1、 主講教師：北京航空航天大學流體力學研究所 郭郭 昊昊電話：電話：0100108233959282339592（O O）手機手機:-mailE-mail：辦公室：新主樓辦公室：新主樓C1114C1114房間房間6.1.1 6.1.1 熱力學熱力學的物系的物系熱力學體系：和周圍環境的其它物體劃開的一個任意形態的熱力學體系：和周圍環境的其它物體劃開的一個任意形態的物質體系物質體系（一）既無物質交換又無能量交往的，稱為（一）既無物質交換又無能量交往的，稱為隔絕體系隔絕體系 （二）無物質交換，但有能量交換的，稱為（二）無物質交換，但有能量交換的，稱為

2、封閉體系封閉體系（三）有物質交換，也有能量交換的，稱為（三）有物質交換，也有能量交換的，稱為開口體系開口體系高速流中遇到的情況絕大多數屬于隔絕體系和封閉體系。經高速流中遇到的情況絕大多數屬于隔絕體系和封閉體系。經典熱力學所處理的都是處于平衡狀態下的物系。但在分析時典熱力學所處理的都是處于平衡狀態下的物系。但在分析時我們也常用開口體系（控制體）。我們也常用開口體系（控制體）。6.1.2 6.1.2 完全氣體假設與狀態方程、內能和焓、熱完全氣體假設與狀態方程、內能和焓、熱力學第一定律力學第一定律1 1、完全氣體假設與狀態方程、完全氣體假設與狀態方程完全氣體：氣體分子直徑遠小于分子的平均自由程，且分

3、子完全氣體：氣體分子直徑遠小于分子的平均自由程，且分子間不存在引力僅為完全彈性碰撞的氣體稱為完全氣體，空氣間不存在引力僅為完全彈性碰撞的氣體稱為完全氣體，空氣可被假設為完全氣體。可被假設為完全氣體。狀態方程：任何氣體的壓強、密度、絕對溫度三者之間存在狀態方程：任何氣體的壓強、密度、絕對溫度三者之間存在一定的關系，稱為狀態方程。對于完全氣體的狀態方程為一定的關系，稱為狀態方程。對于完全氣體的狀態方程為：其中其中 R 稱為氣體常數，空氣的稱為氣體常數，空氣的 R = = 287.053 N.m/(/(kg.K) )。RTp在熱力學中，常常引入另外一個代表熱含量的參數在熱力學中，常常引入另外一個代表

4、熱含量的參數 h（焓）（焓）由于由于 表示單位質量流體所具有的壓能，表示單位質量流體所具有的壓能，故故焓焓 h 表示單位質量流體所具有的內能和壓能之和表示單位質量流體所具有的內能和壓能之和。 phep2 2、內能、焓、內能、焓氣體內能是指分子微觀熱運動（與溫度有關）所包含的動能氣體內能是指分子微觀熱運動（與溫度有關）所包含的動能與分子之間存在引力而形成的位能之和。對于完全氣體而言，與分子之間存在引力而形成的位能之和。對于完全氣體而言，分子之間無引力，單位質量氣體的內能分子之間無引力，單位質量氣體的內能 e 僅僅決定于分子僅僅決定于分子間的熱運動，是溫度的函數。間的熱運動，是溫度的函數。3.3.

5、 熱力學第一定律熱力學第一定律 熱力學第一定律熱力學第一定律是一條是一條能量守恒定律能量守恒定律。對一個封閉物。對一個封閉物系來說，經過一步無限微小的可逆過程，由外界給物系的系來說，經過一步無限微小的可逆過程，由外界給物系的熱量熱量 dQ 必必等于物系的內能增量等于物系的內能增量 dU和和該物系對外界膨脹該物系對外界膨脹所作的所作的功功 pdV 這這二者之和二者之和( (這里這里V是體積是體積) )，即：，即：這這是是靜止物系的熱力學第一定律靜止物系的熱力學第一定律的公式。上式兩端同除以的公式。上式兩端同除以物系的質量可得靜止物系滿足的單位質量能量方程物系的質量可得靜止物系滿足的單位質量能量方

6、程 ：其中，密度的倒數是單位質量的體積其中，密度的倒數是單位質量的體積, ,即比容即比容 表示外界傳給單位質量流體的表示外界傳給單位質量流體的熱量熱量dq等于單位質量流等于單位質量流體體內能增量內能增量與壓強所做的單位質量流體的與壓強所做的單位質量流體的膨脹功膨脹功。pdVdUdQ1dqdepd1v一一個物系的壓強、密度、溫度都是個物系的壓強、密度、溫度都是點函數點函數，彼此之間存，彼此之間存在一定的函數關系，但和變化過程無關，代表一個在一定的函數關系，但和變化過程無關，代表一個熱力熱力學狀態學狀態。 p, T, , e，h代表熱力學狀態參數，兩個熱力學參數可以代表熱力學狀態參數，兩個熱力學參

7、數可以確定一個熱力狀態，如果取自變量為確定一個熱力狀態，如果取自變量為T, ，則其它狀態變，則其它狀態變量關系量關系為為 對于對于焓的微分量焓的微分量是是 表示氣體焓的增量等于表示氣體焓的增量等于內能增量內能增量、氣體膨脹功氣體膨脹功與與壓強差所壓強差所做的功做的功之和之和。 從而靜止物系單位質量的能量方程可用焓表為：從而靜止物系單位質量的能量方程可用焓表為：( ,T) ( ,T) /ppeehep 11()dhdepddpdpdhdq1 對于對于一個一個流動物質系統流動物質系統而言，其能量方程變為而言，其能量方程變為與靜止物系的能量方程相比，流動物系的能量方程多了兩與靜止物系的能量方程相比，

8、流動物系的能量方程多了兩項，其中一項，其中一項項 是是流體質點在流動過程中所特有的一流體質點在流動過程中所特有的一份功，表示流體微團在體積不變的情況下，由于壓強變化份功，表示流體微團在體積不變的情況下，由于壓強變化引起的功（流體質點克服壓差所做的功）；另一項是流體引起的功（流體質點克服壓差所做的功）；另一項是流體微團的宏觀動能變化量。微團的宏觀動能變化量。即即1()dqdepddpVdV2222()22VuvwVdVdddp 如果如果把流動物系的能量方程用焓表示，有把流動物系的能量方程用焓表示，有 式式中中， 是是外熱；具體的來源可以是通過傳導進來的外熱；具體的來源可以是通過傳導進來的熱、熱輻

9、射，也可以通過是燃燒之類的化學變化所產熱、熱輻射，也可以通過是燃燒之類的化學變化所產生的熱。生的熱。dqdhVdVdq4 4、熱力學過程、熱力學過程 （1 1）可逆與不可逆過程）可逆與不可逆過程 在在熱力學中，如果將變化過程一步一步倒回去，物系的熱力學中，如果將變化過程一步一步倒回去，物系的一切熱力學參數都回到初始狀態，且外界狀態也都復舊，這一切熱力學參數都回到初始狀態，且外界狀態也都復舊，這樣的過程則是可逆過程，否則是不可逆過程。（如高溫向低樣的過程則是可逆過程，否則是不可逆過程。（如高溫向低溫傳熱，機械功通過摩擦生熱都是不可逆過程）可逆過程也溫傳熱，機械功通過摩擦生熱都是不可逆過程）可逆過

10、程也稱為準靜態過程，或連續的平衡態過程。稱為準靜態過程，或連續的平衡態過程。（2 2）絕熱過程）絕熱過程 與與外界完全沒有熱量交換，即外界完全沒有熱量交換，即 ，稱為絕熱過程。稱為絕熱過程。0dq （3 3）等容過程、等壓過程、等溫過程、絕熱過程）等容過程、等壓過程、等溫過程、絕熱過程 在熱力學中，在熱力學中，內能內能u(e)是是狀態的函數，而狀態的函數，而q不是狀態不是狀態函數。因為其中的壓力膨脹功不僅決定于過程的起點和函數。因為其中的壓力膨脹功不僅決定于過程的起點和終點，與變化過程有關。在終點，與變化過程有關。在p-1/ 圖上，整個變化過程做圖上，整個變化過程做功可表示為功可表示為由由1

11、1點到點到2 2點不同的曲線代表不同的熱力學過程，這些不點不同的曲線代表不同的熱力學過程，這些不同的過程膨脹功是不同的。同的過程膨脹功是不同的。211()pWpd1 1）等容過程）等容過程 如果在變化過程中，單位質量氣體的容積保如果在變化過程中，單位質量氣體的容積保持不變，這樣的過程稱為等容過程。此時氣體的膨脹功為持不變，這樣的過程稱為等容過程。此時氣體的膨脹功為零。零。外界加入的熱量全部用來增加介質的內能。外界加入的熱量全部用來增加介質的內能。 比熱比熱定義：單位質量介質溫定義：單位質量介質溫 度每升高一度所需要的熱量度每升高一度所需要的熱量。 比熱（比熱容）數值的大小與具體熱力學過程有關。

12、比熱（比熱容）數值的大小與具體熱力學過程有關。在在等容過程中，比熱稱為等容過程中，比熱稱為等容比熱等容比熱，用，用Cv表示。由此得到表示。由此得到0pWvdqdeC dTvdqdeC dT0TveC dTvdqCdT2 2）等壓過程）等壓過程 如果在變化過程中，氣體的壓強保持不變，如果在變化過程中，氣體的壓強保持不變，這樣的過程稱為等壓過程。此時氣體的膨脹功不等于零。這樣的過程稱為等壓過程。此時氣體的膨脹功不等于零。外外界加入的熱量一部分用來增加介質的內能，另一部分用于氣界加入的熱量一部分用來增加介質的內能，另一部分用于氣體的膨脹功。體的膨脹功。在等壓過程中，單位質量介質的溫度每升高一在等壓過

13、程中，單位質量介質的溫度每升高一度，所需要的熱量，稱為度，所需要的熱量，稱為定壓比熱定壓比熱，用，用Cp表示。表示。1()()ppdqdepdd edhC dT0TphC dTppdqCdT21()ppWd21()veC TT 定壓比熱與定容比熱的比值，稱為氣體的定壓比熱與定容比熱的比值，稱為氣體的比熱比比熱比。即。即 在空氣動力學中，在溫度小于在空氣動力學中，在溫度小于300C300Co o，壓強不高的情況，壓強不高的情況下，一般下，一般Cp，Cv， 等于常數。等于常數。 對于水，對于水，pvCC1004.7/pCNm kg K717.6/vCNm kg K/ C1.4pvC4180.0/p

14、CNm kg K由于由于由完全氣體狀態方程，可由完全氣體狀態方程，可得（得（梅耶公式梅耶公式）()ppd edhC dT()vppC dTdC dTpRT()pdRdT()(C)vvppC dTdR dTC dTpvCCR1pCR11vCR3 3）等溫過程）等溫過程 在變化過程中，氣體的溫度保持不變，在變化過程中，氣體的溫度保持不變，這樣的過程稱為等溫過程。在等溫過程中，內能不變，這樣的過程稱為等溫過程。在等溫過程中，內能不變，熱量與膨脹功相等熱量與膨脹功相等。單位質量氣體所做的功為。單位質量氣體所做的功為2211121211( )( )ln0pq WpdRT dRTe4 4）絕熱過程）絕熱過

15、程 在熱力學變化過程中，與外界完全沒有熱量在熱力學變化過程中，與外界完全沒有熱量交換。由能量方程得到交換。由能量方程得到 由由理想氣體的狀態方程，理想氣體的狀態方程，有有 這就是（靜止氣體）在絕熱過程中，壓強與密度的關系。這就是（靜止氣體）在絕熱過程中，壓強與密度的關系。0dq 1()0depd1()0vC dTpd11()pddpRdT11(C)()0vvR pdCdp11()0pvC pdCdp1()01ddpppC 在絕熱過程在絕熱過程中，單位質量氣體所做的功為中，單位質量氣體所做的功為 內能內能的變化為的變化為222121212121111()()()1 ()()1pvppWpdCdR

16、TTC TT 21()veC TT 例題：有例題：有1.5kg的空氣由的空氣由1 1個大氣壓、個大氣壓、21的的起點，經絕起點，經絕熱壓縮后，壓強達到熱壓縮后，壓強達到4.084.08個大氣壓個大氣壓。求：。求：（1 1）起點氣體的體積；）起點氣體的體積；（2 2）終點氣體的體積；）終點氣體的體積；（3 3）終點溫度；）終點溫度；（4 4）外界對介質所做的功；）外界對介質所做的功；（5 5）加入的熱量；）加入的熱量；（6 6）內能的變化。）內能的變化。解：解：1 1）起點的體積：起點的體積：2 2）終點氣體的體積：）終點氣體的體積：pRT31111013251.2/ m287 (273.152

17、1)pkgRT31mVmpC12pC11pC2121pp12211pp111.4322114.081.23.276/ m1.0pkgp3221.50.4583.276mVm3 3）終點溫度）終點溫度4 4）外界對介質所做的功）外界對介質所做的功5 5）加入的）加入的熱量；熱量；6 6）內能的變化）內能的變化 絕熱壓縮過程，外界對氣體所做的功全部變絕熱壓縮過程，外界對氣體所做的功全部變成氣體的內能。成氣體的內能。pRT2224.08 101325439.69287 3.276pTKR22212121111()()()114.08 1013251013251.8156589

18、1.4 13.2761.2ppppWpdCdWNm 0Q 21()1.5 716 (439.69294.15)156310vUmC TTNm6.1.3 6.1.3 熱力學第二定律，熵熱力學第二定律，熵 對于對于絕熱過程，正的功和內能的減小量相等。就熱絕熱過程，正的功和內能的減小量相等。就熱力學第一定律而言，所有類型的能量都是同等有效的，由力學第一定律而言，所有類型的能量都是同等有效的，由此建立了能量平衡關系。但實際上，不同類能量彼此是有此建立了能量平衡關系。但實際上，不同類能量彼此是有區別的，功是力乘距離，表示系統之間的相互作用；而內區別的，功是力乘距離，表示系統之間的相互作用；而內能是狀態的

19、函數，狀態的變化由功來確定；而熱又是功和能是狀態的函數，狀態的變化由功來確定；而熱又是功和內能來確定。內能來確定。在在熱力學第一定律中，并沒有提及熱功的不等價性。實際熱力學第一定律中，并沒有提及熱功的不等價性。實際上，不同類能量的轉化是有方向性，并不能可逆轉換。比如：上，不同類能量的轉化是有方向性，并不能可逆轉換。比如：1 1）熱總是從高溫物體流向低溫物體，反向不成立；）熱總是從高溫物體流向低溫物體，反向不成立；2 2）兩種氣體混合后不會自發分離出來）兩種氣體混合后不會自發分離出來；3 3）摩擦機械功可以轉化成熱，但熱不能）摩擦機械功可以轉化成熱，但熱不能100%100%轉化成功；轉化成功；4

20、 4）不可能制造出一種連續運行的機器，使該機器只從單一熱源）不可能制造出一種連續運行的機器，使該機器只從單一熱源中吸取熱量，并將其轉換成等量的功。中吸取熱量，并將其轉換成等量的功。 為了為了指明能量轉化的不等價性，熱力學第二定律規定指明能量轉化的不等價性，熱力學第二定律規定了能量轉化的方向性。即，如果某一方向的變化過程可了能量轉化的方向性。即，如果某一方向的變化過程可以實現，而逆方向的變化過程或者不能實現或者只能在以實現，而逆方向的變化過程或者不能實現或者只能在特定條件下實現。熱力學第二定律的表示方法很多，譬特定條件下實現。熱力學第二定律的表示方法很多，譬如如 ：（1 1）克勞修斯說法）克勞修

21、斯說法 不可能制造出一種循環工作熱機，將不可能制造出一種循環工作熱機，將熱量從溫度較低的物體傳至溫度較高的物體熱量從溫度較低的物體傳至溫度較高的物體。（2 2）開爾文）開爾文- -普朗克說法普朗克說法 不可能制造出一種循環工作不可能制造出一種循環工作熱機，從單一熱源中取出熱量并使之全部變為有用功而熱機，從單一熱源中取出熱量并使之全部變為有用功而不產生任何其它作用。不產生任何其它作用。以下通過引入熵狀態參數，在不可逆過程中的變化以下通過引入熵狀態參數，在不可逆過程中的變化來描述熱力學第二定律。來描述熱力學第二定律。熵是一個熱能可利用部分熵是一個熱能可利用部分的指標。的指標。其定義如下：其定義如下

22、：單位質量氣體的單位質量氣體的熵熵定義為定義為其中其中，dq與與dq/ /T是不同的兩個量。是不同的兩個量。dq是與積分路徑是與積分路徑有關的；而有關的；而dq/ /T是一個與積分路徑無關的量，可以是一個與積分路徑無關的量，可以表示成某一函數的全微分表示成某一函數的全微分。熵增量的表達還可寫為熵增量的表達還可寫為dqdsT(1/)11()(C lnln)vvdqdepddTdsCR ddTRTTT111lnlnlnvppdsRdRdc dTT 在研究熱力學過程中，最有意義的是熵的增量，即從狀在研究熱力學過程中，最有意義的是熵的增量，即從狀態態1 1到狀態到狀態2 2的熵增。即的熵增。即如果如果

23、利用利用比熱關系比熱關系和和狀態方程狀態方程得到得到2221211211lnlnvTdqsssdsCRTT ,pvRCCpRT22211211lnvpdqsdsCTp 熱力學第二定律指出熱力學第二定律指出： 對于對于孤立系統而言，在絕熱變化過程中，如果過程孤立系統而言，在絕熱變化過程中，如果過程是可逆，則熵值保持不變，是可逆，則熵值保持不變， s=0 ，稱為等熵過程；如果，稱為等熵過程；如果過程不可逆，熵值必增加，過程不可逆，熵值必增加， s0。 因此因此，熱力學第二定律也稱為熵增原理。引入熵的概，熱力學第二定律也稱為熵增原理。引入熵的概念，就提供了判斷過程是否可逆的標準和衡量不可逆程念，就提

24、供了判斷過程是否可逆的標準和衡量不可逆程度的尺度度的尺度。 在在高速氣體的流動過程中，不可逆是因氣體的粘性摩高速氣體的流動過程中，不可逆是因氣體的粘性摩擦、激波的出現以及因溫度梯度存在而引起的熱傳導。擦、激波的出現以及因溫度梯度存在而引起的熱傳導。一般在繞流場的絕大部分區域速度梯度和溫度梯度都不大，一般在繞流場的絕大部分區域速度梯度和溫度梯度都不大，流場可近似視為絕熱可逆的，熵值不變，稱為流場可近似視為絕熱可逆的，熵值不變，稱為等熵流等熵流動動。一一條流線熵值不變叫做沿流線等熵，在全流場中熵值不變，條流線熵值不變叫做沿流線等熵，在全流場中熵值不變，稱為均熵流場。在等熵流動中，有稱為均熵流場。在

25、等熵流動中，有稱為等熵關系，稱為等熵關系， 為等熵指數。在邊界層及其后的尾跡區，為等熵指數。在邊界層及其后的尾跡區，激波傳過的流動，氣體的粘性和熱傳導不能忽視區，流動是激波傳過的流動，氣體的粘性和熱傳導不能忽視區，流動是熵增不可逆過程，等熵關系式不能用。熵增不可逆過程，等熵關系式不能用。CTp12Cp111CT6.1.4 6.1.4 粘性流體運動的能量方程粘性流體運動的能量方程1 1、熱力學第一定理、熱力學第一定理能量方程能量方程是熱力學第一定理在運動流體中的表現形式。熱是熱力學第一定理在運動流體中的表現形式。熱力學第一定理表示：單位時間內作用于系統上所有力對系力學第一定理表示：單位時間內作用

26、于系統上所有力對系統所做的功與單位時間內輸入系統的熱量之和等于系統總統所做的功與單位時間內輸入系統的熱量之和等于系統總能量的變化率。能量的變化率。即即其中，其中，Q為單位時間輸入系統的總熱量，包括熱輻射和熱為單位時間輸入系統的總熱量，包括熱輻射和熱傳導；傳導；W為單位時間作用于系統上所有力對系統所做的功為單位時間作用于系統上所有力對系統所做的功。作用力包括表面力和體積力。作用力包括表面力和體積力。dEQWdt2 2、能量方程推導、能量方程推導 在粘性流體空間中，任取一個微分平行六面體的流體在粘性流體空間中，任取一個微分平行六面體的流體微團作為系統，六面體為控制體，則該系統單位時間內總微團作為系

27、統，六面體為控制體，則該系統單位時間內總能量的變化率應等于單位時間作用于系統上所有作用力的能量的變化率應等于單位時間作用于系統上所有作用力的功與外界傳給系統的熱量之和。功與外界傳給系統的熱量之和。用用e表示表示單位質量流體所具有的內能，那么單位質量流體所單位質量流體所具有的內能，那么單位質量流體所具有的總能量（內能具有的總能量（內能+ +動能）為動能）為 單位時間內，微元流體系統總能量的變化率為單位時間內，微元流體系統總能量的變化率為22Ve22dEdVedxdydzdtdt作用于系統上的力包括：通過控制面作用于系統上的表面力和系作用于系統上的力包括：通過控制面作用于系統上的表面力和系統上的質

28、量力。單位時間內，所有作用力對系統所做的功如下。統上的質量力。單位時間內，所有作用力對系統所做的功如下。 質量力功率：質量力功率：x方向表面力的功率：方向表面力的功率：1()WXuYvZwdxdydzf Vdxdydz 2 xxxxxxxyxyxyxzxzxzxuWudxu dydzxuudyu dxdzyuudzu dxdyz2yxxxzxxuuuWdxdydzxyz同理可得，同理可得，y和和z方向的功率為方向的功率為22xyyyzyyyzxzzzzvvvWdxdydzxyzwwwWdxdydzxyz總功率為總功率為 2222xyzWWWWV dxdydz yxxxzxxyyyzyyzxzz

29、zuuuVxyzvvvxyzwwwxyz單位時間內，外界傳給系統的總熱量單位時間內，外界傳給系統的總熱量Q包括熱輻包括熱輻射和熱傳導。令射和熱傳導。令q表示單位時間因熱輻射傳給單表示單位時間因熱輻射傳給單位質量流體的熱量，總的輻射熱量為位質量流體的熱量，總的輻射熱量為RQqdxdydz由由Fourier定理可得，通過控制面傳給系統的熱量。對定理可得，通過控制面傳給系統的熱量。對于于x方向，單位時間通過控制面傳入系統的熱量為方向，單位時間通過控制面傳入系統的熱量為 kxkxkxkxkxqQqqdxdydzxqdxdydzxTkdxdydzxxTkdxdydzxx 同理可得，同理可得，y和和z方向

30、的熱傳導量。方向的熱傳導量。單位單位時間內，總的熱傳導量為時間內，總的熱傳導量為kykzTQkdxdydzyyTQkdxdydzzz kkxkykzQQQQTTTkkkdxdydzxxyyzzk T dxdydz將以上各式代入將以上各式代入得到得到寫成張量形式為寫成張量形式為或或dEQWdt 22dVef VVqk Tdt 2ijjiiiiiiiuuudTef uqkdtxxx,2iiiiijjiiiuudef uuqkTdt另外另外，如果用，如果用ui乘以運動方程，乘以運動方程，有有 （i,ji,j) )角標互換角標互換212222jiiiiiijjiiiiiiijijjjiijiiiiij

31、ijjijiiiiiijijijijjiiiijijiiduuf uudtxuuuudf udtxxuuuuudf udtxxxuuudf udtxuuudf udtx ijjiux得到得到另一種形式的能量方程。另一種形式的能量方程。 上上式的物理意義是：在單位時間內，單位體積流體式的物理意義是：在單位時間內，單位體積流體內能的變化率內能的變化率等等于流體變形時于流體變形時表面力作功表面力作功與與外部傳入熱量之和外部傳入熱量之和。其中，表面力作功。其中，表面力作功包括壓力作功和剪切力作功，壓力作功表示流體變形時法向力作膨包括壓力作功和剪切力作功，壓力作功表示流體變形時法向力作膨脹功，剪切力作功

32、表示流體運動是克服摩擦力作功，這部分是由于脹功，剪切力作功表示流體運動是克服摩擦力作功，這部分是由于流體粘性引起的，將流體部分機械能不可逆轉化為熱能而消耗掉。流體粘性引起的，將流體部分機械能不可逆轉化為熱能而消耗掉。 jijiiideTqkdtxx 2ijjiiiijijiiuuudf udtx 2ijjiiiiiiiuuudTef uqkdtxxx將將代入能量方程代入能量方程利用廣義牛頓內摩擦利用廣義牛頓內摩擦定理定理可可得得其中其中， 耗散函數（耗散函數（剪切力作功剪切力作功）22232 232 23 mijijijijiimmiijijmiiiijijiiiiupxuupxxuupxxu

33、px 223mijijijmupx2223iijijiux 這樣，能量方程也可寫成為這樣，能量方程也可寫成為 說明，單位體積流體內能的變化率等于說明，單位體積流體內能的變化率等于法向力作功法向力作功、外加熱量外加熱量以及由于以及由于粘性而消耗的機械能粘性而消耗的機械能之和。由連續方之和。由連續方程，有程，有depVqk Tdt 11ddVdtdt 11dhdpdeddpepdtdtdtdtdtiiiiudeTpqkdtxxx 代入能量方程中，得到代入能量方程中，得到對于不可壓縮流體對于不可壓縮流體，有有pvpvdhdpqk TdtdtdhC dTdeC dTdTdpCqk TdtdtdTCqk

34、 TpVdt pvdTdpCqk TdtdtdTCqk Tdt 能量方程匯總：能量方程匯總：動量方程可得動量方程可得dhdpqk Tdtdt 2ijjiiiiiiiuuudTef uqkdtxxxjijiiideTqkdtxx 2ijjiiiijijiiuuudf udtx 6.26.2聲速和馬赫數聲速和馬赫數.1在彈性介質中擾動的傳播特征在彈性介質中擾動的傳播特征 業已發現：凡是彈性介質，給它一個任意的擾動，這業已發現：凡是彈性介質，給它一個任意的擾動，這個擾動都會自動地向四周傳播開來，而且只要擾動不是太個擾動都會自動地向四周傳播開來，而且只要擾動不是太強，其傳播速度是一定的

35、，不因為擾動的具體形式而改變強，其傳播速度是一定的，不因為擾動的具體形式而改變。 聲速聲速實質上是實質上是微小擾動在彈性介質中的傳播速度微小擾動在彈性介質中的傳播速度。 現以一個質量球與彈簧系統說明之。設有現以一個質量球與彈簧系統說明之。設有一一個用質量球和彈簧連接的系統，球是剛性的，彈個用質量球和彈簧連接的系統，球是剛性的，彈簧是無質量的。有人用小錘輕擊一下左邊的小球簧是無質量的。有人用小錘輕擊一下左邊的小球。現在來觀察這個系統的運動。現在來觀察這個系統的運動。 第一第一個小球受擊后向右發生微小運動，從而個小球受擊后向右發生微小運動，從而壓縮第一節彈簧，第一節彈簧受壓后便產生了彈壓縮第一節彈

36、簧，第一節彈簧受壓后便產生了彈性力，這個力去推動第二個質量球，使第二個小性力，這個力去推動第二個質量球，使第二個小球產生向右的微小運動，從而去壓縮第二個彈簧球產生向右的微小運動，從而去壓縮第二個彈簧，依次類推，小錘的擾動由左向右一步一步，依次類推，小錘的擾動由左向右一步一步地傳下去，直至最后一個球為止。在這個運動中地傳下去，直至最后一個球為止。在這個運動中，需要區分小球的運動和擾動傳遞的關系。每個，需要區分小球的運動和擾動傳遞的關系。每個小球的運動是微小的，但擾動是通過彈簧由一個小球的運動是微小的，但擾動是通過彈簧由一個球一個球傳遞下去的，其傳播速度與球的運動速球一個球傳遞下去的，其傳播速度與

37、球的運動速度是完全是兩回事。度是完全是兩回事。分析分析這個系統的行為表明這個系統的行為表明：擾動擾動的傳播速度與由擾動引起介質本身的運動速度是不同的傳播速度與由擾動引起介質本身的運動速度是不同的的擾動擾動傳播速度要比由擾動引起介質本身的運動速度大得傳播速度要比由擾動引起介質本身的運動速度大得多多在在微小擾動下，介質的微小擾動下，介質的受擾速度受擾速度也是微小的，但微小擾動的傳播也是微小的，但微小擾動的傳播速度則是一定的，其值與介質的彈性和質量有關，與擾動的振幅速度則是一定的，其值與介質的彈性和質量有關，與擾動的振幅無關無關空氣空氣是一種彈性介質，在這種介質中任何一個微小擾動都會向四是一種彈性介

38、質，在這種介質中任何一個微小擾動都會向四面傳播出去，當然傳播速度決定于介質的面傳播出去，當然傳播速度決定于介質的狀態狀態聲音聲音是一種可聞擾動的傳播，與不可聞擾動的傳播速度是一致是一種可聞擾動的傳播，與不可聞擾動的傳播速度是一致的的 在不可壓流中，微弱擾動傳播速度在不可壓流中，微弱擾動傳播速度 a 是無限大，擾動瞬間將是無限大，擾動瞬間將傳遍全部流場傳遍全部流場 在可壓流中，情況就不一樣了。因為氣體是彈性介質，擾動不在可壓流中，情況就不一樣了。因為氣體是彈性介質，擾動不會在一瞬間傳遍整個流場，擾動的傳播速度會在一瞬間傳遍整個流場，擾動的傳播速度a不是無限大，而不是無限大，而是有一定的數值是有一

39、定的數值 。注意擾動的傳播速度。注意擾動的傳播速度 a 與介質本身的運動與介質本身的運動速度速度 dV 是兩碼事，一般情況下是兩碼事，一般情況下 dV a 音速音速: :微弱擾動在彈性介質中的傳播速度，是研究可壓流場的微弱擾動在彈性介質中的傳播速度，是研究可壓流場的一個很重要的物理量。音速大小只與介質物理屬性、狀態、波一個很重要的物理量。音速大小只與介質物理屬性、狀態、波傳播過程的熱力學性質有關，而同產生擾動的具體原因無關。傳播過程的熱力學性質有關，而同產生擾動的具體原因無關。a不可壓介質：1adV彈性介質：.2微小擾動傳播速度微小擾動傳播速度聲速聲速 微小擾動在彈性介質中的傳

40、遞是以壓力波的形式傳播的，微小擾動在彈性介質中的傳遞是以壓力波的形式傳播的，其傳播速度（聲速）的大小與介質的彈性存在密切的關系，也其傳播速度（聲速）的大小與介質的彈性存在密切的關系，也是我們研究可壓縮流場的一個重要的物理量。從前面的分析可是我們研究可壓縮流場的一個重要的物理量。從前面的分析可知，介質的彈性好的，傳播速度就小；彈性差的，傳播速度就知，介質的彈性好的，傳播速度就小；彈性差的，傳播速度就大；對剛性物體（或在不可壓縮流體），傳播速度是無限大，大；對剛性物體（或在不可壓縮流體），傳播速度是無限大，此時擾動的傳遞是瞬間完成的。此時擾動的傳遞是瞬間完成的。 為了簡單起見，用一維例子為了簡單起

41、見，用一維例子處理。處理。假定有一根十分長的管子，管子左端有一個活假定有一根十分長的管子，管子左端有一個活塞。現將活塞以微小速度塞。現將活塞以微小速度dv向右推動，使管內空向右推動，使管內空氣產生一個壓縮的微小擾動。氣產生一個壓縮的微小擾動。這個擾動將以一定的波速這個擾動將以一定的波速a向右傳播，在管道中向右傳播，在管道中擾動以波陣面擾動以波陣面A-AA-A的形式向右推進。在波陣面右的形式向右推進。在波陣面右側的氣體未受擾動，其壓強、密度、溫度和速度側的氣體未受擾動，其壓強、密度、溫度和速度分別為：分別為： p、 、T、v=0=0；而在；而在波陣面左側的氣波陣面左側的氣體受到擾動后，其壓強、密

42、度、溫度和速度分別體受到擾動后，其壓強、密度、溫度和速度分別變為：變為： p+ +dp、 + +d 、T+ +dT、dv。由于擾動。由于擾動是微小的，因此有是微小的，因此有1 , 1 , 1 , 1 dpddTdvpTa為為便于分析，現采用一個相對坐標，觀察者跟隨波陣面一起便于分析，現采用一個相對坐標，觀察者跟隨波陣面一起運動，這時整個流動問題由原來非定常問題變成一個定常問題。運動，這時整個流動問題由原來非定常問題變成一個定常問題。這時波陣面不動，未擾氣體以這時波陣面不動，未擾氣體以波速波速a向左向左運動，氣流不斷越過運動，氣流不斷越過A-AA-A面進入擾動區，而受擾氣流以面進入擾動區，而受擾

43、氣流以a- -dv速度相對于速度相對于A-AA-A面向左流去。面向左流去。現圍繞現圍繞A-AA-A面取一控制體，由質量守衡方程得到面取一控制體，由質量守衡方程得到由由動量定理動量定理得到（向左為正）：得到（向左為正）：聯解可得聯解可得這就是聲速的微分形式公式。說明氣體擾動的傳播速度決定于變這就是聲速的微分形式公式。說明氣體擾動的傳播速度決定于變化過程中氣體的化過程中氣體的dp和和d 的比值。的比值。()()aAdadV AdVadaa-dVp,Tp+dp,+dT+dTppdpAaadVa AadVdp2dpad由于音速的平方與密度變化量成反比，即同樣的壓強變化由于音速的平方與密度變化量成反比，

44、即同樣的壓強變化量下，音速的大小反映了密度變化的小大，因此音速是介量下，音速的大小反映了密度變化的小大，因此音速是介質壓縮性的一個指標。質壓縮性的一個指標。由于介質的彈性模量定義為產生單位相對體積變化時（或由于介質的彈性模量定義為產生單位相對體積變化時（或產生單位相對密度變化時）所需的壓強變化量，所以彈性產生單位相對密度變化時）所需的壓強變化量，所以彈性模量是反映介質壓縮難易程度的指標。實際上音速可用彈模量是反映介質壓縮難易程度的指標。實際上音速可用彈性模量性模量E寫為：寫為：即，音速越大，介質越不容易被壓縮即，音速越大，介質越不容易被壓縮 21/ 1/dpdpEadd 由于由于擾動變化微小、

45、速度很快，氣體既無熱量交擾動變化微小、速度很快，氣體既無熱量交換，也無摩擦產生，可認為是一種絕熱等熵過程，換，也無摩擦產生，可認為是一種絕熱等熵過程，此時壓力密度關系為此時壓力密度關系為對于海平面標準大氣，對于海平面標準大氣，R=287.053 =287.053 N.m/(/(kg.K) )，T=288.15=288.15K， =1.4=1.4，得到，得到: :對于水而言：對于水而言：pcpRTaRT1.4 287.053 288.15340.3am s922288.152.1 10999.11445TKEN mkg mam s.3馬赫數馬赫數( (222222,/MaaVVV

46、pddpa22222/2/2(1)(1) 22(1)vVVVMaRTC Ta 6.36.3高速一維定常流高速一維定常流6.3.1 6.3.1 一維定常絕熱流的能量方程一維定常絕熱流的能量方程)2(2VpuddqCVh22CVPCVaCVRTCVTCTChpp21,2121,2,22222CpVCpCdpV12,2.2一維定常絕熱流參數間的基本關系式一維定常絕熱流參數間的基本關系式02020002,2,TCVThVTCTChppp20211MaTT21210000000)211 ()(,MaTTPPTTpppp0102)1(0102211221122121ln) 1()()(

47、,)(lnppCsppppppCTdqdssvv0102pp1121001210020)211 ()()211 ()(211MappMaTTppMaTT111*0002*202220.833,()0.528,()0.63411120.8331TpTpaa0RT222*1211 2aVa*Va2222222200*222222*0022222222221(1)122112,111121aaaaVVMaaa a aa aMaMaMaMaMa611, 0maxMaT 一維等熵關系式可用速度系數來表達一維等熵關系式可用速度系數來表達 絕熱能量方程用滯止音速可寫為：絕熱能量方程用滯止音速可寫為： 用右端

48、同除式子，同時注意到右端還可表為總參數：用右端同除式子，同時注意到右端還可表為總參數： 從而絕熱能量方程可寫為：從而絕熱能量方程可寫為： 壓強比與密度比關系可利用等熵關系寫出：壓強比與密度比關系可利用等熵關系寫出：12*11002RTha20111TT1100TT,100TTpp2*112122aVRT這這三個用速度系數表達的式子也稱為三個用速度系數表達的式子也稱為一維等熵關系式一維等熵關系式，其，其中第一式只要求絕熱即成立。中第一式只要求絕熱即成立。可見隨可見隨速度系數增加，溫度、壓強和密度一路都是下降速度系數增加，溫度、壓強和密度一路都是下降的。的。 這些關系都做成了表格方便查閱。這些關系

49、都做成了表格方便查閱。)(11120TT)()111 (120pp)()111 (1120從而：從而：1.1.等熵管流的速度與截面積關系等熵管流的速度與截面積關系又一維定常流微分形式的連續方程是：又一維定常流微分形式的連續方程是：綜合兩式，得等熵管流中速度變化與截面積變化的關系式：綜合兩式，得等熵管流中速度變化與截面積變化的關系式： 將音速公式將音速公式2dpad代入歐拉方程代入歐拉方程dpd 可得：可得： VV.3等熵管流的流動參數與截面積關系、流量公式等熵管流的流動參數與截面積關系、流量公式2ddVMV 0ddVdAVA2(1)dVdAMVA發生音速處面積發生音速處面積 A

50、 有極值，從物理上可判斷該處有極值，從物理上可判斷該處A 應是應是極小值（反證）極小值（反證）亞音速（包括低速）時如果管截面收縮則流速增加，面積亞音速（包括低速）時如果管截面收縮則流速增加，面積擴大則流速下降；超音速時情形則剛好相反。擴大則流速下降；超音速時情形則剛好相反。從式從式我們可以看出：我們可以看出：2(1)ddAMAVV0,0;10,0.0,0;10,0.1,0,dAdVMdAdVdAdVMdAdVdAMAA 上述截面流速與截面積變化規律的物理原因是：亞音速上述截面流速與截面積變化規律的物理原因是：亞音速時密度變化較速度變化為慢，而超音速時密度變化比流時密度變化較速度變化為慢，而超音

51、速時密度變化比流速變化快速變化快 亞音速時想增加流速，由連續方程亞音速時想增加流速，由連續方程 則截面積應縮小。則截面積應縮小。 超音速時想增加流速，由連續方程超音速時想增加流速，由連續方程 則截面積應放大。則截面積應放大。CAVCAV2ddVMV 由上已經看到，一維定常等熵流中密度由上已經看到，一維定常等熵流中密度的變化趨勢與的變化趨勢與速度速度V相反，其他氣流參數（相反，其他氣流參數（p、T）隨速度）隨速度V的變化趨勢是的變化趨勢是怎樣的？怎樣的？ 壓強壓強p變化趨勢與速度相反變化趨勢與速度相反 由微分形式的動量方程（歐拉方程）：由微分形式的動量方程（歐拉方程）： 將音速表達代入上式得：將

52、音速表達代入上式得： 溫度溫度 T變化趨勢與速度也相反變化趨勢與速度也相反 將上二式代入狀態方程將上二式代入狀態方程 可得溫度比的關系：可得溫度比的關系：VdVMpdp2TdTdpdp0VdVdp2. 2. 其它流動參數與截面積的關系其它流動參數與截面積的關系由這三個關系右端的系數可見，當速度增加時，由這三個關系右端的系數可見，當速度增加時， p、T 都是減小的，但都是減小的，但 p 減小最快，減小最快， 減小次之，而減小次之，而 T 減小最減小最慢（空氣慢（空氣1.41.4）。）。即：即：VdVMTdT2) 1( VdVMpdp2VdVMTdT2) 1(2ddM VV面積面積 減小減小 增大

53、增大 增大增大 減小減小 速度速度 增大增大 減小減小 增大增大 減小減小壓力壓力 減小減小 增大增大 減小減小 增大增大密度密度 減小減小 增大增大 減小減小 增大增大溫度溫度 減小減小 增大增大 減小減小 增大增大馬赫數馬赫數 增大增大 減小減小 增大增大 減小減小用以下圖表來表示一維定常等熵變截面管流中的參數變化：用以下圖表來表示一維定常等熵變截面管流中的參數變化：3. 3. 拉瓦爾噴管或噴管拉瓦爾噴管或噴管 對一維等熵管流，如想讓氣流沿管軸線連續地從亞音速對一維等熵管流，如想讓氣流沿管軸線連續地從亞音速加速到超音速，即始終保持加速到超音速，即始終保持 0 0，則管道應先收縮后，則管道應

54、先收縮后擴張，中間為最小截面，即喉道。擴張，中間為最小截面，即喉道。 即使氣流在喉道之前收縮膨脹加速，在喉道處達到音速即使氣流在喉道之前收縮膨脹加速，在喉道處達到音速，之后繼續膨脹加速，達到超音速。，之后繼續膨脹加速，達到超音速。 一個噴管在出口截面產生一個噴管在出口截面產生 Ma1 1 的超音速氣流的條件是：的超音速氣流的條件是： 管道形狀應成為拉瓦爾管形狀管道形狀應成為拉瓦爾管形狀 在噴管上下游配合足夠大的壓強比在噴管上下游配合足夠大的壓強比 一一個出口接大氣的噴管，當噴管出口達到設計個出口接大氣的噴管，當噴管出口達到設計 Ma 數而出口數而出口壓強恰等于外界大氣壓強時，則噴管處于設計狀態

55、。如果壓強恰等于外界大氣壓強時，則噴管處于設計狀態。如果上游壓強過高或過低，噴管出口內外將出現激波或膨脹波上游壓強過高或過低，噴管出口內外將出現激波或膨脹波。.4流量公式與面積比關系流量公式與面積比關系噴管噴管截面積與馬赫數的關系可由如下的流量公式與面積比關系截面積與馬赫數的關系可由如下的流量公式與面積比關系計算：計算：可見，用該式計算流量只需知道總壓、總溫、截面積和可見，用該式計算流量只需知道總壓、總溫、截面積和 q( () )AaVAm*)(0流量公式)(00qTAPCm )(2111212111100TAPR)(11200TAPRARTRTP12)(000C)(qq（）隨

56、）隨 變化的曲線如圖，其特點是：變化的曲線如圖，其特點是：0404. 0)(:常數其中,287R4 . 11211空氣RC當當=1時，時，q（）=1=1；當；當=0 =0 和和= =max 時，時，q ( ()=0)=0； q ( () ) 等函數與等函數與的關系均已做成表格的關系均已做成表格( (附表附表4 4、5)5)，可方便查，可方便查讀。讀。 111( )()2q 流量函數還可用馬赫數表達為：流量函數還可用馬赫數表達為：流量函數：流量函數：)1(212)211)(12()(MMMq可得噴管中任一截面與喉道的面積比關系：可得噴管中任一截面與喉道的面積比關系：*( )AqA由管流的質量守恒

57、關系：由管流的質量守恒關系：利用上述面積比關系可求出噴管中某截面處利用上述面積比關系可求出噴管中某截面處 （Ma）數，或）數，或根據根據 （Ma）數要求初步設計噴管，確定噴管出口與喉道）數要求初步設計噴管，確定噴管出口與喉道面積比。面積比。0*000)(TAPCqTAPCm由于流量函數由于流量函數 q( () )在在1 1 處達到極大值處達到極大值 q(1)=1(1)=1，因此，因此當喉道達音速時，下式規定了噴管的最大流量：當喉道達音速時，下式規定了噴管的最大流量：0*00*0max) 1 (TAPCqTAPCm例：有一個超音速風洞，試驗段截面積為例：有一個超音速風洞，試驗段截面積為0.6m0

58、.6m正方形，噴正方形，噴管是二維的（即等寬度管是二維的（即等寬度0.6m），試驗段），試驗段 Mt=2.0，上游安定段總壓上游安定段總壓p0=400kN/m2，T0=293K。試求喉道高度。試求喉道高度h*，試驗段，試驗段 pt、Vt、m t。解解：(1)(1)由由2.0tM查表或通過計算得查表或通過計算得(2)(2)(3)(3)mhqMqAAhhtt3556. 06 . 05926. 05926. 0)633. 1()2(*smRTMaMVKTTmNppttttttt/5 .51179.1622874 . 1279.1622935556. 0)633. 1(/12.514001278. 0

59、)633. 1(020skgqTAPCm/405.2015926. 02936 . 01040404. 0)(25006.46.4微弱擾動的傳播區、馬赫錐、馬赫波微弱擾動的傳播區、馬赫錐、馬赫波 物體在靜止空氣中運動時，不同的運動速度其物體在靜止空氣中運動時，不同的運動速度其對空氣的影響范圍、影響方式是不同的。所謂擾對空氣的影響范圍、影響方式是不同的。所謂擾動是指引起氣流發生速度、密度、壓強等變化的。動是指引起氣流發生速度、密度、壓強等變化的。業已知道，對于亞聲速流場和超聲速流場而言，業已知道，對于亞聲速流場和超聲速流場而言，擾動的傳播和范圍是不同的。擾動的傳播和范圍是不同的。 在一個均勻流場

60、中，擾源發出的小擾動均以在一個均勻流場中，擾源發出的小擾動均以聲速向四周傳播，其影響區有下面四種情況：聲速向四周傳播，其影響區有下面四種情況：1 1、靜止氣體（、靜止氣體（Ma=0Ma=0） ，V=0 =0 從某瞬間看，前從某瞬間看，前i秒發出的擾動波面是以擾源秒發出的擾動波面是以擾源O為中心、為中心、ia為為半徑的同心球面。只要時間足夠半徑的同心球面。只要時間足夠長，空間任一點均會受到擾源的影響，即擾源的長，空間任一點均會受到擾源的影響，即擾源的影響區是全流場。影響區是全流場。 2 2、亞聲速氣流、亞聲速氣流 ( (Ma1) Ma1Ma2Ma1，則有：所以則有：所以 2 1 ，這就是說，這就