試題試題2024北京育英中學高一12月月考數學2024.12班級：_______姓名：_______一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.設集合，則（）A. B. C. D.2.不等式的解集是（）A. B. C. D.3.下列函數中，既是偶函數，又在上是增函數的是（）A. B. C. D.4.已知，則（）A. B.C. D.5.已知函數，若關于x的函數有且只有三個不同的零點，則實數k的取值范圍是（）A. B. C. D.6.甲?乙二人參加某體育項目訓練，近期的八次測試得分情況如圖，則下列結論正確的是（）A.甲得分的極差大于乙得分的極差 B.甲得分的75%分位數大于乙得分的75%分位數C.甲得分的平均數小于乙得分的平均數 D.甲得分的標準差小于乙得分的標準差7.“函數在區間上不是增函數”的一個充要條件是（）A.存在滿足 B.存在滿足C.存在且滿足 D.存在且滿足8.已知函數，對a，b滿足且，則下面結論一定正確的是（）A. B. C. D.9.已知．若對于，均有成立，則實數m的取值范圍是（）A. B. C. D.10.近年來，踩踏事件時有發生，給人們的生命財產安全造成了巨大損失．在人員密集區域，人員疏散是控制事故的關鍵，而能見度x（單位：米）是影響疏散的重要因素．在特定條件下，疏散的影響程度k與能見度x滿足函數關系：（是常數）．如圖記錄了兩次實驗的數據，根據上述函數模型和實驗數據，b的值是（參考數據：）（）A. B. C.0.24 D.0.48二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.已知冪函數y=f（x）的圖象經過點（4，2），那么這個冪函數的解析式為___________．12.某高校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是，樣本數據分組為，，，，．根據頻率分布直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于20小時的人數是________________．13.函數的單調遞減區間為_______．14.已知函數，若，則的解集為_______；若，則a的取值范圍為_______．15.一種藥在病人血液中的量保持在以上時才有療效，而低于時病人就有危險.現給某病人的靜脈注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時20%的比例衰減，設經過x小時后，藥在病人血液中的量為.（1）y關于x的函數解析式為______；（2）要使病人沒有危險，再次注射該藥的時間不能超過______小時.(精確到0.1)(參考數據：，，，)三、解答題共4小題，共40分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知關于x的不等式的解集為A.（1）當時，求集合A；（2）若集合，求a的值；（3）若，直接寫出a的取值范圍.17.已知函數．（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明；（2）在如圖所示的平面直角坐標系xOy中，畫出的圖象，并寫出該函數的值域；（3）寫出不等式的解集．18.已知函數．（1）判斷在區間上的單調性，并用定義進行證明；（2）設，若，使得，求實數a的取值范圍．19.已知函數的圖象在定義域上連續不斷.若存在常數，使得對于任意的，恒成立，稱函數滿足性質.（1）若滿足性質，且，求的值；（2）若，試說明至少存在兩個不等的正數，同時使得函數滿足性質和.（參考數據：）（3）若函數滿足性質，求證：函數存在零點.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】B【分析】根據交集的定義，直接求交集.【詳解】，.故選：B2.【答案】C【分析】由得，解一元二次不等式可得結果.【詳解】解法一：由得，即，解得，∴不等式的解集為.解法二：由得，解得，∴不等式的解集為.故選：C.3.【答案】CD【分析】首先求出函數的定義域，利用奇偶性定義判斷函數的奇偶性，再由指數函數、對數函數、冪函數的單調性即可得出結果.【詳解】對于A，定義域為，因為，所以函數為偶函數，但函數在上是減函數，故A錯誤；對于B，定義域為，因為，所以不為偶函數，故B錯誤；對于C，定義域為，且，所以函數為偶函數，且在上是增函數，故C正確；對于D，定義域為，，所以為偶函數，且在上是增函數，故D正確.故選：CD.4.【答案】D【分析】舉反例判斷A，B，C，利用對數函數的性質判斷D即可.【詳解】令，此時對于A有，則，故A錯誤，此時對于B有，，則，故B錯誤，此時對于C有，，則，故C錯誤，對于D，因為，所以，，構造，由對數函數性質得在上單調遞增，故，即，故D正確.故選：D5.【答案】B【分析】函數零點的個數，即為函數與函數圖象交點個數，結合函數圖象可得實數的取值范圍．【詳解】因為關于的函數有且只有三個不同的零點，所以函數與函數圖象有三個不同的交點，畫出圖象，如圖：由圖可知，當時，函數與函數圖象有三個不同的交點，所以實數的取值范圍是.故選：B.6.【答案】B【分析】根據圖表數據特征進行判斷即可得解.【詳解】乙組數據最大值29，最小值5，極差24，甲組最大值小于29，最小值大于5，所以A選項說法錯誤；甲得分的75%分位數是20，,乙得分的75%分位數17，所以B選項說法正確；甲組具體數據不易看出，不能判斷C選項；乙組數據更集中，標準差更小，所以D選項錯誤.故選：B7.【答案】D【分析】由函數在區間上不是增函數舉例說明A，B，C錯誤，由此確定正確選項.【詳解】∵函數在區間上不是增函數，但對于任意的，，∴“存在滿足”不是“函數在區間上不是增函數”的充要條件，選項A錯誤，∵函數在區間上不是增函數，但對于任意的，，∴“存在滿足”不是“函數在區間上不是增函數”的充要條件，選項B錯誤，∵函數在區間上不是增函數，任意的且時，∴“存在且滿足”不是“函數在區間上不是增函數”的充要條件，選項C錯誤，故選：D.8.【答案】D【分析】由對數函數的運算性質可知移項化簡即可得.【詳解】因為函數，對a，b滿足且，所以，則所以，即，解得故選：D9.【答案】C【分析】將成立轉化成恒成立的問題，構造函數，然后分類討論，即可求出的取值范圍.【詳解】由題意，在fx=x2?2x中，對稱軸，函數在∵對于，均有成立，即對于，均有恒成立，設，則對稱軸，函數在上單調遞減，在0,+∞上單調遞增，當即時，函數?x在上單調遞減，函數在上單調遞減，，，，當，即時，函數?x在上單調遞減，在上單調遞增，函數在上單調遞減，，，，當，即時，，函數?x在上單調遞增，函數在上單調遞減，，，，故不符題意，舍去.當即時，函數?x在上單調遞增，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，，，當即時，函數?x在上單調遞增，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，，此時，，所以符合題意.當時，函數?x在上單調遞增，函數在上單調遞增，，，此時，，所以符合題意.綜上，實數的取值范圍是.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查恒成立問題，關鍵在于熟練掌握二次函數不同區間的單調性，以及分類討論的思想，具有很強的綜合性.10.【答案】A【分析】分別代入兩點坐標得，，兩式相比得結合對數運算得，解出值即可.【詳解】當時，①，當時，②，①比②得，，故選：A.二、填空題共5小題，每小題4分，共20分．11.【答案】【分析】設冪函數，由冪函數的圖象經過點，知，由此能求出這個冪函數的解析式．【詳解】設冪函數，∵冪函數的圖象經過點，∴，∴，∴這個冪函數的解析式為．故答案為：．12.【答案】60【分析】首先計算頻率為，再乘以總人數即可.【詳解】由頻率分布直方圖可知每周自習時間不少于20小時的頻率為,故200名學生中每周的自習時間不少于20小時的人數為人.故答案為：60.13.【答案】【分析】根據二次函數以及指數函數的單調性，結合復合函數單調性原則即可求解.【詳解】令，則，由于函數在單調遞減，而在定義域內單調遞增，根據復合函數單調性的原則可知：的單調遞減區間為故答案為：14.【答案】①.或x>2②.【分析】代入，分和兩種情況，分別求解，最后取并集即可得出的解集；原題等價于“當時，恒成立”以及“當時，恒成立”同時滿足，分別求出a的取值范圍，最后取公共部分即可得解.【詳解】當時，.當時，由可得，解得；當時，由可得，解得.綜上所述，的解集為或x>2.“若，”等價于“當時，恒成立”以及“當時，恒成立”同時滿足.當時，恒成立，因為當時，單調遞增，所以應滿足，即；當時，恒成立，則.則，即a的取值范圍為.故答案為：或；.15.【答案】①.②.7.2【分析】（1）利用指數函數模型求得y關于x的函數解析式；（2）根據題意利用指數函數的單調性列不等式，求得再次注射該藥的時間不能超過的時間.【詳解】（1）由題意，該種藥在血液中以每小時20%的比例衰減，給病人注射了該藥，經過x小時后，藥在病人血液中的量為.即y關于x的函數解析式為（2）該藥在病人血液中的量保持在以上時才有療效，低于時病人就有危險，令，即又，且指數函數為減函數，所以要使病人沒有危險，再次注射該藥的時間不能超過7.2小時.三、解答題共4小題，共40分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接解不等式可得；（2）由題意得是方程的根，代入后可得值；（3）代入后不等式不成立可得．【小問1詳解】時，不等式為，即，，∴；【小問2詳解】原不等式化為，由題意，解得，時原不等式化為，或，滿足題意．所以；【小問3詳解】，則，解得．17.【答案】（1）為偶函數，證明見解析（2）圖象見解析，值域為（3）【分析】（1）利用函數奇偶性的定義判斷；（2）利用指數函數的圖象和性質求解；（3）在同一坐標系中，作出函數的圖象即可求解.【小問1詳解】函數fx為上的偶函數，證明如下：的定義域為，關于原點對稱，又，所以是偶函數；【小問2詳解】的圖象如圖所示：由函數的圖象知：函數的值域；【小問3詳解】在同一坐標系中，作出函數的圖象，如圖所示：由圖象知：不等式的解集為：.18.【答案】（1）在區間上單調遞增，證明見解析（2）【分析】（1）根據函數的單調性定義證明即可；（2）由函數單調性求出函數值域，把條件轉化為值域的包含關系，建立不等式求解即可.【小問1詳解】在區間上單調遞增，證明如下：設，且，則，∵，∴，∴，即，∴在區間上單調遞增.【小問2詳解】由（1）得，，，即時，的值域，∵在上為減函數，∴時，值域，∵，使得，∴，∴，解得，故實數a的取值范圍為.19.【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【分析】（1）由滿足性質可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；（2）設滿足，利用零點存在定理證明關于的方程至少有兩個解，證明至少存在兩個不等的正數，同時使得函數滿足性質和；（3）分別討論，，時函數的零點的存在性，由此完成證明.【小問1詳解】因為滿足性質，所以對于任意的x，恒成立.又因為，所以，，