1、則稱則稱f 為為正定二次型正定二次型. .12(,)0nf c cc 如，二次型如，二次型 是正定的；是正定的； 2121(,)nniif x xxx 不是正定的不是正定的 但二次型但二次型 12121(,)nniif x xxx 一組不全為零的實數一組不全為零的實數 都有都有12,nc cc：實二次型實二次型 若對任意若對任意 12(,)nf x xx1）實二次型實二次型 正定正定 X A X ,0nXRX AX 若若X X0 0, ,則則2）設實二次型設實二次型 f 正定正定 0,1,2,idin證證：充分性顯然：充分性顯然. 下證必要性，若下證必要性，若 f 正定，取正定，取 22212

2、1122(,)nnnf x xxd xd xd x 則則20()0,0,1,2,iiif Xd xdin 0( )(0,0,1,0,0) ,1,2,iXin 經過非退化線性替換經過非退化線性替換 XCY 化成化成 則，則， 3）非退化線性替換不改變二次型的正定性非退化線性替換不改變二次型的正定性. . 11220,0000YYYYnnkckcXCkc1212(,)()(,)nnf x xxY C AC Yg yyy12000012(,)()(,)nnf c ccX AXYC AC Yg k kk 任取一組不全為零的數任取一組不全為零的數 令令12,nk kk證明證明：設正定二次型：設正定二次型

3、 12(,)nf x xxX AX 所以，非退化線性所以，非退化線性替換不改變二次型的正定性替換不改變二次型的正定性. .又由于又由于C可逆，可逆， 0Y 0 0，所以，所以 0,X 0 0同理，若同理，若 正定，則正定，則 正定正定. . fg1212(,)(,)0nng k kkf c cc12(,)ng yyy正正定定. .反之，實二次型反之，實二次型 可經過非退化可經過非退化12(,)ng yyy不全為不全為0.即即12,nc cc線性線性替換替換變到實二次型變到實二次型 12(,),nf x xxYX-1-1=C=C秩秩 n （ 的正慣性指數的正慣性指數）. .fpf4） n元實二次

4、型元實二次型 正定正定12(,)nf x xxXCY 證證：設：設 經非退化線性替換經非退化線性替換 12(,)nf x xx222121122(,)nnnf x xxd yd yd y變成標準形變成標準形 由由2 2), ), 正定正定 f0,1,2,idin即，即， 的正慣性指數的正慣性指數pn秩秩 . .ff規范形為規范形為 22212.nzzz2221122,0,1,2,nnd yd yd yiin5）正定二次型正定二次型 的標準形為的標準形為 12(,)nf x xx 設設A A為實對稱矩陣，若二次型為實對稱矩陣，若二次型X AX正定二次型的規范形為正定二次型的規范形為 22212n

5、zzzZ EZ 是正定的，則稱是正定的，則稱A A為為正定矩陣正定矩陣. .2) 實對稱矩陣實對稱矩陣A正定正定 1）實對稱矩陣實對稱矩陣A A正定正定 A A與單位矩陣與單位矩陣E E合同合同. .A與與E合同合同,即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣C，使使AC ECC C可見，正定矩可見，正定矩陣是可逆矩陣陣是可逆矩陣.存存在在可可逆逆矩矩陣陣C C，使使A C C 3）實對稱矩陣實對稱矩陣A A正定正定 A與任一正對角矩陣合同與任一正對角矩陣合同. . 即，即，D與與E合同合同. .為任一正對角矩陣，則為任一正對角矩陣，則若若12,0,1,2,inddDdind1122111nnddddDdd

6、 例例1 1、設設 A 為為 n 階正定矩陣，證明階正定矩陣，證明 （5 5）若）若B亦是正定矩陣，則亦是正定矩陣，則AB也是正定矩陣；也是正定矩陣；（2 2）是正定矩陣；）是正定矩陣；(0)kA k （1 1） 是正定矩陣；是正定矩陣；1A （3 3）是正定矩陣；）是正定矩陣；*A（4 4） 是正定矩陣（是正定矩陣（m為任意整數）；為任意整數）；mA證：證： （1）由于）由于A正定，則存在可逆矩陣正定，則存在可逆矩陣P，使，使于是有，于是有，故，故， 正定正定.1A （2）由于）由于A正定，對正定，對 都有都有,0,nXRX 0,X AX 因此有因此有()0.X kA XkX AX11111

7、11()()() )()P APPAPPAPE ,P APE 令令1() ,QP 故，正定故，正定. .kA即，即， 與單位矩陣與單位矩陣E合同合同.1A 則則Q可逆，可逆，且且1,Q AQ E ，由（，由（1 1）（）（2 2）即得）即得 正定正定. .*1AA A 又又*A（3）A正定，則存在可逆矩陣正定，則存在可逆矩陣C，使使AC C ，于是，于是20AC CC 當當 m2 2k時，時，2(),mkkkkkAAA AAEA 即，與單位矩陣即，與單位矩陣E合同，所以合同，所以 正定正定.mAmA（4）由于）由于A正定，知正定，知 為為 n 階可逆對稱矩陣階可逆對稱矩陣，mA（5）由于）由于

8、A、B正定，對正定，對 都有都有,0,nXRX 0,0X AXX BX因此有因此有()0.XAB XX AXX BX故，故，AB 正定正定.當當 m2 2k1時，時，21(),mkkkkkAAA AAAAA 即，與正定矩陣即，與正定矩陣A合同，而合同，而A與單位矩陣與單位矩陣E合同，合同，mA所以所以 與與E合同，即合同，即 正定正定.mAmA1）實對稱矩陣實對稱矩陣 正定正定 ()ijn nAa0,1,2, .iiain 取取(0,0, 1 ,0,0)iiX 第第 個個正定正定. . 證：證：若若A正定正定 ，則二次型，則二次型12(,)X AXnf x xx ()0,1,2,iiiiif

9、XX AXain 則則反之不然反之不然. . 即，即， 為對稱矩陣，且為對稱矩陣，且()ijn nAa 但但A未必正定未必正定.如如0,1,2, ,iiain 11,1 1A 所以所以A不是正定的不是正定的.21212(,)() ,f x xX AXxx 當時，有當時，有12121(,)0.xxf x x2) ) 實對稱矩陣實對稱矩陣A正定正定 det0AA但但 不是不是正定二次型正定二次型.2212X AXxx 1 0,1001AA 如如20.AC CC 證：證：若若A A正定，則存在可逆矩陣正定，則存在可逆矩陣C C ，使，使,AC C 從而從而反之不然反之不然. . 即實對稱矩陣即實對稱

10、矩陣A A，且，且 A未必正定未必正定.0,A 11111)(1,2, )kk kkkkaaAkRaa 稱為稱為A為第為第k k階階順序主子矩陣順序主子矩陣;()n nijAaR 設矩陣設矩陣11112)det(1,2, )kkkkkaaPAkaa稱為稱為A的第的第k k階階順序主子式順序主子式. .3） k 級行列式級行列式1 11 212 12 2212kkkkk ki ii ii ii ii ii iki ii ii iaaaaaaQaaa 稱為稱為A的一個的一個k 階階主子式主子式. .即行指標與即行指標與列指標相同列指標相同的的k階子式階子式A的順序主子式的順序主子式 Pk 全大于零

11、全大于零. .1211(,)nnnijijijf xxxa x xX AX 正定正定實二次型實二次型 1211(,)kkkkijijijfx xxa x x 1212(,) (1,2, )kkxxx xxAkx 證證: :必要性必要性. .設設 正定，對每一個正定，對每一個k12(,)nf x xx(1),kkn令令 是正定的，從而是正定的，從而 正定正定.12(,)knfxxx(1,2, )Ak對任意一不全為零的數對任意一不全為零的數 有有12,kc cc1212(,)(,0,0)0kkkfc ccf c ccdet(1,2, )0,1,2, .kPAknk k充分性充分性： 對對n作數學歸

12、納法作數學歸納法. n1時，時， 正定正定. 結論成立結論成立.211111110.()iaaf xa x假設對于假設對于n1元二次型結論成立，下證元二次型結論成立，下證n元的情形元的情形. 又又A的順序主子式全大于零，所以的順序主子式全大于零，所以A1的順序主子式的順序主子式由歸納假設，由歸納假設，A1正定，即存在可逆矩陣正定，即存在可逆矩陣G，使使令令 1111,1211,11,11,nnnnnnnnaaaaAaaa ,=,=則則 1nnAAa 11.nG AGE 也全大于零也全大于零.().ijn nAa 設設則則11121120()101nnnnnEGEEGCC AC CGaG 100

13、nnnEaGG 令令 10,0 1GC 再令再令12,01nEGC 則則 1111000 10 11nnnEGAGGC ACGa 由判定充要條件由判定充要條件3). 知知A正定，所以正定，所以 正定正定.X AX 再令再令 12,nnCC CaaGG則有則有100nEC ACa 兩邊取行列式，得兩邊取行列式，得 2CAa 又又 0 ， 0aA即即 為正對角矩陣為正對角矩陣.1nEa 例例2 2、判定下面二次型是否正定判定下面二次型是否正定. . 其順序主子式其順序主子式 正定正定. . f1550,10,0.PA2323 2 2 P P P P2 12 12221231231213231) (

14、,)55484f x xxxxxx xx xx x解：解： 的矩陣的矩陣524212425A 123(,)f x xx解：解： 的矩陣的矩陣 12(,)nf xxx111221112211122A A A的第的第k k階順序主子式階順序主子式Pk （習題（習題7）212112)(,)nniijiij nf x xxxx x 1,2, .kn 正定正定. . f111111221111111222221111112222kkkkP 11111111 11000( )0,222220000kkkkkk 例例3 3、證明：若實對稱矩陣證明：若實對稱矩陣A正定正定 ，則，則A的任意一個的任意一個k 階

15、主子式階主子式證：作二次型證：作二次型（習題（習題9）1 11 212 12 22120.kkkkk ki ii ii ii ii ii iki ii ii iaaaaaaQaaa 1212(,)kkiiiiikixxxxxQx 1211(,)ks tstkkiiii iiistg xxxax x 其中，其中，,1,2,0,1,2,sisjscjiskcjisk 當當當當對任意一不全為零的數對任意一不全為零的數 , , 有有12,kiiiccc000,X AX 從而，從而，由于由于 A 正定，有正定，有 正定，即有正定，即有12(,)nf x xxX AX 0.kQ 行列式大于零，即行列式大于

16、零，即1212(,)(0,0,0,0,0,0)kkiiiiiig cccfccc 000X AX 012(,)0,nXc cc 即，即， 是正定二次型，因此其矩陣的是正定二次型，因此其矩陣的12(,)kiiig xxx設設n元二次型元二次型 12(,),n nnf x xxX AX AAR 若對任意一組不全為零的實數若對任意一組不全為零的實數12,nc cc都有都有 ，則，則 稱為稱為半正定二次型半正定二次型.12(,)0nf c cc f ，則，則 稱為稱為半負定二次型半負定二次型. . f12(,)0nf c cc 則則 稱為稱為負定二次型負定二次型. . 12(,)0,nf c cc f

17、 既不是半正定，也不是半負定，則既不是半正定，也不是半負定，則 稱為稱為ff不定二次型不定二次型.正定矩陣正定矩陣負定矩陣負定矩陣半正定矩陣半正定矩陣半負定矩陣半負定矩陣 不定矩陣不定矩陣相應于二次型的分類，相應于二次型的分類，n 級實對稱矩陣可分類為：級實對稱矩陣可分類為：實二次型實二次型 正定正定12(,)nf x xx12(,)nf xxx 負定；負定； 實對稱矩陣實對稱矩陣A正定正定 A負定負定.半負定；半負定；12(,)nf xxx 實二次型實二次型 半正定半正定12(,)nf xxx實對稱矩陣實對稱矩陣A半正定半正定 A半負定半負定. . 12(,),n nnf xxxX AXAA

18、R 半正定半正定 ；12(,)nf x xx( 或或 A半正定；半正定； ) 秩秩 = 秩秩(A) = （正慣性指數正慣性指數）；）；fp A合同于非負對角陣，即存在可逆陣合同于非負對角陣，即存在可逆陣C，使使則下列有條件等價：則下列有條件等價： 存在存在 ，使，使n nCR ;AC C A的所有的所有主子式主子式皆大于或等于零皆大于或等于零. .（補充題（補充題9） 由此可得，由此可得，A半正定半正定0A（習題（習題14）1,0,1,2,indC ACdind 設設n元實二次型元實二次型 1、正定（負定、半正定、半負定、不定）二、正定（負定、半正定、半負定、不定）二 次型；次型；2、順序主子式、主子式、順序主子式、主子式正定（負定、半正定、半負定、不定）矩陣；正定（負定、半正定、半負定、不定）矩陣；1、非退化線性替換保持實二次型的正定（負定、非退化線性替換保持實二次型的正定（負定、半正定、半負定、不定）性不變半正定、半負定、不定）性不變.負定（半負定）負定（半負定）. .12(,)nf xxx 2、實二次型實二次型 正定（半正定）正定（半正定）12(,)nf xxx3、實二次型、實二次型 f (x1,x2,xn)X AX 正定正定A 與與 E