1、1.31.3、穩定性與穩健性、穩定性與穩健性1.21.2、靈敏度分析、靈敏度分析主講：主講：朱家明朱家明 Mathematical model of five step method 數數學學1.11.1、五步方法、五步方法化化最最優優數數學學建建模模講講座座建建模模電話：電話：1822668271818226682718郵箱郵箱：2/252022-5-22022-5-21.11.1、五步方法、五步方法1 1、五步方法概要五步方法概要2 2、五步方法詳解五步方法詳解1.21.2、靈敏性分析、靈敏性分析1 1、問題的提出、問題的提出2 2、最佳售豬時間、最佳售豬時間x關于關于價格下降速率價格下降

2、速率r的靈敏性的靈敏性3 3、最佳售豬時間、最佳售豬時間x關于關于生長率生長率g的靈敏性的靈敏性4 4、靈敏、靈敏性性的相對改變量的相對改變量1.31.3、穩定性與穩健性、穩定性與穩健性1 1、關于穩鍵、關于穩鍵性性2 2、r, gr, g不是常數時對模型不是常數時對模型結果的影響結果的影響1.41.4、小結、小結1.51.5、練習、練習題題3/252022-5-22022-5-21 1、五步方法概要五步方法概要 數學模型解決問題的一般過程分五步，稱之數學模型解決問題的一般過程分五步，稱之為為五步方法。五步方法。定義：定義：五個步驟：五個步驟：提出問題；提出問題；選擇建模方法；選擇建模方法；推

3、導模型的數學表達式；推導模型的數學表達式；求解模型；求解模型；回答問題。回答問題。4/252022-5-22022-5-22 2、五步方法詳解、五步方法詳解例例1.1、一頭豬重一頭豬重200磅，每天增重磅，每天增重5磅，磅，飼養每天需花費飼養每天需花費45美分。豬的市場價格美分。豬的市場價格為每磅為每磅65美分，但每天下降美分，但每天下降1%，求出售，求出售豬的最佳時間豬的最佳時間。（。（1磅磅=0.454kg）提出問題提出問題: : 即如何用數學語言來表達問題。即如何用數學語言來表達問題。 列出問題涉及的變量，包括恰當的單位；寫出關于上述變量所做的假設，列出已知的或假設的這些變量之間的關系式

4、(等式和不等式)；用明確的數學語言寫出問題的目標的表達式。變量、單位、等式、不等式、假設和目標表達式變量、單位、等式、不等式、假設和目標表達式等構成等構成完整的問題完整的問題。5/252022-5-22022-5-2例例1.1中，全部的變量包括：中，全部的變量包括：豬的重量豬的重量w(磅磅)，從現在到出售豬期間經歷的時間從現在到出售豬期間經歷的時間t(天天),t天飼養豬的花費天飼養豬的花費C(美元美元), 豬的市場價格豬的市場價格p(美元美元/磅磅),售出生豬所獲得的收益售出生豬所獲得的收益R(美元美元),我們最終獲得的凈收益我們最終獲得的凈收益P(美元美元)。其他相關的參其他相關的參(非變非

5、變)量量:如豬的初始重量如豬的初始重量(200磅磅)等。等。寫出關于上述變量所做的假設，考慮到參量在模型寫出關于上述變量所做的假設，考慮到參量在模型中的影響。中的影響。豬的重量從初始的豬的重量從初始的200200磅磅按每天按每天5 5磅增加有磅增加有).)(5()200()(天天天天磅磅磅磅磅磅tw 這里把變量的單位帶進去這里把變量的單位帶進去, ,可以檢查所列式子的意義可以檢查所列式子的意義. .該問題涉及到的其他假設包括該問題涉及到的其他假設包括: :6/252022-5-22022-5-2)(01. 0()65. 0()(天天天天磅磅美美元元磅磅美美元元磅磅美美元元tp )(45. 0(

6、)(天天天天美元美元美元美元tC )()(磅磅磅磅美元美元美元美元wpR )()()(美元美元美元美元美元美元CRP 售價售價飼養成本飼養成本收益收益利潤利潤假設假設 t t00目標：求利潤或凈收益目標：求利潤或凈收益P P的最大值。的最大值。為了便于參考，下面對第一步所得的結果進行了為了便于參考，下面對第一步所得的結果進行了如下的歸納（見下表）如下的歸納（見下表）7/252022-5-22022-5-2變量變量：t =時間時間(天天)w=豬的重量豬的重量(磅磅)p=豬的價格豬的價格(美元美元/磅磅)C=飼養飼養t天的花費天的花費(美元美元) R=售出豬的收益售出豬的收益(美元美元)P=凈收益

7、凈收益(美元美元)假設假設：w=200+5tp=0.65-0.01tC=0.45t R=pwP=R-Ct0目標目標：求的最大值：求的最大值注意：第一部分三個階段(變量、假設、目標)的確定不需要按特定的順序。圖圖1-1 1-1 售豬問題的售豬問題的第一步的結果第一步的結果8/252022-5-22022-5-2選擇建模方法: 即如何用數學方法來獲得解。 許多問題都可表成一個已有有效方法的標準形式.應用數學的多數研究，包含確定問題的一般類別，并提出解決該類問題的有效方法。在應用數學領域中有許多的文獻，并且不斷取得許多新的進展。一般很少有學生對選擇較好的建模方法有經驗或熟悉參考文獻。注意：下面除了極

8、少例外，一般都給定所用的建模方法。如例1.1可定位為單變量優化問題，或極大極小化問題,建模方法為：設y=f(x)在xS處是可微的，若f(x)在x處達到極大或極小, 則f(x)=0。詳細可參閱微積分中導數應用部分的內容. 9/252022-5-22022-5-2推導模型公式推導模型公式: : 即要把第一步得到的問題應用于即要把第一步得到的問題應用于第二步，寫成所選建模方法需要的標準形式，以第二步，寫成所選建模方法需要的標準形式，以于我們運用標準的算法過程求解。于我們運用標準的算法過程求解。 如：如：例例1.1把問題中的變量名改換一下，在算法上把問題中的變量名改換一下，在算法上就比較方便就比較方便

9、。 P=R-C = pw-0.45t =(0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t記記y=P作為求最大值的目標變量，作為求最大值的目標變量， x=t作為自變量，作為自變量，我們的問題就化為在集合我們的問題就化為在集合S=x:x0上求下面函數的上求下面函數的最大值：最大值： y=f(x) =(0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x. 這是我們最熟悉不過的求一元函數極值問題。這是我們最熟悉不過的求一元函數極值問題。 10/252022-5-22022-5-2利用第二步中確定的標準過程利用第二步中確定的標準過程求解求解這個這個模型模型。 如本例中即對如本例中即對y=f(x)=(

10、0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x在區間在區間x0上上求最大值。求最大值。 如圖可知如圖可知y=f(x)關于關于x是是二次的曲線圖，易得二次的曲線圖，易得f(x)=-0.1-0.1x+0.8則在點則在點x=8處處f(x)=0.由由f在區間在區間(- -, 8)上單升上單升,而在區間而在區間(8,+ +)上單減上單減.故點故點x=8是整體最大值點是整體最大值點.且有且有f(8)=133.20,從而點從而點(x,y)=(8,133.20)是是f在整個實在整個實軸上的整體軸上的整體最大值點最大值點, ,也也是區間是區間x0上上的最大值點。的最大值點。圖圖1-2 售豬問題的凈收益售豬問

11、題的凈收益f(x)關于時間關于時間x的曲線圖的曲線圖05101520126128130132134xf(x)y=- -0.05x2+0.8x+130510152013013113213311/252022-5-22022-5-2回答問題：回答問題：回答第一步提問回答第一步提問“何時售豬可以達到何時售豬可以達到最大凈收益最大凈收益. . 由第四步我們得到的答案是在由第四步我們得到的答案是在8天之后，可以獲天之后，可以獲得凈收益得凈收益133.20美元。只要第一步假設成立，這一美元。只要第一步假設成立，這一結果就是正確的。結果就是正確的。 相關的問題及其他不同的假設可以按照第一步相關的問題及其他不

12、同的假設可以按照第一步中的做法調整得到。由于我們處理的是一個實際問中的做法調整得到。由于我們處理的是一個實際問題（題（一個農民決定何時出售他飼養的生豬一個農民決定何時出售他飼養的生豬），在第），在第一步中會有一個風險因素存在，因此通常有必要研一步中會有一個風險因素存在，因此通常有必要研究一些不同的可能，這一過程稱為究一些不同的可能，這一過程稱為靈敏性分析靈敏性分析。我。我們將在下一節進行討論。們將在下一節進行討論。 本節主要介紹五步方法本節主要介紹五步方法,下面將這一方法總結歸下面將這一方法總結歸納成如下圖表納成如下圖表, 以便以后參考以便以后參考. 12/252022-5-22022-5-2

13、第一步、提出問題第一步、提出問題. .列出問題涉及的變量，包括恰當的單位列出問題涉及的變量，包括恰當的單位; ;注意不要混淆了變量和常量注意不要混淆了變量和常量; ;列出你對變量所做的全部假設列出你對變量所做的全部假設, ,包括等式和不等式包括等式和不等式; ;檢查單位從而保證你的假設有意義；檢查單位從而保證你的假設有意義；用準確的數學表達式給出問題的目標。用準確的數學表達式給出問題的目標。第二步、選擇建模方法第二步、選擇建模方法. .選擇你問題的一個一般的求解方法；選擇你問題的一個一般的求解方法；一般地，這一步的成功需要經驗、技巧的對相關文獻有一般地，這一步的成功需要經驗、技巧的對相關文獻有

14、一定的熟悉程度；一定的熟悉程度；在本書中，我們通常會給定要用的建模方法。在本書中，我們通常會給定要用的建模方法。第三步、推導模型的公式第三步、推導模型的公式: : 把第一步中得到的問題重新表達成第二步選定的建模把第一步中得到的問題重新表達成第二步選定的建模 方法需要的形式；方法需要的形式；圖圖1-3 1-3 五步方法圖五步方法圖13/252022-5-22022-5-2你可能需要將第一步中的一些變量名改成與第二步所用你可能需要將第一步中的一些變量名改成與第二步所用的記號一致；的記號一致；記下任何補充假設，這些假設是為了使在第一步中描述記下任何補充假設，這些假設是為了使在第一步中描述的問題與第二

15、步中選定的數學結構相適應而做的。的問題與第二步中選定的數學結構相適應而做的。第四步、求解模型第四步、求解模型. 將第二步中所選方法應用于第三步得到的表達式將第二步中所選方法應用于第三步得到的表達式; 注意你的數學推導注意你的數學推導,檢查是否有錯誤檢查是否有錯誤,答案是否有意義答案是否有意義; 采用適當的技術采用適當的技術, 計算機代數系統、圖形、數值計算的計算機代數系統、圖形、數值計算的 軟件等都能擴大你解決問題的范圍軟件等都能擴大你解決問題的范圍,并減少計算錯誤并減少計算錯誤.第五步、回答問題第五步、回答問題. 用非技術性的語言將第四步中的結果重新表述；用非技術性的語言將第四步中的結果重新

16、表述； 避免數學符號和術語避免數學符號和術語; 能理解最初提出問題的人就應該能理解你給出的解答能理解最初提出問題的人就應該能理解你給出的解答.圖圖1-3 1-3 五步方法圖（續）五步方法圖（續）14/252022-5-22022-5-21 1、問題的提出、問題的提出靈敏性分析靈敏性分析是數學建模的一個重要方面，具體內容是數學建模的一個重要方面，具體內容與所用的建模方法有關與所用的建模方法有關, 關于它的討論貫穿本書關于它的討論貫穿本書,下面下面僅對單變量優化問題進行靈敏性分析僅對單變量優化問題進行靈敏性分析.上用售豬說明五步法，圖上用售豬說明五步法，圖1-1列出了求解的所有假列出了求解的所有假

17、設，雖然數據和假設都有非常詳細的說明，但還要再設，雖然數據和假設都有非常詳細的說明，但還要再嚴格檢查，由于嚴格檢查，由于數據數據是由是由測量、觀察測量、觀察有時甚至完全是有時甚至完全是猜測猜測得到的，故要考慮數據的不準確的可能性。得到的，故要考慮數據的不準確的可能性。上概要介紹五步法上概要介紹五步法, 從假設開始從假設開始, 但難保證假設都正但難保證假設都正確確. 故要考慮結果對每一條假設的敏感程度即故要考慮結果對每一條假設的敏感程度即靈敏性靈敏性.可靠性高的數據可靠性高的數據:生豬現在的重量、豬現在的價格、生豬現在的重量、豬現在的價格、每天飼養的花費等易測量，確定性大；每天飼養的花費等易測量

18、，確定性大；可靠性低的數據可靠性低的數據:豬的生長率豬的生長率g和價格的下降速率和價格的下降速率r.15/252022-5-22022-5-22 2、最佳售豬時間、最佳售豬時間x關于價格下降速率關于價格下降速率r的靈敏性的靈敏性粗分析粗分析 前面我們假定前面我們假定r=0.01美元美元/天，現在假設天，現在假設r的實際值是不同的，對幾個不同的的實際值是不同的，對幾個不同的r值，重復前面值，重復前面的求解過程的求解過程, 我們會對問題的解關于我們會對問題的解關于r的敏感程度的敏感程度有所了解有所了解.即給定即給定r對對y=f(x)=(0.65- rx)(200+5x)-0.45x求導，令求導，令

19、f(x)=0，可得相應可得相應x值，下表值，下表1-1給出了選擇幾個不給出了選擇幾個不同的同的r值求出值求出x的計算結果。的計算結果。表表1-1 售豬問題中最佳售豬時間售豬問題中最佳售豬時間x關于價格的下降速率關于價格的下降速率r的靈敏性的靈敏性r (美元美元/天天)x (天天)r (美元美元/天天)x (天天)0.0080.0090.010.0110.01215.011.18.05.53.316/252022-5-22022-5-20.0080.0090.0110.01268101214 將上表將上表1-1中的數據繪制在如下圖中的數據繪制在如下圖1-4中。中。圖圖1-4 售售豬問題中豬問題中

20、最佳售豬最佳售豬時間時間x關關于價格的于價格的下降速率下降速率 r 的曲線的曲線x(天天)r(美元美元/天天)2468101214160.0080.0090.0100.0110.012我們可以看到售豬的最優時間我們可以看到售豬的最優時間 x 對參數對參數 r 是很敏感的是很敏感的.x對價格下降速率對價格下降速率r靈敏性的系統分析靈敏性的系統分析將將r作為未知的參數作為未知的參數,仍按前面的步驟求解仍按前面的步驟求解(見下頁見下頁):17/252022-5-22022-5-25101520100105110115120125130出售價格出售價格: p=0.65-rt ;目標函數目標函數: y=

21、f(x)=(0.65- rx)(200+5x)-0.45x = 130+2.8x-200rx-5rx2 ;求導求導 f(x)=2.8- 200r-10rx;使使f(x)=0的點為的點為 x=(7-500r)/25r .若要若要x0,只要只要00.014 ,在在0,+)上都有上都有 f(x)0,最佳售豬時間為最佳售豬時間為x=0. 圖圖1-5給出了給出了r =0.015的情況的情況.圖圖1-5 售豬問題的凈收益售豬問題的凈收益f(x)在在r=0.015關于時間關于時間x的曲線圖的曲線圖0510152090100110120130 xf(x)y=-0.075x2-0.2x+13018/252022

22、-5-22022-5-24567-5510153、最佳售豬時間、最佳售豬時間x關于生長率關于生長率g的靈敏性的靈敏性前面我們假定前面我們假定g=5磅磅/天，一般地天，一般地, 我們有如下步驟我們有如下步驟出售重量出售重量: w=200+gt ;目標函數目標函數: y=f(x)=(0.65- 0.01x)(200+gx)-0.45x =130+0.65gx-2.45x-0.01gx2;求導求導 f(x)=0.65g- 2.45-0.02gx;使使f(x)=0的點為的點為 x=5(13g-49)/2g.若要若要x0, 最佳售豬時間最佳售豬時間可由可由 x=5(13g-49)/2g 給出給出, 圖圖

23、1-6 給出了最佳售豬時給出了最佳售豬時間和生長率間和生長率g之間的關系之間的關系.圖圖1-6 售豬問題中最佳售豬時間售豬問題中最佳售豬時間關于生長率關于生長率g的曲線圖的曲線圖34567-10-50510gxx=5(13g-49)/2g1519/252022-5-22022-5-24、靈敏、靈敏性性的相對改變量的相對改變量意義意義: 相對改變量比絕對改變量更自然相對改變量比絕對改變量更自然、更實用更實用, 例如例如r的的10%下降導致了下降導致了x的的39%的增加的增加, g的的10%下下降導致了降導致了x的的34%的下降的下降. x對對r的靈敏性的靈敏性:./lim),(0 xrdrdxr

24、rxxrxSr 對售豬問題中對售豬問題中, 由由x=(7-500r)/25r 可得在點可得在點r=0.01.28002572 rdrdx. 5 . 3801. 02800),( xrdrdxrxS即若即若r增加增加1%,則導致了則導致了x的的3.5%下降下降.即即r 對對x的彈性的彈性20/252022-5-22022-5-2x對對g的靈敏性的靈敏性:./lim),(0 xgdgdxggxxgxSr 對售豬問題中對售豬問題中, 由由x=5(13g-49)/2g可得在點可得在點g=5.9 . 422452 gdgdx.0625. 3859 . 4),( xgdgdxgxS若若g增加增加1%,則則

25、x上升上升3.0625%, 即多等侍約即多等侍約3%的時間的時間.即即g 對對x的彈性的彈性注意注意: 靈敏性分析的成功應用要有好的判斷力靈敏性分析的成功應用要有好的判斷力,即即不可能也不必要對模型中每個參數都進行靈敏性分不可能也不必要對模型中每個參數都進行靈敏性分析析,要選擇較大不確定的參數要選擇較大不確定的參數; 對靈敏性的解釋要對靈敏性的解釋要依賴于參數的不確定程度依賴于參數的不確定程度; 原始問題中的數據的原始問題中的數據的不確定程度也會影響我們對答案的自信度不確定程度也會影響我們對答案的自信度.如售豬問如售豬問題中題中,豬的生長率豬的生長率g比價格下降率比價格下降率r更可靠更可靠.2

26、1/252022-5-22022-5-21、關于穩鍵、關于穩鍵性性穩鍵穩鍵性性: 一個數學模型不完全精確，但由其導出一個數學模型不完全精確，但由其導出的結果仍是正確的，我們稱這個模型有穩鍵的結果仍是正確的，我們稱這個模型有穩鍵性性.研究的理由：研究的理由：實際問題中，我們不會有絕對準確實際問題中，我們不會有絕對準確的信息，即使建立一個完美的精確的模型，也可能的信息，即使建立一個完美的精確的模型，也可能采用較簡單和易于處理的近似方法。采用較簡單和易于處理的近似方法。數據假設與其它假設：數據假設與其它假設：靈敏性分析的過程靈敏性分析的過程(數據的數據的相關變化相關變化), 是一種根據對數據提出的假

27、設來評估模是一種根據對數據提出的假設來評估模型的穩鍵型的穩鍵性性的方法。在提出問題中，還有其它假設的方法。在提出問題中，還有其它假設要檢查。由于數學處理的方便和簡化的目的，常要要檢查。由于數學處理的方便和簡化的目的，常要做一些假設，建模者有責任考察假設是否特殊，會做一些假設，建模者有責任考察假設是否特殊，會導致建模結果的無效。導致建模結果的無效。22/252022-5-22022-5-2對售豬問題：對售豬問題：圖圖1-1列出了全部假設，除了數據的列出了全部假設，除了數據的取值外，主要的假設是豬的重量和價格都是時間的線取值外，主要的假設是豬的重量和價格都是時間的線性函數。這顯然是做了簡化，不可能

28、嚴格滿足的。性函數。這顯然是做了簡化，不可能嚴格滿足的。比如：比如：由線性假設，一年后，豬的重量是由線性假設，一年后，豬的重量是 w=200+5t=200+5365= 2025 磅磅一年后價格為一年后價格為 p=0.65-0.01t=0.65-0.01365=-3美元美元/磅磅顯然：顯然：線性假設不合理，更實際的模型既要考慮函數線性假設不合理，更實際的模型既要考慮函數的非線性性，又要考慮隨時間的不確定性的增加。的非線性性，又要考慮隨時間的不確定性的增加。若假設錯誤，模型怎能給出正確答案？若假設錯誤，模型怎能給出正確答案？雖然模型力求雖然模型力求完美，但這難以達到。確切地說：完美，但這難以達到。

29、確切地說：數學模型力求接近數學模型力求接近完美。完美。好模型有穩鍵好模型有穩鍵性性，是指雖然它給出的答案不完，是指雖然它給出的答案不完全精確，但足夠近似從而可以在實際問題中應用。全精確，但足夠近似從而可以在實際問題中應用。23/252022-5-22022-5-22、r, g不是常數時對模型結果的影響不是常數時對模型結果的影響考察售豬問題中的線性假設考察售豬問題中的線性假設重量重量:w=200+rt w = w(t)價格價格: :p=0.65-gt p = p(t) 收益收益: : P(t)=pw-0.45t令令 P (t)=0 p w + p w = 0.45每天利潤的增值每天利潤的增值 每天投入的資金每天投入的資