1、第二章：點、直線和平面的投影 2.1 投影法基本知識 一、投影法的基本概念 二、投影法的分類 1. 中心投影法 2. 平行投影法 （1）斜投影法 （2）正投影法投影法：透射線通過物體，向選定平面進行投射，并在該平面得到圖形的方法稱為投影法。該平面圖形為投影。選定的平面為投影面。二、投影的分類1.中心投影法S 投射中心abc形體物體的中心投影投射線2.2.平行投影法平行投影法（1 1）斜投影法）斜投影法abc90投射線方向（2 2）正投影法）正投影法 90投射線方向abc3.3.異異同同點點投影法投影法光源光源物物 體體投影情況投影情況投影線投影線中心投影法中心投影法一點一點同一物體同一物體變化

2、變化相互不平行相互不平行平行投影法平行投影法無限遠無限遠同一物體同一物體不變化不變化相互平行相互平行1.1.三投影面體系三投影面體系 三個面： V、H、W 三根軸： OX、 OY、 OZ 一個點： 0點 一、點在三投影面體系中的投影一、點在三投影面體系中的投影 點的投影仍然是點。任意一點的空間位置都點的投影仍然是點。任意一點的空間位置都可以用坐標（可以用坐標（X X、Y Y、Z Z）表示。）表示。2.2 2.2 點的投影點的投影2.2.三投影面體系的展開三投影面體系的展開 V面不動，H面沿OX軸向下轉(zhuǎn)90度，W面沿OZ軸向右轉(zhuǎn)90度；使V、W、H處于同一平面上。 一、三投影面體系的建立水平投影

3、面 - H HV - OX正立投影面 - V V W - OZ 側(cè)面投影面 - W HW - OY 134XV2OVO正 立 投 影 面ZYX三投影面體系的展開三投影面體系的展開三投影面體系中分角的概念我國標準規(guī)定采用八卦角中的第一分角八卦分角示意二、三視圖的形成二、三視圖的形成直觀圖直觀圖展開投影面展開投影面三視圖的形成三視圖的形成展開后的三視圖展開后的三視圖三視圖的形成三視圖的形成三視圖三視圖 在三投影面體系中擺放形體時，應(yīng)使形體的多數(shù)表面在三投影面體系中擺放形體時，應(yīng)使形體的多數(shù)表面( (或或主要表面主要表面) )平行或垂直于投影面平行或垂直于投影面( (即形體正放即形體正放) )。 形

4、體在三投影面體系中的位置一經(jīng)選定，在投影過程中形體在三投影面體系中的位置一經(jīng)選定，在投影過程中不能移動或變更。不能移動或變更。 WYWYHHXV0Z(主視圖)(俯視圖)(左視圖)三視圖的對應(yīng)投影規(guī)律三視圖的對應(yīng)投影規(guī)律三視圖間的位置關(guān)系三視圖間的位置關(guān)系 俯視圖俯視圖(H(H面面) )在主視圖在主視圖(V(V面面) )的正下方；的正下方； 左視圖左視圖( (W W面面) )在主視圖在主視圖(V(V面面) )的正右方，這的正右方，這種位置關(guān)系，在一般情況下是不允許變動的。種位置關(guān)系，在一般情況下是不允許變動的。直觀圖直觀圖 位置關(guān)系位置關(guān)系主視圖(V面)俯視圖(H面)左視圖(W面)俯視(產(chǎn)生H面

5、投影)左視(產(chǎn)生W面投影) 主視(產(chǎn)生V面投影)形體與視圖的方位關(guān)系形體與視圖的方位關(guān)系形體與視圖的方位關(guān)系形體與視圖的方位關(guān)系 V V面面( (主視圖主視圖)反映了形體的反映了形體的上、下、左、右上、下、左、右方位關(guān)系；方位關(guān)系； H H面面( (俯視圖俯視圖)反映了形體的反映了形體的左、右、前、后左、右、前、后方位關(guān)系；方位關(guān)系； W W面面( (左視圖左視圖)反映了形體的反映了形體的上、下、前、后上、下、前、后位置關(guān)系。位置關(guān)系。直觀圖直觀圖三視圖的方位關(guān)系三視圖的方位關(guān)系左左前右下后右后上下前上二、 三投影面體系中點的投影點A的水平投影 a 點A的正面投影 a點A的側(cè)面投影 aHa a

6、a VWXOZYWYHaaaA 1. aaz = aay =Aa = xA 2. aax = aaz =Aa =yA 3. aax =aa y = Aa=zA 三、點的直角坐標與三面投影的關(guān)系VXZYWOayaxazxyzaaaA1. aa X軸，aaz = aay = XA2. aaZ軸， aax =aa y = ZA3. aax = aaz =YA四、三投影面體系中點的投影規(guī)律五、特殊點的投影HVOXb bc cCcca bBb Aaa a2.3 兩點的相對位置兩點中x 值大的點 在左兩點中y 值大的點 在前 兩點中z 值大的點 在上a a ab b bBA2.4 重影點的投影重影點的投影

7、cd(c)dCDa(b)abAB例題例題1 已知點A的正面與側(cè)面投影，求點A的水平投影。a注：因為平面是無限大的，所注：因為平面是無限大的，所 以一般不以一般不畫出平面邊框。畫出平面邊框。例題例題2 2 已知點A在點B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米， 求點A的投影。a a a985 例例3:已知已知A點的坐標值點的坐標值A(chǔ)(12，10，15)，求作，求作A點點的三面投影圖。的三面投影圖。 作投影軸；作投影軸； 量?。毫咳。篛aOax x=12=12、OaOaz z=15=15、OaOaYHYH=Oa=OaYWYW=10,=10,得得a ax x、a az z、OaOaYHYH、OaOaYW

8、YW等點等點 ； 步驟步驟: :aaaOXYWHYZaZ15YWaYHa10aX12過過a ax x、a az z、a aYHYH、a aYWYW等點分別作等點分別作所在軸的垂線，交點所在軸的垂線，交點a a、a a、a a既為所求。既為所求。 2.3 2.3 直線的投影直線的投影 直線投影的一般性質(zhì) 直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點。abc(d)2.3.1 各種位置直線的投影一、特殊位置直線1.直線平行于一個投影面 (1) 水平線 (2) 正平線 (3) 側(cè)平線2.直線垂直于一個投影面 (1) 鉛垂線 (2) 正垂線 (3) 側(cè)垂線二、一般位置直線aababb Xa b ab baOzY

9、HYWAB投影特性：1ab OX ; ab OYW 2 ab=AB 3反映、 角的真實大小aababb AB(1) 水平線 平行于水平投影面的直線aababbXabab baOZYHYWAB 投影特性： 1 ab OX ; a b OZ 2 a b=AB 3 反映、角的真實大?。?）正平線只平行于正面投影面的直線Xabab baOZYHYWAB aa b a bbAB投影特性： 1 ab OZ ; ab OYH 2 ab =AB 3反映 、 角的真實大小XZa b bbaOYHYWa（3）側(cè)平線只平行于側(cè)面投影面的直線aa b a bbXZa b bbaOYHYWab a(b)a abZb X

10、a ba(b)OYHYWa投影特性：1 a b 積聚 成一點 2 a bOX ; a b OYW 3 a b = a b = ABABZb Xa ba(b)OYHYWaABb a(b)a abb a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa（1）鉛垂線 垂直于水平投影面的直線AB投影特性： 1 ab 積聚 成一點 2 ab OX ; ab OZ 3 ab = ab =ABzXab baOYHYWab（2）正垂線 垂直于正面投影面的直線bababaAB投影特性： 1 ab 積聚 成一點 2 ab OYH ; ab OZ 3 ab = ab =ABABbaababZXabbaOYHYWab（

11、3）側(cè)垂線 垂直于側(cè)面投影面的直線二、一般位置直線ABbbabaaZXabaOYYabb投影特性：1 a b、 ab、a b均小于實長 2 a b、ab、a b均傾斜于投影軸 3不反映 、 、 實角四、作圖1 求直線的實長及對水平投影面的夾角角2 求直線的實長及對正面投影面的夾角角3 求直線的實長及對側(cè)面投影面的夾角角2.3.2 一般位置線段的實長及其對投影面的傾角|zA-zB |AB1求直線的實長及對水平投影面的傾角角|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab直線求實長的問題直線求實長的問題 ab ab z Hz Hab ab y V y V ab” ab” x Wx W例題

12、例題1 1 已知 線段的實長AB，求它的水平投影。a|zA-zB| abABab|zA-zB|直線上的點具有兩個特性： 1從屬性 若點在直線上，則點的各個投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點，或判斷已知點是否在直線上。 2定比性 屬于線段上的點分割線段之比等于其投影之比。即A C: C B = a c : c b= ac : cb = ac : c b 利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點或判斷已知點是否在側(cè)平線上。2.3.3 直線上點的投影例題例題2 2 已知線段AB的投影圖，試將AB分成21兩段，求分點C的投影c、c 。例題例題3 3 已知點C在線段

13、AB上，求點C 的正面投影。cccabc2.3.4 兩直線的相對位置 一、平行兩直線二、相交兩直線 三、交叉兩直線四、交叉兩直線重影點投影的可見性判斷 例題5 例題6 例題7一、平行兩直線 1若空間兩直線相互平行，則它們的同名投影必然相互平行。反之，如果兩直線的各個同名投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相互平行。 2平行兩線段之比等于其投影之比。baadbbccXbaabdcdc二、相交兩直線 當兩直線相交時，它們在各投影面上的同名投影也必然相交，且交點符合空間一點的投影規(guī)律。反之亦然。bXaabkcddck三、 交叉兩直線 凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。 b Xa abc d

14、dc11 (2 )212d b a abcdc1 (2 )3(4 )四、交叉兩直線重影點投影的可見性判斷 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交點交點”不符合空間一個點的不符合空間一個點的投影規(guī)律。投影規(guī)律。 “交點交點”是兩直線上的一是兩直線上的一 對對重影點的投影，重影點的投影，用其可幫助用其可幫助判斷兩直線的空間位置。判斷兩直線的空間位置。、是面的重影點，是面的重影點，、是是H面的重影點。面的重影點。3 4 投影特性：投影特性：例題例題5 5 判斷兩直線的相對位置dacboYWYHz例題例題6 6 判斷兩直線的相對位置11dc 11例題例題7 7 判斷兩直線重影點的可見性3(4)

15、34121(2)2.3.5 直角投影定理一、垂直相交的兩直線的投影定理一定理一垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。 例題8 例題9 例題10一、垂直相交的兩直線的投影cXbacbaAB垂直于AC,且AB平行于H 面,則有ab ac例題例題8 8 過點A作線段EF的垂線AB，并使AB平行于V 面。bb2.4 2.4 平面平面2.4.1 平面的表示法一、用幾何元素表示平面 用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個點；一直線和直線外一點；相交二直線；平行二直線；任意平面圖形。二、平面的跡線表示法 平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面可

16、以用在它們所垂直的投影面上的跡線來表示。 一、用幾何元素表示平面baacbcbaacbcaabcbcabcabcdd二、 平面的跡線表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ2.4.2 各種位置平面的投影特性一、投影面的垂直面1鉛垂面2正垂面3側(cè)垂面二、投影面的平行面1水平面2正平面3側(cè)平面三、一般位置平面PPH1鉛垂面 投影特性 (1) abc積聚為一條線 (2) abc、 abc為ABC的類似形 (3) abc與OX、 OY的夾角反映、角的真實大小 ABCacbabab bab ccc鉛垂面跡線表示法PHPPHQQV 2正垂面 投影特性(1) abc 積聚為一條線 (2) abc、 abc

17、為 ABC的類似形 (3) abc與OX、 OZ的夾角反映、 角的真實大小 AcCabBbababaccc正垂面的跡線表示法 QQVQVSWS 3側(cè)垂面 投影特性(1) abc積聚為一條線 (2) abc、 abc為 ABC的類似形 (3) abc與OZ、 OY的夾角反映、角的真實大小 CabABcbababaccc側(cè)垂面的跡線表示法VWSwSZXOYSwY1水平面 投影特性 (1) abc、 abc積聚為一條線，具有積聚性 (2) 水平投影 abc反映 ABC實形 CABabcbacabccabbbaacc2正平面投影特性： (1) abc 、 abc 積聚為一條線，具有積聚性 (2) 正平

18、面投影 abc反映 ABC實形 cabbacbcabacabcbcaCBA 投影特性：(1) abc 、 abc 積聚為一條線，具有積聚性 (2) 側(cè)平面投影 abc 反映 ABC實形 3側(cè)平面abbbacccabcbacabcCABa三、一般位置平面 投影特性 (1) abc、abc、abc 均為ABC的類似形 (2) 不反映、 的真實角度 abccabbaaabbccbacABC2.4.3 屬于平面的點和直線一、屬于一般位置平面的點和直線二、屬于特殊位置平面的點和直線三、屬于平面的投影面平行線一、屬于一般位置平面的點和直線1平面上的直線 直線在平面上的幾何條件是：通過平面上的兩點；通過平面

19、上的一點且平行于平面上的一條直線。2平面上的點 點在平面上的幾何條件是：點在平面內(nèi)的某一直線上。 在平面上取點、直線的作圖，實質(zhì)上就是在平面內(nèi)作輔助線的問題。利用在平面上取點、直線的作圖，可以解決三類問題：判別已知點、線是否屬于已知平面；完成已知平面上的點和直線的投影；完成多邊形的投影。例題1 例題2 例題31取屬于平面的直線 取屬于定平面的直線，要經(jīng)過屬于該平面的已知兩點；或經(jīng)過屬于該平面的一已知點，且平行于屬于該平面的一已知直線。EDFddeeff 2取屬于平面的點 取屬于平面的點，要取自屬于該平面的已知直線EDddee例題例題1 1 已知 ABC給定一平面，試判斷點D是否屬于該平面。dd

20、ee例題例題2 2 已知點D在ABC上，試求點D的水平投影。dd11例題例題3 3 已知點E在 ABC上，試求點E的正面投影。ee二、屬于平面的投影面平行線屬于平面的水平線和正平線 例題4 例題5P屬于平面的水平線和正平線PVPH例題例題4 4 已知ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點A作屬于該平面的水平線。mnnm例例5 5：在平面：在平面ABCABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到H H面的距離為面的距離為10mm10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解有多少解例題例題6 6 已知點E 在ABC平面上，且點E距離H面15，距離V面1

21、0，試求點E的投影。mnmnrsrs1015eebckada d b c ada d b c k bc例例7 7：已知：已知ACAC為正平線，補全平行四邊形為正平線，補全平行四邊形ABCDABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二 2.5 2.5 投影變換投影變換 四個基本問題四個基本問題 一般位置直線一般位置直線平行線平行線 一般位置直線一般位置直線垂直線垂直線 一般位置平面一般位置平面垂直面垂直面 一般位置平面一般位置平面平行面平行面1. 1. 一般位置直線一般位置直線變成投影面平行線變成投影面平行線aO 空空 間間：P1P1直線直線投投 影影：O1X1O1X1軸軸直線的某投

22、影直線的某投影新投影新投影：反映直線的實長及某傾角：反映直線的實長及某傾角a X bbVHX1 HP1a1b1L 四個基本問題四個基本問題 一般位置直線一般位置直線平行線平行線 一般位置直線一般位置直線垂直線垂直線 一般位置平面一般位置平面垂直面垂直面 一般位置平面一般位置平面平行面平行面O1X2 P2 P1 a2b2空空 間間：P1P1直線，且直線，且P1P1 H H投投 影影：O1X1O1X1軸軸直線的某投影直線的某投影新投影新投影：反映直線的實長及某：反映直線的實長及某 傾角實際大小傾角實際大小 2 2一般位置直線變成投影面垂直線一般位置直線變成投影面垂直線對于投影面平行線：對于投影面平

23、行線：空空 間間：P2P2 直線，且直線，且P2P2 P1P1投投 影影：O2X2O2X2軸軸 直線的某投影直線的某投影新投影新投影：積聚為一點：積聚為一點O2aO a X bbVHX1 HP1a1b1L O1 3一般位置平面變成投影面垂直面 面的投影變換，應(yīng)以面上的某一條線為主。 當該線某投影面時，則此面在該投影面上的投影積聚為一直線。 為簡化作圖，此線應(yīng)為面上一投影面平行線。X O acbab c11V H X1 H P1a1,11b1c1空 間：P1面，且 P1H 投 影：O1X1軸 面上投影面平行線反映實長的投影新投影：投影面平行線積聚為點，面積聚為線(垂直面) 且反映平面的某傾角實際

24、大小 O13 3一般位置平面一般位置平面 變成投影面垂直面變成投影面垂直面 面的投影變換，應(yīng)以面的投影變換，應(yīng)以面上的某一條線為主。面上的某一條線為主。 當該線當該線 某投影面時，某投影面時，則此面在該投影面上的投則此面在該投影面上的投影積聚為一直線。影積聚為一直線。 為簡化作圖，此線應(yīng)為簡化作圖，此線應(yīng)為面上一投影面平行線。為面上一投影面平行線。X O acbab c11V H X1 H P1a1,11b1c1空空 間間：P1P1 面，且面，且 P1P1 H H 投投 影影：O1X1O1X1軸軸 面上投影面平行面上投影面平行線反映實長的投影線反映實長的投影新投影新投影：投影面平行投影面平行線

25、積聚為點，面積聚為線線積聚為點，面積聚為線( (垂直面垂直面) ) 且反映平面的某傾角實際大小且反映平面的某傾角實際大小 O14 4一般位置平面變成投影面平行面一般位置平面變成投影面平行面X Oacbabc11VHX1 HP1a1,11b1c1空空 間間：P1P1 面面( (且且P1P1 H)H)投投 影影：X1X1軸軸 面上投影面平行面上投影面平行線線 反映實長的投影反映實長的投影新投影新投影：投影面平行投影面平行線積聚為點，線積聚為點， 面積聚為線面積聚為線( (垂直面垂直面) )X2 P1P2b2a2c2實形實形空空 間間：P2P2面面( (即即P2P2 P1)P1)投投 影影：O2X2

26、O2X2軸軸積聚為線積聚為線 的的投影投影新投影新投影：反映圖形的實際反映圖形的實際 形狀、及夾角實形狀、及夾角實 際大小際大小( (平行面平行面) )O1O2m nnm方法方法1 1步驟：步驟： 求求MNMN與與ABCABC的交點的交點K(K(求交求交) ) 過過M M作作MD MD ABCABC 求求 MDMD與與 ABCABC的交點的交點L(L(求交求交) ) 求求 MKL(MKL(MKL)MKL)的實形即的實形即 acbabc1 122 d de e方法方法2 2步驟：步驟： 過過M M作作MD MD ABCABC 求求 NMD(NMD(MND)MND)的實形的實形 與與 NMDNMD

27、互為余角互為余角方法方法3 3步驟：步驟：換面法換面法? ?如何換如何換? ?換幾次換幾次? ?例：求已知直線與平面的夾角例：求已知直線與平面的夾角 的實際大小的實際大小m nnmacbabc1 1b1 O1 O X1 HP1 a1 ,11 c1 m1 n1 X V H 方法方法1 1步驟：步驟： 求求MNMN與與ABCABC的交點的交點K(K(求交求交) ) 過過M M作作MD MD ABCABC 求求 MDMD與與 ABCABC的交點的交點L(L(求交求交) ) 求求 MKL(MKL(MKL)MKL)的實形即的實形即 方法方法2 2步驟：步驟： 過過M M作作MD MD ABCABC 求求 NMD(NMD(MND)MND)的實形的實形