1、第一章第一章 波函數波函數微觀粒子具有波粒二象性，與經典理論不同，微觀粒子具有波粒二象性，與經典理論不同，現在我們需要需要用一個波函數現在我們需要需要用一個波函數(r,t)來描述微觀粒子的運動狀態。我們需要首先解決下面兩個問題：1：給定勢能（相當于經典中給定作用在粒子給定勢能（相當于經典中給定作用在粒子上的力），如何得到這個波函數上的力），如何得到這個波函數？2. 這個波函數是怎樣描寫的粒子的狀態的？這個波函數是怎樣描寫的粒子的狀態的？（一）引進方程的基本考慮（一）引進方程的基本考慮 從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻 t t 粒子的狀態粒子的狀態 r r

2、 和和 p p 。因為初條件知道的是坐標及其對時間的一階導數，所。因為初條件知道的是坐標及其對時間的一階導數，所以方程是時間的二階常微分方程。以方程是時間的二階常微分方程。 先回顧一下經典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發。先回顧一下經典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發。（1 1）經典情況）經典情況0000,ttdtrdmprtt時刻，已知初態是：22dtrdmF 方方程程：粒粒子子滿滿足足的的方方程程是是牛牛頓頓1.1 薛定諤（Schrodinger）方程（2 2）量子情況）量子情況 3 3方程方程不能包含狀態參量不能包含狀態參量，如，如 p p, , E E 等，否則方程只能等，否則方程

3、只能被粒子特定的狀態所滿足，而不能為各種可能的狀態所滿足。被粒子特定的狀態所滿足，而不能為各種可能的狀態所滿足。 1 1因為因為 t = tt = t0 0 時刻，已知的初態是時刻，已知的初態是 (r,t(r,t0 0) ) 且只知道這且只知道這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態的波函數所滿足的方程樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態的波函數所滿足的方程只能只能含含對時間的一階導數對時間的一階導數。 2 2 要滿足態疊加原理要滿足態疊加原理，即，若，即，若 1 1( r, t )( r, t ) 和和 2 2( r, t )( r, t )是方程的解，那末是方程的解，那末 ( r, t)= C( r

4、, t)= C1 1 1 1( r, t ) + C( r, t ) + C2 2 2 2( r, t ) ( r, t ) 也應是該方程的解。這就要求方程應是線性的，也就是說方程中也應是該方程的解。這就要求方程應是線性的，也就是說方程中只能包含只能包含 、 對時間的一階導數對時間的一階導數和和對坐標各階導數的一次項對坐標各階導數的一次項，不，不能含它們的平方或開方項。能含它們的平方或開方項。（二）平面波的啟發（二）平面波的啟發這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態參量這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態參量 E E 。將。將對坐標二次對坐標二次微商，得：微商，得：）（1 EtiEit )(ex

5、pEtrpiA平面波為平面波為: :應是所要建立的方程的解。應是所要建立的方程的解。將上式對將上式對 t t 微商，得：微商，得：， 2222)(xxEtzpypxpipxpiAexxzyx 12222222222zyxpppzyx 22222222zypzpy同同理理有有)2(221222222 pp或或222()()22piEtmm 滿足上述構造方程滿足上述構造方程的三個條件的三個條件討論：討論：通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能動量關系通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能動量關系式式 E = pE = p2 2/2m/2m 寫成如下方程形式：寫成如下方程形式：ipp

6、tiE即得自由粒子運動方程（即得自由粒子運動方程（3 3）。）。2232itm 所 以（ ）22pEm自 由 粒 子 ，2()02pEm (1)(2)(1)(2)式，得式，得然后，做算符替換：然后，做算符替換：（三）勢場（三）勢場 V(r)V(r)中運動粒子的中運動粒子的 SchrSchrdinger dinger 方程方程22( , )( )( , )2( ,( , )(1.1)ir tVrr ttmir tHr tt 或 者）若粒子處于勢場若粒子處于勢場 V(r)V(r) 中運動，則能動量關系變為：中運動，則能動量關系變為：2( )2pEV rHm2( )2pEV rm 將其作用于波函數將

7、其作用于波函數做算符替換做算符替換量子力學基本假定量子力學基本假定 I I： 微觀粒子體系的狀態波函數滿足微觀粒子體系的狀態波函數滿足SchrSchrdinger dinger 方程方程在直角坐標系中，拉普拉斯算符為2222222xyz 22222222111sinsinsinrr rrrr 222( , )( )( , )2x tiV xx ttm x 在球坐標系中，拉普拉斯算符為一維直角系中的薛定諤方程為多粒子體系的多粒子體系的 SchrSchrdinger dinger 方程方程 設體系由設體系由 N N 個粒子組成，個粒子組成， l質量分別為質量分別為 m mi i (i = 1, 2

8、,., N) (i = 1, 2,., N) l體系波函數記為體系波函數記為 ( r( r1 1, r, r2 2, ., r, ., rN N ; t) ; t) l第第i i個粒子所受到的外場個粒子所受到的外場 U Ui i(r(ri i) ) l粒子間的相互作用粒子間的相互作用 V(rV(r1 1, r, r2 2, ., r, ., rN N) ) l則多粒子體系的則多粒子體系的 SchrSchrdinger dinger 方程可表示為：方程可表示為：122212121( ,; )( )( ,)( ,; )2NNiiiNNiiir rrttUrV r rrr rrtm 多粒子體系多粒子

9、體系 Hamilton Hamilton 量量 ZjijiZrrerrrV|),(221iiirZerU2)( 對有對有 Z Z 個電子的原子，電子間相互作用為個電子的原子，電子間相互作用為 Coulomb Coulomb 排斥作用：排斥作用：而原子核對第而原子核對第 i i 個電子的個電子的 Coulomb Coulomb 吸引能為：吸引能為： NiNiiiirrrVrUH12122),()(2 例如：例如：波是由它所描寫的粒子組成波是由它所描寫的粒子組成? 為什么不是為什么不是?實驗事實實驗事實: :入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣. 入射電子流強度小，

10、電子一個一個發射，開始顯示入射電子流強度小，電子一個一個發射，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示同樣的衍射圖樣電子的微粒性，長時間亦顯示同樣的衍射圖樣. .我們知道，衍射現象是由波的干涉而產生的，如果波我們知道，衍射現象是由波的干涉而產生的，如果波真是由它所描寫的粒子所組成，則粒子流的衍射現象應當是由于組成波的這些粒子相互作用而形成的。真是由它所描寫的粒子所組成，則粒子流的衍射現象應當是由于組成波的這些粒子相互作用而形成的。但事實證明，在粒子流衍射實驗中衍射圖樣和入射粒子流強度無關。如果減小粒子流強度，同時延長但事實證明，在粒子流衍射實驗中衍射圖樣和入射粒子流強度無關。如果減小粒子流強度，同時

11、延長實驗的時間，是入射的粒子總數保持不變，則得到的衍射圖樣將完全相同。即使把粒子流強度減小到實驗的時間，是入射的粒子總數保持不變，則得到的衍射圖樣將完全相同。即使把粒子流強度減小到使粒子一個一個地被衍射，只要時間足夠長，所得到的衍射圖樣也還是一樣。這說明每一個粒子被衍使粒子一個一個地被衍射，只要時間足夠長，所得到的衍射圖樣也還是一樣。這說明每一個粒子被衍射的現象與其他粒子無關，因此衍射圖樣不是由粒子之間的相互作用而產生的。射的現象與其他粒子無關，因此衍射圖樣不是由粒子之間的相互作用而產生的。電子源電子源感感光光屏屏OPPQQO 波函數(x,t)是在空間的一個分布,這樣一個波函數如何描述一個微觀

12、粒子的運動狀態呢?1.2 波函數的統計解釋波函數的波恩統計解釋v波恩說，波函數代表的是一種隨機，一種概率，更準確地說，2代表了電子在某個地點出現的“概率”。電子本身不會像波那樣擴展開去，但是它的出現概率則像一個波，嚴格地按照的分布所展開。v 現在讓我們來做一個思維實驗，想象我們有一臺儀器，它每次只發射出一個電子。這個電子穿過雙縫，打到感光屏上，激發出一個小亮點。那么，對于這一個電子，我們可以說些什么呢？很明顯，我們不能預言它組成類波的干涉條紋，因為一個電子只會留下一個點而已。事實上，對于這個電子將會出現在屏幕上的什么地方，我們是一點頭緒都沒有的，多次重復我們的實驗它有時出現在這里，有時出現在那

13、里，完全不是一個確定的過程。v不過，我們經過大量的觀察，卻可以發現，這個電子不是完全沒有規律的：它在某些地方出現的可能性要大一些，在另一些地方則小一些。它出現頻率高的地方，恰恰是波動所預言的干涉條紋的亮處，它出現頻率低的地方則對應于暗處。現在我們可以理解為什么大量電子能組成干涉條紋了，因為雖然每一個電子的行為都是隨機的，但這個隨機分布的總的模式卻是確定的，它就是一個干涉條紋的圖案。這就像我們擲骰子，雖然每一個骰子擲下去，它的結果都是完全隨機的，從1到6都有可能，但如果你投擲大量的骰子到地下，然后數一數每個點的數量，你會發現1到6的結果差不多是平均的。關鍵是，單個電子總是以一個點的面貌出現，它從

14、來不會在屏幕上打出一灘圖案來。只有大量電子接二連三地跟進，總的干涉圖案才會逐漸出現。其中亮的地方也就是比較多的電子打中的地方，換句話說，就是單個電子比較容易出現的地方，暗的地帶則正好相反。如果我們發現，有9成的粒子聚集在亮帶，只有1成的粒子在暗帶，那么我們就可以預言，對于單個粒子來說，它有90的可能出現在亮帶的區域，10的可能出現在暗帶。但是，究竟出現在哪里，我們是無法確定的，我們只能預言概率而已。v亮的地方粒子出現的幾率大，暗的地方幾率小。這說明了什么？我們知道亮的地方波的強度大，也就是2大，暗的地方波強度小，也就是2 小。這就說明波函數在空間中某這就說明波函數在空間中某一點的強度一點的強度

15、(2) 和在該點找到粒子的幾率成和在該點找到粒子的幾率成正比正比。也就是說描寫粒子的波是幾率波。v知道了描寫微觀體系的波函數后，由就可以得出粒子在空間任意一點出現的幾率。以后我們將看到，由波函數還可以得出體系的各種性質，因此我們說波函數描寫體系的量子狀態。量子力學與經典力學的區別v量子力學用波函數來描寫微觀粒子的運動狀態的方式和經典力學中描寫質點運動狀態的方式完全不一樣，在經典力學中，通常是用質點的坐標和動量的值來描寫質點的狀態，一個質點的坐標和動量是隨時間連續變化的我們有一條質點運動的軌跡。質點的其它力學量，如能量等，是坐標和動量的函數，當坐標和動量確定后，其它力學量也就隨之確定了。但是在量

16、子力學中，微觀體系是由波函數來描寫的，我們只知道粒子在某一時刻在空間某一點出現的幾率，這樣一來我們就不能說粒子的運動在空間形成一條軌跡了，同時，由于不確定性原理（測不準原理）在量子力學中粒子的坐標和動量不可能同時具有確定值，你把粒子的坐標測量的十分精確，那么你就完全不知道它的動量是多少了，也就是說，不可能同時用粒子的坐標和動量的確定值來描寫粒子的量子狀態。以后我們將看到，當粒子處于某一量子狀態時，它的力學量一般有許多可能值，這些可能值各自以一定的幾率出現，這些幾率都可以由波函數得出。v沒有軌跡的概念了，經典力學決定論的概念失效了。難道從電視機屏幕后電子槍發射的電子束也沒有軌跡了？它怎么到達的熒

17、光屏我們也不知道了？這里我們需要注意尺度問題，換句話說，必須滿足什么樣的條件我們才能把電子看作經典粒子？這里粒子的德布魯意波長起著非常重要的作用。當考慮問題的尺度遠大于德布魯意波長時，我們就可以回到經典極限。電子束中的電子是由一個非常局域化的波包來描述，這波包在空間隨時間運動，電子束的寬度遠大于電子的德布魯意波長，在這條件下，我們回到了經典極限，我們有了軌跡的概念，但是要注意，這里的軌跡并不是質點力學中一條沒有寬度的線。我們也可以由電子的坐標和速度來描述電子的運動，但是他們都不是十分精確的確定值。假定我們的電視機屏幕是20乘20厘米， 象素是1千萬，那么電子束的線度是106米，也就是說，電子束

18、坐標不確定是106米，根據測不準關系那么動量的不確定大約是1028焦耳.秒(千克.米/秒), 假設用100伏電壓加速電子, 電子速度大約為107米/秒, 動量大約為10-24千克.米/秒, 動量的不確定影響很小.說明在這種情況下量子效應很小. 但是對于原子中的電子,坐標的不確定性很小, 10-11米, 動量的不確定大約是10-23千克.米/秒,量子效應就必須考慮了.波函數的性質v1. 與經典波的不同: 由于粒子必定要在空間的某一點出現,所以粒子在空間各點出現的幾率總和等于一,因而粒子在空間各點出現的幾率只決定于波函數在空間各點的相對強度,而不決定于強度的絕對大小.如果把波函數在空間各點的振幅同

19、時加大一倍,并不影響粒子在空間各點的幾率,換句話說,將波函數乘上一個常數后,所描寫的粒子狀態并不改變.量子力學中波函數的這種性質是其它波動過程所沒有的.對于聲波,光波等,體系的狀態隨振幅的大小而改變,如果把各處的振幅同時加大為二倍,那么聲或光的強度到處都加大為四倍,這就完全是另一個狀態了 v幾率與幾率密度 設波函數(x,y,z,t)描寫粒子的狀態, 在空間一點(x,y,z)和時刻t,波的強度是(x,y,z,t)2=*以dW(x,y,z,t)表示在時刻t, 在坐標x到x+dx、y到y+dy、z到zdz的無限小區域內找到粒子的幾率，則dW除了和這個區域的體積ddxdydz成比例外，也和在這個區域內

20、每一點找到粒子的幾率成比例。按照波函數的統計解釋，在這個區域內一點找到粒子的幾率與(x,y,z,t)2成比例，即 dW(x,y,z,t)C (x,y,z,t)2 dv幾率密度 在時刻t,在(x,y,z)點附近單位體積內找到粒子的幾率,稱為幾率密度2),(),(),(tzyxCdtzyxdWtzyxw2.1-2把幾率密度對整個空間積分,得到粒子在整個空間出現的幾率,由于粒子存在于空間中,這個幾率等于11),(2dtzyxC2.1-3我們已經知道,波函數乘以一個常數后,并不改變在空間各點找到粒子的幾率所以,我們可以用 ),(),(tzyxCtzyx來表示和對應同一狀態的波函數. 可以看出1),(2

21、dtzyx2.1-7 稱為歸一化的波函數, 上述步驟稱為歸一化 C稱為歸一化常數 dC212.1-4用歸一化的波函數, 幾率密度可以寫作2),(),(tzyxtzyxw2.1-5在時刻t, 在坐標x到x+dx、y到y+dy、z到zdz的無限小區域d內找到粒子的幾率為dtzyxtzyxdW2),(),(2.1-5在一個有限體積V內找到粒子的幾率為dtzyxtzyxWV2),(),(由波函數的統計解釋, 一個物理的波函數都必須是歸一化的.我們以后都用歸一化的波函數表示微觀粒子的狀態.沒有歸一化的首先要把它歸一化. 否則波函數的統計解釋將沒有意義。相因子: 波函數即使在歸一化以后也還不是完全確定的還

22、不是完全確定的,因為對一個已經歸一化的波函數,我們還可以用一個常數 ie(是實常數)去乘波函數,這樣既不影響空間各點找到粒子的幾率,也不影響波函數的歸一化,因為 22ie稱為相因子,歸一化波函數可以含有一任意相因子歸一化波函數可以含有一任意相因子. ie在歸一化時,還必須注意,并不是所有的波函數都可以按歸一化,這種歸一化要求d2為有限值, 如果這個條件不滿足,即 d2發散,這種歸一化就沒有意義.比如,平面波)(),(EtipAetrpr就是不滿足這個條件的一個例子.這種波能否代表真實的自由粒子，我們以后再說。由于波函數的幾率解釋，所以，所有描述真實物理狀態的波函數都必須是歸一化的。22.( ,

23、 )baabx tdxt在 時刻發現粒子處于 和 之間的幾率這個幾率是的圖形中a到b之間所包含的面積。 對圖所給的波函數,你將非常可能在點A附近區域發現粒子,因為這里的2比較大,而在點B附近可能發現不了粒子。由波恩的統計解釋和歸一化的波函數，我們知道波函數的統計詮釋在量子力學中引入了一種不確定性不確定性，即便你根據這個理論知道了一個粒子的所有信息（它的波函數），你仍然不能在一個簡單的測量它位置的實驗中確切地預言實驗結果量子力學所能提供的僅是一些可能結果的統計信息。這個不確定性曾嚴重困惑了物理學家和哲學家，很自然人們要問，這種不確定性是事物的本質，還是理論的缺陷？假定我們確實測量了這個粒子的位置

24、并且發現它在點C。問題：在我們恰好進行測量之前這個粒子在那里？有三種可能的回答，它們代表三種主要學派對不確定性的不同看法。1. 現實主義學派現實主義學派：粒子還是在C。聽起來像一個很合理的回答，這也是愛因斯坦（Einstein）所持的觀點。可是注意，如果這是真實的，這就意味著量子力學是一個不完備的理論，如果粒子在測量前就在，而量子力學沒有能力告訴我們這一點。對現實主義而言，不確定性不是自然的本性，而是反映了我們對自然的無知。dEspagnat強調說“粒子的位置從來就不是不可確定的，而僅是試驗者不知道而已。顯然波函數不是全部的故事需要提供某些附加的信息（稱為隱變量隱變量）才能提供對粒子的完全描述

25、。2. 正統學派正統學派：粒子哪也不在。是測量強迫粒子“在某處露面”（盡管我們無法知道為什么及如何它決定在C露面）。Jordan更加明確指出：“觀測者不僅擾動了被觀測量，而且產生了它 我們強迫(粒子)出現在特定的位置.這種觀點(稱為哥本哈根（哥本哈根（Copenhagen）學派）學派解釋),源于波爾（Bohr）和其追隨者。在物理學家中是被最廣泛接受的觀點。可是注意，如果這種觀點是正確的，測量的作用將非常獨特對其爭論了半個世紀但少有進展。3不可知論學派不可知論學派：拒絕回答。這個回答并不是像它聽起來那樣糊涂愚蠢首先，知道你的回答是否正確的唯一途徑是進行一個精確的測量，那么什么情況可以叫做 “測量

26、前”？在這種情況下，對測量前粒子的狀態進行論斷有什么意義？為某些由其本質是不可能被檢測的事而擔憂是故弄玄虛。Pauli（泡利）曾說過：“和討論一個針尖上能坐多少天使的遠古問題一樣，我們無需為某些我們根本無法知道的事情浪費腦力”。數十年來,大多數物理學家采取這種回避的姿態。他們向你兜售正統學派的觀點，但是如果你堅持，他們停止對話，又會回到不可知論的觀點。直到最近，所有三種觀點還都有自己的支持者。但是在1964年John Bell震驚了物理學界，他宣布粒子在測量前有沒有一個確定的位置在觀測上會導致不同的測量結果。Bell的發現排除了不可知論作為一種可能的觀點，并且把判斷正統觀點和現實主義觀點誰是正

27、確的變成一個實驗的問題。至于現在，只需指出實驗已經決定性的證實了正統觀點：一個粒子在測量前沒有一個確定的位置，就像水面的波紋，是測量的過程給出了一個具體數量，在這個意義上，給出了受波函數統計權重限定的特定的結果。如果緊接著第一次測量進行第二次測量，能測量到什么結果？粒子還是在C？還是每次都測量到一個完全的不同的新結果？在這個問題上所有人都是完全一致的：一個重復實驗（對同一粒子）將產生同樣的結果。 的確，如果緊接的第二次測量不能證實粒子在C，它將是很困難證明粒子在第一次測量確實出現在C。正統觀點如何解釋第二測量結果限制粒子在C？事實是第一次測量完全改變了波函數，所以它現在是尖銳的在C點聳起（圖1

28、.3）。我們稱之為由于測量產生的波函數的坍塌坍塌,在C點生成針狀波形(由于波函數遵從薛定鄂方程,這個波將很快彌散開來,所以第二次測量要立即進行)。所以存在兩類完全不同的物理過程:“正常”類，波函數按薛定鄂方程“從容不迫”的演化，“測量”類，由于測量，波函數突然和不連續的坍塌。1.3 幾個有關幾率的基本概念1.3.2 連續變量分布情況設幾率密度為(x), (波函數的模方2就是幾率密度. )則有 2222( )1 ( )( ) ( )( )( ) ()babaxx dxPx dxxxx dxfxfxx dxxxx歸一化X在a、b區間的幾率平均值X函數的平均值標準方差1.4期待值知道了波函數，我們就

29、知道了測量粒子的坐標得到它處于某處的幾率，也知道了對一個系綜大量相同體系測量的平均值。那么其他物理量呢？我們先來考慮粒子的動量。我們計算坐標期待值隨時間的變化率 dxxxxxmidxtxdtxd*22dxxxmidtxd*2利用分部積分公式,上式可以寫為1/xx)(我們利用了,并丟掉了邊界項,因為在無限大處趨于零。)對第二項再進行一次分部積分,有dxxmidtxd*我們拿這個結果做什么？注意我們討論的是坐標期待值的“速度”，它同粒子的速度不是一回事。在量子力學中速度意味著什么都不是很清楚的：如果粒子沒有一個確定的位置(在測量之前)，那么它也不會有一個明確定義的速度。我們只能問的是得到一個特定值

30、的幾率是多少。對我們目前的而言，我們假設速度的期待值等于位置期待值對時間的導數就足夠了：dtxdv 這個式子告訴我們如何從坐標的期待值計算速度的期待值，由動量與速度的關系動量的期待值可以寫作 *.d xpmidxdtx *,xxdx*.pdxix讓我們把坐標和動量的期待值寫作更有啟發性的形式我們說在量子力學中算符x表示位置，算符 x x)/)(/(xi“表示”動量；計算期待值時我們把適當的算符放在 *和之間，然后積分。 事實上，所有經典力學量都可以表示為坐標和動量的函數（當然還有非經典量，比如自旋，方法一樣）。例如，動能是mpmvT22122角動量是prmvrL (當然,角動量對一維運動不存在

31、)。要計算任何物理量 ),(pxQ的期待值,我們簡單地可以用 )/)(/(xi取代每一個p 再把得到的算符放在 *和 之間，然后積分。*( , ),.Q x pQ xdxix當粒子處于態 ),(tx時，對于一個力學量，如果我們還想知道測量這個力學量 可以得到那些特定值，得到某個特定值的幾率是多少，那么該如何做？這個問題留在以后再說。態疊加原理態疊加原理v在經典物理中,聲波和光波都遵從迭加原理:兩個可能的波動過程1和2線性迭加的結果1+2也是一個可能的波動過程.光學中的惠更斯原理就是這樣一個原理,它告訴我們:在空間任意一點P的光波振幅可以由前一時刻波前上所有各點傳播出來的光波在P點線性疊加起來而

32、得出.在聲學和光學中,利用這個原理可以解釋聲和光的干涉,衍射現象.v微觀粒子具有波動性, 微觀粒子的狀態可以由一個波函數來完全描寫,那么波函數滿足不滿足迭加原理呢? 或者說微觀粒子的狀態滿足不滿足迭加原理呢?量子力學中的態疊加原理S1S2電子源電子源感感光光屏屏P 現在我們來看量子力學中的態疊加原理.以粒子的雙狹縫衍射實驗為例.用1表示粒子穿過上面狹縫到達屏幕B的狀態, 用2表示粒子穿過下面狹縫到達屏幕B的狀態, 再用表示粒子穿過兩個狹縫到達屏幕B的狀態.那么可以寫為1和2的線性疊加,即=c11+2,式中c1和c2是復數.12v態疊加原理態疊加原理:如果如果 1和和 2是量子體系的可能狀態是量

33、子體系的可能狀態,那么它們那么它們的線性疊加的線性疊加 =c1 1+c2 2 (c1和和c2是復數是復數) (2.2-1)也是這個體系的一個可能狀態也是這個體系的一個可能狀態. 態疊加原理還有這樣的含義態疊加原理還有這樣的含義:當粒子處于態當粒子處于態 1和和 2的線性疊加態的線性疊加態 時時,粒子是既處在粒子是既處在 1態態,又處在又處在 2態態,或說部分地處于態或說部分地處于態 1和和 2.按照態疊加原理我們可以解釋微觀粒子的衍射現象.粒子在屏幕上一點P出現的幾率密度是*21*212*12*122221122112*2*1*1*222112)(cccccccccccc可以看出粒子穿過雙狹縫

34、后在P點的幾率密度2 一般不等于粒子穿過上面狹縫到達P點的幾率密度c112與粒子穿過下面狹縫到達P點的幾率密度c222之和,而是等于c112 + c222再加上干涉項. 衍射圖樣的產生證實了干涉項的存在.2.2-2推廣到更一般的情況:當1, 2, .n,.是體系的可能狀態時,它們的線性疊加nnnnncccc.22112.2-3也是體系的一個可能狀態; 也可以說,當體系處于態時,體系部分地處于態1, 2, .n,.中.態迭加原理: 電子的晶體表面衍射之例,粒子在晶體表面發射后,可能以各種不同的動量p運動.按照態疊加原理,在晶體表面上反射后,粒子的狀態可以表示為p取各種可能值的平面波的線性疊加;

35、dpprpr),()(),(tct2.2-5)(),(rPppEtiAet其中2.2-4是動量為P的平面波函數粒子經過晶體表面反射后所產生的衍射現象,就是這許多平面波相互干涉的結果.由于動量是連續變化的,上公式中的求和應該以對動量的積分所代替.zyxdpdpdptct)(),(),(rprp實際上任何一個波函數都可以看作是各種不同的平面波的疊加,也就是說任何一個波函數都可以用平面波來展開)(rpzyxdpdpdptct)(),(),(rprp2.2-6rppr.2/3)2(1)(ie式中2.2-7平面波的含時部分我們已把它寫入2/3)2 ( (以后說明為什么) )(rp),(tc p為動量為p

36、的平面波,其中歸一化常數A已取作 我們仍然稱可以求出dxdydzettcirprp.2/3),()2(1),(2.2-8可以看出和),(tc p互為傅立葉變換),(tr),(tc p),(tc p),(tr),(tr),(tc p),(tr),(tc p 當給定后, 也由(2.2-8)完全確定,反之,當給定后, 也由(2.2-9)完全確定.由此可見, 和是同一個狀態的兩種不同描述方式. 是以坐標為自變量的波函數, 則是以動量為自變量的波函數, 它們描述同一個狀態. 在一維情況下 dpetpctxxpi.2/1),()2(1),(dxetxtpcirp.2/ 1),()2(1),(（一）（一）

37、定域幾率守恒定域幾率守恒在波函數是隨時間變化的情況下在波函數是隨時間變化的情況下,幾率也將隨時間變化幾率也將隨時間變化,幾率密度幾率密度在空間的分布將隨之變化在空間的分布將隨之變化,那么幾率將怎樣隨時間變化呢那么幾率將怎樣隨時間變化呢?幾率密度隨時間的變化率是幾率密度隨時間的變化率是; 2|),(|),(),(),(trtrtrtrw波函數隨時間變化的規律滿足薛定諤方程，波函數的變化將波函數隨時間變化的規律滿足薛定諤方程，波函數的變化將引起在空間發現粒子幾率的而變化引起在空間發現粒子幾率的而變化. .我們現在討論粒子在一定我們現在討論粒子在一定空間區域內出現的空間區域內出現的幾率將怎樣隨時間變

38、化幾率將怎樣隨時間變化。粒子在。粒子在 t t 時刻時刻 r r 點周圍單位體積內粒子出現的幾率即幾率密度是：點周圍單位體積內粒子出現的幾率即幾率密度是：tttw*2.4-12.4-2粒子流密度和粒子數守恒定律粒子流密度和粒子數守恒定律考慮考慮 SchrSchrdinger dinger 方程及其共軛式：方程及其共軛式：222iVtm 222iVtm 得到并用第一式減去第二式式第二式第一式將,)()(2222 titi)(2)(2*2*iitw令)(2* iJ2.4-4則(2.4-3)可以寫作0J tw2.4-5這方程具有連續性方程的形式.為了說明矢量J的意義,對空間任意一個體積V積分dSJd

39、dwdtdtwSnVVSVSJJ2.4-7與流體力學中與流體力學中連續性方程的連續性方程的形式相同形式相同SdS上公式左邊表示單位時間內V中幾率的增加,右邊是矢量J在V的邊界S上法向分量的面積分,因此可以把J解釋為幾率流密度矢量幾率流密度矢量, 它在S面上的法向分量表示單位時間內流過S面上單位面積的幾率.(2.4-7)表示單位時間內體積V中增加的幾率,等于從體積V外部穿過V的邊界面S而流進V內的幾率.這里的幾率守恒具有定域性質，當空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現這種變化。V如果波函數在無限遠處為零(并非總是如此),我們可以把積分區域擴展到整個空間

40、,在時(2.4-7)右邊的面積分顯然為零,所以有即在整個空間內找到粒子的幾率與時間無關.如果波函數是歸一的,它將保持歸一的性質,而不隨時間改變.0*ddtdwddtd2.4-82),( twwr(幾率幾率)質量密度質量密度 (幾率幾率)質量流密度質量流密度 )(2* iJJ0Jtw質量守恒定律質量守恒定律 2),( tewwer)(2* ieeeJJ0Jeetw電荷密度電荷密度 電流密度電流密度 電荷守恒定律電荷守恒定律 （二）再論波函數的性質（二）再論波函數的性質 （1 1）由）由 Born Born 的統計解釋可知，描寫粒子的波函數已知的統計解釋可知，描寫粒子的波函數已知后，就知道了粒子在

41、空間的幾率分布，即后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即 d w(rd w(r, t) = |(r, t)|, t) = |(r, t)|2 2 d d （2 2）已知）已知 (r, t)(r, t)， 則任意力學量的平均值、可能值及相則任意力學量的平均值、可能值及相應的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態的一切力學量就應的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態的一切力學量就都知道了。所以波函數又稱為狀態波函數或態函數。都知道了。所以波函數又稱為狀態波函數或態函數。 （3 3）知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態）知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態后，由后，由SchrSc

42、hrdingerdinger方程即可確定以后時刻的狀態。方程即可確定以后時刻的狀態。1 1、波函數完全描述粒子的狀態、波函數完全描述粒子的狀態2 2、波函數標準條件、波函數標準條件 （1 1）根據）根據BornBorn統計解釋統計解釋 w(r,tw(r,t) = ) = * *(r,t)(r,t(r,t)(r,t) )是粒子在是粒子在t t時刻出現在時刻出現在 r r點處單位體積內的幾率，這是一個確定的數，所以要點處單位體積內的幾率，這是一個確定的數，所以要求求(r, t)(r, t)應是應是 r, tr, t的的單值單值函數且函數且有限有限。 含有含有及其對坐標一階導數的積分，由于積分區域及其對坐標一階導數的積分，由于積分區域是任意是任意選取的，所以選取的，所以S S是任意閉合面。要使積分有意義，是任意閉合面。要使積分有意義，必須在變數的必須在變數的全部范圍，即空間任何一點都應是有限、連續且其一階導數亦連全部范圍，即空間任何一點都應是有限、連續且其一階導數亦連續。續。 波函數在全空間每一點通常應滿足單值、有限、連續三個條波函數在全空間每一點通常應滿足單值、有限、連續三個條件，該條件稱為波函數的標準條件。件，該條件稱為波函數的標準條件。SdiS