1、J3參數方程和極坐標系、知識要點（一）曲線的參數方程的定義:在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標并且對于t每一個允許值，由方程組所確定的點x、y都是某個變數t的函數，即x=f(t)y=f(t)M（x,y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數方程，聯系x、y之間關系的變數叫做參變數，簡稱參數.（二）常見曲線的參數方程如下:x=x0tcos：1,過定點（xcV。）,傾角為a的直線：0（t為參數）y=y0tsin;其中參數t是以定點P（x。，V。）為起點，對應于t點M（x,y）為終點的有向線段PM的數量，又稱為點P與點M間的有向距離.根據t的幾何意義，有以下結論.D.設A、B是直線上

2、任意兩點，它們對應的參數分別為tA和tB,則AB=tB-tAJ（tB-tA）2-4tAtB.CD,線段AB的中點所對應的參數值等于tA.tB2x=x。rcos-2,中心在（xo,y。），半徑等于r的圓：.y二y。rsin-x=acos?3.中心在原點，焦點在x軸（或y軸）上的橢圓：!3N=bsin1（0為參數）（日為參數）中心在點（x。）焦點在平行于x軸的直線上的橢圓的參數方程x=x(，+ac0st,。,y為參數)J=y。+bsince.x=asec-.,.x=b*4.中心在原點，焦點在x軸（或y軸）上的雙曲線：（口（8為參數）（或”口）Ly=btg二-y=asec。5.頂點在原點，焦點在x軸

3、正半軸上的拋物線:=2pt2=2pt（t為參數，p。）直線的參數方程和參數的幾何意義過定點P(X0,y°),傾斜角為a的直線的參數方程是1y：X00：X(t為參數)J3.2極坐標系1、定義：在平面內取一個定點0,叫做極點，引一條射線Ox,叫做極軸,再選個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)。對于平面內的任意一點M,用P表示線段0M的長度，。表示從Ox至ij0M的角，p叫做點M的極徑，0叫做點M的極角，有序數對(P,0)就叫做點M的極坐標。這樣建立的坐標系叫做極坐標系。2、極坐標有四個要素：極點；極軸；長度單位；角度單位及它的方向.極坐標與直角坐標都是一對有序實數確定平面上一個點

4、，在極坐標系下，一對有序實數P、日對應惟一點P(P,日)，但平面內任一個點P的極坐標不惟一.一個點可以有無數個坐標，這些坐標又有規律可循的，P(P,9)(極點除外)的全部坐標為(P,e+2kn)或(P,8+(2k+1)n),(kZ).極點的極徑為0,而極角任意取.若對P、8的取值范圍加以限制.則除極點外，平面上點的極坐標就惟一了，如限定P>0,0<0<2n極坐標與直角坐標的不同是，直角坐標系中，點與坐標是一一對應的，而極坐標系中，點與坐標是一多對應的.即一個點的極坐標是不惟一的.3、直線相對于極坐標系的幾種不同的位置方程的形式分別為：'MI.a0圖4:二asin1-A

5、acosT個0a（4）aP=:=_cos（7-：）=cosacosa-sinu=-asin-acos（6二；'）4、圓相對于極坐標系的幾種不同的位置方程的形式分別為(a>0)：p=aP=2acoseP=_2acos!3P=2asin0P=_2asin0P=2acos(13中)a,1OxOa圖1鹵2=a：；=2acosa_M0Ma0x圖4圖5：=2asin二'-2asin丁Ma-0»xr圖3P=-2acosiXMa01圖6：?=2acos(t1-:)5、極坐標與直角坐標互化公式：N00油0x=Fcosfy=Psinya(,)xMMp/y1Hx2+y2=P2HjJa

6、ne，(x#0)x（直極互化圖）2、3、冗52nA.一B.C.D.63634、已知橢圓的參數方程是x=5cos6心(0為參數)二4sin二，則橢圓上一點P(-,-2J3)的離心角可以是22二B.3C.2把彈道曲線的參數方程x=V0cos二t,11,2=V0sin:t一一gt,2(1)()化成普通方程.(2)例題(j3.1參數方程)例1.討論下列問題：1、已知一條直線上兩點Mi(xi,y11M2(X2,y2),以分點M(x,y)分MiM2所成的比九為參數，寫出參數方程。x=3-t直線22(t為參數)的傾斜角是y=11t2方程)二一1”叱(t為非零常數，口為參數)表示的曲線是y=3+tsinaA,

7、直線B.圓C.橢圓D.雙曲線3.將下列數方程化成普通方程.7=2t2x=21t22tyL21 -t2x=21+t,2t丫"1x=a(t)t1y=b(t-)“x=-my+1j=mx+1cos2Ux=acos«,、y=sin9(a為參數，aab>0)，y=bsin£.例4.直線3x-2y+6=0,令y=tx+6(t為參數).求直線的參數方程.例5.已知圓錐曲線方程是7=3t+25c0stp+1y=-6t+4sin中一5(1) 若t為參數，平為常數，求該曲線的普通方程，并求出焦點到準線的距離;(2) 若華為參數,t為常數，求這圓錐曲線的普通方程并求它的離心率。例6

8、.在圓x2+2x+y2=0上求一點，使它到直線2x+3y5=0的距離最大.例7.在橢圓4x2+9y2=36上求一點P,使它到直線x+2y+18=0的距離最短(或最長).例8.已知直線；l:廣二二1二3t與雙曲線(y-2)2_/=1相交于A、B兩點，P點坐標P(-1,2)。求:y=24t(1)|PA|.|PB|的值；(2)弦長|AB|;弦AB中點M與點P的距離。例9.已知A(2,0),點B,C在圓x2+y2=4上移動，且有ZBAC=-n求&ABC重心G的軌跡方程。322例10.已知橢圓2+、=1和圓x2+(y-6)2=5，在橢圓上求一點Pi,在圓上求一點P2便|PiP2達到最大值，并求出

9、此最大值。例11.已知直線l過定點P(-2,0),與拋物線C:x2+y-8=0相交于A、B兩點。(1)若P為線段AB的中點，求直線l的方程；(2)若l繞P點轉動，求AB的中點M的方程.22例12.橢圓二+4=1(a>bA0)上是否存在點P,使得由P點向圓x2+y2=b2所引的兩條切線互相垂直？若存ab在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由。例1討論下列問題：1 .在同一極坐標系中與極坐標M(2,40°(A)(2,220°)(B)(2,140°)例題(J3.2極坐標系)表示同一點的極坐標是()(C)(2,-140°)(D)(2,-40°)2

10、.已知ABC的三個頂點的極坐標分別為A(4,0°),B(-4,-120°),C(2J3+2,30°),則ABC為()。(A)正三角形(B)等腰直角三角形冗,B(3,-)的極坐標化為直角坐標。(C)直角非等腰三角形(D)等腰非直角三角形例2.把點A(5,2)例3.把點M(-V3,-1),N(0,-3),P(<2,0)的直角坐標化為極坐標。例4.已知正三角形ABC中，頂點A、B的極坐標分別為A(1,0),B(J3,),試求頂點C的極坐標。例5.化圓的直角方程x2+y2-2ax=0為極坐標方程。例6.化圓錐曲線的極坐標方程P=ep一為直角坐標方程。i-ecos?例

11、7.討論下列問題：1 .在極坐標系里，過點M(4,30°)而平行于極軸的直線1的方程是()(A)Psin日=2(B)Psine=2(C)Pcos日=2(D)Pcos日=-23 .已知P點的極坐標是(1,兀)，則過點P且垂直于極軸的直線的極坐標方程是()。(A)p=1(B)p=cos。(C)pcos。=1(D)pcos0=14 .若p>0,則下列極坐標方程中，表示直線的是()。3(A)0=(B)cos0=-(0<0<%)(C)tg0=1(D)sin0=1(0<0<%)5 .若點A(4,'兀)與B關于直線0=對稱，在p>0,兀W。<兀條件

12、下，B的極坐標是633T6 .直線pcos(0：)=1與極軸所成的角是。7 .直線pcos(0a)=1與直線psin(0a)=1的位置關系是。128.直線y=kx+1(k<0且kw萬)與曲線psin0psin20=0的公共點的個數是()。(A)0(B)1(C)2(D)3例8.討論下列問題；1 .圓的半徑是1,圓心的極坐標是(1,0),則這個圓的極坐標方程是()。(A)p=cos0(B)p=sin0(C)p=2cos。(D)p=2sin02 .極坐標方程分別是p=cos0和p=sin0的兩個圓的圓心距是()。c、2(A)2(B)2(C)1(D)23 .在極坐標系中和圓p=4sin0相切的一

13、條直線方程是()(A)psin0=2(B)pcos0=2(C)psin0=4(D)pcos。=44 .圓P=Dcos0Esin。與極軸相切的充分必要條件是()(A)D-E=0(B)D2+E2=0(C)D=0,EW0(D)D”E=05 .圓P=243sin。2cos0的圓心的極坐標為。6 .若圓的極坐標方程為p=6cos0,則這個圓的面積是。7 .若圓的極坐標方程為p=4sin0,則這個圓的直角坐標方程為。8 .設有半徑為4的圓，它在極坐標系內的圓心的極坐標為(一4,0),則這個圓的極坐標方程為。1一例9.當a、b、c滿足什么條件時，直線P=與圓P=2ccos日相切？acos?bsini例10.試把極坐標方程mpcos2g十3Ps1n2e_6cosa=0化為直角坐標方程，并就m值的變化討論曲線的形狀。11例11.過拋物線y2=2p