1、 被控過(guò)程數(shù)學(xué)模型被控過(guò)程數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的概念數(shù)學(xué)模型的概念 數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。而被控過(guò)程的數(shù)學(xué)模型指過(guò)程的輸入變量與輸出變量之達(dá)式。而被控過(guò)程的數(shù)學(xué)模型指過(guò)程的輸入變量與輸出變量之間定量關(guān)系的描述。間定量關(guān)系的描述。1 1）過(guò)程的輸入變量至輸出）過(guò)程的輸入變量至輸出變量的信號(hào)聯(lián)系稱為變量的信號(hào)聯(lián)系稱為通道通道2 2）控制作用至輸出變量的）控制作用至輸出變量的信號(hào)聯(lián)系稱為信號(hào)聯(lián)系稱為控制通道控制通道3 3）干擾作用至輸出變量的）干擾作用至輸出變量的信號(hào)聯(lián)系稱為信號(hào)聯(lián)系稱為干擾通道干擾通道過(guò)程的輸出為控制通

2、道與干擾通道的輸出之和過(guò)程的輸出為控制通道與干擾通道的輸出之和 數(shù)學(xué)模型的類(lèi)型數(shù)學(xué)模型的類(lèi)型（1 1）：）：微分方程：微分方程：時(shí)域、其它模型的基礎(chǔ)、直觀、求解繁瑣時(shí)域、其它模型的基礎(chǔ)、直觀、求解繁瑣（2 2）：）：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：復(fù)頻域、微分方程拉氏變換后的結(jié)果復(fù)頻域、微分方程拉氏變換后的結(jié)果（3 3）：）：動(dòng)態(tài)模型：動(dòng)態(tài)模型：變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程（1 1）：）：相似性：不同性質(zhì)的系統(tǒng)，具有相同的數(shù)學(xué)模型。相似性：不同性質(zhì)的系統(tǒng)，具有相同的數(shù)學(xué)模型。（2 2）：）：簡(jiǎn)化性和準(zhǔn)確性：忽略次要因素，簡(jiǎn)化之；準(zhǔn)確體現(xiàn)簡(jiǎn)化性和準(zhǔn)確性：忽略次要因素，簡(jiǎn)化之；

3、準(zhǔn)確體現(xiàn)了系統(tǒng)性質(zhì)。了系統(tǒng)性質(zhì)。數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)（3 3）：）：靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下，各變量之間的代數(shù)方程。靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下，各變量之間的代數(shù)方程。（4 4）：）：動(dòng)態(tài)模型：變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。動(dòng)態(tài)模型：變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。 （1 1）：全面、深入地掌握被控過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)）：全面、深入地掌握被控過(guò)程的數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。的基礎(chǔ)。 （2 2）：良好數(shù)學(xué)模型的建立是控制器參數(shù)確定的重要依據(jù)。）：良好數(shù)學(xué)模型的建立是控制器參數(shù)確定的重要依據(jù)。 （3 3）：數(shù)學(xué)建模是仿真或研究、開(kāi)發(fā)新型控制策略的必要條件。）：數(shù)學(xué)建模是仿真或研究、開(kāi)發(fā)新

4、型控制策略的必要條件。 （4 4）：通過(guò)對(duì)生產(chǎn)工藝過(guò)程及相關(guān)設(shè)備數(shù)學(xué)模型的分析或仿真，）：通過(guò)對(duì)生產(chǎn)工藝過(guò)程及相關(guān)設(shè)備數(shù)學(xué)模型的分析或仿真，可以為生產(chǎn)工藝及設(shè)備的設(shè)計(jì)與操作提供指導(dǎo)。可以為生產(chǎn)工藝及設(shè)備的設(shè)計(jì)與操作提供指導(dǎo)。 （5 5）：利用數(shù)學(xué)模型可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)工業(yè)過(guò)程中控制系統(tǒng)的故障）：利用數(shù)學(xué)模型可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)工業(yè)過(guò)程中控制系統(tǒng)的故障及其原因，并提供正確的解決途徑。及其原因，并提供正確的解決途徑。被控過(guò)程數(shù)學(xué)模型在過(guò)程控制中的重要性：被控過(guò)程數(shù)學(xué)模型在過(guò)程控制中的重要性：一般步驟一般步驟 1) 1) 分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、

5、輸出量及內(nèi)部中間變量，搞清各變量之間的關(guān)系。內(nèi)部中間變量，搞清各變量之間的關(guān)系。 2) 2) 忽略一些次要因素，合理簡(jiǎn)化。忽略一些次要因素，合理簡(jiǎn)化。 3) 3) 根據(jù)相關(guān)基本定律，列出各部分的原始方程式。根據(jù)相關(guān)基本定律，列出各部分的原始方程式。 4) 4) 列寫(xiě)中間變量的輔助方程。（方程數(shù)與變量數(shù)相等）列寫(xiě)中間變量的輔助方程。（方程數(shù)與變量數(shù)相等） 5) 5) 聯(lián)立上述方程，消去中間變量，得到只包含輸入輸出的方聯(lián)立上述方程，消去中間變量，得到只包含輸入輸出的方程式。程式。系統(tǒng)微分方程的建立系統(tǒng)微分方程的建立基本定理：基本定理：1.1.牛頓第二定律：牛頓第二定律：F=maF=ma2.2.簡(jiǎn)化

6、模型為阻尼器簡(jiǎn)化模型為阻尼器f f、彈簧、彈簧k k、質(zhì)量塊、質(zhì)量塊m m大小：大小：dtdyfvfFff粘滯摩擦系數(shù)粘滯摩擦系數(shù)大?。捍笮。簓kFkk彈簧系數(shù)彈簧系數(shù)方向均為阻礙物體運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)方向均為阻礙物體運(yùn)動(dòng)趨勢(shì) 例例 彈簧彈簧- -質(zhì)量質(zhì)量- -阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。 試列出以外力試列出以外力F(t)F(t)為輸入量，以質(zhì)量的位移為輸入量，以質(zhì)量的位移y(t)y(t)為為輸出量的運(yùn)動(dòng)方程式。輸出量的運(yùn)動(dòng)方程式。 解：遵照列寫(xiě)微分方程的一般步驟有：解：遵照列寫(xiě)微分方程的一般步驟有： （1 1）確定）確定輸入量輸入量為為F(t)，輸出量輸出量為為y(t)，作用于質(zhì)，作用于質(zhì)量量m的

7、力還有彈性阻力的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力和粘滯阻力Ff(t)，均作為，均作為中間變量。中間變量。 （2）設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮）設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮，且無(wú)外力作用時(shí)，且無(wú)外力作用時(shí)，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。 KmfF(t)y(t)（3 3）按牛頓第二定律列寫(xiě)原始方程，即）按牛頓第二定律列寫(xiě)原始方程，即 （5 5）將以上輔助方程式代入原始方程）將以上輔助方程式代入原始方程, ,消去中消去中間變量間變量, ,得得)(22tFdtdyfkydtydm )()()(22 dtydmtFtFtFFfk （4 4）寫(xiě)中間變量與輸出量的關(guān)系式）寫(xiě)中間變量與輸出量的關(guān)系式kytFk

8、 )( )(dtdyffvtFfKmfF(t)y(t)sfTTTTdtdJ22TkdtdfdtdJ22f f 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)粘滯摩擦系數(shù)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)粘滯摩擦系數(shù)k k 彈性扭轉(zhuǎn)變形系數(shù)彈性扭轉(zhuǎn)變形系數(shù)課堂習(xí)題課堂習(xí)題 求圖所示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程式，圖中求圖所示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程式，圖中F(t)F(t)為輸入量，位移為輸入量，位移x(t)x(t)為輸出量，為輸出量，m m為質(zhì)量，為質(zhì)量，k k為彈簧的彈性系數(shù)，為彈簧的彈性系數(shù)，f f為粘滯阻尼系數(shù)為粘滯阻尼系數(shù)基本定理：基本定理：1.1.環(huán)路電壓定律環(huán)路電壓定律2.2.典型元件的電壓與電流的關(guān)系典型元件的電壓與電流的關(guān)系0iU和節(jié)點(diǎn)電流定律和節(jié)點(diǎn)電流定律oi

9、II 例例 電阻電感電容串聯(lián)系統(tǒng)。電阻電感電容串聯(lián)系統(tǒng)。R-L-CR-L-C串聯(lián)電路，試串聯(lián)電路，試列出以列出以u(píng) ur r( (t t) )為輸入量，為輸入量，u uc c( (t t) )為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。 R C ur(t) uc(t) L 解：（解：（1 1）確定輸入量為）確定輸入量為ur(t)，輸出量為，輸出量為uc(t)，中間變量為，中間變量為i(t)。 （2 2）網(wǎng)絡(luò)按線性集中參數(shù)考慮且忽略輸出端負(fù)載效應(yīng)。）網(wǎng)絡(luò)按線性集中參數(shù)考慮且忽略輸出端負(fù)載效應(yīng)。 rcuuRidtdiL （4 4）列寫(xiě)中間變量）列寫(xiě)中間變量i i與輸出變量與輸出變量uc u

10、c 的關(guān)系式的關(guān)系式: : dtduCic （5 5）將上式代入原始方程，消去中間變量得）將上式代入原始方程，消去中間變量得 R Cur(t)uc(t) L（3 3）由）由KVLKVL寫(xiě)原始方程：寫(xiě)原始方程：i(t)rcccuudtduRCdtudLC22 下圖是一個(gè)由理想運(yùn)算放大器組成的電容負(fù)反饋電路。電壓下圖是一個(gè)由理想運(yùn)算放大器組成的電容負(fù)反饋電路。電壓ui(t)ui(t)和和uo(t)uo(t)分別表示輸入量和輸出量，試確定這個(gè)電路的微分方程式。分別表示輸入量和輸出量，試確定這個(gè)電路的微分方程式。 dttuudCIRutuoAAi)()(tudttduRCio課堂習(xí)題課堂習(xí)題 求圖所示電氣系統(tǒng)的微分方程式，圖中求圖所示電氣系統(tǒng)的微分方程式，圖中Ui(t)Ui(t)為輸入量，為輸入量，Uo(