1、會計學1函數的冪級數展開及應用函數的冪級數展開及應用又 的收斂半徑也為 r , )( 221nnnxcnn)( xS在 ( -r , r ) 上可導 , 且) , ( , )()( rrxxcnnnxSnnn 3321 S(x) 在 ( -r , r ) 上三階可導 重復這一過程可知 : S(x) 在 ( -r , r ) 上無窮階可導 ,即冪級數 表示的和函數在其收斂區間上 xcnnn 0任意階可導 第1頁/共45頁問題:若一函數 f (x) 在 ( x0- , x0+ ) 上任意階 可導 , f (x) 是否可以表示為) , ( , )()( 0000 xxxxxcxfnnn即一任意階可導

2、的函數是否可以展開為一冪級數 ?這就是函數的冪級數展開問題 我們首先考慮 , 如果, )()( 00nnnxxcxf那么 cn = ?令 x x0 ,)( , )(0000 xfccxf 第2頁/共45頁兩邊求導得, )()( 110nnnxxncxf讓 x x0 , 有! )( , )( 10110 xfccxf 再兩邊求導有, )()()( 2201nnnxxcnnxf讓 x x0 , 有! )( , ! )( 220220 xfccxf 重復這一過程可得 , , , ! )()(100 nnxfcnn即如果, )()( 00nnnxxcxf則 )(! )()()( 000nnnxxnxf

3、xf第3頁/共45頁泰勒級數:級數 稱為函數 )(! )()( 000nnnxxnxff (x) 在 x = x0 點的泰勒級數 由此得知:(1) 如果 f (x) 可表示為一個以 x0 為基點的冪級數 ,則此冪級數就是 f (x) 在 x0 點的泰勒級數 ( 冪級數表示的唯一性 ) (2) 冪級數 就是其和函數 S(x) 在 )( 00nnnxxcx0 點的泰勒級數 第4頁/共45頁(3) 一個在 N( x0 ) 上任意階可導的函數 f (x) , 總可構造它在 x0 點處的泰勒級數 )(! )()()( 000nnnxxnxfxf下面討論: )(! )()()( 000nnnxxnxfxf

4、?由泰勒公式 )()(! )()( )()()(xRxxnxfxxxfxfxfnnn 00000若記 的部分和數列為 Sn(x) , )(! )()( 000nnnxxnxf第5頁/共45頁nnnxxnxfxxxfxfxS)(! )()( )()()(00000 則有 )()()(xRxSxfnn 故知: )(! )()()( 000nnnxxnxfxf )()(limxfxSnn )(lim0 xRnn定理在點 x 處 )(! )()()( 000nnnxxnxfxf )(lim0 xRnn第6頁/共45頁我們把等式 nnxxnxfxxxfxfxf)(! )()( )()()(00000(1

5、)稱為函數 f (x) 在 x0 點處的泰勒級數展開式 若 x0 = 0 , 則上式為 nnxnfxffxf! )()( )()()(000(2)(2) 稱為函數 f (x) 的麥克勞林級數展開式 第7頁/共45頁常用的泰勒級數展開式 ( 取 x0 = 0 )(1) f (x) = e x 的展開式由于xnxneexf )()()()(10 )()(nfxexf )(在 x0 = 0 處的泰勒級數為 ! ! ! )(nxxxnxexfnnnx2120其收斂半徑: )(limlim11nccrnnnn 級數的收斂域為 ( - , + )第8頁/共45頁又由泰勒公式 )!()(11 nnxnexR

6、 其中 介于 0 與 x 之間 , 于是有RxxnexnexRnxnn ,)!( )!()(11110 據夾逼定理知 , 對任意 x R )!(lim)(lim011 nnnnxnexR 所以有Rxnxnxxxennnx , ! ! ! 0221(3)第9頁/共45頁(2) f (x) = sinx 的展開式)sin()()(2 nxxfn )sin()()(20 nfn 1212020knknnfkn , )( , )sin()()( xxfsin)( 在 x0 = 0 處的泰勒級數為 012121kkkkxxxf! )()( sin)( ! )()(! ! 121531253kxxxxkk

7、第10頁/共45頁)!()!(lim)()(lim123212321 nxnxxaxarnnnnnn由于101222 )(limnnxn 級數 的收斂域為 ( - , + ) 012121nnknx! )()( 又由于RxnxxnxRnnnn , )!( )!()(sin)()(110111 第11頁/共45頁 , )(lim RxxRnn 0所以有) , ( , ! )()(sin xkxxkkk012121(4)(3) f (x) = cos x 的展開式對上式兩邊對 x 求導有Rxnxnnn , ! )()( 0221 ! )()(cos 012121nnnnxx第12頁/共45頁(4)

8、 f (x) = ln ( 1+ x ) 的展開式 )()ln(nxxnnn11111 , ( , )( 111212 xnxxxnn(6)即 ! )()( cos 0221nnnnxxRxnxxxnn , ! )()(! ! 21421242(5)第13頁/共45頁(5) f (x) = ( 1+ x ) , R 的展開式nnxnxf )()()()(111 )()()()(110 nfn f (x) 在 x0 = 0 處的泰勒級數nnxnnxxf 11111! )()( )()( nxnnxx! )()(! )(112112 第14頁/共45頁! )()()!()()(limlimnnnn

9、ccnnnn11111 由于11 nnn lim1 r 收斂區間為 ( -1 , 1 )下面考慮) , ( , ! )()( )(1111111 xxnnxnn ?第15頁/共45頁對于任意的 x (-1 , 1) , ! )()( )(nnxnnxS 1111 記 ! )()()( )( 11111 nnxnnxS )(! )()()( )( )(1111111 nnxxnnxSx ! )()()(! )()()( nnnnxnnxnn 111111111 第16頁/共45頁由于11111 nnxnn! )()()( 12111 nnxnn! )()()( 1 nkkkxkk 11! )()

10、( nnxnn 11! )()( 代入前式有)( )(xSx 1 nnxnn11! )()( ! )()()(nnxnn 1111 第17頁/共45頁nnxnnnn 11111! )()()(! )()( nnxnnnn)(! )()()(11111 )( ! )()(xSxnnnn 111 即滿足:)( )( )(xSxSx 1, )()( xxSxS 1 即解得cxxS )ln()(ln1 第18頁/共45頁由于 S(0) = 1 , c = 0 )ln()(lnxxS 1) , ( , )()(111 xxxS ) ,( , ! )()( )(1111111 xxnnxnn (7)說明:

11、(1) 的展開式Rxxf , )()(1) ,( , ! )()( )(1111111 xxnnxnn 的推導過程就是一個冪級數求和的過程 (化為微分方程計算 ) 第19頁/共45頁(2) 展開式 (3)(7) 的推導過程稱為冪級數展開的直接展開法 :(a) 計算 210 , , , )()( kxfk(b) 驗證等式成立 可以看到 , 由于 不易計算 , 等式的驗證 xfk)()(通常也較困難 , 所以利用直接法求函數的冪級數展開式常常是困難的 第20頁/共45頁(3) 間接展開法:利用函數的冪級數展開式的唯一性 , 借助一些已知的冪級數展開式 求函數的冪級數展開式的方法稱為冪級數展開的間接

12、展開法 這一方法的優點:(a) 回避 的計算 ) , , ( )()(210 kxfk(b) 回避等式的驗證 第21頁/共45頁例2xe xf )(求 在 x = 0 處的泰勒級數展開式 解因為對于任意的 x( - , + ) 0221nnnxnxnxxxe! ! ! 令 x = x2 , 代入上式有Rxnxnxxxennnx , ! ! ! 02242212所以 , 2xexf )(在 x = 0 處的泰勒展開式為Rxnxennx , ! 022第22頁/共45頁說明:利用, ! )()(nfcnn0 可知nncnf! )()( 0所以有, , , ! )()()(100012012 k k

13、fk, , , ! )(! )()()(2121202 kkkk kfk第23頁/共45頁解例xxfsin )( 求 在 處的泰勒級數展開式 4 x因為 )( sinsin44 xx)sin(cos)cos(sin4444 xx )sin()cos( sin4421 xxx由于) , ( , ! )()(sin xnxxnnn012121) , ( , )( ! )()()sin( xxnxnnn12041214 第24頁/共45頁) , ( , ! )()( cos xnxxnnn0221) , ( , )(! )()( )cos( xxnxnnn204214 代入上式有 120412121

14、nnnxnx)(! )()( sin )(! )()(nnnxn20421 02421121nnnxn)(! )( )( Rxxnnn , )(! )( 1204121 第25頁/共45頁解例設 , 將 f (x)展開為 x 的冪級數222xxxxf )()( )(211132222 xxxxxxxf由于, , 1110 xxxnn )( 212121xx)(! )()( nnxnn211211211 ) ( 12 x第26頁/共45頁 )()( 121121nnnx )()( 02121nnnx) ( 2 x將這些展開式代入上式有)()( )(nnnnnxxxxf 00221213) ( 1

15、 x201211131 nnnnx)() ( 1 x第27頁/共45頁解例求 在 x = 0 處的泰勒級數展開式.xxfarctan)( 因為 ,211xxf )( 而當 時 , 1 x 0321111nnnxxxxx)(在上式中令 x = x2 , 有) ( 1 x 0264221111nnnxxxxx)() ( 12 xdxxdxxxnnnx)( 00202111) ( 1 x第28頁/共45頁 xnnndxxx0201)(arctan )(121120 nxnnn) ( 1 x由于右邊級數在 處收斂及 arctanx 在1 x 1 x 處連續 , 故有11121120 xnxxnnn ,

16、 )(arctan第29頁/共45頁解例設 將 f (x) 展開為 ,)(21xxxf 形式的級數 , 其中 )(nnnxgc 0 )(xxxg 1令 , xxz 1則, zzx 1代入21xxxf )( )(zzzzf 11)(! )()( nnznnz 1121121211第30頁/共45頁)(! )()( nnnnznnz12123111 ) ( 1 z)! )!( (nnnznnz 12121) ( 1 z11212 nnnznnz! )!() ( 1 z將 代入上式得 xxz 121xxxf )(1112121 nnnxxnnxx)(! )!()(21 x第31頁/共45頁冪級數的應

17、用(1) 數項級數的求和例計算數項級數 的和 nnnn2111 解首先構造一輔助冪級數使符合下面兩條件:(1) 使 為冪級數當 x 取特定值時的結果 nnnn2111 (2) 輔助冪級數容易求和 本題取輔助冪級數, )(nnxnnxS 11此時其收斂域為 ( -1 , 1 ) 且nnnnS)( )(211211 第32頁/共45頁求輔助冪級數的和函數nnxnnxS 11 )(nnxn) ( 1111) ( 1 xnnnnxnx 1111111111 nnxnxxx) , ( 10 xx記11111 nnxnxS)() ( 1 xxxxxSnn 111)( ) ( 1 x第33頁/共45頁 xx

18、dtttdttS0011)( )ln()()()( xxdttSxSx 11110011所以xxxxxS)ln()( 111)ln()( 212112111 Sxnnnn)ln(212 第34頁/共45頁例計算數項級數 的和 nnnnn22121 ! )()()(0 解構造輔助冪級數nnnxnnxS202121 ! )()()()( 則由1012223221 xnnnxaxannnn)(lim)()(lim 此冪級數的收斂域為 ( - , + ) .并且nnnnnS202121 ! )()()()( 第35頁/共45頁nnnxnxS21121 ! )()()( nnnxn2021 ! )()(

19、 1211121 nnnxnx ! )()(xcos mn 11 mn120121 mmmxmx ! )()(xcos xxxcossin 所以求得121212 cos)( ! )()()(0Snnnnn第36頁/共45頁(2) 求高階導數若 , 則有 )()( 00nnnxxcxf! )()(nxfcnn0 ! )()(ncxfnn 0例)()(1nf, )ln()(22xxxf 設 求解)( ln )ln()(22112 xxxxf1 xt) ln(21t 12nnnt)(11 t 1211nnxn)()(20 xnnncfnn)!()!()()(22122 0120112 )!()()(

20、nfn第37頁/共45頁(3) 近似計算(a) 函數值的計算例計算 的近似值 , 使之絕對誤差不超過 5245410 解因為55555321323245 由 22111xxx! )()( nxnn! )()(11 )(1 x令 得53251 x , 第38頁/共45頁)(! )()( 255532215151325113245)(! )( 252532524325113(交錯級數)由于000020345243251132459255.)( 所以0049332511324555.)( 第39頁/共45頁解例計算 絕對誤差不超過 , .arcsin 20410 設 f (x) = arcsin x , 則2122111 )()( xxxfnnxnn)( ! )(