1、角速度與角加速度第十章轉動10-1角速度與角加速度1.角位移:物體或質點所轉過的角度,以表示;單位為弧度(或弳度),以rad表示。2.角速度:單位時間t內所轉過的角度,以宀表示；單位為rad/s。(1)平均角速度:(2)瞬時角速度:(3)圓周運動角速度:b5E2RGbCAP,角速度的方向？?利用類似右手安培定則去找，四指為物體轉動方向，則大拇指為角速度方向。，想想等角速度運動、非等角速度運動之差異？p1EanqFDPw23.角加速度:單位時間t內角速度的變化量宀,以a表示；單位為rad/S0(1)平均角加速度:(2)瞬時角加速度:DXDiTa9E3d,想想等角加速度運動、非等角加速度運動之差異

2、？4.移動與轉動的關係:這個實用唷:當質點以半徑r作圓周運動時，質點的移動與轉動有以下關係2(1)x=r0(2)v=rw(3)at=ra(4)an二rWRTCrpUDGiT5.若一質點作等角加速度運動，則會有下列這些關係:物理量移動:比較一下:轉動圓周運動時二者關係(角)位移平均(角)速度平均(角)加速度等(角)加速度:三大公式:課本94頁有美美，但又噁心的圖，例1.一輪對通過中心而垂直於輪平面之軸轉動,考慮輪緣上的一點,則(,)當輪以等角速度轉動時,此點的切向加速度為零(,)同(,)此點法向加速度大小一定不為零(,)當輪以等角加速度轉動時,此點切向加速度大小一定(,)同(,)此點的切向加速度

3、隨時間增加而增大(,)同(,)此點的切向速率隨時間增加而增大。答:(,)(,)(,)(,)5PCzVD7HxA1類1.下列各項有關圓周運動的敘述,何者正確,(,)等速率圓周運動為變角速度運動(,)物體作平移運動時,物體中每點的運動軌跡均與質心運動的軌跡相同(,)剛體繞某一定軸作等角速度轉動時,除軸外,剛體中每一點皆作等速率圓周運動(,)一質點在作固定半徑轉動時,若有角加速度,則向心加速度量值隨時間改變(,)一質點作半徑r等角速度3運動，此質點與圓心之連線2,單位時間掃過之面積為00ro答:(,)(,)(,)類2.繞固定軸轉動的剛體內的每一質點(,)角速率相同(,)角加速度大小相同(,)切向速率

4、相同(,)切向速度相同(,)切向加速度相同。答:(,)(,)類3.一輪對通過中心而垂直於輪平面之軸轉動,考慮輪緣上的一點,當輪以等角速度轉動時(,)法向加速度為零(,)切向加速度為零(,)合加速度為零(,)合加速度等於法向加速度(,)此點為一等速度圓周運動。答:(,)(,)jLBHrnAILg2例2.一質點在半徑為0.4m的圓周上運動,在某瞬時間的角速度為2rad/s,其角加速度為3rad/sxHAQX74J0X2,求此質點的合加速度之量值為【】m/so答案:2LDAYtRyKfE類1.當一質點對一固定軸以等角加速度由靜止開始轉動,當該質點的加速度方向與3速度方向夾37?的瞬間,此質點恰好轉過

5、的角位移為【】弧度。答:8類2.同一輪子上A、B兩點至軸心距離比為2:1,當輪子在旋轉時,其切向速度比為,切向加速度比為,向心加速度比為,加速度比為,:設輪子之軸固定不動:答:2:1;2:1;2:1;2:1Zzz6ZB2Ltk類3.一質點沿半徑2米的圓周繞轉,若某時刻其所受淨力與運動方向所夾之銳8,1角為tan、角速度為4弧度,秒,則該時刻質點的角加速度為若干,3dvzfvkwMI12(,)3(,)4(,)5(,)6(,)8弧度,秒。答:(,)2例3.有一飛輪,其角加速度為定值且等於2弧度,秒,在其過程中5秒時間內轉過100弧度之角,若此輪係由靜止狀態(tài)而開始轉動者,問在此5秒前,已經(jīng)轉動若干時

6、間,(,)1(,)3(,)5(,)7.5秒。答:(,)rqyn14ZNXI2類1.初角速度50rad/s:方向逆時針:的轉輪,在20秒後角速度變?yōu)?0rad/s:方向順時針:,若以等角加速度a轉動,求20秒內之角位移大小為【】rad。答:100類2.已知一等角加速運動的物體,其角速度由10弧度,秒增至30弧度,秒,共轉動50弧度的角2位移,試求其角加度為【】弧度,秒。答:8類3.一質點質量為2kg,對固定點0由靜止作半徑為1m的等角加速度運動，若角加速度為n22rad/s,則此質點在5秒末的動能為【】J。答:25nEmxvxOtOco例4.圖為某物體轉動的角速度與時間的圖形,則該物體於0,4秒

7、內的平均角速度為(,)0(,)2(,)3(,)4rad/s。答:(,)SixE2yXPq5類1.一質點繞一定軸，作圓周運動，其3,t圖如圖所示，則(,)全程為等角31加速度(,)0,t1時間之角加速度為(,)在t1,t2間之角加速度為t1311(,)t1到t2期間反向旋轉(,)全程角位移為31t2。答:(,)(,)(t,t)2216ewMyirQFL類2.汽車引擎作等角加速度運動,若角速度於12秒內由1200rpm增至3000rpm,則:2(,)角加速度為【】rad/s。kavU42VRUs(,)在此時間內引擎轉動【】轉。答：(,)5n；(,)420類3.若家用馬達為60rps,今切掉電源後2

8、0秒停止轉動,設停止前作等角加速度,則:2(,)角加速度為【】rad/s。y6v3ALoS89(,)共轉過【】轉。答：(,),6n；(,)600M2ub6vSTnP例5.剛體中一點P距固定轉軸為0.50m,做變角加速度運動,其角位移0:rad:與時間t:sec:0YujCfmUCw32之關係0,2t,5t,4,求:(,)第二秒末之角速度為【】rad/s。2113(,)第二秒末之加速度為【】m/s。答:(,)4;(,)eUts8ZQVRd2類1.某物繞一定點旋轉,其0與t之關係為0,t,2t,4,則此物體於14/18(,)t,3秒之瞬間,角速度為【】rad/s。2(,)t,4秒之瞬時,角加速度為

9、】rad/s。答:(,)8;(,)2類2.若一物體之角速度3與時間t之函數(shù)關係為3,4,2t:弧度,秒:,當t,0時之角位置0,2:弧度:,則:(,)第4秒末之角位置為【】。2(,)3秒末之角加速度為【答:(,)2弧度;(,),2弧度,秒sQsAEJkW5T例6.一飛輪傳動系統(tǒng):如圖所示:,各輪的轉軸均固定且互相平行,甲乙兩輪同軸且無相對轉動,已知甲、乙、丙、丁四輪的半徑比為5:2:3:1,若傳動帶在各輪轉動中不打滑,則(,)甲、乙兩輪角速度量值之比為5:2(,)乙、丙兩輪角速度量值之比為3:2(,)丙、丁兩輪角速度量值之比為2:15(,)甲、丁兩輪切向速率之比為1:5(,)乙、丁兩輪轉動角加

10、速度量值之比為1:5。答:(,)(,)(,)GMsIasNXkA類1.如圖所示一飛輪傳動系統(tǒng),各輪之轉軸均固定且相互平行,甲、乙兩輪同軸且無相對轉動,已知甲、乙、丙、丁四輪半徑比6:3:4:1,若傳動帶不打滑,則四輪之角速度比為【】。答:4:4:3:24TIrRGchYzg類2.如圖所示一飛輪傳動系統(tǒng),各輪的轉軸均固定且相互平行。甲、乙兩輪同軸且無相等轉動。已知甲、乙、丙、丁四輪的半徑比為5:2:3:1,若傳動帶在2各輪轉動中不打滑,則丙及丁輪角速度之比值為,答:1510-2力矩與轉動慣量1.如圖,質點在其位置上時,受外力作用,此外力會產(chǎn)生一個力矩,質點受到垂直於位置向量的力F?作用時,可產(chǎn)生

11、沿切線方向的加速度at,F?=mat結論:2其中，即為轉動慣量(I)。單位:kgxm22.單一質點的轉動慣量:若質點的質量為m,與轉軸的距離為r,則此質點的轉動慣量為I二mr3.剛體的轉動慣量:剛體內各質點之質量為ml、m2、m3,與轉軸的距離為r1、r2、r3,則剛體之轉動慣量為:。7EqZcWLZNX4. 將與F=ma作比較:,I,F=ma,I,45.如左二圖,哪一種狀態(tài)容易轉動此亞鈴,為什麼,例1.正三角形頂點上各放置質量為m的質點,今以通過重心O點垂直紙面的軸為2轉軸,則此系統(tǒng)對重心的轉動慣量為多少,答:malzq7IGfO2E22類1.距離為R的兩質點,繞系統(tǒng)質心轉動時,如圖所示,則

12、該系統(tǒng)的轉動慣量為答:mRo3類2.一質點質量為0.5kg,在直角坐標系中之位置為:3.0m,4.0m:,則此質點：22(,)對x軸之轉動慣量為【】kgm(,)對y軸之轉動慣量為【】kgm。2(,)對通過原點且垂直平面之直線,轉動慣量為【】kgm。zvpgeqJ1hk答:(,)8;(,)4.5;(,)12.5類3.邊長2m的正方形四個頂點上各有一個小球質量如圖所示,則此系統(tǒng)以2AD方向為軸之轉動慣量為【】kgm。答:28NrpoJac3v1例2.市售的零食包裝中,有時會附贈一只塑膠小陀螺。今在頂端處對中心軸施以力偶使其旋轉:如圖所示:,若軸的直徑為d,施力為F,陀螺的轉動慣量為I,則離手瞬間陀

13、螺的角加速度為多少,1nowfTG4KI2FdFdFd(,)(,)(,)(,)0。答:(,)II2IfjnFLDa5Zo類1.質量為0.2kg的質點作半徑3m的等速率圓周運動,其角速度為4rad/s,今沿切線方向對質點施以1.2N的定力,而質點作圓周運動的半徑仍不變,則開始施力後3秒末質點的動能為(,)30(,)50(,)70(,)90(,)110J。答:(,)tfnNhnE6e55類2.兩小球質量為m及2m,由一長為L的細桿相連:質量不計:,以通過兩球質心且垂直於細桿的軸作等角速度3轉動,則兩球的轉動動能總和為若干HbmVN777sL11122222222,(,)mL3(,)mL3(,)2m

14、L3(,)mL3。答:(,)324v7i4jRB8Hs類3.一均勻圓盤，半徑為R、質量為M,裝於軸上，軸以無摩擦之軸承固定之如圖所示,細繩輕繞於盤之邊緣,以固定向下之力T拉之,則圓盤之角加速度為(83lcPA59W9T2T2TT2,)(,)(,)(,)。:圓盤I=0.5MR:答:(,)MRMR2MR3MRmZkklkzaaP類4.一電動砂輪,轉速為每秒10轉,當截斷電流時,開始作等減角速度運動且在10秒末靜止,試求:AVktR43bpw(,)在此段時間內轉過之轉數(shù)為【】轉。2(,)若砂輪的轉動慣量為5.0kg/m,則砂輪所受摩擦力矩的大小為，答：(,)50；(,)10nORjBnOwcEd例3

15、.如圖所示,一長度為L的細桿,以通過細桿中心O點且垂直於細桿為轉軸,兩端各有質量m與3m的質點,若自桿與鉛直夾9,53?角處靜止釋放，則釋放瞬間的角加速度為何,2MiJTy0dTT3L3Lg3g4g(,)(,)(,)(,)(,)。答:(,)5g4g2L4L5LgIiSpiue7A類1.M1、M2兩小球以無質量之輕棍連接如圖所示,可繞O自由旋轉,M1距O點2m,M2距O點1m,2從水平位置釋放,求M1之最大速度為【】m/s。:設M1,4kg,M2,2kg,g,10m/s:uEh0U1Yfmh80答:3類2.一長度為d,質量可以忽略的細桿,其中心點O固定,兩端各置有質量為m及2m的質點;細桿與鉛垂

16、方向的夾角為9:如圖所示:。設重力加速度為g,則重力對O點所IAg9qLsgBXmgdsin93產(chǎn)生的力矩之量值為(,)(,)mgdsin9(,)mgdsin9(,)2mgd22WwghWvVhPEsin9(,)3mgdsin9。答:(,)asfpsfpi4k6類3.如圖所示,一長度為L,質量可略的細桿,以通過細桿中心O點且垂直於細桿為轉軸,O點位置不變,細桿兩端各放置質量m與2m的質點,若桿與鉛直夾9角處靜止釋放,則:ooeyYZTjj1(,)兩質點對O點的轉動慣量為【】。(,)釋放瞬間的角加速度為【(,)當質量2m的質點落到最低點時,質量2m的質點轉動動能為【】。2gsin9132答:(,

17、)mL;(,);(,)mgL:1,cos0:3L3410-3角動量和角動量守恆定律,1.角動量:L,r，P,rPsin,rmvsin,mvrsin,I,證明L,I,BkeGuInkxI22.單位:kgxm/s3. 若為圓周運動其角動量如何寫呢,4. 角動量L的方向:依右手螺旋的方法,先將右手四指指向位置向量的方向,然後將四指握向動量的方向,此時大拇指所指的方向即為角動量的方向。5. 動量P與角動量L的比較:6. 角動量守恆定律:不受力矩或所受合力矩為零,則其角動量維持定值不變,稱為角動量守恆。證明:記得吧,我們來寫一個在轉動中類似的式子F，,t,P,，,t,L,L或說,真有此式嗎,t7丄7.若

18、,則,即，或說L,l,定值,0,L,0,ll1212,t,請翻開課本105頁及107頁,閱讀一下吧,例1.一運動質點,被限定於一圓周上旋轉,相對於圓心所受之力矩不為零時,則下列何者必隨時改變,(,)轉動慣量(,)角加速度(,)角速度(,)角動量(,)線動量。答:(,)(,)(,)PgdO0sRlMo類1.當計算物體的轉動慣量時(,)可將物體的質量視為集中在質心位置(,)視轉軸之不同而異(,)轉軸不同不影響轉動慣量,但影響角動量(,)轉軸通過質量中心,轉動慣量為0(,)轉軸通過質心,轉動慣量亦不為零。答:(,)(,)類2.若作用於質點的轉矩不等於零,則此力矩等於(,)動量的改變(,)受力的改變(

19、,)轉動慣量與角加速度的乘積(,)角動量的改變(,)角動量的時變率。答:(,)(,)類3.質量分別為2m、m與m的甲、乙、丙三物體,放在旋轉圓盤上,它們與軸心的距離分別為R、R及2R,如圖。當圓盤以等角速度旋轉而物體在圓盤上相對靜止時,各物體所受的向心力及對軸心O點的角動量為(,)甲所受向心力最小,甲對O點的角動量最大(,)甲所受向心力最小,乙對O點的角動量最小(,)乙所受向心力最小,乙對O點的角動量亦最小(,)丙所受向心力最小,丙對O點的角動量最大(,)乙所受向心力最小,甲、乙對O點的角動量相等。答:(,)3cdXwckm15例2.如圖所示,質量比為2:1的A、B兩物,以等長的兩條輕繩連接好

20、後,使其共繞O點作等速圓周運動,則A、B兩點之(,)角速度之比為1:2(,)切向速率比為1:2(,)動量大小之比為1:2(,)對O點角動量之比為1:2(,)向心加速度之比為1:2。答:(,)(,)(,)h8c52WOngM類1.一繩長3r繞其一端以3角速度旋轉,在等距離三處分別繫有A、B、C三2球，其中mA,m,mB,2m,mC,3m則總角動量為，答:36mr3v4bdyGious類2.一質量為m之物體,作頻率為f、半徑為r之等速率圓周運動時,相對於圓心之角動量為【2】。答：2nmfJ0bm4qMpJ98例3.一質點質量為1kg,對固定點O作半徑為50cm的等速率圓周運動。若質點的角速度為6r

21、ad/s,試求:2(,)質點對O點的角動量之值為【】kgm/s。XVauA9grYP(,)今若沿切線方向對質點施1N的力,假設質點作圓周運動的半徑仍不變,則質點的角加速度a為2【】rad/S。bR9C6TJscw(,)5秒後質點的角速度3為【】rad/s。答:(,)1.5;(,)2;(,)16pN9LBDdtrd類1.如圖所示,一質點以長為R之輕質細桿:桿重不計:繞垂直軸L作圓周運動,質點的轉動慣量為I,若施一大小不變的切向推力F作用於質點上。下列敘述哪些正確,(,)此質點所受力矩大小為FR(,)此質點角動量的時變率DJ8T7nHuGTFR為一定值(,)此質點的角動量守恆(,)此質點的角加速度

22、為(,)此I質點的動能為一固定值。答:(,)(,)(,)類2.一物體對一固定轉軸之轉動慣量為I,自靜止受一沿切線方向之外力F作用,外力之作用點與rF軸相距r,則(,)外力對軸產(chǎn)生之力矩為rF(,)物體轉動之角加速度為(,)t秒末之角速IQF81D7bvUA2rFtrFt度為(,)t秒末之角動量為rFt(,)t秒內轉動周數(shù)為。答:全I4冗|4B7a9QFw9h例4.設A、B為一行星以橢圓形軌道繞恆星運行距離最遠與最近的位置,如下圖,若忽略其他行星的影響,則下列敘述何者正確,(,)運轉時,改變運動方向的力是由行星所受重力提供(,)在A、B處,重力對行星的瞬時功率量值為零(,)在A、B處,行星的角動

23、量量值相等(,)行星由位置A至B處,行星的力學能漸減(,)在此軌道上運行時,行星的運轉週期隨質量增加而變長答:(,)(,)(,)ix6iFA8xoX類1.一行星以橢圓軌道繞太陽運轉,近日距、遠日距之比為1:2,則下列敘述何者正確,(,)行星在運動中遵守力學能守恆定律(,)行星在近日點與遠日點之動能比為4:1(,)行星在運動中遵守動量守恆定律(,)行星在運動中遵守克卜勒第二定律(,)行星在近日點與遠日點之角速度比為4:1。答:(,)(,)(,)(,)類2.某行星繞日旋轉的橢圓軌道,近日距與遠日距之比為1:2,則衛(wèi)星在近日點與遠日點之(,)速率比為2:1(,)角動量大小比為1:1(,)向心加速度大

24、小比為8:1(,)加速度大小比為4:1(,)動能比為2:1。答:(,)(,)(,)類3.設萬有引力常數(shù)為G。恆星的質量為M,半徑為R。質量為m的行星沿橢wt6qbkCyDE圓形軌道環(huán)繞恆星運動。如圖所示,在某一瞬時,行星與恆星的距離為r,軌GMm1道速率為v(,)行星在任一位置，滿足mv,:,:為一個不變量r2GMm(,)行星在任一位置,滿足,為一個不變量(,)行星在任一位置，2r滿足Rvsin9為一個不變量(,)行星在任一位置，以行星與恆星間的萬有引力作為向心力(,)行星在相等的時距內,r所掃過的面積相等。答:(,)(,)例5.A、B兩小球質量分別為3kg及2kg,由一長度2m、質量可忽略的

25、細桿相連,並以通過兩球質心且垂直於細桿為軸,作等角速度5rad/s的轉動,如圖。則下列敘述何者正確,(,)旋轉軸與A的距離為1.2m(,)A與B的動量相等(,)A與B的角動量相等(,)A、B兩球對質心的角動2量和為24kgm/s(,)細桿對兩球之作用力量值均為60N。答:(,)(,)(,)Kp5zH46zRk類1.質量分別為m1及m2的兩小球,由一長度之細桿:質量不計:相連,並以通過質量中心,且垂,Yl4HdOAA61m,22直於細桿為軸，作等角速度宀的轉動,m1之角動量的量值為，答:ml宀:m,m12類2.質量為m和2m的雙子星，其間的距離d,若重力常數(shù)為G,則m對其質心的角動量大小為【】。

26、ch4PJx4BlI3Gmd4答:3310例6.汽車之離合器是以引擎?zhèn)鹊膱A盤與變速箱側的圓盤接合或分離,來控制動力的傳輸。今有一汽2車在離合器分離時，引擎?zhèn)葓A盤的轉動慣量為10kgm初角速度25rad/s;而變速箱側的圓盤轉2動慣量為5kgm初角速度10rad/s,且兩圓盤轉動方向相同，則當兩輪接合在一起時之角速度大小為(,)50(,)100(,)15(,)20(,)25rad/s。答:(,)qd3YfhxCzo22類1.一溜冰者若雙手雙腳併攏,則轉動慣量50kgm,角動量為120kgm/s。試問:(,)角速度為【】rad/s。22(,)今若將雙手兩臂平伸轉動慣量變?yōu)?0kgm,則角動量為【】

27、kgm/s。E836L11DO5答:(,)2.4;(,)120類2.一人立於以鉛直軸可以自由轉動之圓凳上,雙手各持一重球,當雙手下垂時之轉動慣量為10022kgm角速度為2rad/s,當雙手平舉後其轉動慣量為400kgm,則此時之角速度為【】rad/s。答:0.5類3.如圖所示，一轉動慣量為I的命運轉輪繞一水平軸以等角速度宀轉動，今S42ehLvE3M將兩支質量皆為m之飛鏢,平行水平軸方向射中轉輪並依序陷入距離轉軸為r的位置,若可將飛鏢視為質點,則兩支飛鏢依序射入後,命運轉輪之角速度為I 答:321,2mr22類4.有大小兩圓盤，其轉動慣量分別為3.0kgm及2.0kgm,其角速度分別為31,

28、20rad/s及32,25rad/s,試問:501nNvZFis(,)同轉向結合,則結合在一起的末角速度為【】rad/s。(,)若反轉向結合,則結合在一起的末角速度為【】rad/s。答:(,)22;(,)2類5.花式跳水選手離開跳板時手腳伸直,在空中手腳縮回,是為(,)改變轉動慣量以便改變轉動速率(,)姿勢平衡以免頭先落水(,)集中質量,以便身體受力分開(,)動能守恆定律自動會如此(,)一種利用角動量守恆的例子。答:(,)(,)類6.若地球兩極的冰山熔化,對地球將有何影響,(,)使地球自轉的角動量變小(,)使地球的轉動慣量變大(,)地球自轉轉速變慢(,)地球自轉轉速變快(,)因此作用是屬於內力,故角動量及自轉轉速皆不變。答:(,)(,)類7.下列何者為角動量守恆之應用,(,)花冰溜冰的選手,當表演旋轉動作時,常由雙手或某一腳的平伸或收回來改變轉動的角速率(,)馬戲團的空中飛人利用手腳及身體屈曲或筆直以改變其轉動慣量,俾控制滾翻的轉動速率(,)直昇機利用主、副螺旋槳來保持機身穩(wěn)定(,)行星繞日公轉時,行星與太陽之連線在相等時間內掃過相同之面積(,)噴射機向後噴