1、 直角坐標系是歐氏空間最基本的坐標系形式，在直直角坐標系是歐氏空間最基本的坐標系形式，在直角坐標系下求平面圖形面積是最常見的面積問題形式。角坐標系下求平面圖形面積是最常見的面積問題形式。 由定積分幾何意義的討論知，一般平面圖形面積的由定積分幾何意義的討論知，一般平面圖形面積的計算可歸結為求曲邊梯形的面計算可歸結為求曲邊梯形的面積，但這種方式求面積一般較積，但這種方式求面積一般較為繁雜，實際應用中多采用元為繁雜，實際應用中多采用元素法計算。素法計算。 直角坐標系下用元素法計算平面圖形面積，關鍵是直角坐標系下用元素法計算平面圖形面積，關鍵是確定相應的面積元素。面積元素的選擇不僅要考慮曲邊確定相應的

2、面積元素。面積元素的選擇不僅要考慮曲邊圖形的邊界曲線方程，還應考慮根據圖形的特點選擇合圖形的邊界曲線方程，還應考慮根據圖形的特點選擇合適的積分變量。適的積分變量。 當平面圖形的邊界曲線由多當平面圖形的邊界曲線由多條不同的曲線段構成時，其面積條不同的曲線段構成時，其面積元素往往不具有統一的形式，即元素往往不具有統一的形式，即面積元素常常是分段函數，此面積元素常常是分段函數，此時應注意根據邊界曲線的特點時應注意根據邊界曲線的特點逐段確定相應的面積元素。逐段確定相應的面積元素。例例：求由曲線求由曲線 x = y 2 - - 2y ，x = 2y 2 - - 8y + 6 所圍成的圖形所圍成的圖形的面

3、積。的面積。 直角坐標系下求平面圖形面積問題，考慮用直角坐標系下求平面圖形面積問題，考慮用元元素法求解。對素法求解。對幾何問題通常宜作圖分析，由此可較方便幾何問題通常宜作圖分析，由此可較方便地選擇積分變量、確定積分限及相應的面積元素形式。地選擇積分變量、確定積分限及相應的面積元素形式。 方程方程 x = y 2 - - 2y =( y 2 - - 2y +1 )- -1 =( y - - 1 )2 - -1 表示表示頂點在點頂點在點( -1, , 1 )、開口向右的拋物線。、開口向右的拋物線。 方程方程 x = y 2 - - 8y + 6 = 2( y - - 2 )2 - - 2 表示表示

4、表示頂點在表示頂點在點點( -2, , 2 )、開口向右的拋物線。、開口向右的拋物線。 643211xyxOyyyyd3333CD6432222xy2 2 A,1 1 B , 3333yA, , 由直觀易見，宜選擇平行于由直觀易見，宜選擇平行于 x 軸的水平條狀小矩形軸的水平條狀小矩形作為面積元素，相應地應選擇作為面積元素，相應地應選擇 y 作為積分變量。作為積分變量。 聯立邊界曲線的方程有聯立邊界曲線的方程有 222286xyyxyy , . . 解解得得 1212643643:3333xxCDyy, . . . . 任取任取 y, , y + dy 考慮相應面考慮相應面積積元素的元素的 d

5、 A 的計算的計算： 由直觀易見，所取由直觀易見，所取面積元素面積元素 d A 對應的面積局部量對應的面積局部量 A 可近似看成是一個高為可近似看成是一個高為 d y，寬度介，寬度介于兩曲線于兩曲線 x = y 2 - - 2y ，x = 2y 2 - - 8y + 6 之間的之間的小矩形小矩形。 于是面積局部量于是面積局部量 A 可近似地表為：可近似地表為： A ( y 2 - - 8y + 6 )- -( y 2 - - 2y )d y =( y 2 - - 6y + 6 )d y . . 由于由于 A 可表為可表為 d y 的線性函數，故取面積元素為的線性函數，故取面積元素為 d A =

6、( y 2 - - 6 y + 6 )d y . . 3333., , 簡單方簡單方便便 333323333dd66AAyyy 33323313643 .3yyy643211xyxOy3333CD6432222xy2A1dA dxxx2dA dxxx12422yx11yx 2 64 3x, 643643x, 本題亦可選擇鉛直條狀小矩形為面積元素，相應地本題亦可選擇鉛直條狀小矩形為面積元素，相應地選取選取 x 作為積分變量，并將平面區域的邊界曲線方程改作為積分變量，并將平面區域的邊界曲線方程改寫成：寫成： 由區域邊界曲線交點由區域邊界曲線交點 A( -2, ,2 )，坐標看出，所求圖形面積坐標看

7、出，所求圖形面積 A 相應于相應于 x 的變化范圍為：的變化范圍為：xyy22 11yx ;xyy22861242 .2yx 2 643.xA , 64333D, 考慮相應面積元素考慮相應面積元素 d A 的計算的計算： 此時面積局部量此時面積局部量 A 應分兩種情形考慮應分兩種情形考慮: : 面積局部量可近似地表為：面積局部量可近似地表為： 面積局部量可近似地表為：面積局部量可近似地表為： d2 643x xx , 若若 111242242d22Axxx 42 dx x; d643643x xx , 若若 2124211d2Axxx 11421d.2xxx 由于面積局部量由于面積局部量 A

8、可表示為可表示為 d y 的線性函數，故的線性函數，故選取面積元素為選取面積元素為 12d2 643dd643643AxAAx ,;, . . 1d42 dAx x, 21d1421d .2Axxx 6 436 436 4312226 43dddAAAA 6 436 4326 43142d1421d2xxxxx 6 433221423x 6 4333226 431242163xxx 4 3 . 由本例的計算可以看出，在直角坐標系下用元素由本例的計算可以看出，在直角坐標系下用元素法求平面圖形的面積時，其面積元素通常選取水平或法求平面圖形的面積時，其面積元素通常選取水平或鉛直的矩形小窄條。鉛直的矩

9、形小窄條。 面積元素的選擇取對定積分計算至關重要。因為面積元素的選擇取對定積分計算至關重要。因為選擇面積元素實際是選擇積分變量，積分變量的選擇選擇面積元素實際是選擇積分變量，積分變量的選擇應根據以下原則：應根據以下原則： 被積函數形式簡單且易于求出其原函數；被積函數形式簡單且易于求出其原函數； 積分區域的形式簡單，即積分區域的邊界曲線不要積分區域的形式簡單，即積分區域的邊界曲線不要 是分段函數；是分段函數； 積分區域盡量不分塊或少分塊。積分區域盡量不分塊或少分塊。 為直觀和理論敘述的方便，微積分的討論主要是在為直觀和理論敘述的方便，微積分的討論主要是在直角坐標系下進行的，但直角坐標系并不是確定

10、位置的直角坐標系下進行的，但直角坐標系并不是確定位置的唯一形式，極坐標系就是另一種常用確定位置的方法。唯一形式，極坐標系就是另一種常用確定位置的方法。 從實際應用角度看，在直角坐標系下表示點的位置從實際應用角度看，在直角坐標系下表示點的位置及函數關系或曲線方程并非總是及函數關系或曲線方程并非總是最方便的，有些函數關系或曲最方便的，有些函數關系或曲線方程在極坐標系下表示更為線方程在極坐標系下表示更為簡潔，因此需考慮在極坐標簡潔，因此需考慮在極坐標系下計算平面圖形面積問題。系下計算平面圖形面積問題。 極坐標系用方向角和相應的距離來確定平面上的點極坐標系用方向角和相應的距離來確定平面上的點的位置，通

11、過如下定義的方式建立二元有序實數組與平的位置，通過如下定義的方式建立二元有序實數組與平面上點的面上點的“1-11-1對應對應”的關系：的關系： 在平面內取一個定點在平面內取一個定點 O，由點由點 O 引一條射線引一條射線 OA，并確定長度單位及度量角度的正方向并確定長度單位及度量角度的正方向( 通常取逆時針方通常取逆時針方向向 )就構成了極坐標系。定點就構成了極坐標系。定點 O 叫做極點叫做極點，射線射線 OA 叫叫做極軸做極軸。AO r1 1 Pr ,1 1 r 點點 P 一組有序實數一組有序實數( r, , )一組有序實數一組有序實數( r, , ) 點點 P .P 和直角坐標系下化平面圖

12、形為曲邊梯形的情形相類和直角坐標系下化平面圖形為曲邊梯形的情形相類似，在極坐標系下，一般平面圖形面積的計算總可歸結似，在極坐標系下，一般平面圖形面積的計算總可歸結為曲邊扇形求其面積。因此只需考慮曲邊扇形面積計算為曲邊扇形求其面積。因此只需考慮曲邊扇形面積計算就可以了。就可以了。 由曲線由曲線 r = ( )，射線射線 = , , = 所圍所圍成的平面圖形稱為曲成的平面圖形稱為曲邊扇形。邊扇形。 r OAOA r OA r 2 設有曲邊扇形設有曲邊扇形 r = ( ), , , , ，試計算其面積。試計算其面積。 對于極坐標系下的平面圖形，容易求得的是圓對于極坐標系下的平面圖形，容易求得的是圓心

13、在極點、半徑為心在極點、半徑為 R、圓心角為、圓心角為 的圓扇形面積。的圓扇形面積。 對于一般曲邊扇形，自然對于一般曲邊扇形，自然不可按此公式求面積。但由于不可按此公式求面積。但由于曲線曲線 r = ( )通常對應于連續通常對應于連續函數，對足夠小的扇形角函數，對足夠小的扇形角 ，其對應的小曲邊扇形可近似地其對應的小曲邊扇形可近似地看作小圓扇形，于是可用元素看作小圓扇形，于是可用元素法求其面積。法求其面積。A 212AR R 設所求曲邊扇形的面積為設所求曲邊扇形的面積為 A，則，則 A 是一個與變量是一個與變量 及其變化區間及其變化區間 , , 相關的量，相關的量， 由于面積由于面積 A 關于

14、其部分量具有可加性，故考慮用關于其部分量具有可加性，故考慮用元元素法求之。素法求之。 取取 , , + d , , ，考慮該小區間所對應的小考慮該小區間所對應的小曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積 A . .A . A 即即, r OA +d A 視視 A 為小圓扇形，則有為小圓扇形，則有 由于由于 A 是是 d 的線性式，故選取面積元素為的線性式，故選取面積元素為 因為因為 A , , 故有故有 21d2A , 21dd2A . . 2 1dd.2AA 極坐標系下，平面圖形可視作由封閉曲線極坐標系下，平面圖形可視作由封閉曲線 r = ( )圍成，此時確定面積定積分的被積表達是相對方便，故圍成，此時

15、確定面積定積分的被積表達是相對方便，故面積的計算關鍵是確定相應定積分的積分限。面積的計算關鍵是確定相應定積分的積分限。 按封閉曲線按封閉曲線 r = ( )在在極坐標系中的不同位置，具極坐標系中的不同位置，具體可分以下三種情形討論。體可分以下三種情形討論。 此時可將封閉曲線此時可將封閉曲線 r = ( )看成是由極點出發繞看成是由極點出發繞行行一周而形成的。因此為一周而形成的。因此為確定相應定積分的積分限，只需確定相應定積分的積分限，只需令令 r = ( )= 0，并由此解出并由此解出 = ， = 即可得即可得： A . .,A r dAd 21dd2A 2 1dd2AA OAA2 此時可將封

16、閉曲線此時可將封閉曲線 r = ( )看成是由極軸上一點看成是由極軸上一點出出發繞行一周而形成的。因此發繞行一周而形成的。因此相應定積分的積分限可取為相應定積分的積分限可取為0 2 ， 即有即有 0 2 A . ., 2 0dAA 22 01d.2 21dd2A OA r dAd OAA r A1dd A2dQ P A ,AAA12ddd 此時確定面積元素及積分限及要復雜些。此時確定面積元素及積分限及要復雜些。 過極點作射線與曲線過極點作射線與曲線 r = ( )相切，設切點為相切，設切點為 P、Q ， 對應于對應于切點切點 P、Q 的切線方程分別為的切線方程分別為 = , , = . . 則

17、有則有 切點切點 將曲線分為兩段，記兩段的方程分別為將曲線分為兩段，記兩段的方程分別為 r = 1( )，r = 2( )， 此時相應的面積元素為兩曲邊扇形面積之差，即此時相應的面積元素為兩曲邊扇形面積之差，即 于是曲線于是曲線 r = ( )所圍成的區域的面積為所圍成的區域的面積為 A , . . A 22222121111dddd222. . AArr 2221 1dd.2 例例：計算阿基米德螺線計算阿基米德螺線 r = a ( a 0 ) )上相應于上相應于 從從 0 變變到到 2 的一段弧與極軸的一段弧與極軸所圍成的圖形面積所圍成的圖形面積。 平面區域邊界由極坐標方程給出，考慮用元素平

18、面區域邊界由極坐標方程給出，考慮用元素法求其面積。為確定相應面積元素及積分限，可先作出法求其面積。為確定相應面積元素及積分限，可先作出平面區域的圖形以輔助分析。平面區域的圖形以輔助分析。 ra AOd 2211ddd0 222Ara , , . .,2 a 本例的平面圖形為極點在區域邊界曲線上的情形，本例的平面圖形為極點在區域邊界曲線上的情形，故可取頂點在極點的小曲邊扇形為其面積元素。故可取頂點在極點的小曲邊扇形為其面積元素。 易求得面積元素為易求得面積元素為 所求圖形面積為所求圖形面積為 2211ddd0 222Ara , , . ., 2232222300014dd2233aAAaa .

19、.例例：計算心形線計算心形線 r = a( 1+ cos )圍成的圖形面積。圍成的圖形面積。 為確定面積元素及積分限，可作曲線圖分析。為確定面積元素及積分限，可作曲線圖分析。 由由 cos 的性質知，心形線關于極軸對稱，故只需的性質知，心形線關于極軸對稱，故只需作其在作其在 0 到到 的一段。的一段。 2362a , , 2a , , 322a , , 21dd2Ar 2211cosd2a , ,d AO 2a332a , , 2242a , , 0 2 . ., 圖形為極點在區域邊界線上的情形，可取頂點在極圖形為極點在區域邊界線上的情形，可取頂點在極點的小曲邊扇形為其面積元素。易求得面積元素

20、為點的小曲邊扇形為其面積元素。易求得面積元素為 所求圖形面積為所求圖形面積為 22211dd1cosd0 222Ara , , . ., 222001d21cosd2AAa 22012coscosda 20312coscos2d22a 2203132sinsin2.242aa 立體體積計算也是積分學最初研究經典問題之一，立體體積計算也是積分學最初研究經典問題之一，體積具有可加性的量，因而也可用定積分方法計算。體積具有可加性的量，因而也可用定積分方法計算。 立體由曲面圍成，而曲面方程通常對應于二元函數立體由曲面圍成，而曲面方程通常對應于二元函數z = f ( x , ,y )，體積計算一般是多元

21、函數積分學的問題。，體積計算一般是多元函數積分學的問題。但某些特殊立體，如旋轉體和平行截面為已知的立體，但某些特殊立體，如旋轉體和平行截面為已知的立體，其體積計算可歸結為一元函數積分其體積計算可歸結為一元函數積分的計算。通過這些特殊立體體積的計算。通過這些特殊立體體積的計算，不僅可進一步掌握定積的計算，不僅可進一步掌握定積分的應用方法，同時也為多元函分的應用方法，同時也為多元函數積分學的討論打下良好基礎。數積分學的討論打下良好基礎。 由一個平面圖形繞該平面內的一條直線旋轉一周而由一個平面圖形繞該平面內的一條直線旋轉一周而成的立體稱為旋轉體，這條直線稱為旋轉軸。成的立體稱為旋轉體，這條直線稱為旋

22、轉軸。 旋轉體體積與形成該旋轉體的平面圖形面積間有著旋轉體體積與形成該旋轉體的平面圖形面積間有著密切關系，因此可通過面積計算來討論旋轉體體積。密切關系，因此可通過面積計算來討論旋轉體體積。 由于平面圖形總可表示為曲邊梯形，故只需考慮由由于平面圖形總可表示為曲邊梯形，故只需考慮由曲邊梯形繞坐標軸旋轉一周而成的旋轉體體積。曲邊梯形繞坐標軸旋轉一周而成的旋轉體體積。 考慮由連續曲線考慮由連續曲線 y = f( x )、直線、直線 x = a、x = b 及及 x 軸圍成的曲邊軸圍成的曲邊梯形繞梯形繞 x 軸旋轉一周所軸旋轉一周所形成的旋轉體體積形成的旋轉體體積 V x . . xOyab yfxa

23、bx . ., , .fxxVa b, 選擇選擇 x 作為積分變量作為積分變量，任取任取 x , ,x + d x a , ,b ，考慮該小區間考慮該小區間所對應的小曲所對應的小曲邊梯形繞邊梯形繞 x 軸旋轉一周所成軸旋轉一周所成 的小薄片旋轉體體積的小薄片旋轉體體積 Vx . . 該小薄片可近似地看成是以該小薄片可近似地看成是以 f( x )為半徑，為半徑，d x 為高為高的小圓柱體，的小圓柱體，因而有因而有 Vx f( x )2 x . . 取體積元素為取體積元素為 d Vx = f( x )2 d x . . 由此求得所求旋轉體體積為由此求得所求旋轉體體積為yOx yfxab dx xx

24、 2 ddbbxxaaVVxfx . .連續曲線連續曲線 x = ( y )、直線直線 y = c、y = d y 軸圍成的曲邊梯形繞軸圍成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉一周所成旋轉體體積軸旋轉一周所成旋轉體體積 Vy . . 選擇選擇 y 作為積分變量，作為積分變量，任取任取 y , ,y + d yc ,d ，考慮該小區間考慮該小區間所對應的小曲所對應的小曲邊梯形繞邊梯形繞 y 軸旋轉一周所成軸旋轉一周所成的小薄片旋轉體體積的小薄片旋轉體體積 V y . . 取體積元素為取體積元素為 dVy = ( y )2d y . 求得旋轉體體積為求得旋轉體體積為 2 ddddyyccVVyy. .xOyd

25、cdyyy 考慮由連續曲線考慮由連續曲線 y = f( x ), ,直線直線 x = a , ,x = b 及及 x 軸圍軸圍成的曲邊梯形繞成的曲邊梯形繞 y 軸旋轉一周所形成的旋轉體體積軸旋轉一周所形成的旋轉體體積 V y . . 由直觀容易看出有由直觀容易看出有 選擇選擇 x 作積分變量作積分變量，任取任取 x , ,x + d x a , ,b ，考慮該小區間考慮該小區間所對應的所對應的小曲邊梯形繞小曲邊梯形繞 y 軸旋轉軸旋轉一周所成的環形薄殼旋一周所成的環形薄殼旋轉體體積轉體體積 Vy . .xyO fxyVa b .,b yfx dx xxa fx小圓環形薄殼旋轉體沿母線剪開并展平

26、后可近似地小圓環形薄殼旋轉體沿母線剪開并展平后可近似地看成是一個高為看成是一個高為 f( x ), ,寬為 2 x, ,厚度為厚度為 d x 的長方體。的長方體。 容易求得容易求得 Vy 2 x f( x )d x , , 取體積元素為取體積元素為 d Vy = 2 x f( x )d x ，x a , b . . 由此求得旋轉體體積為由此求得旋轉體體積為dxfx2 x x d2dbbyyaaVVxfxx . .例例：試計算由曲線試計算由曲線 y = sin x , , x 0 , , 與與 x 軸所圍成軸所圍成的圖形分別繞的圖形分別繞 x 軸軸, , y 軸旋轉所得旋轉體體積軸旋轉所得旋轉體

27、體積 V x ,V y . . 求旋轉體體積可歸結為定積分計算，確定定積求旋轉體體積可歸結為定積分計算，確定定積分形式需確定相應的積分變量、被積表達式及積分限。分形式需確定相應的積分變量、被積表達式及積分限。 這些因素的確定均依賴于給定圖形的邊界曲線方程這些因素的確定均依賴于給定圖形的邊界曲線方程及其幾何性質。因此，及其幾何性質。因此，為確定定積分形式，可先作出曲為確定定積分形式，可先作出曲邊梯形及相應旋轉體圖形輔助分析，再根據指定的旋轉邊梯形及相應旋轉體圖形輔助分析，再根據指定的旋轉軸選擇相應方法。軸選擇相應方法。 選擇選擇 x 作為積分變量作為積分變量，任取任取 x , ,x + d x

28、0 , , ，考慮該小區間考慮該小區間所對應的小曲所對應的小曲邊梯形繞邊梯形繞 x 軸旋轉一周所成軸旋轉一周所成的小薄片旋轉體體積的小薄片旋轉體體積 Vx . . 取體積元素為取體積元素為 d Vx = y 2 d x = sin 2 x d x . . 由此求得繞由此求得繞 x 軸旋轉一周所得旋轉體體積為軸旋轉一周所得旋轉體體積為sinyxxOy dx xxy 22 0 0 01 cos21dsindd22xxxVVx xx . .xsinyx dx xx 選擇選擇 x 作為積分變量作為積分變量，任取任取 x , ,x + d x 0 , , ，考慮該小區間考慮該小區間所對應的小曲邊梯形繞所

29、對應的小曲邊梯形繞 y 軸旋轉一周所成軸旋轉一周所成 的環形薄殼旋轉體體積的環形薄殼旋轉體體積 Vy . .Oy 取體積元素為取體積元素為 d Vy = 2 x f( x )d x = 2 x sin x d x，x 0 , , . . 由此求得繞由此求得繞 y 軸旋轉一周所得旋轉體體積為軸旋轉一周所得旋轉體體積為 0 0 0d2sin d2dcosyyVVxx xxx 0 02cos2cos dxxx x 22022sin2.x xsinyx Oy選擇選擇 y 作為積分變量，任取作為積分變量，任取 y , ,y + d y 0 , ,1 ，考慮該小區間考慮該小區間所對應的小曲邊梯形繞所對應的

30、小曲邊梯形繞 y 軸旋轉一周所成軸旋轉一周所成的環形薄片旋轉體體積的環形薄片旋轉體體積 Vy . .dyyy1選擇了選擇了y 作為積分變量，作為積分變量，需將原形如需將原形如 y = f( x )曲線曲線方程改寫方程改寫成成 x = ( y )的形式。的形式。 由由 y = f( x )= sin x，x 0 , , ，可解得可解得 x = 1( y )= arcsin y，x 0 , , / /2 ， x = 2( y )= - - arcsin y，x / /2 , , . . 于是可求得圓環形薄片體積元為于是可求得圓環形薄片體積元為 dVy = 22( y )d y - - 12( y

31、)d y = ( - - arcsin y )2 - -( arcsin y )2d y = ( 2 - - 2 arcsin y )d y，y 0 , ,1 . . 相應旋轉體體積為相應旋轉體體積為 1 12 0 0dd2 arcsinyyVVyy 1 12 0 0dd2 arcsinyyVVyy 113202 0darcsin21yyyyy 12322 011arcsin1d 1221yy 13220212y 1 132 0 0d2arcsin dyy y 3222212 . . 旋轉體的特點是垂直于旋轉軸的截面截立體的截旋轉體的特點是垂直于旋轉軸的截面截立體的截口都是圓，切片法就是通過截

32、口面積口都是圓，切片法就是通過截口面積 A( x ) 的計算求得的計算求得體積元體積元 dVx = A( x )d x，再通過定積求得其體積。，再通過定積求得其體積。 這種體積計算的切片法具有某這種體積計算的切片法具有某種一般性，即即使立體不是旋轉種一般性，即即使立體不是旋轉體，但垂直于該立體的某定軸體，但垂直于該立體的某定軸的各平行截面面積易于求得，的各平行截面面積易于求得，則也可通過切片法求其體積。則也可通過切片法求其體積。C. P. U. Math. Dept. 楊訪楊訪x xVa b, , . . dx xx A x 取定軸為取定軸為 x 軸建立坐標系，軸建立坐標系，將立體向將立體向

33、x 軸投影得軸投影得區區間間 a , ,b ，任取任取 x a , ,b ，過點，過點 x 作垂直于作垂直于 x 軸的軸的截面與截面與立體相截。立體相截。 設截口面積為設截口面積為 A( x )，則有則有 V( x ) a , ,b . . 任取任取 x , ,x + d x a , ,b ，考慮該小區間考慮該小區間所對應的所對應的小小薄片的體積薄片的體積 V . . 取體積元素為取體積元素為 dV = A( x )d x ，x a , ,b ，則可求得立體體積為則可求得立體體積為 ddbbaaVVA xx . .例例：一平面經過半徑為一平面經過半徑為 R 的圓柱體的底圓中心，并與底的圓柱體的

34、底圓中心，并與底 面成面成 角角，求此平面截圓柱體所得的楔形立體體積求此平面截圓柱體所得的楔形立體體積。討論幾何應用問題討論幾何應用問題通常宜先合理地建立坐標通常宜先合理地建立坐標系作相應圖形輔助分析。系作相應圖形輔助分析。 取平面與圓柱體底面取平面與圓柱體底面的的交線為交線為 x 軸，軸，y 軸在底軸在底面上，過底圓中心且與面上，過底圓中心且與 x軸垂直。軸垂直。 在此坐標下，在此坐標下，圓柱體圓柱體底圓方程為底圓方程為 x 2 + y 2 = R 2. .xyO yORRRyx22yRx A x tany xdx 作作垂直于垂直于 x 軸軸的平面與立體相截，截口為三角形，的平面與立體相截，

35、截口為三角形，此截口面積易于計算。此截口面積易于計算。 任取任取 x - -R , ,R ，過點，過點 x 作作垂直于垂直于 x 軸軸的平面與的平面與立體相截，則截口為三角形，考慮截口面積的計算。立體相截，則截口為三角形，考慮截口面積的計算。 易求得截口三角形的面積為易求得截口三角形的面積為 對應于截口三角形薄片的體積元素為對應于截口三角形薄片的體積元素為 于是求得楔形立體體積為于是求得楔形立體體積為 22 11tantan22A xy yRx , 22 1ddtan d2VA xxxxR RRx . ., 32322 0 021tandtan33RRxRR xxRx. . 22 1dtan

36、d2RRRRVVxRx yORRRx22xRy 作作垂直于垂直于 y 軸軸的平面與立體相截，則截口為矩形的平面與立體相截，則截口為矩形, ,此截口面積易于計算。此截口面積易于計算。xdy B y tany y 任取任取 y 0 , ,R ，過點，過點 y 作作垂直于垂直于 y 軸軸的平面與立的平面與立體相截，則截口為矩形，考慮截口面積的計算。體相截，則截口為矩形，考慮截口面積的計算。 易求得截口矩形的面積為易求得截口矩形的面積為 對應截口矩形薄片的體積元素為對應截口矩形薄片的體積元素為 于是求得楔形立體體積為于是求得楔形立體體積為 22 2tan2 tan0B yx yyRyyR . ., 2

37、2 dd2 tand0VB yyyRyyyR . ., 33222 022tantan33RRRy . . 22 0 0d2 tandRRVVyRyy 曲線弧長的計算也是實際問題中經常需要計算的量曲線弧長的計算也是實際問題中經常需要計算的量, ,曲線因為是彎曲的，除圓弧這樣的特殊曲線外，一般是曲線因為是彎曲的，除圓弧這樣的特殊曲線外，一般是不能直接度量或計算的。不能直接度量或計算的。 曲和直是相對的，曲線雖在較大范圍內呈現彎曲的曲和直是相對的，曲線雖在較大范圍內呈現彎曲的形式，但其在較小的局部卻可看形式，但其在較小的局部卻可看成是直的。因此曲線可分解為若成是直的。因此曲線可分解為若干直線段進行

38、考察，且曲線長度干直線段進行考察，且曲線長度為個各直線段長度之和，即曲線為個各直線段長度之和，即曲線弧長具有可加性。于是曲線弧長弧長具有可加性。于是曲線弧長可通過定積分方法進行計算。可通過定積分方法進行計算。 設曲線方程由直角坐標給出設曲線方程由直角坐標給出 C：y = f( x )，x a , ,b . .其中其中 f( x )在區間在區間 a , ,b 上具有一階連續導數，求這段上具有一階連續導數，求這段曲線弧的弧長曲線弧的弧長 S . . 由于由于 f( x )在在 a , ,b 上具有一階連續導數，故對上具有一階連續導數，故對應曲線弧應曲線弧 S 是可求長的。由曲線可求長的定義知，曲線

39、是可求長的。由曲線可求長的定義知，曲線弧具有可加性和可線性化。因此，可考慮利用定積分計弧具有可加性和可線性化。因此，可考慮利用定積分計算曲線弧長，且有算曲線弧長，且有 S( x ) a , ,b . . 任取任取 x , ,x + d x a , ,b 考慮小區間考慮小區間 x , ,x + d x 所對所對應的曲線弧應的曲線弧 S 的長度。的長度。 由直觀易看出有由直觀易看出有 取弧長元素為取弧長元素為 于是有于是有 22Syx . . 2222d1ddd1d .ddyxSxfxyxx 2 d1dbbaaSSfxx. .xyO :.C yfxa bx, ,ab dxxx dxxy S dy

40、dS 由于弧長總是正的，故由于弧長總是正的，故d S 0 . 而弧微分表示式而弧微分表示式為使弧微分為使弧微分 d S 總取正值需有總取正值需有d x 0 . 為保證為保證 d x 0，計算弧長積分時需，計算弧長積分時需沿變量沿變量 x 增加的方向進行，即對計算弧增加的方向進行，即對計算弧長的定積分積分上限長的定積分積分上限 b 應大于下限應大于下限 a . 222d 1dd.dddyxSyxx 由由222d1dddddxySyyx 2 2 d1d1ddddccxSyyyy . 21d0.yyycd , , 例例：求半立方拋物線求半立方拋物線 被拋物線被拋物線 所截得的一段弧的弧長所截得的一段

41、弧的弧長。 計算曲線弧長是定積分的幾計算曲線弧長是定積分的幾何應用問題，為計算弧長需先寫出所何應用問題，為計算弧長需先寫出所求弧長的定積分表示式。求弧長的定積分表示式。 將弧長表示為定積分可分三部分將弧長表示為定積分可分三部分考慮，即選擇合適的積分變量；確定考慮，即選擇合適的積分變量；確定相應的弧微分表示形式；確定所求弧相應的弧微分表示形式；確定所求弧段對應的積分限。段對應的積分限。 以上三部分準備工作常可通過幾何直觀進行分析，以上三部分準備工作常可通過幾何直觀進行分析，為此先作出所求曲線段的圖形。為此先作出所求曲線段的圖形。32213yx213yxx32213yxOy213yx2AB1C由圖

42、形的對稱性由圖形的對稱性, ,只需考慮計算弧只需考慮計算弧段段 CA 的長。的長。 聯立方程有聯立方程有 2( x - - 1)3 = x ， 解得唯一實根解得唯一實根 x = 2 . 因而求得兩曲線的交點為因而求得兩曲線的交點為 結合曲線圖形可知結合曲線圖形可知322 21313yxyx,. . 22: :2233xxAByy ,. 21 203xyACACSS; ., 從曲線方程看，選擇從曲線方程看，選擇 x 或或 y 作作為積分變量都可以。為積分變量都可以。因此積分變量的選擇主要取決于弧微分的形式。因此積分變量的選擇主要取決于弧微分的形式。 若選擇若選擇 x 作為積分變量，則作為積分變量

43、，則 求得相應弧微分形式為求得相應弧微分形式為 23222231133yyyxx ,由由可可求求得得 21xyy ,解解得得222 1d1d1d.xSxxyy 4 3131d11 d1 22213xxxxxx, ,. . 若選擇若選擇 y 作為積分變量，則作為積分變量，則 求得相應弧微分形式為求得相應弧微分形式為 比較弧微分形式可見，宜選擇比較弧微分形式可見，宜選擇 x 作為積分變量。作為積分變量。 232d22231133dxyyxxy ,由由可可求求得得2dd1yxyx ,解解得得22 2dd1d1d .d1yxSyyyx 2 2332221d21d03323yyyyyy. ., , 3d

44、11 d1 22Sxxx. ., , 2 2 1 1322211 d31d22ACBCASSxxxx 2 232 1 122231d 3131333xxx 3332 222285.152992 設曲線方程由參數式給出設曲線方程由參數式給出 其中，其中， ( t ), , ( t )在區間在區間 , , 上具有連續導數，求上具有連續導數，求這段曲線弧的弧長這段曲線弧的弧長 S . . 由直角坐標系下曲線弧長的討論知，曲線弧長由直角坐標系下曲線弧長的討論知，曲線弧長的計算關鍵是確定弧長元素或弧微分。的計算關鍵是確定弧長元素或弧微分。 確定弧微分的基本關系式是微分三角形下的勾股定確定弧微分的基本關系

45、式是微分三角形下的勾股定理，即理，即 因此，對于因此，對于參數式給出的參數式給出的曲線，也可從此曲線，也可從此基本關系式出發進行討論。基本關系式出發進行討論。 : . xtCtyt . .,22 d.ddSyx 由曲線參數方程由曲線參數方程 C: x = ( t )，y = ( t )有有 d x = ( t )d t，d y = ( t )，于是于是 若當若當 t , , 時，動點沿曲線運動對應參數時，動點沿曲線運動對應參數 t 是是單調增加的，則有單調增加的，則有d t 0 ，d t= d t，于是，于是 2222 dddddSyttxtt 22 dttt. 22ddSSttt 例：例：設

46、設擺線的方程為擺線的方程為 求求擺線的一拱擺線的一拱( 0 x 2 )的長度的長度。 為計算弧長需先寫出所求弧長的定積分表示式為計算弧長需先寫出所求弧長的定積分表示式, ,對曲線方程由參數式給出的情形，關鍵是確定相應的弧對曲線方程由參數式給出的情形，關鍵是確定相應的弧微分表示形式。微分表示形式。 sin1cos.xattyat, ,yOxa t2 a a 由擺線方程由擺線方程 C: x = a( t - - sin t )，y = a( 1 - - cos t )有有 d x = a( 1 - - cos t )d t，d y = a sin t d t . . 由于當由于當 t : 0 2 時，時，d t 0，于是有，于是有 22 ddSttt 22 sin