1、一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編(難題易錯題)1.如圖，已知4ABC中，AC=BG以BC為直徑的。交AB于E,過點E作EG，AC于G,交BC的延長線于F.(1)求證：AE=BE(2)求證：FE是。的切線；(3)若FE=4,FC=2,求。的半徑及CG的長.【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3)百【解析】(1)證明：連接CE,如圖1所示：BC是直徑，/BEC=90；CE!AB;又AOBC,AE=BE.(2)證明：連接OE,如圖2所示：.BE=AE,OB=OC,.OE是4ABC的中位線，.OE/AC,AC=2OE=6.又EG，AC,.FEIOE,，FE是。的切線.(3)解：.EF是。的切線，

2、FH=FC?FB.設FC=x,貝U有2FB=16,FB=8,.BC=FBFC=8-2=6,.OB=OC=3,即。的半徑為3;.OE=3.OE/AC,AFCCGAFOE,CGFTCGTOE=FOBnrT=2T3,即6CG=".點睛：本題利用了等腰三角形三線合一定理，三角形中位線的判定，切割線定理，以及勾股定理，還有平行線分線段成比例定理，切線的判定等知識.2.如圖，在4ABC中，AB=AC,以AB為直徑作OO,。交BC于點D,交CA的延長線于點E.過點D作DF±AC,垂足為F.E(1)求證：DF為。的切線；(2)若AB=4,/C=30,求劣弧BE的長4【答案】(1)證明見解析

3、(2)3【解析】分析：(1)連接AD、OD,根據直徑所對的圓周角為直角，可得ZADB=90,然后根據等腰三角形的性質求出BD=CD,再根據中位線的性質求出ODLDF,進而根據切線的判定證明即可；(2)連接OE,根據三角形的外角求出/BAE的度數，然后根據圓周角定理求出/BOE的度數，根據弧長公式求解即可.詳解：(1)連接AD、OD.AB是直徑，ZADB=90°.,.AB=AC,BD=CD,X,.,OA<=OB,.OD是ABC的中位線，.OD/AC,.DFXAC,ODXDF即/ODF=90°.，DF為。的切線;/BAE=60°,(2)連接OE.AB=AC,，/

4、B=/C=30°,./BOE=2/BAE,，/BOE=120；BEf兀點睛：本題是圓的綜合題，考查了等腰三角形的性質和判定、切線的性質和判定、三角形的中位線、圓周角定理，靈活添加輔助線是解題關鍵.3.如圖，四邊形ABCD內接于。O,對角線AC為。的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E,點F為CE的中點，連接DB,DF.(1)求證：DF是。的切線；(2)若DB平分ZADC,AB=5V2,AD:DE=4：1,求DE的長.【答案】見解析；(2)、,5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性質得出DF=CF=EF,再求出ZFDO=ZFCO=90O,得出答案即可；(2)首先得出AB=

5、BC即可得出它們的長，再利用4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,進而得出答案.詳解：(1)連接OD.OD=CD,./ODO/OCD.AC為。O的直徑，/ADO/EDC=90°.點F為CE的中點，DF=CF=EF,./FDO/FCD,./FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=ZFCO=90°,.DF是。的切線.(2) AC為。的直徑，ZADC=ZABC=90°.DB平分/ADC,/ADB=ZCDB,.AB=BC，BC=AB=5>/2-在RtABC中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,ACAEADCACE1=，AC

6、2=AD?AE.ADAC設DE為x,由AD：DE=4：1,.AD=4x,AE=5x,.1-100=4x?5x,，x=75,.DE=V5.點睛：本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質，正確得出ac2=ad?ae是解題的關鍵.4.如圖，AB是。O的直徑，點C,D是半圓O的三等分點，過點C作。的切線交AD的延長線于點E,過點D作DF,AB于點F,交。O于點H,連接DC,AC.(1)求證：/AEC=90；(2)試判斷以點A,O,C,D為頂點的四邊形的形狀，并說明理由；(3)若DC=2,求DH的長.【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形AOCD為菱形；（2）四邊形AOCD為菱形.平行四邊形，

7、再由OA=OC形是菱形）；（3）連接OD.根據四邊形DHLAB于點F,AB為直徑,試題解析：（1）連接OC,.EC與。O切點C,（3）DH=23【解析】試題分析：（1）連接OC,根據EC與。O切點C,則/OCE=90,由題意得圖國聞Q=dDAC=ZCAB,即可證明AE/OC,則/AEC+/OCE=180,從而得出ZAEC=901?1項由（1）得皿=而，則/DCA=/CAB可證明四邊形AOCD是即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊AOCD為菱形，得4OAD是等邊三角形，則ZAOD=60,再由DF在RtOFD中，根據sin/AOD="'，求得DH的長.OCXE

8、C,/OCE=90,°點CD是半圓O的三等分點,族磯國,?ZDAC=ZCAB,.OA=OC,ZCAB=ZOCA,ZDAC=ZOCA,.AE/OC（內錯角相等，兩直線平行）/AEC-+ZOCE=180,°/AEC=90；°早.(2)四邊形AOCD為菱形.理由ZDCA=ZCAB, .CD/OA,又.AE/OC, 四邊形AOCD是平行四邊形，,.OA=OC, 平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；（3）連接OD.EH 四邊形AOCD為菱形，OA=AD=DC=2 .OA=OD,.OA=OD=AD=2, .OAD是等邊三角形，/AOD=60；DHLAB

9、于點F,AB為直徑,.DH=2DF,DF在RtAOFD中，sin/AOD西DF=ODsinZAOD=2sin60='。.DH=2DF=2%.考點：1.切線的性質2等邊三角形的判定與性質3.菱形的判定與性質4 .解直角三角形.5 .如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧AB.1用直尺和圓規作出AB所在圓的圓心°；（要求保留作圖痕跡，不寫作法）2若AB的中點C到弦AB的距離為20m,AB80m,求AB所在圓的半徑.【答案】（1）見解析;【解析】22)50m分析：1連結AC、BC,分另作AC和BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點為點O,如圖1;2連接OA,OC,OC交AB于D,如圖2,根

10、據垂徑定理的推論，由C為AB的中點得到OCAB,AD中利用勾股定理得到1BD-AB40,則CD20,設。的半徑為r,在RtOAD22一2一2r(r20)40,然后解方程即可.詳解：1如圖1,圖1點O為所求；OCAB,1ADBDAB402，設OO的半徑為r,則OAr,ODODCDr20,在RUOAD中，.OA2OD2AD2,222r(r20)2402,解得r50,即AB所在圓的半徑是50m.點睛：本題考查了垂徑定理及勾股定理的應用，在利用數學知識解決實際問題時，要善于把實際問題與數學中的理論知識聯系起來，能將生活中的問題抽象為數學問題.6.如圖，4ABC中，ZA=45°,D是AC邊上一

11、點，。0經過D、A、B三點，OD/BC.(1)求證：BC與。O相切；(2)若OD=15,AE=7,求BE的長.【答案】(1)見解析；(2)18.【解析】分析：(1)連接OB,求出/DOB度數，根據平行線性質求出ZCBO=90,根據切線判定得出即可；(2)延長BO交。O于點F,連接AF,求出/ABF,解直角三角形求出BE.詳解：(1)證明：連接OB.-.1/A=45,°/DOB=90:1. OD/BC, /DOB+/CBO=180:/CBO=90: 直線BC是。O的切線.(2)解：連接BD.則ODB是等腰直角三角形，/ODB=45；BD=OD=15, ./ODB=/A,/DBE=/DB

12、A,.,.DBEAABD,BD2=BE?BA(15匹2=(7+BE)BE, .BE=18或-25(舍棄)，.BE=18.點睛：本題考查了切線的判定，圓周角定理，解直角三角形等知識點，能綜合運用定理進行推理和計算是解此題的關鍵，題目綜合性比較強，難度偏大.17.如圖1,延長。的直徑AB至點C,使得BC=AB,點P是。O上半部分的一個動點2(點P不與A、B重合)，連結OP,CP.(1) /C的最大度數為;(2)當。的半徑為3時，4OPC的面積有沒有最大值？若有，說明原因并求出最大值；若沒有，請說明理由；(3)如圖2,延長PO交。O于點D,連結DB,當CP=DB時，求證：CP是。的切線.圖1圖2【答

13、案】(1)30。；(2)有最大值為9,理由見解析；(3)證明見解析.【解析】試題分析：(1)當PC與。相切時，/OCP的度數最大，根據切線的性質即可求得；(2)由4OPC的邊OC是定值，得到當OC邊上的高為最大值時，OPC的面積最大，當P0±OC時，取得最大值，即此時OC邊上的高最大，于是得到結論；(3)根據全等三角形的性質得到AP=DB,根據等腰三角形的性質得到/A=/C,得到CO=OB+OB=AB推出AP®4CPO,根據全等三角形的性質得到/CPO=/APB,根據圓周角定理得到/APB=90,即可得到結論.試題解析：(1)當PC與。相切時，/OCP最大.如圖1,所示：O

14、P21sin/OCP=,/OCP=30OC42/OCP的最大度數為30°,故答案為：30°(2)有最大值，理由：OPC的邊OC是定值，當OC邊上的高為最大值時，OPC的面積最大，而點P在。上半圓上運動，當POXOC時，取得最大值，即此時OC邊上的高最大，也就是高為半徑長，最大值Sxopc=1OC?OP=1X6x3=922(3)連結AP,BP,如圖2,OAOD在4OAP與OBD中,AOPBOD,AOAPAOBD,AP=DB,OPOBPC=DB,，AP=PCPA=PC/A=ZC,.BC=1aB=OEI,，CO=OB+OB=ABAPCP在apb和cpo中，AABC,aapbacp

15、o,，/cpo=/apb,.AB為直徑，/APB=90,°/CPO=90,°PC切。O于點P,即CP是。的切線.8.如圖，在RtABC中，C90,AD平分/BAG交BC于點D,點O在AB上，OO經過A、D兩點，交AC于點E,交AB于點F.(1)求證：BC是。的切線；(2)若。0的半徑是2cm,E是弧AD的中點，求陰影部分的面積(結果保留兀和根號)BDCco2一【答案】(1)證明見解析(2)JM3【解析】【分析】(1)連接0D,只要證明0D/AC即可解決問題；(2)連接0E,0E交AD于K.只要證明4A0E是等邊三角形即可解決問題.【詳解】(1)連接0D.BDC1- 0A=0

16、D,/0AD=Z0DA.Z0AD=ZDAC,Z0DA=ZDAC,，0D/AC,./0DB=/C=90；0D±BC,.BC是OO的切線.(2)連接OE,OE交AD于K.,AEDE，,OE_LAD./OAK=/EAK,AK=AK,ZAKO=ZAKE=90；AAKOAAKE,，AO=AE=OE,.AOE是等邊三角形，ZAOE=60°,.SmS扇形oae-Saaoe602-3222一J336043【點睛】本題考查了切線的判定、扇形的面積、等邊三角形的判定和性質、平行線的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題

17、型.9.在OO中，AB為直徑，C為。O上一點.D雷圖(I)如圖，過點C作00的切線，與AB的延長線相交于點P,若CAB28,求P的大小；(n)如圖，D為弧AC的中點，連接0D交AC于點E,連接DC并延長，與AB的延長線相交于點P,若CAB12,求P的大小.【答案】(1)/P=34°(2)/P=27°【解析】【分析】(1)首先連接0C,由OA=OC,即可求得/A的度數，然后由圓周角定理，求得/POC的度數，繼而求得答案；(2)因為D為弧AC的中點，0D為半徑，所以ODLAC,繼而求得答案.【詳解】(1)連接0C,1 .OA=OC,/A=/OCA=28；/POC=56;2 .C

18、P是。0的切線，/OCP=90°,/P=34°；(2) 為弧AC的中點，0D為半徑，ODXAC,/CAB=12；/AOE=78；/DCA=39；/P=/DCA/CAB,【點睛】本題考查切線的性質以及等腰三角形的性質.注意準確作出輔助線是解此題的關鍵.10.如圖，線段BC所在的直線是以AB為直徑的圓的切線，點D為圓上一點，滿足BD=BC,且點C、D位于直徑AB的兩側，連接CD交圓于點E.點F是BD上一點，連接EF,分別交AB、BD于點G、H,且EF=BD.(1)求證：EF/BC;(2)若EH=4,HF=2,求BE的長.A2【答案】(1)見解析；(2)-.33【解析】【分析】(1)根據EF=BD可得ef=bd，進而得到BE=DF，根據在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”即可得出角相等進而可證.(2)連接DF根據切線的性質及垂徑定理求出GF、GE的長，根據在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”及平行線求出相等的角，利用銳角三角函數求出ZBHG,進而求出/BDE的度數，確定BE所對的圓心角的度數，根據/DFH=90°確定DE為直徑，代入弧長公式即可求解.【詳解】(1)EF=BD,EF=BDBE二DFZD=ZDEF又BD=