1、第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用教學(xué)與考試基本要求1 理解多元函數(shù)、多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念，會求多元函數(shù)的定義域、二重極限；2 會求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分、全導(dǎo)數(shù)等；3 會求空間曲線的切線及法平面、空間曲面的切平面及法線方程；4 會求方向?qū)?shù)和梯度5 會用多元函數(shù)微分法解決簡單的最大值最小值問題多元函數(shù)的概念一、主要內(nèi)容回顧二重極限設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果動點(diǎn)沿任意方式趨近于時，對應(yīng)的函數(shù)值總是趨近于一個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當(dāng)時的極限，或稱函數(shù)在點(diǎn)處收斂于，記為注意：如果點(diǎn)只是沿某一條或幾條特殊路徑趨向于，函數(shù)趨向于某一確定的值，不能判斷函數(shù)的極限存在；反過來，如果當(dāng)沿不同的路

2、徑趨于時， 趨于不同的值，就可判定在的極限不存在注：二重極限的運(yùn)算與一元函數(shù)極限的運(yùn)算完全一致連續(xù)（1）設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)的定義，如果，則稱函數(shù)在處連續(xù)，并稱為的連續(xù)點(diǎn)（2）設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)的定義，如果，則稱函數(shù)在處連續(xù)其中稱為在處的全增量（3）若函數(shù)在內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，稱函數(shù)在內(nèi)連續(xù)（4）函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)一階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，（）若存在，則稱此極限為在處對的偏導(dǎo)數(shù)，記作，或（）若存在，則稱此極限為在處對的偏導(dǎo)數(shù)，記作，或（）若在區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)處對（或）的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則這個偏導(dǎo)數(shù)為的函數(shù)，此函數(shù)稱為對（或）的偏導(dǎo)函數(shù)，記為（或）不致混淆時也稱偏導(dǎo)函數(shù)

3、為偏導(dǎo)數(shù)幾何意義（）表示空間曲線在點(diǎn)的切線對軸的斜率；（）表示空間曲線在點(diǎn)的切線對軸的斜率二階偏導(dǎo)數(shù)若在區(qū)域內(nèi)的偏導(dǎo)函數(shù)仍在內(nèi)可導(dǎo)，則它們的偏導(dǎo)函數(shù)是的二階偏導(dǎo)數(shù)，分別是：，其中稱為的二階混合偏導(dǎo)數(shù)同理可定義三階及三階以上的偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)注意：混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān)，但當(dāng)在內(nèi)連續(xù)時，全微分設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果全增量可表示為其中不依賴于，僅與有關(guān)，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微，稱為在點(diǎn)的全微分，記作，即若函數(shù)在內(nèi)的每一點(diǎn)處可微，稱函數(shù)的內(nèi)可微可微的性質(zhì)（）可微的必要條件：若在處可微，則在處可導(dǎo)，且（）可微的充分條件：若的偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)必可微（）記，則

4、復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（）若函數(shù)在點(diǎn)處對及對的偏導(dǎo)數(shù)存在，在對應(yīng)點(diǎn)對及對有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處對及對的偏導(dǎo)數(shù)存在，且有公式； （）對亦有； （）對有； 全導(dǎo)數(shù)設(shè)，則復(fù)合函數(shù)是的一元函數(shù)，且，稱為關(guān)于的全導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)可惟一確定一個具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足，且（）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且則方程在的某鄰域內(nèi)可惟一確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，滿足，且；空間曲線的切線及法平面（）設(shè)的參數(shù)方程為，其中都是的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，對應(yīng)曲線上的定點(diǎn)，不全為零，則在的切向量為，切線方程為法平面方程為（）若的方程為，都是的可導(dǎo)函數(shù)，則

5、在的切向量為，切線方程為：法平面方程為：空間曲面的切平面及法線（）隱式方程情形：設(shè)曲面的方程為，為上的一點(diǎn)，在的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)且不全為零，則在的法向量為，切平面方程為：法線方程為：（）顯式方程情形：設(shè)曲面的方程為，為上的一點(diǎn)，在處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在的法向量為切平面方程為：法線方程為：極值設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)不同于的任意點(diǎn)，總有，則稱為函數(shù)的一個極大值（或極小值），點(diǎn)稱為極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)駐點(diǎn)使的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)極值的必要條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且在點(diǎn)處取得極值，則極值的充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階

6、和二階偏導(dǎo)數(shù)，為函數(shù)的駐點(diǎn)，令，（1）若，則點(diǎn)是的極值點(diǎn)，且當(dāng)時，點(diǎn)為極大值點(diǎn)，當(dāng)時，點(diǎn)為極小值點(diǎn)；（2）若，則點(diǎn)不是的極值點(diǎn)；（3）若， 可能是的極值點(diǎn)，也可能不是的極值點(diǎn)函數(shù)的最大值與最小值在實(shí)際問題中，根據(jù)問題的實(shí)際意義，可以判斷函數(shù)在區(qū)域上存在最大值或最小值，且一定在區(qū)域的內(nèi)部取得，而區(qū)域內(nèi)僅有一個駐點(diǎn)，則函數(shù)必在該駐點(diǎn)處取得最大值或最小值二、常考題型1.多元復(fù)合函數(shù)的定義域例1.函數(shù)的定義域是_2.求二元函數(shù)極限例2 求極限1） 2）； 3）、4） 3.證明極限不存在例3 證明下列極限不存在（1） （2）4. 求偏導(dǎo)數(shù)及全微分例4 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（1）；（2）（3）；（4）；例5

7、 求下列函數(shù)的全微分（1）；（2）；（3）；例6 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1） 設(shè)，求 2），求3）討論函數(shù)在點(diǎn)處的可導(dǎo)性，連續(xù)性與可微性例7 1）求的二階偏導(dǎo)數(shù)。 2）證明函數(shù)滿足方程：例8設(shè)，求。例9（多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）1），其中，求2），其中，求3），其中，求4），其中，求例10（外層函數(shù)是抽象函數(shù)的多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）1），求2）設(shè)，其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求例11（隱函數(shù)求導(dǎo)）1）求由方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2）求由方程確定的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；3）設(shè)，其中由方程確定，求4）設(shè)是由方程確定，求5）設(shè) ，求.5.微分法在幾何上的應(yīng)用例11 1）求空間曲線上相應(yīng)于處的切線及法平面方程2）求曲線在點(diǎn)處的切線

8、與法平面方程3）求曲面在(2,1,0)處的切平面及法線方程4）求曲面平行于平面的切平面方程.6.求極值 例12 1）求函數(shù)的極值 2）在平面上求一點(diǎn)，使它到三直線的距離的平方和最小 3）將正數(shù)12分成三個正數(shù)之和 使得為最大. 4）求函數(shù)在圓上的最大值與最小值.7.方向?qū)?shù)及梯度例13 求 在的梯度及沿方向的方向?qū)?shù).答案：例1. 解：，所以例2.解：1） 2）3）因?yàn)椋?，由夾逼法則知，4）例3.解：(1)因?yàn)椋圆淮嬖冢?）因?yàn)椋圆淮嬖诶?.解:（1），(2) ，（3），（4），例5.解：（1）（2）為求，方程兩邊取對數(shù)，得，兩邊對求導(dǎo)，得，所以（3），例6.解：1），2）因?yàn)椋?/p>

9、以3）因?yàn)椋栽谔巸蓚€偏導(dǎo)數(shù)都存在又，故在處的極限不存在，從而在處不連續(xù)(法一）而當(dāng)時，上式極限不存在，因而不是的高階無窮小，故在處不可微(法二) 因?yàn)樵谔幉贿B續(xù)，故在處不可微例7解：1）2）證，例8 解：，例9 1）2）3） 4）例10 解：1）設(shè)，則，2），例11 解：1）設(shè)，則，從而2）設(shè)，則，從而3）方程兩邊對求導(dǎo)，,得故4）設(shè)，則，5）解 方程組兩端對求導(dǎo)，得即則 ，.同樣方程組兩端對求導(dǎo)，得, 例11解（1），切向量為，切點(diǎn)為，切線方程為法平面方程為，即2）故切向量T=1, ,=1,0,-1切線方程為，法平面方程為，即（3）設(shè)，則，法向量為1,2,0，切平面方程為，即法線方程為4）解 令 ，曲面在點(diǎn)處的法向量為，已知平面的法向量為，而切平面與已知平面平行，所以，從而有， （1）又因?yàn)辄c(diǎn)在切面上，應(yīng)滿足曲面方程 （2）(1)、（2）聯(lián)立解得切點(diǎn)為及，所以所求切平面方程為： ，或 .例12解1）令，解之得駐點(diǎn)，所以函數(shù)在取得極小值2）解設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)為，它到三直線的距離的平方和為，則，令 ，解之得