1、當廣義坐標不止一個時，記廣義坐標為當廣義坐標不止一個時，記廣義坐標為 ，不失一般性，把系統(tǒng)外力不失一般性，把系統(tǒng)外力F F和力和力矩矩 統(tǒng)一記為統(tǒng)一記為 ，把質(zhì)量，把質(zhì)量m m和轉(zhuǎn)和轉(zhuǎn)動慣量動慣量J J統(tǒng)一記為統(tǒng)一記為 , ,對應的位移對應的位移和轉(zhuǎn)角統(tǒng)一記為和轉(zhuǎn)角統(tǒng)一記為 , ,速度為速度為2 21 1 多自由度系統(tǒng)建模方法之一多自由度系統(tǒng)建模方法之一（基于動能定理和廣義可能位移原理）（基于動能定理和廣義可能位移原理）(1,2)sq s (1,2)iF i (1,2)i imiu(1,2)iv i 2 21 11 1 基于動能定理基于動能定理：引入廣義坐標引入廣義坐標得：記為記為將此式進一步

2、展開：將此式進一步展開：1()2iiiiiiidFvv mvdtsq,1212iiiissitsiistsstiiists tistuuudFqqmqqdtqquudmq qdtqq ,12ssststss tdQ qMq qdt 注意到廣義坐標為注意到廣義坐標為 是獨立無關的，是獨立無關的，得系統(tǒng)運動方程：得系統(tǒng)運動方程：表為矩陣形式：表為矩陣形式：或：或： ,22,2,11()221()()2stssststststststrss ts trriiiisttsrstis ts trisrtstriisttsis tristrMdQ qMq qMq qq qq qqdtquuuuM q qq

3、 q qmq qqqq quuMq qmqq q ,strs tsttsstrstrs ts trq q qMq qD q q q (1,2)sq s ,ssttstrtrtt rQM qD q q + trQMqD q q + TTTtrTFTm TqTm Tq q 式中式中 廣義力廣義力 二階廣義慣量二階廣義慣量 三階廣義慣量三階廣義慣量2 21 12 2基于廣義可能位移原理的動力學普遍基于廣義可能位移原理的動力學普遍方程：方程：sQstMstrD TisiisuQFTFQq TiistiistuuMmTm TMqq2 TiistriistruuDmTm TDqq q 1()0miiiii

4、FM uuxyOMBrArFNi r i 光滑支承面光滑支承面剛體的固定支點剛體的固定支點連接兩剛體的光滑鉸鏈連接兩剛體的光滑鉸鏈連接兩個質(zhì)點的無重剛桿連接兩個質(zhì)點的無重剛桿不可伸長的繩索不可伸長的繩索kjirkjirkjiFiiiiiiziyixizyxzyxFFFiii0)(iziiyiixizFyFxF（一）虛功原理與達朗貝爾原理（一）虛功原理與達朗貝爾原理 虛功原理是關于力學系統(tǒng)平衡的一個普通虛功原理是關于力學系統(tǒng)平衡的一個普通原理，解題方法一般歸納為：原理，解題方法一般歸納為：1 1、判別約束是否為理想約束；、判別約束是否為理想約束；2 2、找出主動力及作用點；、找出主動力及作用點；

5、3 3、確定自由度，并選擇廣義坐標；、確定自由度，并選擇廣義坐標；4 4、由廣義坐標和變換式把虛位移用廣義坐標的變、由廣義坐標和變換式把虛位移用廣義坐標的變分來表示；分來表示；5 5、由虛功原理寫出平衡方程，由于廣義坐標的變、由虛功原理寫出平衡方程，由于廣義坐標的變分相互獨立，所以可以較方便的求解。分相互獨立，所以可以較方便的求解。 達朗貝爾原理是力學體系動力學的一個普通方達朗貝爾原理是力學體系動力學的一個普通方 程，程，它考慮的是運動而不是靜力學問題。它考慮的是運動而不是靜力學問題。由由“運動運動”學學 （ 主動力；主動力； 約束反力）約束反力）變?yōu)槠胶忸愋妥優(yōu)槠胶忸愋瓦@樣把動力學的問題轉(zhuǎn)變

6、為靜力學問題處這樣把動力學的問題轉(zhuǎn)變?yōu)殪o力學問題處理，這就是著名的理，這就是著名的“動靜法動靜法”。由于變?yōu)槠健Ｓ捎谧優(yōu)槠胶夥匠蹋酝耆砂刺摴υ矸椒ń鉀Q衡方程，所以完全可按虛功原理方法解決有關問題。虛功原理與達朗貝爾原理一起有關問題。虛功原理與達朗貝爾原理一起成為分析力學的最普遍原理的理論基礎。成為分析力學的最普遍原理的理論基礎。iiiimRFr iFiR0iiimrRF 由由 得得：故運動方程：故運動方程：式中各項與前面的推導完全一致。式中各項與前面的推導完全一致。2 22 2 復雜機構(gòu)系統(tǒng)的動力學建模方法之二復雜機構(gòu)系統(tǒng)的動力學建模方法之二（拉格朗日方程法）（拉格朗日方程法）iiss

7、suuqqiitttuuqq2()iiittrtrttruuuqq qqq q 1()0miiiiiFM uu2()iiiiisittrsisistrssttruuuuF qmqq qqqqqq q ssttstrtrttrQM qD q q T動能動能 V勢能勢能 L拉氏函數(shù)（動勢）拉氏函數(shù)（動勢）ssssQqVqTqTdtdVTL( (二二) )拉格朗日方程拉格朗日方程 作為力學系統(tǒng)的運動規(guī)律，利用廣義坐標從動作為力學系統(tǒng)的運動規(guī)律，利用廣義坐標從動力學普遍方程推導出來的拉格朗日方程，對整個力學普遍方程推導出來的拉格朗日方程，對整個力學體系的運動提供了一個統(tǒng)一而普遍的解法。力學體系的運動提

8、供了一個統(tǒng)一而普遍的解法。拉氏方程是完整理想的力學體系的最普遍的動力拉氏方程是完整理想的力學體系的最普遍的動力學方程，它給解決動力學問題提供了一個高度統(tǒng)學方程，它給解決動力學問題提供了一個高度統(tǒng)一而又概括的方法。這種表述及其方法，不僅在一而又概括的方法。這種表述及其方法，不僅在力學范疇有重要意義和實用價值，而且為研究近力學范疇有重要意義和實用價值，而且為研究近代物理提供了必須的物理思想和數(shù)學技巧。代物理提供了必須的物理思想和數(shù)學技巧。ssssQqVqTqTdtdVTLT動能動能 V勢能勢能 L拉氏函數(shù)（動勢）拉氏函數(shù)（動勢） 拉格朗日方程用高度統(tǒng)一規(guī)律描述了力學拉格朗日方程用高度統(tǒng)一規(guī)律描述了

9、力學系統(tǒng)動力學的運動規(guī)律，反映在：系統(tǒng)動力學的運動規(guī)律，反映在：拉氏方程的形式不隨廣義坐標的選擇而發(fā)拉氏方程的形式不隨廣義坐標的選擇而發(fā)生變化；生變化；對慣性系統(tǒng)和非慣性系，拉氏方程的形式對慣性系統(tǒng)和非慣性系，拉氏方程的形式都一樣；都一樣；拉氏方程中的廣義坐標、廣義速度、廣義拉氏方程中的廣義坐標、廣義速度、廣義動量、廣義動能都比牛頓力學中的坐標、動量、廣義動能都比牛頓力學中的坐標、速度、力、動量、動能具有更普遍的意義。速度、力、動量、動能具有更普遍的意義。拉氏方程概括了質(zhì)點、質(zhì)點組、剛體各種拉氏方程概括了質(zhì)點、質(zhì)點組、剛體各種運動的動力學規(guī)律。運動的動力學規(guī)律。拉氏方程是從能的角度去研究問題。

10、當系拉氏方程是從能的角度去研究問題。當系統(tǒng)的主動力為保守力系時，拉氏函數(shù)成為統(tǒng)的主動力為保守力系時，拉氏函數(shù)成為力學體系的特征函數(shù)；力學體系的特征函數(shù)；拉氏方程的個數(shù)與力學體系的約束條件有拉氏方程的個數(shù)與力學體系的約束條件有關。約束越多，方程數(shù)就越少，所以與牛關。約束越多，方程數(shù)就越少，所以與牛頓力學比較，對多約束的力學體系，拉氏頓力學比較，對多約束的力學體系，拉氏方程就愈能顯示出它的優(yōu)越性。但是拉氏方程就愈能顯示出它的優(yōu)越性。但是拉氏方程的物理圖象不如牛頓力學直觀，這是方程的物理圖象不如牛頓力學直觀，這是它的不足之處。在應用拉格朗日方程解題它的不足之處。在應用拉格朗日方程解題時一般方法是：時

11、一般方法是： 1.1.首先正確判斷力學體系的自由度，并選擇首先正確判斷力學體系的自由度，并選擇適當?shù)膹V義坐標；。適當?shù)膹V義坐標；。2.2.判斷是否是保守力場，從而決定選用方程判斷是否是保守力場，從而決定選用方程類別；是保守力場時采用：類別；是保守力場時采用： 不是保守力場，或力場性質(zhì)不明及不易不是保守力場，或力場性質(zhì)不明及不易判斷情況下要采用一般形式的拉格朗日方判斷情況下要采用一般形式的拉格朗日方程：程： 0qLqLdtdSQqTqTdtd2 , 13.3.求出的速度一定要采用絕對速度。這是動求出的速度一定要采用絕對速度。這是動能表達式中所需要的。能表達式中所需要的。4.4.按廣義坐標建立按廣

12、義坐標建立 個方程后，馬上檢查個方程后，馬上檢查是否存在循環(huán)坐標（拉氏函數(shù)中不顯含某是否存在循環(huán)坐標（拉氏函數(shù)中不顯含某一廣義坐標一廣義坐標 ，此為循環(huán)坐標），馬，此為循環(huán)坐標），馬上就可以寫出它的第一積上就可以寫出它的第一積分分 ；5.5.若采用一般形式的拉格朗日方程，就要求若采用一般形式的拉格朗日方程，就要求廣義力。廣義力的求法是：廣義力。廣義力的求法是：按定義求：按定義求：Siq常數(shù)qL)S,(qQni211 i ii irF 其中其中 是作用在力學體系的第是作用在力學體系的第 個個質(zhì)點上的主動力，質(zhì)點上的主動力， 是第是第 個質(zhì)點的個質(zhì)點的位矢。在完整系中，廣義力位矢。在完整系中，廣義

13、力 與廣義與廣義坐標相對應，它們的個數(shù)都等于自由度數(shù)。坐標相對應，它們的個數(shù)都等于自由度數(shù)。廣義力還可以寫成：廣義力還可以寫成：將坐標變換式代入上式，計算后求得。將坐標變換式代入上式，計算后求得。按虛功求：按虛功求：虛功原理用廣義力與廣義位移表示為：虛功原理用廣義力與廣義位移表示為： 故i iFiiriQSqzFqyFqxFQiiziiyiniix2 , 11qQWs1SqWQ2 , 1 僅給廣義坐標中之一僅給廣義坐標中之一 的變化，其余的變化，其余 個獨立坐標不變，這樣可求得所有主動力個獨立坐標不變，這樣可求得所有主動力在相應在相應 上所做元功之和。上所做元功之和。令令 則則 同理，可求出同

14、理，可求出 ，或在約束條件許可下，或在約束條件許可下， 彼此獨立。當彼此獨立。當 都不為零時，都不為零時， 前的系數(shù)即為各廣義前的系數(shù)即為各廣義力。力。q1Sq0, 021saqqqq而111qWQsaQQQ,2q,21sqqqq如圖所示起升機構(gòu)，已知馬達轉(zhuǎn)矩如圖所示起升機構(gòu)，已知馬達轉(zhuǎn)矩M Mmotormotor, ,減速器傳減速器傳動比動比i i, ,馬達轉(zhuǎn)角馬達轉(zhuǎn)角 ，卷筒半徑，卷筒半徑R R，滑輪組倍率，滑輪組倍率a,a,求動力學方程求動力學方程iiiQqLqLdtd拉氏方程拉氏方程 2222221122112211222222JJJJTmvmx1q11221vRiia， 設廣義坐標

15、則: 起升機構(gòu)起升機構(gòu)1iaRmgVxxmJJL)()(112111111LVTLmotorRMmgai2122121RJJmiia（）廣義力得到運動方程:aiRmgL1建立如圖所示的坐標系吊重的坐標為 小車的坐標為sin( ),cos( )mrxll ,0Mrx 取廣義坐標 為x(t)和(t)( )( )tqx t非保守廣義力用 描述QqDFqDFFQx0則:廣義慣性力拉格朗日方程為:*0QQ、 其中D是由于摩擦而消耗的能量,若忽略掉摩擦0QF*dLLQdtqq 計算出拉格朗日方程的各項具體內(nèi)容0LTVdLLFdtqq系統(tǒng)移動時的動能：1122mmMMTmrrM rr 根據(jù)m 、M的坐標計算

16、得：cos( ) , sin( )mrxll ,0Mrx 系統(tǒng)的勢能：cos( )Vmgl 得拉格朗日函數(shù)為：22211()cos( )cos( )22LMm xmlmlxmgl由拉格朗日方程得到下面微分方程組：因此可以得出結(jié)論，通過控制小車加速度及驅(qū)動力就可以實現(xiàn)對工作裝置擺角的控制。 ()( )0Mm xmlF txlg建立如圖所示的坐標系小車的坐標為吊重的坐標為 ,0,0 ;Mrx cos( )sin( ), sin( ),cos( )cos( )mrxlll 考慮小車變幅機構(gòu)的綜合運動，建立水平運動和回轉(zhuǎn)運動相結(jié)合的動力學模型，吊重的擺角可以分解成兩個方向的擺角，同樣采用拉格朗日方程，

17、塔式起重機的動力學模型簡圖如圖所示。設 塔機轉(zhuǎn)動的角位移(rad)吊重擺線與xz平面的夾角 吊重擺角在xz平面上的投影 廣義坐標為：x(t),(t) , (t) , (t)非保守廣義力(即不包括重力)qDTFqDFFFFQxx0000 xFQT廣義慣性力：*dLLQdtqq 得到拉格朗日方程為：LTVdLLQdtqq,0,0 ;Mrx cos( )sin( ), sin( ),cos( )cos( )mrxlll drrrdt0,0,0J是塔機的回轉(zhuǎn)機構(gòu)總轉(zhuǎn)動慣量20111222mmMMTmrrMrrJ cos( )cos( )Vmgl 由拉格朗日方程經(jīng)簡化得到下面方程組：投影在xz平面上的角

18、與吊重的質(zhì)量、小車的驅(qū)動力及加速度相關，同理可得與xz平面的夾角與塔機的回轉(zhuǎn)力矩、小車的水平位移、吊重質(zhì)量和小車質(zhì)量及回轉(zhuǎn)的角加速度有主要關系。 ()0 xMm xmlFlgx220()0JmxMxmlxTlgx設已知各構(gòu)件質(zhì)心速度設已知各構(gòu)件質(zhì)心速度 （包含平動與轉(zhuǎn)（包含平動與轉(zhuǎn)動）、慣量動）、慣量 （包含平動與轉(zhuǎn)動慣量）。則（包含平動與轉(zhuǎn)動慣量）。則系統(tǒng)動能為：系統(tǒng)動能為：ivim2,1()2121212iiiiisitiststiiists tistststs tTmvuuqmqqquumq qqqM q q 例如，二自由度系統(tǒng)有：例如，二自由度系統(tǒng)有：對三自由度系統(tǒng)有：對三自由度系統(tǒng)有

19、： 對任意多自由度系統(tǒng)運用拉格朗日方程法：對任意多自由度系統(tǒng)運用拉格朗日方程法：廣義力廣義力廣義質(zhì)量廣義質(zhì)量系統(tǒng)動能系統(tǒng)動能 2211 112 1 222 21(2)2TM qM qqM q 22211 122 233 312 1 213 1 323 2 31(222)2TM qM qM qM qqM qqM q q isiisuQFqiistiistuuMmqq,12sstts tTq M q,11()()()()22 rtr tst trs rst tr ttrtssstst ttrtt rrdTdddM qqM qM qM qdtqdtqdtdtMM qqqq ,11()()()()22

20、 rtr tst trs rst tr ttrtssstst ttrtt rrdTdddM qqM qM qM qdtqdtqdtdtMM qqqq ,12rtrtr tssMTq qqq (1,2)sssdTTQsdtqq,1()2strtsstttrtt rrsMMQM qq qqq 得運動方程：得運動方程： 帶入拉式方程帶入拉式方程： （2-20）221111122211 11221122112211122MMMMM qM qqq qqQqqqq 22121122222221211122212121122MMMMM qM qqq qqQqqqq 111222111212111211221

21、21221222212112222122111221122MMMMqqqqMMqQqqqqMMqQMMMMqqqq 以二自由度系統(tǒng)為例以二自由度系統(tǒng)為例：對三自由度系統(tǒng)有對三自由度系統(tǒng)有：133311122221121222233321112212312232313211223313233111222111 222111222MMMMMqqqqqMMMMMqqqqqqqqMMMMMqqqqq111332121132312231322212212132311323323121333312312 12 MMMMMqqqqqMMMMMq qq qq qqqqqqMMMMMqqqqq 11121311

22、2122232231323333 MMMqQMMMqQMMMqQ （2-22） 可以證明，系統(tǒng)動力學方程式可以證明，系統(tǒng)動力學方程式,1()2strtsstttrtt rrsMMQM qq qqq 與式與式,ssttstrtrtt rQM qD q q + trQMqD q q + TTTtrTFTm TqTm Tq q 完全一致完全一致.將將isiisuQFqiistiistuuMmqq中的廣義力和廣義質(zhì)量代入運動方程式中的廣義力和廣義質(zhì)量代入運動方程式,1()2strtsstttrtt rrsMMQM qq qqq 得：得：,1()()()2iiiiiiiiititritritit rit

23、 risstrstsrtuuuuuuuFmqmqqmqqqqqqqqqqq 22,()()iiiiiiitriitrt rit rirstsrtstruuuuuumq qmmq qqqqq qqqq q 22,2,11()()22 =()iiiiiiitriitrt rit risrtrstrtsiiitrt rirstuuuuuumq qmmq qqqqq qqqq quumq qq qq 上式右邊第二項和第三項分別展開得：上式右邊第二項和第三項分別展開得： 將式（將式（2-24），（），（2-25）代入（）代入（2-23）得運動方程式：）得運動方程式：（2-23）（2-24）（2-25）2,()()iiiiiititritit riiststrsuuuuumqmq qFqqqqqq (2-26a)或表為：或表為： ,sttstrrtstr tM qD q qQ （2-26b）得到與式（得到與式（2-5）完全一樣的結(jié)果。）完全一樣的結(jié)果。應用實例