1、第四節 基本積分法 : 直接積分法 ; 換元積分法 ;分部積分法 初等函數求導初等函數積分機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 一、有理函數的積分二、可化為有理函數的積分舉例有理函數的積分本節內容: 第四章 一、一、 有理函數的積分有理函數的積分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函數:nm 時,)(xR為假分式;nm 時,)(xR為真分式有理函數相除多項式 + 真分 式分解其中部分分式的形式為kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例1. 將下列真分式分解為部分分式將下列真分式分解為部分

2、分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解: (1) 用拼湊法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 (2) 用賦值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 (3) 混合法)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 代入等式

3、兩端分別令1 ,0 xC541215461CB52B51C原式 =x214512112xx四種典型部分分式的積分四種典型部分分式的積分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp變分子為 )2(2pxM2pMN 再分項積分 例例2. 求求.)1)(21 (d2xxx解解: 知知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxa

4、rctan51例1(3) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例3. 求求.d3222xxxx解解: 原式原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23思索思索: 如何求如何求機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ?d)32(222xxxx提示提示: 變形方法同例3, 并利用 P209 例9 . xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 求求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arct

5、an21xCxarctan解解:機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 闡明闡明: 將有理函數分解為部分分式進行積分雖可行將有理函數分解為部分分式進行積分雖可行,但不一定簡便 , 因此要注意根據被積函數的結構尋求簡便的方法. 例例5. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 常規 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例6. 求求解解: 原式原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx(見P348公式21)2arctan

6、2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx 2)(2121xx)d(1xx 注意本題技巧注意本題技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常規方法較繁按常規方法較繁按常規方法解:1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比較系數定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化為部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比較系數定 A , B , C , D .第三步 分項積分 .此解法

7、較繁 !機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 二二 、可化為有理函數的積分舉例、可化為有理函數的積分舉例設)cos,(sinxxR表示三角函數有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 萬能代換t 的有理函數的積分機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1. 三角函數有理式的積分三角函數有理式的積分那么例例7. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令令,2tanxt 那么機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx212tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1

8、xx2211ttxdttd122xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例8. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC闡明闡明: 通常求含通常求含xxxxcossincos,sin22及的積分時,xttan往往更方便 .的有理式用代換機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例9. 求求. )0

9、(d)cossin(12baxxbxa解法解法 1 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xbxacossin例例9. 求求)0(d)cossin(12baxxbxa解法解法 2 cos,sin2222babbaa令22baxbabxbaacossin2222sincos原式)(cosd1222xxbaCxba)tan(122Cbaxba)arctantan(122機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 baarctan例例10. 求求.dsinsin1cos2cos423xxxxx

10、解解: 因被積函數關于因被積函數關于 cos x 為奇函數為奇函數, 可可令令,sin xt 原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sinsin1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 2. 簡單無理函數的積分簡單無理函數的積分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被積函數為簡單根式的有理式 , 可通過根式代換 化為有理函數的積分. 例如:機動 目錄 上頁 下頁

11、 前往 終了 ,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍數為nmp例例11. 求求.21d3xx解解: 令令,23xu那么,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例12. 求求.d3xxx解解: 為去掉被積函數分母中的根式為去掉被積函數分母中的根式 , 取根指數取根指數 2 , 3 的的最小公倍數 6 ,6tx 則有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663

12、令機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例13. 求求.d11xxxx解解: 令令,1xxt那么,112tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 內容小結內容小結1. 可積函數的特殊類型可積函數的特殊類型有理函數分解多項式及部分分式之和三角函數有理式萬能代換簡單無理函數三角代換根式代換2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定 要注意綜合使用基本積分法 , 簡便計算 .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 簡便 , 思考與

13、練習思考與練習如何求下列積分更簡便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23解解: 1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612. 原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 作業作業P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21第五節 目錄 上頁 下頁 前往 終了 備用題備用題 1.求不定積分解：解：.d)1 (126xxx令,1xt 那么,1tx ttxd1d2, 故xxxd)1 (126161t)11 (2tttd)1(2tttd126ttttd)111(224551t331ttCt arctanCxxxx1ar