1、 3.2 邊緣分布邊緣分布 對于二維隨機變量對于二維隨機變量(X, Y)，分量，分量X 的分布函數稱為的分布函數稱為(X, Y)關于關于 X 的邊緣分布函數的邊緣分布函數，記為，記為FX(x)；分量；分量Y 的分布函數稱為的分布函數稱為(X, Y) 的的 關于關于Y 的邊緣分布函數的邊緣分布函數，記為，記為FY(y) 由于由于(X, Y) 的聯合分布函數全面反映了的聯合分布函數全面反映了(X, Y) 的取值情況，因的取值情況，因 此此(X, Y) 的邊緣分布函數可以由的邊緣分布函數可以由(X, Y) 的分布函數的分布函數F(x, y)來確定來確定 FX(x) =PX x = PX x, y =

2、 F(x, ) 同理同理 FY(y) =F(, y)一、二維離散型隨機變量的邊緣分布一、二維離散型隨機變量的邊緣分布 設設PX= xi Y= yj= pij(i、j =1, 2, )，于是，于是 FX(x)= F(x, ) = xxjijip1 xxiixXP), 2 , 1(1 ippijij), 2 , 1(1 jppyYPjiijj同理同理對比一維隨機變量分布函數的式子有對比一維隨機變量分布函數的式子有 F(x)=PX x = 故有故有 PX xi = 二維離散型隨機變量的聯合分布的邊緣分布常被列二維離散型隨機變量的聯合分布的邊緣分布常被列成表格的形式（見下表）成表格的形式（見下表） 顯

3、然顯然(X, Y) 關于關于X 的邊緣分布可由表的邊緣分布可由表依列累加依列累加求得，求得， 而而(X, Y) 關于關于Y 的邊緣分布可由表的邊緣分布可由表依行累加依行累加求得分別稱求得分別稱 p i.、p.j(i、j =1,2,)為為(X, Y) 關于關于X 和和Y 的的邊緣分布律邊緣分布律 1 p1. p2. pi. pi.p.1p.2p.j p11 p21 pi1 p12 p22 pi2 p1j p2j pij y1 y2 yjp.j x1 x2 xi X Y 例例1 設二維隨機變量設二維隨機變量(X, Y)的概率分布為的概率分布為0123010/506/504/501/5019/501

4、0/50 3/50025/502/5000XY求求1| YXP及及X 和和Y 的邊緣分布律的邊緣分布律解解1| YXP表中紅色部分相加表中紅色部分相加0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50 p.j 24/5018/507/501/501XY 二、二維連續型隨機變量的邊緣分布二、二維連續型隨機變量的邊緣分布 設連續型隨機變量設連續型隨機變量(X, Y) 的概率密度為的概率密度為f(x, y)，由，由 FX(x)=F(x, )dxdyyxfx),( 對比一維連續型隨機變量的分布函數式子：對比一維連續型隨機變

5、量的分布函數式子： 分別稱分別稱 fX(x)、fY(y)為為(X, Y) 關于關于X 和和Y 的的邊緣概率密度邊緣概率密度 xXdttfxF)()( dyyxfxfX),()(得：得：同理有：同理有： dxyxfyfY),()(fX(x)為為X、Y 的聯合密度的聯合密度f(x, y) 在整個在整個y 軸上對軸上對y積分積分fY(y) 為為X、Y 的聯合密度的聯合密度f(x, y) 在整個在整個x 軸上對軸上對x積分積分 例例2 設二維隨機變量在區域設二維隨機變量在區域D：0 x1，0y22x上服上服 從均勻分布，試求從均勻分布，試求X 和和Y 的邊緣分布密度的邊緣分布密度 解解 由定義知聯合密

6、度為由定義知聯合密度為 DyxDyxyxf),(0),(1),( dyyxfxfX),()( 其其它它01022xx 其其它它0101220 xdyx 其其它它0201210ydxy dxyxfyfY),()( 其他其他02021yy 例例3 設二維隨機變量設二維隨機變量(X, Y) 的概率密度為的概率密度為)()(2)()1(212212222212121212121),( yyxxeyxf(x, y)其中其中1,2,1,2 ,都是都是常數，且常數，且1 0，2 0，11，稱，稱(X, Y)為服從參數為服從參數1,2,1,2 ,的的二維正態分布二維正態分布試求試求(X, Y) 的邊緣分布的邊緣分布 解解211221122 xxy dyyxfxfX),()( 22112222 yxy由由于于dyeexfxyxX 2112222121)()()1(212)(221121)( )()(1111222 xyt令令dteexftxX22)(12212121)( )(21)(22222)(2 yeyfyY 同理同理)(21)(21212)(1 xexfxX 即即可見：可