1、第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布2.1 隨機變量及其分布函數隨機變量及其分布函數 一、一、隨機變量隨機變量 在第一章里討論了如何用字母表示事件以及求事件概率的在第一章里討論了如何用字母表示事件以及求事件概率的基本方法為了全面地研究隨機試驗的結果，揭示客觀存在著基本方法為了全面地研究隨機試驗的結果，揭示客觀存在著的統計規律性，我們將隨機試驗的結果與實數對應起來，將隨的統計規律性，我們將隨機試驗的結果與實數對應起來，將隨機試驗的結果機試驗的結果數量化數量化，引入隨機變量的概念，引入隨機變量的概念 有許多隨機試驗的可能結果本身就是數字，如：有許多隨機試驗的可能結果本身就是數字，如： 擲

2、一顆骰子觀察出現的點數擲一顆骰子觀察出現的點數 某射手射擊某射手射擊10次，觀察命中的次數次，觀察命中的次數 測定一批電子元件的使用壽命測定一批電子元件的使用壽命 還有一些隨機試驗的可能結果本身不是數字，如：還有一些隨機試驗的可能結果本身不是數字，如： 抽查產品質量，結果是抽查產品質量，結果是“正品正品”或或“次品次品” 射擊結果射擊結果“中中”或或“不中不中”但這些結果也可以用實數來代替，如用但這些結果也可以用實數來代替，如用“1”代表代表“中中”、“0”代表代表“不中不中”等。等。 定義定義 設隨機試驗設隨機試驗E 的樣本空間為的樣本空間為 ，若對每一個樣本點，若對每一個樣本點，存在唯一實

3、數，存在唯一實數X()與之對應，且對任何實數與之對應，且對任何實數x，事，事件件X() x 都有確定的概率，則稱都有確定的概率，則稱X() 是一個是一個隨機變量隨機變量，簡單地記為簡單地記為X 許多教材習慣用希臘字母許多教材習慣用希臘字母、等表示隨機變量。等表示隨機變量。 隨機變量是研究隨機試驗的有效工具引入隨機變量后，隨機變量是研究隨機試驗的有效工具引入隨機變量后，就可以用隨機變量就可以用隨機變量X 描述事件例如描述事件例如 擲一顆骰子，用擲一顆骰子，用X 表示出現的點數，則表示出現的點數，則X= i表示表示“出現出現 i 點點”，X0是不可能事件，是不可能事件， X7是必然事件，是必然事件

4、， X2表示出現的表示出現的點數大于或等于點數大于或等于2。 隨機變量隨機變量X 的取值隨試驗結果而定，的取值隨試驗結果而定， 在試驗之前只知道其在試驗之前只知道其可能取值的范圍，因為試驗的各種結果出現的概率是可以確定可能取值的范圍，因為試驗的各種結果出現的概率是可以確定的那么，隨機變量取各個值的概率或在某個范圍內取值的概的那么，隨機變量取各個值的概率或在某個范圍內取值的概率也就可以確定率也就可以確定隨機變量是隨機事件的函數隨機變量是隨機事件的函數. 上例中上例中P X= i =1/6，P X0 =0，P X7 = 1 PX2 =5/6二、隨機變量的二、隨機變量的分布函數分布函數 引進隨機變量

5、后，我們可以用隨機變量引進隨機變量后，我們可以用隨機變量X取值的集合來表取值的集合來表示隨機事件。即對于任意示隨機事件。即對于任意 實數實數 a 和和 b ,X a、X a、X a、X a、 X a、 a X b 等都是隨機事件。等都是隨機事件。 定義定義 設設X 是隨機變量，是隨機變量，x 是任意實數，函數是任意實數，函數 F(x) =P(X x)稱為稱為X 的分布函數。的分布函數。 對任意實數對任意實數x1、x2（x1x2）有）有 P x1X x2 =PX x2PX x1 = F(x2) F(x1) 因此，若已知因此，若已知X 的分布函數，就知道的分布函數，就知道X 落在任一區間上的概率落

6、在任一區間上的概率,在這個意義上分布函數完整地描述了隨機變量的統計規律性在這個意義上分布函數完整地描述了隨機變量的統計規律性 首先分布函數首先分布函數F(x) 描述的是事件描述的是事件“X x”的概率，其次，它的概率，其次，它 又是一個定義于全體實數且以區間又是一個定義于全體實數且以區間 0, 1 為值域的普通函數正為值域的普通函數正 是由于它的這種雙重屬性使我們得以用數學分析的方法來研究隨是由于它的這種雙重屬性使我們得以用數學分析的方法來研究隨 機變量的概率問題機變量的概率問題 由分布函數的定義可知由分布函數的定義可知F(x) 具有以下基本性質：具有以下基本性質： (1) 0 F(x) 1，

7、(x) (2) 對任意實數對任意實數x1、x2，當，當x1x2時，時， 有有F(x1)F(x2)（不減）（不減）1)(lim, 0)(lim)3( xFxFxx)()(lim)0()4(0 xFtFxFxt （右連續）（右連續）此外，還有此外，還有)(11) 5(xFxXPxXP )0()()6( xFxFxXP)0()7( xFxXP這是因為這是因為xXPxXPxXP )0(1)8( xFxXP這是因為這是因為)(1xXPxXP 解解 當當x0時，時，X x為不可能事件，為不可能事件，PX x= 0 當當0 x 1時，時，PX x= PX = 0= 0.5， 當當x1時，時，PX x= PX

8、 = 0 PX = 1=1這是一個分段函數，圖形為這是一個分段函數，圖形為 11105 . 000)(xxxxXPxF 例例1 設設X 為擲一枚硬幣出現正面的次數，求隨機變量為擲一枚硬幣出現正面的次數，求隨機變量X 的的 分布函數分布函數oxy0.5 1 1例例2 向區間向區間0，1 上隨機投一點，使所投點落在上隨機投一點，使所投點落在0，1內內 任一子區間的概率與子區間長度成正比（比例系數為任一子區間的概率與子區間長度成正比（比例系數為1），而），而 與子區間所在位置無關令與子區間所在位置無關令X 表示落點的坐標，則表示落點的坐標，則X 是一個隨是一個隨 機變量，求機變量，求X 的分布函數的

9、分布函數 解解 X 是一個非離散型隨機變量，分布函數是一個非離散型隨機變量，分布函數F(x)=PX x 根據題意有：根據題意有： x0時，時，X x為不可能事件，為不可能事件， F(x) =PX x= 0 0 x 1時，時， F(x)= PX x =P0 X x = x x1時，時，X x為必然發生，為必然發生， F(x)=PX x =1 因此，因此，X 的分布函數的分布函數 111000)(xxxxxF 例例2 設設X 的分布函數為的分布函數為)(arctan)( xxBAxF0)(lim xFx1)(lim xFx求常數求常數A與與B的值。的值。解：由于解：由于所以所以02 BA 12 BA 21 A 1 B于是于是 51546.0425.0202.000)(xxxxxxF 例