1、第十六章第十六章 虛位移原理虛位移原理 系統(tǒng)的約束及其分類系統(tǒng)的約束及其分類 虛位移及其計算虛位移及其計算引引 言言 虛位移原理，是用分析的方法來研究任意虛位移原理，是用分析的方法來研究任意質(zhì)點系的平衡問題。這部分內(nèi)容稱為分析靜力質(zhì)點系的平衡問題。這部分內(nèi)容稱為分析靜力學(xué)。虛位移原理給出的平衡條件，對于任意質(zhì)學(xué)。虛位移原理給出的平衡條件，對于任意質(zhì)點系的平衡都是必要與充分的，因此它是解決點系的平衡都是必要與充分的，因此它是解決質(zhì)點系平衡問題的普遍原理。同時，將虛位移質(zhì)點系平衡問題的普遍原理。同時，將虛位移原理和達(dá)朗伯原理相結(jié)合，可以導(dǎo)出動力學(xué)普原理和達(dá)朗伯原理相結(jié)合，可以導(dǎo)出動力學(xué)普遍方程和拉

2、格朗日方程，從而得到求解質(zhì)點系遍方程和拉格朗日方程，從而得到求解質(zhì)點系動力學(xué)問題的又一個普遍的方法。動力學(xué)問題的又一個普遍的方法。 限制質(zhì)點系中各質(zhì)點的位置和運動的條件稱為約束。表限制質(zhì)點系中各質(zhì)點的位置和運動的條件稱為約束。表示這些限制條件的表達(dá)式稱為約束方程。根據(jù)約束形式及其示這些限制條件的表達(dá)式稱為約束方程。根據(jù)約束形式及其性質(zhì)，約束可分以下類型：性質(zhì)，約束可分以下類型： 一、幾何約束與運動約束一、幾何約束與運動約束 限制質(zhì)點或質(zhì)點系在空間的幾何位置的約束稱為幾何約束。限制質(zhì)點或質(zhì)點系在空間的幾何位置的約束稱為幾何約束。如：如：Oxy),(yxMl222lyx約束類型及分類約束類型及分類

3、O),(AAyxA),(BByxBrlxy0)()(222222BABABAAylyyxxryx 幾何約束方程的一般形式為幾何約束方程的一般形式為0),(111 nnnrzyxzyxf 不僅能限制質(zhì)點系的位置，而且能限制質(zhì)點系中各質(zhì)點的不僅能限制質(zhì)點系的位置，而且能限制質(zhì)點系中各質(zhì)點的速度的約束稱為運動約束。速度的約束稱為運動約束。),(BByxBBvOxyCr為幾何約束方程。為幾何約束方程。ryB0rxB為運動約束方程。為運動約束方程。運動約束方程的一般形式為運動約束方程的一般形式為0),(111111 nnnnnnrzyxzyxzyxzyxf 二、定常約束與非定常約束二、定常約束與非定常約

4、束約束條件不隨時間變化的約束稱為定常約束。約束條件不隨時間變化的約束稱為定常約束。約束條件隨時間變化的約束稱為非定常約束。約束條件隨時間變化的約束稱為非定常約束。 Oxy),(yxMu0l其約束方程為其約束方程為2022)(utlyx 非定常約束方程的一般形式為非定常約束方程的一般形式為0),(111 tzyxzyxfnnnr 三、雙面約束與單面約束三、雙面約束與單面約束 同時限制質(zhì)點某方向及相反方向運動的約束稱為雙面約同時限制質(zhì)點某方向及相反方向運動的約束稱為雙面約束。束。 只能限制質(zhì)點某方向的運動，而不能限制相反方向運動只能限制質(zhì)點某方向的運動，而不能限制相反方向運動的約束稱為單面約束。其

5、約束方程的一般形式為的約束稱為單面約束。其約束方程的一般形式為0),(111 nnnrzyxzyxf四、完整約束與非完整約束四、完整約束與非完整約束 幾何約束或其約束方程能夠積分的運動約束稱為幾何約束或其約束方程能夠積分的運動約束稱為完整約束。完整約束。 如果在約束方程中顯含坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)，并且如果在約束方程中顯含坐標(biāo)對時間的導(dǎo)數(shù)，并且不可以積分，這種約束稱為非完整約束。不可以積分，這種約束稱為非完整約束。 本章只研究定常的雙面的完整的幾何約束問題。本章只研究定常的雙面的完整的幾何約束問題。一、虛位移的概念一、虛位移的概念 在某瞬時，質(zhì)點系在約束允許的條件下，可能實在某瞬時，質(zhì)點系在約束允許

6、的條件下，可能實現(xiàn)的任何微小的位移，稱為該質(zhì)點系的虛位移。如現(xiàn)的任何微小的位移，稱為該質(zhì)點系的虛位移。如Oxy),(yxMrOABxyArBr 虛位移原理虛位移原理 必須指出，虛位移和實位移都受約束的限制，是必須指出，虛位移和實位移都受約束的限制，是約束所允許的位移，但二者是有區(qū)別的。實位移是在約束所允許的位移，但二者是有區(qū)別的。實位移是在一定的力作用下和給定的運動初始條件下，在一定的一定的力作用下和給定的運動初始條件下，在一定的時間內(nèi)發(fā)生的位移，具有確定的方向，可能是微小值，時間內(nèi)發(fā)生的位移，具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值。而虛位移純粹是一個幾何概念，它也可能是有限值。而虛位移

7、純粹是一個幾何概念，它既不牽涉到系統(tǒng)的實際運動，也不涉及到力的作用，既不牽涉到系統(tǒng)的實際運動，也不涉及到力的作用，與時間過程和運動的初始條件無關(guān)，它一定是微小值，與時間過程和運動的初始條件無關(guān)，它一定是微小值，在約束允許的條件下具有任意性。一個靜止的質(zhì)點或在約束允許的條件下具有任意性。一個靜止的質(zhì)點或質(zhì)點系不會發(fā)生實位移，但可以有虛位移。在定常約質(zhì)點系不會發(fā)生實位移，但可以有虛位移。在定常約束的情況下，微小實位移必定是虛位移中的一個。在束的情況下，微小實位移必定是虛位移中的一個。在非定常約束的情況下，實位移與虛位移沒有關(guān)系。非定常約束的情況下，實位移與虛位移沒有關(guān)系。二、虛位移的計算二、虛位移

8、的計算1 1、幾何法、幾何法 這里僅討論定常約束的情形。在此條件下，真實這里僅討論定常約束的情形。在此條件下，真實位移是虛位移中的一個。因此可以用求實位移的方法位移是虛位移中的一個。因此可以用求實位移的方法來求各質(zhì)點虛位移之間的關(guān)系。這種方法又稱虛速度來求各質(zhì)點虛位移之間的關(guān)系。這種方法又稱虛速度法。例如：法。例如：ABABABvvtvtvrrOABxyArBrC由于由于ABAB作平面運動作平面運動，由速度投影定理速度投影定理)sin()(90coscosAABvvvcos)sin(ABABvvrr或者，由于或者，由于 為為AB的瞬心的瞬心，故故COABxyArBrCACBCvvBCvACvA

9、BBA即由正弦定理由正弦定理cos)90sin()sin(ACACBC同樣可得同樣可得cos)sin(ACBCvvrrABAB 2 2、解析法、解析法 解析法是利用對約束方程或坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行變解析法是利用對約束方程或坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行變分以求出虛位移之間的關(guān)系。例如分以求出虛位移之間的關(guān)系。例如),(AAyxA),(BByxBxyOAyBxl 橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖，坐標(biāo)橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖，坐標(biāo)AByx ,有約束方程有約束方程222lyxAB對上式進(jìn)行變分運算得對上式進(jìn)行變分運算得022AABByyxxtgxyyxBAAB),(AAyxA),(BByxBxyOAyBxl或者把或者把 表示成表示成 的函數(shù)，也的

10、函數(shù)，也可求出虛位移間的關(guān)系。可求出虛位移間的關(guān)系。AByx ,因為coslxBsinlyA作變分運算作變分運算sinlxBcoslyA所以所以tgyxAB 比較以上兩種方法，可以發(fā)現(xiàn)，幾何法直觀，比較以上兩種方法，可以發(fā)現(xiàn)，幾何法直觀，且較為簡便，而解析法比較規(guī)范。且較為簡便，而解析法比較規(guī)范。MFr 如圖所示，設(shè)某質(zhì)點受力如圖所示，設(shè)某質(zhì)點受力 作用，作用，并給該質(zhì)點一個虛位移并給該質(zhì)點一個虛位移 ，則力，則力 在虛在虛位移位移 上所作的功稱為上所作的功稱為虛功虛功，即，即FFrrrFW或或rFWcos 顯然，虛功也是假想的，它與虛位移是同階無顯然，虛功也是假想的，它與虛位移是同階無窮小量

11、窮小量。 如果在質(zhì)點系的任何虛位移中，所有的約束反如果在質(zhì)點系的任何虛位移中，所有的約束反力所作虛功的和等于零，則這種約束稱為理想約束力所作虛功的和等于零，則這種約束稱為理想約束。其條件為其條件為0iiNrNW三三、 虛位移原理虛位移原理 常見的理想約束有：常見的理想約束有： 支承質(zhì)點或剛體的光滑固定面、連接物體的光支承質(zhì)點或剛體的光滑固定面、連接物體的光滑鉸鏈、連接兩個質(zhì)點的無重剛桿、連接兩個質(zhì)點滑鉸鏈、連接兩個質(zhì)點的無重剛桿、連接兩個質(zhì)點不可伸縮的繩索、無滑動的滾動。不可伸縮的繩索、無滑動的滾動。 具有雙面、定常、理想約束的質(zhì)點系，具有雙面、定常、理想約束的質(zhì)點系，在某一位置處于平衡的、必

12、要與充分條件是：在某一位置處于平衡的、必要與充分條件是：所有作用于質(zhì)點系上的主動力，在該位置的所有作用于質(zhì)點系上的主動力，在該位置的任何虛位移中所作的虛功之和等于零。任何虛位移中所作的虛功之和等于零。其數(shù)其數(shù)學(xué)表達(dá)式為學(xué)表達(dá)式為0iirF或或0cosiiirF或用解析式表示為或用解析式表示為0)(iiiiiizZyYxX以上三式稱為以上三式稱為虛功方程虛功方程。虛位移原理也稱。虛位移原理也稱虛虛功原理功原理。 一、求主動力之間的關(guān)系一、求主動力之間的關(guān)系OABPQBrArCPQ例例1 、 圖示機(jī)構(gòu)中，已知圖示機(jī)構(gòu)中，已知OA=AB=l， 如不計各構(gòu)件的重量和摩擦，求在圖示位置平如不計各構(gòu)件的重

13、量和摩擦，求在圖示位置平衡時主動力衡時主動力 與與 的大小之間的關(guān)系。的大小之間的關(guān)系。 AOB 解解1：以系統(tǒng)為研究對象，受的主動力：以系統(tǒng)為研究對象，受的主動力有有 、 。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。PQ由虛位移原理由虛位移原理0iirF，得得四、例題講解sin2sin2llACBCvvrrABAB將以上關(guān)系代入前式得將以上關(guān)系代入前式得0)sin2cos(ArQP由于由于 ，于是得，于是得0ArQtgP2 AB作平面運動，瞬心在作平面運動，瞬心在 點，則點，則C0cosBArQrPOABPQBrArC 亦可由速度投影定理求虛位移之間的關(guān)系：亦可由速度投影定理求虛位移之間的

14、關(guān)系：由速度投影定理由速度投影定理2sincosABvvsin2ABABvvrrOABPQBrArCOABPQBrAr 解解2：解析法。建立如圖坐標(biāo)。：解析法。建立如圖坐標(biāo)。xy由于由于PXAQYB且且sinlxAcos2lyB對上兩式作變分，得對上兩式作變分，得coslxAsin2lyB由由0)(iiiiiizZyYxX，得，得0BBAAyYxX即即0)sin2)(cos)(lQlP由于由于 ，于是得，于是得0QtgP2 例例2 圖示機(jī)構(gòu)中，當(dāng)曲柄圖示機(jī)構(gòu)中，當(dāng)曲柄OC繞軸擺動時，滑塊繞軸擺動時，滑塊A沿曲柄自沿曲柄自由滑動，從而帶動桿由滑動，從而帶動桿AB在鉛垂導(dǎo)槽在鉛垂導(dǎo)槽K內(nèi)移動。已知

15、內(nèi)移動。已知OC=a，OK=l，在，在C點垂直于曲柄作用一力點垂直于曲柄作用一力Q，而在，而在B點沿點沿BA作用一力作用一力P。求機(jī)構(gòu)平衡時，力。求機(jī)構(gòu)平衡時，力P與與Q的關(guān)系。的關(guān)系。OxyPQABKClaCrArerrrOxyPQABKClaCrArerrr 解解1：（幾何法）以系統(tǒng)為：（幾何法）以系統(tǒng)為研究對象，受的主動力有研究對象，受的主動力有P、Q 。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。給系統(tǒng)一組虛位移如圖。其中其中reArrr由虛位移原理由虛位移原理0iirF，得，得0CArQrP式中式中arC2coscoslrreA故有故有0cos2QalP由于由于 ，于是得，于是得0PalQ2cosOxyP

16、QABKCla主動力作用點的坐標(biāo)及其變分為主動力作用點的坐標(biāo)及其變分為主動力在坐標(biāo)方向上的投影為主動力在坐標(biāo)方向上的投影為 解解2 解析法解析法:建立如圖坐標(biāo)。建立如圖坐標(biāo)。ltgyA2coslyAcosaxCsinaxCsinayCcosayCPYAsinQXCsinQYC由由0)(iiiiiizZyYxX，得，得0CCCCAAyYxXyY即即0cos)cos()sin(sincos2aQaQlP亦即亦即0cos2QalP由于由于 ，于是得，于是得0PalQ2cosOxyPQABKCla 解解3：綜合法。：綜合法。OxyPQABKCla 本題用解析法計算本題用解析法計算 力的虛功，力的虛功，

17、用幾何法計算用幾何法計算 力的虛功，此時虛功力的虛功，此時虛功方程可以寫為方程可以寫為PQ0CAArQyY將將PYAltgyA代入上式，得代入上式，得0)(CrQltgP即即0cos2QalP可得同樣的結(jié)果。可得同樣的結(jié)果。二、求系統(tǒng)的平衡位置二、求系統(tǒng)的平衡位置ABCDEWaabb 例例3 圖示平面機(jī)構(gòu)，兩桿長度相等。在圖示平面機(jī)構(gòu)，兩桿長度相等。在B點掛有重點掛有重W的重的重物。物。D、E兩點用彈簧連接。已知彈簧原長為兩點用彈簧連接。已知彈簧原長為l，彈性系數(shù)為，彈性系數(shù)為k，其它尺寸如圖。不計各桿自重。求機(jī)構(gòu)的平衡位置。其它尺寸如圖。不計各桿自重。求機(jī)構(gòu)的平衡位置。ABCDEWFFxy

18、解：以系統(tǒng)為研究對象，建立如解：以系統(tǒng)為研究對象，建立如圖的坐標(biāo)。圖的坐標(biāo)。 系統(tǒng)受力有主動力系統(tǒng)受力有主動力 ，以及，以及非理想約束的彈性力非理想約束的彈性力 和和 ，將，將其視為主動力。其彈性力的大小其視為主動力。其彈性力的大小為為WFF)cos2(lbkkF主動力作用點的坐標(biāo)及其變分為主動力作用點的坐標(biāo)及其變分為sin)(bayBcos)(bayBcosaxDsinaxDcos)2(baxEsin)2(baxEABCDEWFFxy主動力在坐標(biāo)方向上的投影為主動力在坐標(biāo)方向上的投影為WYBFXDFXE由由0)(iiiiiizZyYxX，得，得0EEDDBByYxXyY即即0sin)2()s

19、in(cos)(baFaFbaW亦即亦即0sin2cos)(FbbaW因因 ，故，故00sin2cos)(FbbaW將將F代入，化簡得代入，化簡得)cos2(2)(lbkbbaWtg 三、求約束反力三、求約束反力 例例4 試求圖示多跨靜定梁鉸試求圖示多跨靜定梁鉸B處的約束反力。處的約束反力。44433336ABCDEFG1P2P3PM 解：以梁為研究對象，解除解：以梁為研究對象，解除B處約束，代之以相應(yīng)的約處約束，代之以相應(yīng)的約束反力束反力 ，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。BYABCDEFG1P2P3PMBY1r2rBr3rEr 由虛位移

20、原理有由虛位移原理有0332211MrPrPrYrPBB由圖知由圖知161181163,811,21223321BBBBrrrrrrrrrr96111621162BBEBrrrrrBrr16113Br9611于是得于是得0)9611161181121(321BBrMPPYP從而有從而有MPPPYB96111611811213210Br 例題5. 多跨梁由AC和CE用鉸C連接而成。荷載分布如圖示.P=50KN，均布荷載q=4KN/m，力偶矩m=36KN.m ；求支座A、B和E的約束反力。3m 3m 6m6m6mABCDEPqm解解: 解除支座解除支座A的約束的約束,代之約束反力代之約束反力RA,

21、畫虛位移圖如下畫虛位移圖如下. 其中其中Q1=24KN, Q2=24KN. 12rArC B是是AC桿的瞬心桿的瞬心. E是是CE桿的瞬心桿的瞬心. 利用虛位移圖得利用虛位移圖得: rC = (BC)1 = (CE)2 1 = 22 3m 3m 6m6m6mABCDEPqmQ1Q2RABEW(RA) =6 RA1 W(P) = -1501 6RA1-1501+721+2162 - 362 = 0 RA = -2KN W(Q1) =721W(Q2) = 2162W(m) = - 362由虛位移原理得由虛位移原理得:12rArC3m 3m 6m6m6mABCDEPqmQ1Q2RABE利用虛位移圖計

22、算虛功利用虛位移圖計算虛功3m 3m 6m6m6mABCDEPqm解除支座解除支座B的約束的約束,代之約束反力代之約束反力RB ,畫虛位移圖畫虛位移圖. E是是CE桿的瞬心桿的瞬心.利用虛位移圖得利用虛位移圖得:rC = (AC)1 = (CE)21 = 2 = rC12Q1Q2RBEW(P) =1501 由虛位移原理得由虛位移原理得: RB = 91 KNW(RB) = - 6RB1W(Q1) = 2161W(Q2) = 2162W(m) = - 362-6RB1+1501+2161+2162 -362 = 0利用虛位移圖計算虛功利用虛位移圖計算虛功3m 3m 6m6m6mABCDEPqm

23、rC12Q1Q2RBE解除支座解除支座E的約束的約束,代之約束反力代之約束反力RE畫虛位移圖畫虛位移圖. rE利用虛位移圖計算虛功利用虛位移圖計算虛功W(RE) = 12REW(m) = -36W(Q2) = -72由虛位移原理得由虛位移原理得:12RE - 72 - 36 = 0RE = 9 KN3m 3m 6m6m6mABCDEPqmQ1Q2RE331224ABCDE2P1Pq 例例6 圖示多跨靜定梁，試求圖示多跨靜定梁，試求A端處約束反力偶矩及鉛端處約束反力偶矩及鉛垂反力。已知：垂反力。已知： , , , 長度單位為長度單位為m。kNP801kNP602mkNq10ABCDE2P1PqA

24、M3rDr2r1rBr 解：（解：（1）求）求A端約束反力偶矩。端約束反力偶矩。 以梁為研究對象，解除以梁為研究對象，解除A處限制轉(zhuǎn)動的約束，代之以相處限制轉(zhuǎn)動的約束，代之以相應(yīng)的約束反力偶矩應(yīng)的約束反力偶矩 ，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。如圖所示。AM 由虛位移原理有由虛位移原理有0432211rqrPrPMA由幾何關(guān)系得由幾何關(guān)系得463232,321Brrr26313221213BDrrr于是得于是得0)843(21qPPMA0故有mkNqPPMA40084321（2）求）求A處鉛垂反力處鉛垂反力解除解除A處鉛垂的約束，代之以處鉛垂的約束，代

25、之以相應(yīng)的約束反力相應(yīng)的約束反力Y，并視為主，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。圖所示。331224ABCDE2P1PqABCDE2P1PqAYAr1rBr3rDr2r 由虛位移原理有由虛位移原理有于是有于是有0)3432(21AArqPPY0432211rqrPrPrYAA由幾何關(guān)系得由幾何關(guān)系得ABBArrrrrr3232,21ABDrrrr3132212130Ar故有故有kNqPPYA7 .106343221ABCDE2P1PqAYAr1rBr3rDr2r例例7 ： 求圖示靜定剛架支座求圖示靜定剛架支座D處的水處的水平反力。平反力。Pm5m5ABCD 解：以剛架為研究對象，解除解：以剛架為研究對象，解除D處的水平約束，代之以相應(yīng)的約處的水平約束，代之以相應(yīng)的約束反力束反力 ，并視為主動力。給系，并視為主動力。給系統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。統(tǒng)一組虛位移，如圖所示。DXDXPABCDCEErDrCrBrAr 由虛位移原理有由虛位移原理有0cosEDDrPrX于是支座于是支座D的水平反力為的水平反力為PXD21AEECrDcos0且故故0CCAEPXD