書本章參考書孔祥謙孔祥謙. 有限單元法在傳熱學中的應用有限單元法在傳熱學中的應用. 第三版，科學出版社，第三版，科學出版社，1998王勖成王勖成. 有限單元法有限單元法. 清華大學出版社，清華大學出版社，2003. 第第12章章曾攀曾攀. 有限元分析及應用有限元分析及應用. 清華大學出版社，清華大學出版社，2004 . 第第8章章 2 11. 11. 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 l傳熱是廣泛存在的自然現象，只要有溫度差存在，就會有熱量的傳傳熱是廣泛存在

2、的自然現象，只要有溫度差存在，就會有熱量的傳遞，只要有熱量的輸入和輸出，就會引起溫度的變化。遞，只要有熱量的輸入和輸出，就會引起溫度的變化。l傳熱分析的對象是固體、液體和氣體，其應用包括熱量交換、化學傳熱分析的對象是固體、液體和氣體，其應用包括熱量交換、化學反應、材料相變、能量轉換等。反應、材料相變、能量轉換等。l溫度的變化和不均勻分布，引起結構出現應力變化，稱為熱應力。溫度的變化和不均勻分布，引起結構出現應力變化，稱為熱應力。l當以應力分析為目的時，為確定溫度場，需要對固體進行傳熱計算，當以應力分析為目的時，為確定溫度場，需要對固體進行傳熱計算，以便確定相關的熱應力。以便確定相關的熱應力。

3、3 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 11.1 傳熱問題的基本方程傳熱問題的基本方程l固體熱傳導的現象固體熱傳導的現象 4 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 l術語和單位術語和單位 在國際標準單位制中，傳熱分析的術語和單位在國際標準單位制中，傳熱分析的術語和單位 c比熱容比熱容J/(kgK)T溫度（溫度（K 或或 C）Q熱流（熱流（W/m2）h對流換熱系數對流換熱系數W/(m2K)t時間（時間（s）k導熱系數導熱系數W/(mK)質量密度（質量密度（kg/m3）q單位體積熱生成率單位體積熱生成率(W/m3)Stefan-Boltzman常數常數=5.6710-8 W/(m

4、2K4)T/(K /s)Tt5 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 l控制方程控制方程 對于微元對于微元dxdydz，生成的熱量為，生成的熱量為微元體內的凈流出熱流量為微元體內的凈流出熱流量為由于熱量的儲存使內能增加，即由于熱量的儲存使內能增加，即由能量守恒定律，在微元內有由能量守恒定律，在微元內有 d d dqx y z()d d dyxzQQQx y zxyzd d dcx y z Td d dd d d()d d dyxzQQQcx y z Tq x y zx y zxyz()yxzQQQcTqxyz6 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 l由于方程不封閉，需補充條件

5、。各向同性均勻材料的由于方程不封閉，需補充條件。各向同性均勻材料的Fourier定律定律 于是，有于是，有l第一類邊界條件：邊界上已知溫度第一類邊界條件：邊界上已知溫度T，即即l第二類邊界條件：邊界上已知熱流密度，即第二類邊界條件：邊界上已知熱流密度，即l第三類邊界條件：已知與物體相接觸的流體介質的溫度和換熱系數第三類邊界條件：已知與物體相接觸的流體介質的溫度和換熱系數為已知，即為已知，即 gradkT Q2c TkTq ( , , , )wTTTf x y z t或( , , , )nwnTTQkQQkg x y z tnn 或()nfTQkh TTn 7 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分

6、析與熱應力 11.2 變分原理與有限元變分原理與有限元l 瞬態熱傳導問題變分泛函為瞬態熱傳導問題變分泛函為l 穩態問題，溫度不隨時間變化穩態問題，溫度不隨時間變化l泛函的變分取駐值，可得控制方程和第二類和第三類邊界條件泛函的變分取駐值，可得控制方程和第二類和第三類邊界條件 第一類邊界條件應強制滿足，稱為本質邊界條件；第一類邊界條件應強制滿足，稱為本質邊界條件； 第二、第三類邊界條件是自然邊界條件。第二、第三類邊界條件是自然邊界條件。 23211()dd() d222wfSSkTqTc TTQ T Ah TT T A 0Tt23211()dd() d222wfSSkTqTQ T Ah TT T

7、A 8 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 l有限元法有限元法 將物體離散為將物體離散為n個單元體，即個單元體，即 ，將單元內的溫度場用節，將單元內的溫度場用節點上的溫度插值，有點上的溫度插值，有代入泛函，泛函稱為代入泛函，泛函稱為 en eT NT3231 ( ) ( )2 ( ) ( )d , d d ,R= d deeeeeeeTeeTenTTSTTTTwfSSTkhTTc TRkkNNhh NNAccNNq NdQNAhTNA 9 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 l將單元矩陣組合后，得到物體的總體矩陣，對泛函變分取極值，即將單元矩陣組合后，得到物體的總體矩陣，對

8、泛函變分取極值，即 得有限元方程組得有限元方程組KT稱為熱傳導矩陣，稱為熱傳導矩陣，C為熱容矩陣，為熱容矩陣，RT為等效節點溫度載荷列陣。為等效節點溫度載荷列陣。l對穩態問題，上述方程是線性的，熱傳導方程是對稱正定的，求解對穩態問題，上述方程是線性的，熱傳導方程是對稱正定的，求解類方法似于結構分析。類方法似于結構分析。l對瞬態問題，需采用有限差分法，將對瞬態問題，需采用有限差分法，將 離散，或采用顯式時間積離散，或采用顯式時間積分，如中心差分，或采用隱式時間積分，如分，如中心差分，或采用隱式時間積分，如Newmark差分。差分。 /0T TTC TKTR T10 11 11 傳熱分析與熱應力傳

9、熱分析與熱應力 l 對線性瞬態問題，還可采用結構分析中的模態迭加法對線性瞬態問題，還可采用結構分析中的模態迭加法 首先求特征問題首先求特征問題 每個特征向量每個特征向量T i相對于相對于C正則化，即正則化，即令令 是模態矩陣，它的每一列是正則化的特征向量是模態矩陣，它的每一列是正則化的特征向量T i，于是，于是可將節點溫度表示為廣義溫度可將節點溫度表示為廣義溫度Z的關系的關系將其代入有限元方程，并左乘將其代入有限元方程，并左乘 得到得到n個解耦的方程組個解耦的方程組積分上述方程組后，得積分上述方程組后，得Z(t)，由此可得到節點，由此可得到節點T(t)。( ) 0TKCT ) 1TiiTCT

10、, TTTCIK TZ T, TiiiiiiTZZPPR11 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 11.3熱輻射熱輻射 考慮兩個無限大的平行平面，由于無限大，不用考慮邊界效應。設考慮兩個無限大的平行平面，由于無限大，不用考慮邊界效應。設每個平面都有均勻溫度，平面每個平面都有均勻溫度，平面1的溫度為的溫度為T1，平面，平面2的溫度為的溫度為T2，平面，平面都是理想的黑體，因此每個平面都是理想的吸收體和輻射體，平面表都是理想的黑體，因此每個平面都是理想的吸收體和輻射體，平面表面的熱流量為面的熱流量為 是是Stefan-Boltzman常數。由于實際的輻射面并非理想黑體，也不常數。由于實際

11、的輻射面并非理想黑體，也不是無窮大的平面，也不一定平行，因此把面積為是無窮大的平面，也不一定平行，因此把面積為A1和溫度和溫度T1表面所接表面所接收的熱流量表示為收的熱流量表示為 包含了各種因素引起的輻射折減，包括視圖因子和輻射率等。包含了各種因素引起的輻射折減，包括視圖因子和輻射率等。 2444411212()()QTTQTT24411()QTT12 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 l由于輻射面是有限的、非平行的，用視圖因子表示由于輻射面是有限的、非平行的，用視圖因子表示l對于兩個無限大的平行面為對于兩個無限大的平行面為1，對于兩個相互看不見的平面是，對于兩個相互看不見的平面是

12、013 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 l與面積為與面積為A1交換輻射能的表面有多少個，就有多少個式子。如果交換輻射能的表面有多少個，就有多少個式子。如果A1不是很大，可認為不是很大，可認為Q1在在A1上是個常數，因此上是個常數，因此l與對流邊界比較，該式與之相同。因此在有限元方程中將與對流邊界比較，該式與之相同。因此在有限元方程中將h項中換項中換成成 就可用有限元分析輻射問題。就可用有限元分析輻射問題。l需注意，需注意， 是與溫度有關的，故輻射問題是高度非線性問題。是與溫度有關的，故輻射問題是高度非線性問題。l當材料常數是溫度的函數，問題也是非線性的。當材料常數是溫度的函數，問

13、題也是非線性的。l非線性方程可采用非線性方程可采用Newton-Raphson法求解，但有一些特殊的適合法求解，但有一些特殊的適合傳熱問題的處理方法。傳熱問題的處理方法。l為了避免輻射的強非線性，實際問題的處理，有時將為了避免輻射的強非線性，實際問題的處理，有時將 也處理為也處理為常數，如在熱鍛時的傳熱分析。常數，如在熱鍛時的傳熱分析。 221211221(),()()radradQhTThTTTTradhradhradh14 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 11.4伴有相變的導熱問題伴有相變的導熱問題l特點：控制方程是非穩態導熱方程，特點：控制方程是非穩態導熱方程，區域內存在一

14、個隨時間移動的兩相界區域內存在一個隨時間移動的兩相界面，在界面上放出或吸收潛熱。面，在界面上放出或吸收潛熱。 1891年年J. Stefan關于地極冰層厚度關于地極冰層厚度的研究首次討論這一課題。的研究首次討論這一課題。l當越過相變區間時，熱流密度不連當越過相變區間時，熱流密度不連續，在數學上是一個強非線性問題，續，在數學上是一個強非線性問題，計算發生困難。計算發生困難。 15 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 l相變界面的兩邊各自滿足非穩態導熱控制方程，一般為了簡單略相變界面的兩邊各自滿足非穩態導熱控制方程，一般為了簡單略去液相區的自然對流或強制對流等作用。去液相區的自然對流或強

15、制對流等作用。l在相變界面在相變界面S(t)上，滿足溫度連續條件上，滿足溫度連續條件 能量守恒條件能量守恒條件 設設L J/kg為物質的相變潛熱，則為物質的相變潛熱，則l由于相變界面的移動，給數值方法帶來困難。由于相變界面的移動，給數值方法帶來困難。 ,SLLSLLSSTTQQQkQkxx 相變潛熱( ( ), )( ( ), )SLmT S t tT S t tT2d ( )W/m dS tLt相變潛熱項16 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 l焓法模型焓法模型 采用焓（采用焓（HcT）和溫度同時作為）和溫度同時作為待求函數。由于相變界面上溫度隨待求函數。由于相變界面上溫度隨時間

16、的變化曲線是間斷的，但焓隨時間的變化曲線是間斷的，但焓隨時間的變化曲線是連續的，因此用時間的變化曲線是連續的，因此用數值方法求解焓分布時不需跟蹤兩數值方法求解焓分布時不需跟蹤兩相界面，從而使液相區和固相區統相界面，從而使液相區和固相區統一處理稱為可能，焓場解出后，溫一處理稱為可能，焓場解出后，溫度場可容易得到。度場可容易得到。 17 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 l焓表示的傳熱方程為焓表示的傳熱方程為 其中溫度與焓的關系為其中溫度與焓的關系為 ()hk Tt /()/SSmmSmSmLSmh chc TTTc Thc TLhLchc TL18 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分

17、析與熱應力 l有限元法中的處理有限元法中的處理（1）相變潛熱作為附加比熱）相變潛熱作為附加比熱 用加權余量法推導有限元方程，有用加權余量法推導有限元方程，有使用使用T 的插值的形函數作為權函數，可得的插值的形函數作為權函數，可得Galerkin法的有限元方程。法的有限元方程。式中式中fs是固相率是固相率,為無因次量為無因次量, , 液相液相0, 固相為固相為1。 2()0SlfTW kTqcLdTt ()()0lllSlllWWWfTTTTTkWdSkqWcLWdnxxyyzztt 01Sf19 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 （2）相變潛熱作為源項）相變潛熱作為源項 在前面的公

18、式中，相變潛熱項在前面的公式中，相變潛熱項 與內熱源項與內熱源項 作相同作相同處理，得有限元方程處理，得有限元方程 是與相變項有關的等效載荷。是與相變項有關的等效載荷。l由于相變得復雜性，在實際數值模擬中，尤其在大型結構計算時，由于相變得復雜性，在實際數值模擬中，尤其在大型結構計算時，不考慮相變的兩相問題，相變的影響只考慮潛熱，把它作為一個常不考慮相變的兩相問題，相變的影響只考慮潛熱，把它作為一個常熱源處理。熱源處理。 SlfLWtlqW 0eeeeeeKTNTpp ep20 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 11.5 熱應力（熱應力（Thermal stress） 大多數情況下，

19、傳熱問題所確定的溫度場將直接影響物體的熱應力大多數情況下，傳熱問題所確定的溫度場將直接影響物體的熱應力,而熱應力對溫度場的耦合影響不大，因而可將物體的熱問題看成是單而熱應力對溫度場的耦合影響不大，因而可將物體的熱問題看成是單向耦合過程。向耦合過程。（一）熱應力問題中的物理方程（一）熱應力問題中的物理方程 熱膨脹系數（熱膨脹系數（Thermal expansion coefficent）, 為為Lam系數系數 1()ijijklijijijklijkliljkikjlijklSTSC , 21 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力 l將熱應變看作初始應變，上式寫為將熱應變看作初始應變，上

20、式寫為其中初應變為其中初應變為 ，矩陣形式，矩陣形式（二）虛功原理（二）虛功原理 彈性力學問題的虛功原理為內力虛功等于外力虛功，即彈性力學問題的虛功原理為內力虛功等于外力虛功，即將物理方程代入，得將物理方程代入，得 0ijijT 0()ijijklijijC0,0,0,0TTTTd(dd )0tijijiiiiSb ut u A 0d(ddCd )0tijklklijiiiiijklklijSCb ut u A 22 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力（三）有限元列式（三）有限元列式 設單元節點列陣為設單元節點列陣為假設單元內位移由節點位移表示的插值函數為假設單元內位移由節點位移表示

21、的插值函數為應變可表示為應變可表示為虛位移與虛應變為虛位移與虛應變為代入虛功原理，得代入虛功原理，得其中其中組裝到總體矩陣后，由于組裝到總體矩陣后，由于 的任意性，得到有限元方程的任意性，得到有限元方程 111 ,eTnnnu v wu v wqeuNqeeDNqBq,eeuNqBq()()0e Tee TemqKqqQ0d ,ddeeeeteTeTTTSdKB CBQN bN tB C Kq = Qq23 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力（三）求解熱應力的方法（三）求解熱應力的方法 在有限元分析程序中解熱應力問題有兩種方法，即直接法和間接法。在有限元分析程序中解熱應力問題有兩種方

22、法，即直接法和間接法。l直接法直接法 直接將傳熱分析和熱應力耦合起來分析的方法。在求解時，直接將傳直接將傳熱分析和熱應力耦合起來分析的方法。在求解時，直接將傳熱邊界條件、力學邊界條件施加在有限元模型上，以節點溫度和位移作熱邊界條件、力學邊界條件施加在有限元模型上，以節點溫度和位移作為未知變量求解。為未知變量求解。 在有限元商業軟件中，有多場耦合單元，如在有限元商業軟件中，有多場耦合單元，如ANSYS中中Solid5和和Solid98有熱、電、磁、壓電和結構的耦合場單元，每節點有有熱、電、磁、壓電和結構的耦合場單元，每節點有6DOF，即溫度、電勢、磁場強度勢函數，即溫度、電勢、磁場強度勢函數，3

23、個方向位移。個方向位移。 24 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力l間接法間接法 熱應力問題是一個單向耦合問題，在多數情況下，溫度變化會產生熱應力問題是一個單向耦合問題，在多數情況下，溫度變化會產生熱應變，但熱應變部不引起溫度變化。這樣，可以將熱應力問題分成熱應變，但熱應變部不引起溫度變化。這樣，可以將熱應力問題分成兩個過程來計算分析，即傳熱分析和熱應力計算。兩個過程來計算分析，即傳熱分析和熱應力計算。 首先通過傳熱分析獲得結構的溫度場分布，然后在已知溫度分布的首先通過傳熱分析獲得結構的溫度場分布，然后在已知溫度分布的情況下求熱應力。情況下求熱應力。 優點優點：1）求解規模比直接法小

24、，有更高的計算效率；求解規模比直接法小，有更高的計算效率； 2）在瞬態問題時，可先求解溫度場，然后在關心的時間點上）在瞬態問題時，可先求解溫度場，然后在關心的時間點上 求熱應力，可節省大量的存儲空間，即使是非線性問題也求熱應力，可節省大量的存儲空間，即使是非線性問題也 可這樣處理。可這樣處理。 25 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力l例例 穩態溫度分析穩態溫度分析一圓柱型容器上，垂直接有一小管道，一圓柱型容器上，垂直接有一小管道，容器內裝有容器內裝有450F的液體，小管內有的液體，小管內有100F的流體。假設容器足夠長，遠端的溫度的流體。假設容器足夠長，遠端的溫度為為450F。 2

25、6 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力l例例 穩態溫度長分析（續）穩態溫度長分析（續） 網格圖網格圖溫度分布溫度分布27 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力l例例 穩態溫度常分析（續）穩態溫度常分析（續） 28 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力l例例 穩態溫度長分析（續）穩態溫度長分析（續） 等效應力分布圖等效應力分布圖 29 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力l例例 液固相變分析液固相變分析 有厚度為有厚度為a得液體，初始溫度為得液體，初始溫度為T0,在其上表面突加溫度在其上表面突加溫度TsT0，分析液體分析液體的溫度變化及相變情況，假設液體的的溫度

26、變化及相變情況，假設液體的其他邊界是絕熱的。其他邊界是絕熱的。30 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力l例例 液固相變分析（續）液固相變分析（續） 相變潛熱（相變潛熱（latent heat）的影響以焓的快速變化來反映。）的影響以焓的快速變化來反映。 焓（焓（enthalpy）與溫度的變化曲線）與溫度的變化曲線 31l例例 液固相變分析（續）液固相變分析（續） 經計算分析，在經計算分析，在789s797s間液體開始完全固化，即節點間液體開始完全固化，即節點2開始降開始降溫至溫至1 1 。 在在501s時溫度沿厚度的分布時溫度沿厚度的分布 各節點溫度隨時間的變化各節點溫度隨時間的變化

27、11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力oCoC32 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力l例例 熱處理分析熱處理分析 將工件放在一定介質中加熱到適宜的溫度、并在此溫度中保持一定將工件放在一定介質中加熱到適宜的溫度、并在此溫度中保持一定時間后、又以不同速度冷卻的一種工藝方法。熱處理不改變工件的形時間后、又以不同速度冷卻的一種工藝方法。熱處理不改變工件的形狀和整體化學成分，而是通過改變工件內部的顯微組織，或改變工件狀和整體化學成分，而是通過改變工件內部的顯微組織，或改變工件的表面的化學成分，賦予或改變工件的使用性能。的表面的化學成分，賦予或改變工件的使用性能。 特點：特點：1）有熱傳導）有熱傳導 2）有相變）有相變 3）熱力耦合）熱力耦合 33 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力l例例 熱處理分析熱處理分析(續續) 淬火分析的網格和淬火分析的網格和溫度分布溫度分布 34 2 2 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力35 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力l熱處理分析（續）熱處理分析（續） 典型的導熱系數曲線典型的導熱系數曲線 36 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力l熱處理分析（續）熱處理分析（續） 典型的質量密度曲線典型的質量密度曲線 37 11 11 傳熱分析與熱應力傳熱分析與熱應力l熱處理分析（續）熱處理分析（續） 典型的比熱容曲線