1、第六節冪函數與二次函數1.冪函數冪函數(1)冪函數的定義冪函數的定義:一般地一般地,函數函數y=x叫做冪函數叫做冪函數,其中其中x是自變量是自變量,是是常數常數.(2)5種常見冪函數的圖象種常見冪函數的圖象(如圖如圖)(3)5種常見冪函數的性質2.二次函數二次函數(1)二次函數的定義二次函數的定義:形如形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函數的函數叫做二次函數叫做二次函數.(2)二次函數的三種常見的解析式二次函數的三種常見的解析式一般式一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);頂點式頂點式:f(x)=a(x-m)2+n(a0),(m,n)為頂點坐標為頂點坐標;兩根式兩根式:f(x)=a(

2、x-x1)(x-x2)(a0),其中其中x1,x2分別為分別為f(x)=0的兩實根的兩實根.(3)二次函數的圖象與性質二次函數的圖象與性質3.二次函數與一元二次方程、一元二次不等式之間的內在聯系二次函數與一元二次方程、一元二次不等式之間的內在聯系(1)f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖象與的圖象與x軸交點的橫坐標是方程軸交點的橫坐標是方程ax2+bx+c=0(a0)的實根的實根.另外,當二次函數開口向上時,自變量的取值離開對稱軸越遠,則對應的函數值越大;反過來,當二次函數開口向下時,自變量的取值離開對稱軸越遠,則對應的函數值越小.4.常用的數學方法與思想配方法、待定系數法、分類討論思想、數

3、形結合思想.1.判斷下列說法是否正確(打“”或“”).(1)函數f(x)=x2與f(x)=3x2都是冪函數.()(1)(2)函數f(x)=ax2+bx+c表示二次函數.()(2)(3)冪函數的圖象恒過定點(1,1),(0,0).()(3)(4)二次函數的圖象是軸對稱圖形.()(4)(5)二次函數y=x2+mx+1在區間1,+)上單調遞增的充要條件是m-2.()(5)2.已知某二次函數的圖象與函數y=2x2的圖象的形狀一樣,開口方向相反,且其頂點為(1,3),則該函數的解析式為()A.y=2(x-1)2+3B.y=2(x+1)2+3C.y=-2(x-1)2+3D.y=-2(x+1)2+32.C【

4、解析】設所求函數的解析式為y=a(x+h)2+k(a0),由題意可知a=-2,-h=1,k=3,故y=-2(x-1)2+3.命題角度1:利用冪函數的圖象判斷冪指數大小典例1如圖為冪函數y=xn在第一象限的圖象,則C1,C2,C3,C4的大小關系為 ()A.C1C2C3C4B.C2C1C4C3C.C1C2C4C3D.C1C4C3C2【解題思路】利用基本冪函數y=x2,y=x-1,y=x在第一象限作為參考并利用特殊值驗算.觀察圖形可知C10,C20,且C11,而0C21,C30,C40,且C30,a1)與y=xb的圖象如圖,則下列不等式一定成立的是 ()A.ba0B.a+b0C.ab1D.loga

5、2bD【解析】由圖可知a1,b0,因此0ab1,選項C錯誤;而選項A與B不一定成立,如當b=-1,a=3時,ba0,當a=2,b=-3時,a+bloga1=0b,所以只有選項D一定成立.典例3(2019嘉興統測)設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a,bR)滿足條件:當xR時,f(x)的最大值為0,且f(x-1)=f(3-x)成立;二次函數f(x)的圖象與直線y=-2交于A,B兩點,且|AB|=4.(1)求函數f(x)的解析式;(2)求最小實數n(n-1),使得存在實數t,只要當xn,-1時,就有f(x+t)2x成立.【解題思路】(1)根據條件得出函數的對稱軸、最大值以及|AB|的長度,由此

6、列出方程組得到相應的參數值【變式訓練】(2019山東棗莊八中月考)已知函數f(x)=ax2+bx+1(a,b為實數,a0,xR).(1)若函數f(x)的圖象過點(-2,1),且方程f(x)=0有且只有一個根,求f(x)的表達式;(2)在(1)的條件下,當x-1,2時,g(x)=f(x)-kx是單調函數,求實數k的取值范圍.【解析】(1)因為f(-2)=1,即4a-2b+1=1,所以b=2a.因為方程f(x)=0有且只有一個根,即=b2-4a=0,因此解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.(2)因為g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1命題角度1:二次函

7、數的最值問題典例4已知函數f(x)=-x2+2ax+1-a在0 x1時有最大值2,求實數a的值.【解題思路】動軸定區間問題,應將對稱軸從左向右移動進行討論.【參考答案】當對稱軸x=a0時,如圖1所示,當x=0時,y有最大值ymax=f(0)=1-a,1-a=2,即a=-1,且滿足a1時,如圖3所示,當x=1時,y有最大值,ymax=f(1)=2a-a=2,a=2,且滿足a1,a=2.綜上可知,a的值為-1或2.命題角度2:一元二次不等式恒成立問題A.(-,-10,+)B.-1,0C.0,1 D.-1,0)【解題思路】利用分類討論,將不等式恒成立問題轉化.(2019嘉興模擬)已知函數f(x)=x

8、2+ax+b,g(x)=2x+a(a,bR),且函數f(x)與g(x)的圖象至多有一個公共點.(1)證明:當x0時,f(x)(x+b)2;(2)若不等式f(a)-f(b)L(a2-b2)對題設條件中的a,b總成立,求L的最小值.【解析】(1)由題意得f(x)-g(x)=x2+ax+b-2x-a=x2+(a-2)x+b-a0恒成立,=(a-2)2-4(b-a)=a2+4-4b0,a24b-4,04b-4,1b.又f(x)-(x+b)2=(a-2b)x+b(1-b),又a24b-4b2,a|a|b2b,k=a-2b0,f(0)-b2=b(1-b)0,當x0時,f(x)(x+b)2.【變式訓練】二次

9、函數中最值與對稱軸問題探究 二次函數是一種特殊的函數,主要涉及的知識有定軸定區間、定軸動區間、定區間動軸、最值、分離變量、恒成立、數形結合、分類討論等,知識點多,內容豐富,可謂“動中有靜,靜中有動”.典例已知二次函數f(x)=x2-4x+2,求1x4上的f(x)的最值.【解題思路】定區間、定軸的基本題,考查數形結合及學生對二次函數認識的基本能力.【參考答案】f(x)max=f(4)=2,f(x)min=f(2)=-2.【針對訓練】1.已知二次函數f(x)=x2-4x+2,求x1,a上的f(x)的最值.1.【解析】定軸,動區間(單邊動)問題,考查學生數形結合與分類討論的思想,關鍵是最大值里以a=

10、3為分界線,而在最小值里以2為分界線.最大值:當13時,f(x)max=f(a)=a2-4a+2.最小值:當12時,f(x)min=f(2)=-2.2.已知二次函數f(x)=x2+ax+2,求1x4上的f(x)的最大值.2.【解析】定區間動軸問題,通?？疾閷虞S進行討論,但此處采用相對運動,釘住軸變成定軸,而把區間運動,這是一種新的思維方法,且比動軸更好理解.1.方程x2-4x+k=0在區間1,4上有實根,求k的取值范圍.1.【解析】二次函數問題轉化為一元二次方程的解的問題,解法1:轉換為兩曲線的交點問題,數形結合易求;解法2:轉化為求函數的值域問題,數形結合也易求,這是一道典型的化難為易的題.解法1:x2-4x+k=0變形為x2-4x=-k,從而變為二次函數y=x2-4x與直線y=-k有交點問題,數形結合易得-4-k