1、二次函數問題二次函數問題一、知識方法一、知識方法1、二次函數的三種表示方法：、二次函數的三種表示方法：（1）一般式cbxaxy2（2）頂點式nmxay2)(（3）兩根式)(21xxxxay2、二次函數、二次函數 y=ax2+bx+c(a0)的性質：的性質：2.1（1）對稱軸2bxa ；頂點坐標24(,)24bacbaa；（2）若 a0(0)，且存在 x0(-，+)，使得 f(x0)0（0） ，那么0;2.2 單調性單調性f(x)= ax2+bx+c遞增區間遞減區間a0a02.3 奇偶性奇偶性若 b0，f(x)= ax2+bx+c= ax2+c是偶函數若 b0，f(x)= ax2+bx+c是非奇

2、非偶函數3、一元二次方程與二次函數的關系。、一元二次方程與二次函數的關系。（1）一元二次方程20axbxc（a0）有兩個不相等的實數根1x，2x判別式0 對應的二次函數2yaxbxc（a0）的圖象與x軸有兩個交點為1,0 x，2,0 x對應的二次函數2yaxbxc（a0）有兩個不同的零點1x，2x；（2）一元二次方程20axbxc（a0）有兩個相等的實數根1x=2x判別式0 對應的二次函數2yaxbxc（a0）的圖象與x軸有唯一的交點為（1x，0）對應的二次函數2yaxbxc（a0）有兩個相同零點1x=2x；（3）一元二次方程20axbxc（a0）沒有實數根判別式0 對應的二次函數2yaxbx

3、c（a0）的圖象與x軸沒有交點對應的二次函數2yaxbxc（a0）沒有零點4、二次函數在區間上的最值問題。、二次函數在區間上的最值問題。設 02acbxaxxf，則二次函數在閉區間nm,上的最大、最小值有如下的分布情況：對于開口向下的情況，討論類似其實無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結論：（1）若）若nmab,2，則，則 nfabfmfxf,2,maxmax， nfabfmfxf,2,minmin；（2）若nmab,2，則 nfmfxf,maxmax， nfmfxf,minmin另外另外，（1）當二次函數開口向上時，自變量的取值離開對稱軸對稱軸越遠，則對應的函數值越大；（2）當二次函數開口

4、向下時，自變量的取值離開對稱軸對稱軸軸越遠，則對應的函數值越小5、二次函數恒成立問題類型一：設 f(x)=ax2bxc（a0）(1)f(x)0（0）恒成立a0，且=b2-4ac0（0） ，(2)f(x)0（0）恒成立類型二：設 f(x)=ax2bxc （a0）（1）當 a0 時，f(x)0 在 xm，n上恒成立 0m2mfab或0n2mab或 0n2nfababnm2nabm2即nmab,2nmab2圖象最大、最小值 nfxfmfxfminmax abfxfmfnfxf2,maxminmax mfxfnfxfminmaxf(x)0 在 xm，n上恒成立 00nfmf（2）當a0 時，f(x)0

5、 在 xm，n上恒成立f(x)0 在 xm，n上恒成立類型三：f(x)對一切 xI 恒成立 minfxf(x)對一切 xI 恒成立 axmxaf類型四：f(x)g(x)對一切 xI 恒成立f(x)的圖像在 g(x)的圖像的上方 maxminfxgx（xI）6、二次函數的圖象與二次方程根的分布、二次函數的圖象與二次方程根的分布（一（一） 一元二次方程根的基本分布一元二次方程根的基本分布零分布零分布方程的根相對于零的關系。設一元二次方程 ax2bxc0（a0）的兩個實根為 x1，x2，且 x1x2。（1）兩正根二次函數圖象如下xy02ab1x2x0aO0c0 xy1x2xO0c0a02ab0可得：

6、x10，x20 b2 24 4ac0 0 x1 1x2 2ba0 0 x1 1x2 2ca0 0，b24ac0a0f(0)c0b0或b24ac0a0f(0)c0b0（2）兩負根由二次函數圖象如下xy1x2x0aO0c002abxy1x2x O0c0a002ab可得：x10，x20 b2 24 4ac0 0 x1 1x2 2ba0 0 x1 1x2 2ca0 0，b24ac0a0f(0)c0b0或b24ac0a0f(0)c0b0（3 3）一正一負：）一正一負：x10 x2 x1x2ca0 af(0)0（4）x10，x20 c0 且 x=-ba0；x10，x20 c0 且 x=-ba0。xy1x2

7、x0aO02abxy1x2x0aO02abxy1x2xO02ab0axy1x2x0aO02ab（二（二） 一元二次方程根的非零分布一元二次方程根的非零分布k 分布分布設一元二次方程 ax2bxc0（a0）的兩實根為 x1，x2，且 x1x2。k 為常數。則一元二次方程根的 k 分布（即 x1、x2相對于 k 的位置）有以下若干結論。（1）kx1x2b24ac0af(k)0b2akxy1x2x0aOabx20)(kfkxy1x2xOabx2k0a0)(kf（2）x1x2k b24ac0af(k)0b2ak。xy1x2x0aOabx2k0)(kfxy1x2xOabx2k0a0)(kf（3 3）x1

8、kx2 af(k)0。0)(kfxy1x2x0aOkxy1x2xOk0a0)(kf特殊地特殊地x10 x2 ac0。x11x2 a(abc)0。（4 4）有且僅有一個根 x1（或 x2）滿足 k1x1（或 x2）k2 f(k1)f(k2)0 xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfxy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf（5 5）k1x1k2p1x2p2a0f(k1)0f(k2)0f(p1)0f(p2)0或a0f(k1)0f(k2)0f(p1)0f(p2)0（6 6）k1x1x2k2b24ac0a0f(k1)0f(k2)0k1b2ak2或b24ac0a0f(k1)0f(k2

9、)0k1b2ak2xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2由于二次函數圖象與x軸交點的橫坐標即為二次方程的根，所以我們通常可借助二次函數) 0()(2acbxaxxf的圖象來討論二次方程02cbxax的實根分布情況。二、例題演練二、例題演練題型一、二次函數的最值問題題型一、二次函數的最值問題例 1、求12)(2axxxf在區間2 , 0上的最大值和最小值。例 2、已知函數3) 12()(2xaaxxf在區間2 ,23上的最大值為 1，求實數a的值。題型二、一元二次方程的實根分布問題例 3、 （1）關于x的方程0142)

10、 3( 22mxmx有兩個實根，且一個大于 1，一個小于1，求m的取值范圍；（2）關于x的方程0142) 3( 22mxmx有兩實根都在) 4 , 0 內，求m的取值范圍；（3）關于 x 的方程0142)3(22mxmx有兩實根在3 ,1外，求 m 的取值范圍（4）關于x的方程0142) 3( 22mxmmx有兩實根，且一個大于 4，一個小于 4，求m的取值范圍.題型三、二次函數的綜合問題題型三、二次函數的綜合問題例例 4、已知二次函數cbxaxxf2)(（1）若 abc，且 f（1）=0，證明 f（x）的圖象與 x 軸有 2 個交點；（2）在（1）的條件下，是否存在mR，使得 f（m）=a

11、成立時，f（m+3）為正數，若存在，證明你的結論，若不存在，說明理由；（3）若對)()(,212121xfxfxxRxx且，方程)()(21)(21xfxfxf有 2 個不等實根，),(21xx證明必有一個根屬于例 5、 （1）已知函數2)(2aaxxf，若0)(xf有解，求實數a的取值范圍；（2）已知xxxf4)(2，當 1 , 1x時，若axf)(恒成立，求實數a的取值范圍。解析解析例 1分析解決這類問題的關鍵是判別函數的定義域各區間上的單調性，再利用函數的單調性解決問題。解、221)()(aaxxf，對稱軸為ax .（1）當0a時，由圖（1）可知，1)0()(min fxf，.43)2(

12、)(maxafxf（1）（2）（2）當10 a時，由圖（2）可知，2min1)()(aafxf，afxf43)2()(max（3）當21 a時，由圖（3）可知，2min1)()(aafxf，. 1)0()(max fxf（3）（4）（4）當2a時，由圖（4）可知，afxf43)2()(min，. 1)0()(max fxf評注 （1）利用單調性求最值或值域應先判斷函數在給定區間上的單調性。（2）求解二次函數在某區間上的最值，應判斷它的開口方向、對稱軸與區間的關系，若含有字母應注意分類討論，解題時最好結合圖象解答。例 2、分析：這是一個逆向最值問題，若從求最值入手，首先應搞清二次項系數a是否為零

13、，如果)(, 0 xfa 的最大值與二次函數系數a的正負有關，也與對稱軸aax2210的位置有關，但 f(x)的最大值只可能在端點或頂點處取得，解答時必須用討論法。解、0a時，3)(xxf，)(xf在2 ,23上不能取得 1，故0a.)0(3) 12()(2axaaxxf的對稱軸方程為.2210aax（1）令1)23(f，解得310a，此時2 ,2320230 x，因為0a，)(0 xf最大，所以1)23(f不合適。（2）令1)2(f，解得43a，此時2 ,23310 x，因為2 ,2331, 0430 xa，且距右端點 2 較遠，所以)2(f最大，合適。（3）令1)(0 xf，得)223(2

14、1a，驗證后知只有)223(21a才合適。綜上所述，43a，或).223(21a評注這里函數)(xf的最大值一是與a的符號有關。另外也與對稱軸和區間的端2 ,23的遠近有關，不分情況討論就無法確定例 3：解（1）令142) 3( 2)(2mxmxxf，對應拋物線開口向上，方程有兩個實根，且一個大于 1，一個小于 1 等價于0) 1 ( f（思考：需要0嗎？） ，即.421m（2）令142) 3( 2)(2mxmxxf，原命題等價于. 55271, 5370142) 3( 81601420)142( 4) 3( 442) 3( 200) 4(0) 0 (2mmmmmmmmmmff（3）令142)

15、 3( 2)(2mxmxxf，原命題等價于0)3(0) 1 (ff即0142)3(690142)3(21mmmm得.421m（4）令142) 3( 2)(2mxmmxxg，依題得0) 4(0gm或,0) 4(0gm得. 01319m評注評注求解二次方程根的分布問題，結合二次函數圖象，主要考慮三個方面的問題（求解二次方程根的分布問題，結合二次函數圖象，主要考慮三個方面的問題（1）判別式（判別式（2）對稱軸（）對稱軸（3）區間端點函數值）區間端點函數值例 4：解:（1）2(1)0,00,40,( )fabcabcacbacf x 的圖象與 x 軸有兩個交點.（2）(1)0f，1 是( )0f x

16、的一個根，由韋達定理知另一根為ac，00,0 1,caca b cba ca 且又10) 1)(macamacma則13233acm)(xf在（1，+）單調遞增，0) 1 ()3(fmf，即存在這樣的 m 使0)3(mf（3）令)()(21)()(21xfxfxfxg，則)(xg是二次函數.0)()(412)()()(2)()()()()(22121221121xfxfxfxfxfxfxfxfxgxg1212()(), ()()0,( )0f xf xg xg xg x有兩個不等實根，且方程( )0g x 的根必有一個屬于),(21xx.例 5、解： （1）0)(xf有解，即022 aax有解

17、2) 1(2xa有解122xa有解. 2|12|max2xa所以).2 ,(a（2） 當 1 , 1x時，axf)(恒成立.)(minaxf又當 1 , 1x時，5) 1()(min fxf，所以).5,(a【評注】 “有解”與“恒成立”是很容易搞混的兩個概念。一般地，對于“有解”與“恒成立” ，有下列常用結論： （1）axf)(恒成立axfmin)(； （2）axf)(恒成立axfmax)(;（3）axf)(有解axfmax)(； （4）axf)(有解.)(minaxf小結：函數綜合題往往以二次函數為載體，考查函數的值域、奇偶性、單調性及二次方程實根分布問題、二次不等式的解集問題等，考查形式

18、靈活多樣，考查思想涉及到數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想等，高考在此設計的難度遠遠高于課本要求，在學習中一方面要加強訓練，一方面要提高分析問題、解決問題的能力習題四習題四1設0b，二次函數122abxaxy的圖象為下列之一：則a的值為（）A1B1C251D2512方程05) 2(2mxmx的兩根都大于 2，則m的取值范圍是（）A 4, 5(B) 4,(C) 2,(D 4, 5() 5,(3函數2 (0,)yxbxcx是單調函數的充要條件是（A）( )A0b ( )B0b ( )C0b ()D0b 4、若關于x的方程的方程0122 xax在（在（0，1）內恰有一解，求實數）內恰有一解，求實數a的取值范圍。的取值范圍。5、已知關于、已知關于x的方程的方程22(1)-10axaxa，探究，探究a為何值時（1）方程有一根（2）方程有一正一負兩根（3）兩根都大于 1（4）一根大于 1 一根小于 17、設cbxaxxf23)(2，若) 1 () 0 (, 0ffcba0，求證：（1）方程0)(xf有實根；（2）12ab；（3）設21,xx是方程0)(xf的兩個實根，則.32|3321xx8已知,Ra二次函數.22)(2axaxxf設不等式0)(x