1、第十六章第十六章 壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定 16-1 16-1 穩(wěn)定性概念穩(wěn)定性概念 足夠的強(qiáng)度足夠的強(qiáng)度 足夠的穩(wěn)定足夠的穩(wěn)定性性 足夠的剛度足夠的剛度構(gòu)件抵抗破壞的才干構(gòu)件抵抗破壞的才干構(gòu)件抵抗變形的才干構(gòu)件抵抗變形的才干構(gòu)件堅(jiān)持原有平衡形狀的才干構(gòu)件堅(jiān)持原有平衡形狀的才干一、穩(wěn)定失效實(shí)例一、穩(wěn)定失效實(shí)例壓桿穩(wěn)壓桿穩(wěn)定失效定失效二、平衡的穩(wěn)定性二、平衡的穩(wěn)定性 非穩(wěn)定的平衡非穩(wěn)定的平衡穩(wěn)定的平衡穩(wěn)定的平衡三、壓桿的穩(wěn)定性問題三、壓桿的穩(wěn)定性問題 壓桿平衡穩(wěn)定壓桿平衡穩(wěn)定 當(dāng)壓力小于某值，當(dāng)壓力小于某值，壓桿堅(jiān)持直線平衡，在壓桿堅(jiān)持直線平衡，在恣意小的擾動(dòng)下，壓桿恣意小的擾動(dòng)下，壓桿偏離直線平衡位置

2、。但偏離直線平衡位置。但當(dāng)擾動(dòng)除去后，壓桿回當(dāng)擾動(dòng)除去后，壓桿回到原來直線平衡位置。到原來直線平衡位置。 壓力小于一定的數(shù)壓力小于一定的數(shù)值時(shí)，壓桿的直線平衡值時(shí)，壓桿的直線平衡是穩(wěn)定的。是穩(wěn)定的。壓桿平衡非穩(wěn)定壓桿平衡非穩(wěn)定 當(dāng)壓力到達(dá)一定數(shù)值，當(dāng)壓力到達(dá)一定數(shù)值，壓桿仍具有直線平衡方式；壓桿仍具有直線平衡方式；在外界擾動(dòng)下，壓桿偏離直在外界擾動(dòng)下，壓桿偏離直線平衡位置，但當(dāng)擾動(dòng)除去線平衡位置，但當(dāng)擾動(dòng)除去后，在某一彎曲形狀下到達(dá)后，在某一彎曲形狀下到達(dá)新的平衡新的平衡 壓力到達(dá)一定的數(shù)值時(shí)，壓力到達(dá)一定的數(shù)值時(shí)，壓桿存在直線和彎曲兩種平壓桿存在直線和彎曲兩種平衡方式，壓桿的直線平衡是衡方式

3、，壓桿的直線平衡是不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定的。 當(dāng)壓力超越某一數(shù)當(dāng)壓力超越某一數(shù)值，壓桿直線平衡方式值，壓桿直線平衡方式忽然轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢绞剑鋈晦D(zhuǎn)變?yōu)閺澢绞剑率箻?gòu)件喪失正常功能致使構(gòu)件喪失正常功能壓桿失穩(wěn)壓桿失穩(wěn)FFcr FFcr FFcr Fcr為穩(wěn)定直線平衡形狀的最高載荷，彎曲平衡為穩(wěn)定直線平衡形狀的最高載荷，彎曲平衡形狀的最低載荷，即壓桿失穩(wěn)的臨界載荷。形狀的最低載荷，即壓桿失穩(wěn)的臨界載荷。壓桿失穩(wěn)：壓桿不能堅(jiān)持其直線平衡形狀而變彎的景象。壓桿失穩(wěn)：壓桿不能堅(jiān)持其直線平衡形狀而變彎的景象。一、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷一、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷 彎矩方程彎矩方程 ( )( )M xF w

4、 x 壓桿撓曲軸近似微分方程壓桿撓曲軸近似微分方程 22d( )( )dw xM xxEI FxlF16-2 16-2 臨界載荷的歐拉公式臨界載荷的歐拉公式 細(xì)長(zhǎng)壓桿在臨界載荷作用途于不穩(wěn)定的直線形狀，細(xì)長(zhǎng)壓桿在臨界載荷作用途于不穩(wěn)定的直線形狀，但其資料處于線彈性范圍內(nèi)。但其資料處于線彈性范圍內(nèi)。 線彈性穩(wěn)定問線彈性穩(wěn)定問題題思緒：壓桿在微彎時(shí)的最小壓力思緒：壓桿在微彎時(shí)的最小壓力Fmin = Fcr。方程普通解方程普通解 ( )sincosw xAkxBkx 邊境條件邊境條件0 x (0)010wAB xl ( )sincos0w lAklBkl 0B sin0kl 解得：解得： 為什么為什

5、么A A 、B B 不能同時(shí)等于不能同時(shí)等于0 0 ？設(shè)設(shè)2FkEI 222d( )( )0dw xk w xx( )( )M xF w x 22d( )( )dw xM xxEI FxlFsin0kl kln 222(1,2,.)nEIFnl 由于臨界載荷是由于臨界載荷是F F 的最小值，所以取的最小值，所以取n = 1n = 12mincr2EIFl 兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷 當(dāng)截面對(duì)不同方向彎曲中性軸的慣性矩不一樣當(dāng)截面對(duì)不同方向彎曲中性軸的慣性矩不一樣時(shí)應(yīng)取時(shí)應(yīng)取IminImin的方向計(jì)算。的方向計(jì)算。 二、兩端非鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界載荷二、兩端非鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿

6、的臨界載荷 支承對(duì)壓桿臨界載荷的影響表現(xiàn)為確定常數(shù)所支承對(duì)壓桿臨界載荷的影響表現(xiàn)為確定常數(shù)所用邊境條件不一樣。用邊境條件不一樣。2cr2()EIFl l相當(dāng)長(zhǎng)度相當(dāng)長(zhǎng)度桿端約束條件桿端約束條件長(zhǎng)度系數(shù)長(zhǎng)度系數(shù)兩端鉸支兩端鉸支1.0一端固定一端自由一端固定一端自由2.0兩端固定兩端固定0.5一端固定一端鉸支一端固定一端鉸支0.72cr2()EIFl 例：兩端鉸支壓桿如圖，桿的直徑例：兩端鉸支壓桿如圖，桿的直徑d = 20mm d = 20mm ，長(zhǎng)度，長(zhǎng)度l = 800mm l = 800mm ，資料為資料為Q235Q235鋼，。求壓桿的臨界載荷。鋼，。求壓桿的臨界載荷。 解：根據(jù)歐拉公式解：根

7、據(jù)歐拉公式 此時(shí)橫截面上的正應(yīng)力此時(shí)橫截面上的正應(yīng)力 23439412cr222200 10201024.2kN()64 ()64 (1 0.8)EIEdFll 3cr26424.2 1077MPa2010PFA 闡明壓桿處于線彈性范圍，所以用歐拉公式計(jì)算無誤。闡明壓桿處于線彈性范圍，所以用歐拉公式計(jì)算無誤。 16-3 16-3 臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖 一、臨界應(yīng)力與柔度一、臨界應(yīng)力與柔度 1.1.臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力 壓桿處于各種臨界形狀時(shí)橫截面上的平均應(yīng)力壓桿處于各種臨界形狀時(shí)橫截面上的平均應(yīng)力 crcrFA 2.2.柔度柔度 對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿 22crcr22()F

8、EIEAlA 柔度柔度 li IiA 截面對(duì)彎曲中性軸的慣性半徑截面對(duì)彎曲中性軸的慣性半徑IiA 截面對(duì)彎曲中性軸的慣性半徑截面對(duì)彎曲中性軸的慣性半徑圓截面：圓截面：矩形截面：矩形截面：42/64/44IddiAd 3min/122 3IhbbiAbh 二、三類不同壓桿及其臨界應(yīng)力表達(dá)式二、三類不同壓桿及其臨界應(yīng)力表達(dá)式 1.1.大柔度桿細(xì)長(zhǎng)桿大柔度桿細(xì)長(zhǎng)桿 在線彈性范圍內(nèi)失穩(wěn)，臨界應(yīng)力采用歐拉公式計(jì)算。在線彈性范圍內(nèi)失穩(wěn)，臨界應(yīng)力采用歐拉公式計(jì)算。 2cr2E 2PE 大柔度桿：大柔度桿：2cr2E P 2PPE P P 2.2.中柔度桿中長(zhǎng)桿中柔度桿中長(zhǎng)桿 中柔度桿發(fā)生彈塑性失穩(wěn)，歐拉公式

9、不適用。臨中柔度桿發(fā)生彈塑性失穩(wěn)，歐拉公式不適用。臨界應(yīng)力普通采用閱歷公式計(jì)算。界應(yīng)力普通采用閱歷公式計(jì)算。 直線閱歷公式直線閱歷公式 crab (a (a 、b b是與資料性質(zhì)有關(guān)的是與資料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，可查閱有關(guān)工程手冊(cè)常數(shù)，可查閱有關(guān)工程手冊(cè)) )crab sab s crab ssab sPs 中柔度桿中柔度桿3.3.小柔度桿粗短桿小柔度桿粗短桿 小柔度桿發(fā)生屈服塑性資料或斷裂脆性資小柔度桿發(fā)生屈服塑性資料或斷裂脆性資料，臨界應(yīng)力料，臨界應(yīng)力 scrb 塑性資料塑性資料 脆性資料脆性資料 s() 拋物線公式拋物線公式 2cr11abP(0) (a1 (a1 、b1b1是與資料性質(zhì)有關(guān)

10、的常數(shù)，可查閱是與資料性質(zhì)有關(guān)的常數(shù)，可查閱有關(guān)工程手冊(cè)有關(guān)工程手冊(cè)) )三、臨界應(yīng)力總圖三、臨界應(yīng)力總圖 例：圖所示壓桿，其直徑均為例：圖所示壓桿，其直徑均為d d ，資料都是，資料都是Q235Q235，但二者，但二者的長(zhǎng)度和約束都不同。的長(zhǎng)度和約束都不同。 分析哪一根桿的臨界載荷較大。分析哪一根桿的臨界載荷較大。 假設(shè)假設(shè)d = 160mm d = 160mm ，E = 205GPa E = 205GPa ，計(jì)算二桿的臨界載荷。，計(jì)算二桿的臨界載荷。 解：解： 計(jì)算柔度，判別臨界應(yīng)力大者計(jì)算柔度，判別臨界應(yīng)力大者 圓截面圓截面 4di 兩端鉸支約束的壓桿兩端鉸支約束的壓桿 11 1 112

11、0lid 兩端固支約束的壓桿兩端固支約束的壓桿 20.5 2 2218lid 所以兩端固支的壓桿具有較大的臨界壓力。所以兩端固支的壓桿具有較大的臨界壓力。2cr2E 12cr1cr2 計(jì)算給定參數(shù)下壓桿的臨界載荷計(jì)算給定參數(shù)下壓桿的臨界載荷 兩端鉸支約束的壓桿兩端鉸支約束的壓桿 1P32020125101160 10d 屬于大柔度桿，歐拉公式計(jì)算臨界載荷屬于大柔度桿，歐拉公式計(jì)算臨界載荷 2293cr1cr1221205 10160 102600kN1254EFAA 兩端固支約束的壓桿兩端固支約束的壓桿 2P31818112.5160 10d .22926cr2cr2222205 101601

12、03210kN112 54EFAA 屬于大柔度桿，歐拉公式計(jì)算臨界載荷屬于大柔度桿，歐拉公式計(jì)算臨界載荷 例：例：Q235 Q235 鋼制成的矩形截面桿的受力及兩端約束情況如下鋼制成的矩形截面桿的受力及兩端約束情況如下圖，其中圖，其中a a 為正視圖，為正視圖，b b 為俯視圖。在二處用螺栓夾緊。知為俯視圖。在二處用螺栓夾緊。知l = l = 2.3m 2.3m ，b = 40mm b = 40mm ，h = 60mm h = 60mm ，資料的彈性模量，資料的彈性模量E = 205GPa E = 205GPa ，求此桿的臨界載荷。求此桿的臨界載荷。 解：在正視圖平面解：在正視圖平面xy xy

13、 平面內(nèi)失穩(wěn)，平面內(nèi)失穩(wěn)，A A 、B B 處可處可自在轉(zhuǎn)動(dòng)，即兩端為鉸鏈約自在轉(zhuǎn)動(dòng)，即兩端為鉸鏈約束束 1 3/122 3zzIbhhiAbh31 2.3 2 3132.860 10zzli 在俯視圖平面在俯視圖平面xz xz 平面內(nèi)失穩(wěn)，平面內(nèi)失穩(wěn)，A A 、B B 處不可自在轉(zhuǎn)動(dòng)，處不可自在轉(zhuǎn)動(dòng)，即兩端為固定約束即兩端為固定約束 0.5 3/122 3yyIhbbiAbh30.52.32 399.640 10yyli zy 壓桿在正視圖平面內(nèi)失穩(wěn)定壓桿在正視圖平面內(nèi)失穩(wěn)定 P132.8z屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷 2296crcr22205

14、1040 60 10275kN132.8zEFAbh 16-4 16-4 壓桿穩(wěn)定條件與計(jì)算壓桿穩(wěn)定條件與計(jì)算 一、壓桿穩(wěn)定條件一、壓桿穩(wěn)定條件 crststFFFn crststn 二、平安因數(shù)法二、平安因數(shù)法 任務(wù)平安因數(shù)任務(wù)平安因數(shù) 壓桿平安任務(wù)條件壓桿平安任務(wù)條件 crcrFnF stnn 三、折減因數(shù)法三、折減因數(shù)法 crststn 壓桿平安任務(wù)條件壓桿平安任務(wù)條件 st 穩(wěn)定平安要素穩(wěn)定平安要素折減要素折減要素 st 例：由例：由Q235Q235鋼制成的壓桿，兩端鉸支，其屈服強(qiáng)度鋼制成的壓桿，兩端鉸支，其屈服強(qiáng)度s s = 235MPa = 235MPa ，比例極限，比例極限P =

15、 200MPa P = 200MPa ，彈性模量，彈性模量E=200GPaE=200GPa，桿長(zhǎng)桿長(zhǎng)l = 700mm l = 700mm ，截面直徑，截面直徑d = 45mm d = 45mm ，桿接受，桿接受Fmax = Fmax = 100kN100kN。穩(wěn)定平安因數(shù)。穩(wěn)定平安因數(shù)nst = 2.5nst = 2.5。試校核此桿的穩(wěn)定性。試校核此桿的穩(wěn)定性。 解：解： 計(jì)算壓桿柔度計(jì)算壓桿柔度 11.25mm4di 兩端為鉸鏈約束兩端為鉸鏈約束 1 31 0.762.211.25 10li 229P6P200 10100200 10E ss30423561.61.12ab sP壓桿屬于中

16、柔度桿，臨界應(yīng)力采用直線閱歷公式計(jì)算壓桿屬于中柔度桿，臨界應(yīng)力采用直線閱歷公式計(jì)算 62.2 P100 計(jì)算臨界載荷計(jì)算臨界載荷cr3041.12 62.2234.34MPaab 2266crcrcr4510234.34 10372.7kN44dFA 校核壓桿穩(wěn)定性校核壓桿穩(wěn)定性 crstNmax372.73.7100FnnF所以壓桿的穩(wěn)定性是平安的。所以壓桿的穩(wěn)定性是平安的。 例：鋼柱長(zhǎng)為例：鋼柱長(zhǎng)為l = 7m l = 7m ，兩端固定，資料是，兩端固定，資料是Q235Q235鋼鋼，規(guī)定穩(wěn)定平安因數(shù)，規(guī)定穩(wěn)定平安因數(shù)nst = 3 nst = 3 ，橫截面由兩個(gè)，橫截面由兩個(gè)1010號(hào)槽鋼

17、號(hào)槽鋼組成。知組成。知E = 200GPa E = 200GPa ，試求當(dāng)兩槽鋼靠緊和分開時(shí)鋼，試求當(dāng)兩槽鋼靠緊和分開時(shí)鋼柱的答應(yīng)載荷。柱的答應(yīng)載荷。 解：解： 兩槽鋼靠緊兩槽鋼靠緊 查型鋼表得查型鋼表得 22 12.7425.48cmA 4min2 54.9109.8cmyII min109.82.08cm25.48yyIiiA兩端固定兩端固定 0.5 20.5 71682.08 10yli P P168 鋼柱屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷鋼柱屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷 2294crcr22200 1025.48 10181.8kN168EFAA 鋼柱的答應(yīng)載荷鋼柱的答應(yīng)載荷

18、 cr1st181.860.6kN3FFn 兩槽鋼分開兩槽鋼分開 查型鋼表查型鋼表 22 12.7425.48cmA 42 198.3396.6cmxI 396.63.95cm25.48xxIiA 242 (25.63.0212.74)285cmyI min3.32cmyii2853.32cm25.48yyIiA4min285cmyII兩端固定兩端固定 0.5 20.5 7105.53.32 10yli 鋼柱屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷鋼柱屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷 2294crcr22200 1025.48 10473kN105.5EFAA 鋼柱的答應(yīng)載荷鋼柱的答應(yīng)載荷 c

19、r2st473157.7kN3FFn P 例：圖所示構(gòu)造中，梁例：圖所示構(gòu)造中，梁AB AB 為為No.14 No.14 普通熱軋工字鋼，支承的普通熱軋工字鋼，支承的桿直徑桿直徑d = 20mm d = 20mm ，二者的資料均為，二者的資料均為Q235Q235鋼。構(gòu)造受力如下圖，鋼。構(gòu)造受力如下圖，A A 、B B 、C C 三處均為球鉸約束。知三處均為球鉸約束。知F = 25kN F = 25kN ，l1 = 1.25m l1 = 1.25m ，l2 = l2 = 0.55m 0.55m ，E = 206GPa E = 206GPa 。規(guī)定穩(wěn)定平安因數(shù)。規(guī)定穩(wěn)定平安因數(shù)nst = 2.0

20、nst = 2.0 ，梁的許用，梁的許用應(yīng)力應(yīng)力 = 170MPa = 170MPa 。試校核此構(gòu)造能否平安。試校核此構(gòu)造能否平安。 解：解： 梁的強(qiáng)度校核拉伸與彎曲的組合梁的強(qiáng)度校核拉伸與彎曲的組合 經(jīng)過分析，經(jīng)過分析，AB AB 的危險(xiǎn)截面為的危險(xiǎn)截面為C C 截面截面 oNcos3025 0.86621.65kNFF o1sin30250.5 1.2515.63kN myMFl 查型鋼表查型鋼表 63102 10 myW 4221.5 10 mA 33Nmax4621.65 1015.63 10163MPa21.5 10102 10yyMFAW 所以所以AB AB 梁是平安的。梁是平安的

21、。 壓桿壓桿CD CD 的平安校核的平安校核 由平衡條件可求得壓桿由平衡條件可求得壓桿CD CD 所受力所受力 oNCD2sin3025kNFF 205mm44ydi 壓桿壓桿CD CD 屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷屬于大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算臨界載荷 22926crcr22206 10201052.8kN1104EFAA crstNCD52.82.1125FnnF所以壓桿所以壓桿CD CD 是平安的。是平安的。 P31 0.551105 10yli 例：圖所示壓桿，兩端為球鉸約束，桿長(zhǎng)例：圖所示壓桿，兩端為球鉸約束，桿長(zhǎng)l = 2.4m l = 2.4m ，桿由兩，桿由兩根根1251

22、2512512512 12 的等邊角鋼鉚接而成。鉚釘孔直徑為的等邊角鋼鉚接而成。鉚釘孔直徑為23mm 23mm 。假設(shè)。假設(shè)壓桿接受軸向壓力壓桿接受軸向壓力F = 750kN F = 750kN ，資料為，資料為Q235 Q235 鋼，鋼， = 160MPa = 160MPa 。試校核此構(gòu)造能否平安。試校核此構(gòu)造能否平安。 解：解： 壓桿穩(wěn)定校核壓桿穩(wěn)定校核( (折減要素法折減要素法 兩根角鋼鉚接，失穩(wěn)構(gòu)成一整體撓曲兩根角鋼鉚接，失穩(wěn)構(gòu)成一整體撓曲，其橫截面繞慣性矩最小的主軸，其橫截面繞慣性矩最小的主軸y y 軸彎曲軸彎曲 查型鋼表查型鋼表 38.3mmyi 2228.9 10 mmA 兩根角鋼鉚接后兩根角鋼鉚接后 22257.8 10 mmAA 238.3mm2yyyyIIiiAA 38.3mmyi 1 0.762.660.0383yli 查表得查表得 0.828 st0.828 160132MPa 326750 10130MPa57.8 1010FA