1、二次曲面的定義：二次曲面的定義：三元二次方程所表示的曲面稱之三元二次方程所表示的曲面稱之相應地平面被稱為相應地平面被稱為一次曲面一次曲面討論二次曲面性狀的討論二次曲面性狀的截痕法截痕法： 用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌加以綜合，從而了解曲面的全貌以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面一、基本內容一、基本內容ozyx（一）橢球面（一）橢球面1222222 czbyax 橢球面與橢球面與三個坐標面三個坐標面的交線：的交線：,01

2、2222 yczax.012222 xczby,012222 zbyax橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.橢球面與平面橢球面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓1zz 同理與平面同理與平面 和和 的交線也是橢圓的交線也是橢圓.1xx 1yy 12122222122221)()(zzzccbyzccaxcz |1橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 1222222 czayax旋轉橢球面旋轉橢球面12222 czax由橢圓由橢圓 繞繞 軸旋轉而成軸旋轉而成z旋轉橢球面與橢球面的旋轉橢球面與橢球面的區別區別：122222 czayx方程可寫為

3、方程可寫為與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )| (1cz ,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx .)(12122222 zzzccayx截面上圓的方程截面上圓的方程方程可寫為方程可寫為（二）拋物面（二）拋物面zqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq橢圓拋物面橢圓拋物面用截痕法討論：用截痕法討論：（1）用坐標面）用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得一點，即坐標原點截得一點，即坐標原點)0 , 0 , 0(O設設0, 0 qp原點也叫橢圓拋物面的原點也叫橢圓拋物面的頂點頂點.與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 11212

4、122zzqzypzx當當 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的圓的中心中心都在都在 軸上軸上.1zz)0(1 z與平面與平面 不相交不相交.1zz )0(1 z（2）用坐標面）用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz 022ypzx截得拋物線截得拋物線與平面與平面 的交線為拋物線的交線為拋物線.1yy 121222yyqyzpx它的軸平行于它的軸平行于 軸軸z頂點頂點 qyy2, 0211（3）用坐標面）用坐標面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得拋物線均可得拋物線.同理當同理當 時可類似討論時可類似討論.0, 0 qpzxyoxyzo橢圓拋物面的圖形如下：橢圓拋物面的

5、圖形如下：0, 0 qp0, 0 qp特殊地：當特殊地：當 時，方程變為時，方程變為qp zpypx 2222旋轉拋物面旋轉拋物面)0( p（由（由 面上的拋物線面上的拋物線 繞它的軸繞它的軸旋轉而成的）旋轉而成的）xozpzx22 11222zzpzyx與平面與平面 的交線為圓的交線為圓.1zz )0(1 z當當 變動時，這種圓變動時，這種圓的的中心中心都在都在 軸上軸上.1zzzqypx 2222（ 與與 同號）同號）pq雙曲拋物面（馬鞍面）雙曲拋物面（馬鞍面）用截痕法討論：用截痕法討論：設設0, 0 qp圖形如下：圖形如下：xyzo（三）雙曲面（三）雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面122222

6、2 czbyax（1）用坐標面）用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( zxoy截得中心在原點截得中心在原點 的橢圓的橢圓.)0 , 0 , 0(O 012222zbyax與平面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓.1zz 當當 變動時，這種橢變動時，這種橢圓的圓的中心中心都在都在 軸上軸上.1zz 122122221zzczbyax（2）用坐標面）用坐標面 與曲面相截與曲面相截)0( yxoz截得中心在原點的雙曲線截得中心在原點的雙曲線. 012222yczax實軸與實軸與 軸相合，軸相合，虛軸與虛軸與 軸相合軸相合.xz 122122221yybyczax雙曲線的雙曲線的中心中心都在都在 軸上軸

7、上.y與平面與平面 的交線為雙曲線的交線為雙曲線.1yy )(1by ,)1(221by x實軸與實軸與 軸平行軸平行,z虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)2(221by z實軸與實軸與 軸平行軸平行,x虛軸與虛軸與 軸平行軸平行.,)3(1by 截痕為一對相交于點截痕為一對相交于點 的直線的直線.)0 , 0(b,0 byczax.0 byczax,)4(1by 截痕為一對相交于點截痕為一對相交于點 的直線的直線.)0 , 0(b ,0 byczax.0 byczax（3）用坐標面）用坐標面 ， 與曲面相截與曲面相截)0( xyoz1xx 均可得雙曲線均可得雙曲線.單葉雙曲面圖形單葉雙曲面圖形

8、 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是兩對相交直線兩對相交直線.ax 雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyaxxyo橢球面、拋物面、雙曲面、橢球面、拋物面、雙曲面、截痕法截痕法.（熟知這幾個常見曲面的特性）（熟知這幾個常見曲面的特性）二、小結二、小結思考題思考題方程方程 3254222xzyx表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？思考題解答思考題解答 3254222xzyx.316422 xzy表示雙曲線表示雙曲線.一、一、 求曲線求曲線 30222zxzy，在，在xoy面上的投影曲線面上的投影曲線 的方程，并指出原曲線是什么曲線的方程，并指出原曲線是什么曲線 . .二、畫出方程所表示的曲面：二、畫出方程所表示的曲面：1 1、94322yxz ；2 2、64416222 zyx . .三、三、 畫出下列各曲面所圍成的立體的圖形：畫出下列各曲面所圍成的立體的圖形：1 1、4,2,1,0,0yzyxzx ；2 2、222,0,0,0Ryxzyx , ,222Rzy ( (在第一卦限內在第一卦限內) ) . .練練 習習 題題四四、 試試