1、第七章第七章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定第一節(jié)第一節(jié) 壓桿穩(wěn)定的基本概念壓桿穩(wěn)定的基本概念第二節(jié)第二節(jié) 細長壓桿的臨界力細長壓桿的臨界力第三節(jié)第三節(jié) 歐拉公式的適用范圍及經(jīng)驗公式歐拉公式的適用范圍及經(jīng)驗公式本章重點本章重點 1.1.壓桿柔度的計算和判別壓桿柔度的計算和判別2.2.壓桿臨界應(yīng)力的計算壓桿臨界應(yīng)力的計算 一根寬一根寬18mm，厚，厚0.5mm，長，長150mm的鋼板尺，設(shè)其材料的許用應(yīng)力的鋼板尺，設(shè)其材料的許用應(yīng)力但將尺豎在桌上用手壓，不到但將尺豎在桌上用手壓，不到40N的力就可以將它明顯壓彎。的力就可以將它明顯壓彎。 由此可見，細長壓桿的承載能力在某些情況下并不取決于其壓縮強度條件，而取決

2、于其保持直線平衡狀態(tài)的能力。壓桿保持原有直線平衡狀態(tài)的能力，稱為壓桿的穩(wěn)定性。壓桿喪失直線平衡狀態(tài)而破壞，這種現(xiàn)象稱為喪失穩(wěn)定或失穩(wěn)。一、實例一、實例 300 MPa，按照強度條件計算，其承載能力為，按照強度條件計算，其承載能力為 2.7 kNFAFF第一節(jié)第一節(jié) 壓桿穩(wěn)定的基本概念壓桿穩(wěn)定的基本概念不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡 微小擾動就使小球遠微小擾動就使小球遠離原來的平衡位置離原來的平衡位置 微小擾動使小球離開原微小擾動使小球離開原來的平衡位置，但擾動撤銷來的平衡位置，但擾動撤銷后小球回復(fù)到平衡位置后小球回復(fù)到平衡位置二、穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡二、穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡三、工程實例三

3、、工程實例壓桿的穩(wěn)定性試驗壓桿的穩(wěn)定性試驗四、壓桿穩(wěn)定平衡的條件四、壓桿穩(wěn)定平衡的條件壓力小于臨界力壓桿穩(wěn)定壓力小于臨界力壓桿穩(wěn)定F一、兩端鉸支細長壓桿的臨界力一、兩端鉸支細長壓桿的臨界力w第二節(jié)第二節(jié) 細長壓桿的臨界力細長壓桿的臨界力)()(xwFxMx面上的彎矩：面上的彎矩：22d( )( )( )dw xM xEIF w xx 0)()(222xwkdxxwd撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程 EIFk 2令令解微分方程得到通解為解微分方程得到通解為kxCkxCxwcossin)(21邊界條件為邊界條件為0)()0(lww0sin, 021klCC0sinkl20C nkl ,.)2

4、, 1 , 0( nlnk由此可得由此可得 ,.)2 , 1 , 0(222nlEInF取取1n22CrlEIF計算兩端鉸支壓桿的臨界壓力的歐拉公式計算兩端鉸支壓桿的臨界壓力的歐拉公式 2( )sinw xCxl撓曲線方程：撓曲線方程：因為壓桿兩端均為球鉸，各方向約束相同，慣性矩應(yīng)取其橫截面的最小慣性因為壓桿兩端均為球鉸，各方向約束相同，慣性矩應(yīng)取其橫截面的最小慣性矩。矩。 注意：注意：半個正弦波。半個正弦波。 例例7-1題題 兩端鉸支的細長壓桿，橫截面直徑兩端鉸支的細長壓桿，橫截面直徑 d=50 mm，材料為，材料為Q235 鋼，鋼，彈性模量彈性模量E=200 GPa，s=235 MPa，試

5、求桿的臨界應(yīng)力。，試求桿的臨界應(yīng)力。截面慣性矩截面慣性矩穩(wěn)定臨界力穩(wěn)定臨界力269kNN102693解：解：強度臨界力強度臨界力2Cr50235N461 kN4F對于細長壓桿，起控制作用的是桿的穩(wěn)定性。對于細長壓桿，起控制作用的是桿的穩(wěn)定性。二、其他約束條件下細長壓桿的臨界力二、其他約束條件下細長壓桿的臨界力兩端鉸支兩端鉸支22cr)(lEIF1一端固定一端自由一端固定一端自由22cr)2( lEIF222cr)( lEIF歐拉公式普遍形式歐拉公式普遍形式長度系數(shù)長度因數(shù)）長度系數(shù)長度因數(shù)）相當(dāng)長度，微彎曲線兩拐點之間的長度。相當(dāng)長度，微彎曲線兩拐點之間的長度。llilAFcrcr 例例7-2

6、 7-2 圖示一矩形截面細長壓桿，一端固定，一端自由。材料為鋼，圖示一矩形截面細長壓桿，一端固定，一端自由。材料為鋼，彈性模量彈性模量 試計算此壓桿的臨界壓力。試計算此壓桿的臨界壓力。相等，則此壓桿的臨界壓力又為多少？相等，則此壓桿的臨界壓力又為多少？，桿長度，桿長度。幾何尺寸為：。幾何尺寸為：GPa 200Emm 90h，mm 40b，m 5 . 2l，mm 60 hb假設(shè)假設(shè) 解：壓桿一端固定，一端自由，長度因數(shù)解：壓桿一端固定，一端自由，長度因數(shù) 244433mm1048mm12409012hbIy44433mm10243mm12904012bhIz2234Cr22200 1048 10

7、N37 860N37.86kN()(2 2 500)EIFlmm 60 hbmm10108mm126012443bhIIzy2234Cr22200 10108 10N85 187N85.19kN()(2 2 500)EIFl 兩桿均為細長桿的桿系如圖示，若桿件在兩桿均為細長桿的桿系如圖示，若桿件在ABCABC面內(nèi)面內(nèi)因失穩(wěn)而引起破壞，試求載荷因失穩(wěn)而引起破壞，試求載荷F F為最大值時的為最大值時的角設(shè)角設(shè)0 02 2）。設(shè)）。設(shè)ABAB桿和桿和BCBC桿材料截面相同。桿材料截面相同。ABFBCFFBcosFFABsinFFBC解：解：1.節(jié)點節(jié)點B的平衡的平衡2.兩桿分別達到臨界力時F可達最大

8、值22ABABcrLEIF22cosLEI22BCBCcrLEIF22sinLEIABBCFFtgABcrBCcrFF2ctg2ctgarctgBlCAF例例7-3xy第三節(jié)第三節(jié) 臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍一、臨界應(yīng)力與柔度一、臨界應(yīng)力與柔度AlEIAF22CrCr)(22cr)( lEIFAiI222CrCr22()FEElAiil壓桿柔度或長細比：壓桿柔度或長細比：截面的慣性半徑截面的慣性半徑 i:3212122 3zzbhIhhiAbh矩形截面矩形截面2 3yyIbiA圓截面圓截面424644IddiAdhbzy 引例引例 兩端鉸支的細長壓桿，橫截面直徑兩端

9、鉸支的細長壓桿，橫截面直徑 d=50 mm，材料為，材料為Q235 鋼，鋼，彈性模量彈性模量E=200 GPa，s=235 MPa，試求桿的臨界應(yīng)力。，試求桿的臨界應(yīng)力。截面慣性矩截面慣性矩穩(wěn)定臨界力穩(wěn)定臨界力解：解：強度臨界力強度臨界力2Cr50235N461 kN4F二、歐拉公式的適用范圍二、歐拉公式的適用范圍5002299Cr22200 10307 10N2424 kN0.5EIFl歐拉公式只適用于大柔度壓桿歐拉公式只適用于大柔度壓桿2CrP2 EP2PEP，歐拉公式有效。令令對于對于Q235鋼，取鋼，取 200 GPaE P196 MPa29P6200 10100196 10上例中，上

10、例中，0.5240100/40.05d，不可以用歐拉公式計算，不可以用歐拉公式計算臨界壓力。臨界壓力。P的壓桿，稱為大柔度桿。的壓桿，稱為大柔度桿。三、中小柔度桿臨界應(yīng)力計算三、中小柔度桿臨界應(yīng)力計算PSCrabbasss1.1.中柔度桿中柔度桿Crs用經(jīng)驗直線公式計算臨界應(yīng)力：用經(jīng)驗直線公式計算臨界應(yīng)力：CrsP令令的壓桿，稱為中柔度桿。的壓桿，稱為中柔度桿。對于對于Q235鋼，鋼，6 .6112. 1235304s2.2.小柔度桿小柔度桿的壓桿，稱為小柔度桿。的壓桿，稱為小柔度桿。 取取s小柔度桿小柔度桿sP中柔度桿中柔度桿il壓桿柔度壓桿柔度AIi 臨界柔度臨界柔度PPE2P比例極限；比

11、例極限；basss屈服極限。屈服極限。臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力P大柔度桿大柔度桿歐拉公式歐拉公式22Ecrbacr直線公式直線公式強度問題強度問題scr截面慣性半徑截面慣性半徑Ocr22EcrPPbacrSS四、臨界應(yīng)力總圖四、臨界應(yīng)力總圖小柔度小柔度中柔度中柔度 大柔度大柔度scr 圖示三根圓截面壓桿直徑相同。材料相同，設(shè)桿均為細長桿，問哪根桿臨界力大？lFa)1.6lFb)F1.8l0.4lc)22cr)( lEIF1.1=21.1=2， l1= l1= 2l2l2.2=0.72.2=0.7， l2= l2= 1.12l1.12l3.31=23.31=2， l31= l31= 0.8l0.8l32

12、=0.532=0.5， l32= 0.9ll32= 0.9ll3= 0.9l結(jié)論：結(jié)論：3 3桿臨界力大。桿臨界力大。2.計算細長桿的臨界應(yīng)力時，如果誤用了中柔度桿的經(jīng)驗公式，后果如何？1.計算中柔度桿的臨界應(yīng)力時，如果誤用了細長桿的歐拉公式，后果如何？計算中柔度桿的臨界應(yīng)力時，如果誤用了細長桿的歐拉公式，后果如何？3.計算小柔度桿的臨界應(yīng)力時，如果誤用了中柔度桿的經(jīng)驗公式，后果又如何？答：使壓桿不安全。答：使壓桿不安全。 兩根直徑為兩根直徑為d d 的圓桿的圓桿, ,上下兩端分別與剛性板固結(jié)上下兩端分別與剛性板固結(jié), ,如圖示。試分析在總壓力作用下如圖示。試分析在總壓力作用下, ,壓桿可能失

13、穩(wěn)的幾種壓桿可能失穩(wěn)的幾種形式形式, ,并求出最小的臨界荷載并求出最小的臨界荷載 ( (設(shè)滿足歐拉公式的使用設(shè)滿足歐拉公式的使用條件條件) )。Cr1F644dI5 . 02Cr122EIFL2425 . 0642LdE2438LEdCr2F644dIz22Cr222EIFL2422642LdE243128LEdzCr3Fa42642224dadIy22Cr322EIFL22242242642LdadE34CrminCr22128EdFFLy222431284LdadE 圖中所示之壓桿，其直徑均為d，材料都是Q235鋼，但二者長度和約束條件不相同。試問： 1.分析那一根桿的臨界荷載較大？2.計

14、算d160mm，E206GPa時，二桿的臨界荷載。m5Fd)(am9Fd)(b46424dd4dAIi iLa451d20/d495 . 0db18/d15 . 0ab例例7-4m5Fd)(a4222dEAFcrcr4160125102062232acrFkN102.6341605 .112102062232bcrFkN1021. 33m9Fd)(bp125113 =100 ab， ， Q235鋼制成的矩形截面桿,兩端約束以及所承受的載荷如圖示，在AB兩處為銷釘連接。若已知L2300mm，b40mm，h60mm。材料的彈性模量E205GPa。試求此桿的臨界載荷。123bhIz1AIizz32hzzil32hl0632230018 .132100P例例7-5FFbl)(b壓桿在繞壓桿在繞 y 軸和軸和 z 軸軸解：解：彎曲時長度系數(shù)和慣性矩彎曲時長度系數(shù)和慣性矩均不相同均不相同F(xiàn)FhABhbz)(ay3y12hbI 5 . 0AIiyy32b6 .99100P2Cr2zEIFL293122205 10406010122.3275kNFFbl)(bFFhABhbz)(ay403223001yyil32bl保持原有直線平衡狀態(tài)的能力。保持原有直線平衡狀態(tài)的能力。1.壓桿的穩(wěn)定性壓桿的穩(wěn)定性2.壓桿的臨界壓力壓桿的臨界壓力壓桿臨界