1、1 23v 4 定義定義 b（大于（大于1的整數）個相同加數的整數）個相同加數a的和的和c叫做叫做a與與b的積，就是：的積，就是： 求兩個數的積的運算叫做求兩個數的積的運算叫做乘法乘法。記作：。記作： 或或 讀作讀作“a乘以乘以b等于等于c”或或“b乘乘a等于等于c”。數數a叫做叫做被乘數被乘數，數，數b叫做叫做乘數乘數，被乘數和乘數也，被乘數和乘數也叫做積的叫做積的因數因數，有時也簡稱因數。符號，有時也簡稱因數。符號“”或或“ ”叫做叫做乘號乘號。也可簡記為。也可簡記為 。1 1、乘法的定義、乘法的定義 個baaaccbacbaab5最小乘數為最小乘數為2。00a當乘數是當乘數是0時，時，a

2、a1當乘數是當乘數是1時，時，6 1 1、在乘法定義中，對、在乘法定義中，對“b b個相同加數個相同加數”中的中的b b為什么要限定是（大于為什么要限定是（大于1 1的整數）？在的整數）？在5 50=00=0和和0 05=05=0中，哪個計算是根據乘法的中，哪個計算是根據乘法的補充定義？補充定義？ 2 2、把十進制計數單位寫成、把十進制計數單位寫成1010的冪的形式，的冪的形式，并用并用1010的冪的形式分別把的冪的形式分別把1573615736和和304075304075表示表示出來。出來。 7 封閉性：封閉性：整數集對于乘法運算是封閉的；整數集對于乘法運算是封閉的；唯一性：唯一性：積是唯一

3、的。積是唯一的。8（2）幾個數的積）幾個數的積 先求出第一個數與第二個數的先求出第一個數與第二個數的積，再求所得的積與第三個數的積。積，再求所得的積與第三個數的積。 在加減乘混合運算中，規定先在加減乘混合運算中，規定先算乘，再算加減。算乘，再算加減。9例例1 1： cababc)(dcababcd)(dcbadcba)(102 2、乘法的運算性質、乘法的運算性質 （1 1）乘法交換律）乘法交換律 兩個數相乘，交換因數的兩個數相乘，交換因數的位置，它們的積不變，就是：位置，它們的積不變，就是： baab 11（2 2）乘法結合律）乘法結合律 三個數相乘，先把前兩個數三個數相乘，先把前兩個數相乘，

4、再乘上第三個數，或者先相乘，再乘上第三個數，或者先把后兩個數相乘，再乘上第一個把后兩個數相乘，再乘上第一個數，它們的積不變。就是：數，它們的積不變。就是： )()(bcacab12（3 3）乘法對于加法的分配律）乘法對于加法的分配律（簡稱乘法分配律）（簡稱乘法分配律） 兩個數的和與一個數相乘的積，兩個數的和與一個數相乘的積，等于每一個加數分別與這個數相乘，等于每一個加數分別與這個數相乘，再把所得的積加起來。就是：再把所得的積加起來。就是：bcaccba )(cbcabac)( 或或 13 推廣到若干個數的和與一個數相乘的積推廣到若干個數的和與一個數相乘的積bababaann11nnbabaaa

5、b11或或 14（4）乘法交換律和結合律）乘法交換律和結合律 推廣到若干數相乘：推廣到若干數相乘： 若干個數相乘，任意交換因數若干個數相乘，任意交換因數的位置，或者先把其中的任意幾個的位置，或者先把其中的任意幾個因數作為一組先乘起來，再與其他因數作為一組先乘起來，再與其他因數相乘，它們的積不變。因數相乘，它們的積不變。15 （5 5）若干個數的和與若干個數的和相）若干個數的和與若干個數的和相乘，可以把第一個和中的各個加數與第乘，可以把第一個和中的各個加數與第二個和中的每一個加數相乘，再把所得二個和中的每一個加數相乘，再把所得的和加起來。就是：的和加起來。就是： mnmmnnmnbabababa

6、babababbbaaa21221111212116 bcaccba )( cbcabac)(17 計算計算32321212時，有以下三種算法，時，有以下三種算法，請在括號內注明理論根據。請在括號內注明理論根據。 324+328；（；（ ） （326）2；（；（ ） 3210+322；( ） 你認為哪一種算法最簡便？你認為哪一種算法最簡便？乘法分配律乘法分配律乘法分配律乘法分配律乘法結合律乘法結合律18 3、乘法的運算法則、乘法的運算法則（1）表內乘法）表內乘法 兩個一位數相乘，可以根據乘法的定兩個一位數相乘，可以根據乘法的定義用同數連加的方法求出它們的積。通常義用同數連加的方法求出它們的積。

7、通常是把兩個一位數相乘和它們的結果編成乘是把兩個一位數相乘和它們的結果編成乘法口訣，或一個乘法表，計算時直接使用法口訣，或一個乘法表，計算時直接使用這些結果求出積。這些結果求出積。 乘法口訣表又叫九九表分為乘法口訣表又叫九九表分為 “大九九大九九表表”與與“小九九表小九九表”。 19（2）多位數乘法）多位數乘法 多位數乘以一位數多位數乘以一位數 多位數乘以一位數可以把多位數寫成多位數乘以一位數可以把多位數寫成不同計數單位的數之和的形式，然后根據不同計數單位的數之和的形式，然后根據乘法分配律的推廣，歸結為表內乘法來計乘法分配律的推廣，歸結為表內乘法來計算。算。20例如：例如： 3642 （3百百

8、+6十十+4）2 6百百+12十十+8 6百百+（1百百+2十）十）+8 （6百百+1百）百）+2十十+8 728用豎式表示為用豎式表示為:3 6 4 2 7 2 821多位數乘一位數的計算法則多位數乘一位數的計算法則: 先用乘數去乘被乘數每一位上先用乘數去乘被乘數每一位上的數，哪一位上乘得的數滿幾十，的數，哪一位上乘得的數滿幾十，就向它的前一位進幾，最后把每次就向它的前一位進幾，最后把每次乘得的結果相加。乘得的結果相加。22多位數乘以一個數字后面帶有多位數乘以一個數字后面帶有若干個零的數若干個零的數 這可以先把乘數改寫成一位數與這可以先把乘數改寫成一位數與10，100，的積，然后根據乘法結的

9、積，然后根據乘法結合律，以及多位數乘以一位數的法則合律，以及多位數乘以一位數的法則計算，最后根據乘法交換律乘以計算，最后根據乘法交換律乘以10，100，。23例如：例如：234300 = 234（3100） = 2343100（乘法結合律）（乘法結合律） = 702100 （乘法法則（乘法法則2） = 1百百702 （乘法交換律）（乘法交換律） = 702百百 = 7020000207003432用豎式表示為：用豎式表示為：24多位數乘以一個數字后面帶有若干個多位數乘以一個數字后面帶有若干個零的數的乘法的計算法則零的數的乘法的計算法則： 先用乘數中先用乘數中0前面的一位數去乘前面的一位數去乘被

10、乘數，再在所得的積后面添上乘數被乘數，再在所得的積后面添上乘數末尾所有的末尾所有的0。25多位數乘以多位數多位數乘以多位數 兩個多位數相乘，可以先把乘數兩個多位數相乘，可以先把乘數改寫成不同計數單位的數之和的形式，改寫成不同計數單位的數之和的形式，然后根據乘法分配律的推廣與上述乘然后根據乘法分配律的推廣與上述乘法法則（法法則（2）的）的、來計算。來計算。 26例如：例如： 532461 = 532(400+60+1) = 532400+53260+5321 (乘法分配律的推廣乘法分配律的推廣) = 212800+31920+532 (乘法法則乘法法則(2)的的) = 24525227多位數乘以

11、多位數的計算法則多位數乘以多位數的計算法則: 先用乘數各先用乘數各個數位上的數個數位上的數去乘被乘數的去乘被乘數的每一位每一位,再把所再把所得的結果相加得的結果相加.通常寫成豎式進行計算通常寫成豎式進行計算: 5 3 2 4 6 1 5 3 2 3 1 9 2 2 1 2 8 2 4 5 2 5 228 計算計算21323先從乘數的先從乘數的最高位乘起行不行？最高位乘起行不行？291 1、除法的定義、除法的定義 （1）定義）定義 已知兩個數已知兩個數a、b，求一，求一個整數個整數q，使，使q與與b的積等于的積等于a，這種運，這種運算叫做除法。記作：算叫做除法。記作： qba讀作讀作“a除以除以

12、b（或（或b除除a）等于）等于q”。a叫叫做被除數，做被除數，b叫做除數，叫做除數，q叫做叫做a與與b的的商，符號商，符號“”叫做除號。叫做除號。30由定義可以知道：由定義可以知道：如果如果 ，那么，那么 。 除法是乘法的逆運算，就是除法是乘法的逆運算，就是已知積與一個因數求另一個因數。已知積與一個因數求另一個因數。abq qba31特殊情況：特殊情況：ab aa11aa時，時， ， 1baa1aa1時，時， ， 0, 0ba00b00b時，時， ， 32這是因為，如果這是因為，如果 ，那么，那么當當 時，由于任何數乘以時，由于任何數乘以0都不可能等于都不可能等于自然數，所以自然數，所以 的商

13、是不存在的；的商是不存在的； 思考思考當當 時，因為任何數乘以時，因為任何數乘以0都等于都等于0， 所以所以 的商是不確定的。的商是不確定的。0aba0a0aqba除數能等于除數能等于0 0嗎？為什么？嗎？為什么？為保證商唯一，規定除法中除數不能為零。為保證商唯一，規定除法中除數不能為零。 因此非負整數集對除法是不封閉的。因此非負整數集對除法是不封閉的。331 1、甲說：、甲說：“因為因為0 00=00=0，所以，所以0 00=00=0。” 乙說：乙說：“因為因為0 01=01=0，所以，所以0 00=10=1。” 他們說的對嗎？為什么？他們說的對嗎？為什么？2 2、寫出表示、寫出表示 282

14、825=70025=700的逆運算的等式。的逆運算的等式。 ； （4）3 3、判斷下列各式是不是正確：、判斷下列各式是不是正確： )0(; 00aa99111 (199 個）nbbbbbn 個）() 0(; 1aaa34（2）除法定義的推論）除法定義的推論推論推論1 某數除以一個自然數，再乘以某數除以一個自然數，再乘以同一個自然數，仍得原數。就是：同一個自然數，仍得原數。就是：abba )(推論推論2 某數乘以一個自然數，再除以某數乘以一個自然數，再除以 同一個自然數，仍得原數。就是：同一個自然數，仍得原數。就是：abba )(35 在連除、乘除混合運算中，規在連除、乘除混合運算中，規定定從左

15、到右依次運算從左到右依次運算。 做四則混合運算，規定做四則混合運算，規定先進行先進行第二級運算，后進行第一級運算。第二級運算，后進行第一級運算。362、有余數的除法、有余數的除法定義定義 整數整數a除以自然數除以自然數b，如果能夠得，如果能夠得到整數商到整數商q（或者說，如果存在整數（或者說，如果存在整數q，能使能使 ），這里就叫做），這里就叫做b能整除能整除a（或者（或者a能被能被b整除），記作整除），記作（1）有余數除法的定義）有余數除法的定義abq ab |ba 或者或者 742 例如：例如：7能整除能整除42，記作，記作7|42或或37 定義定義 已知兩個數已知兩個數a、b（b是自然是

16、自然數），要求兩個整數數），要求兩個整數q、r，使，使q、r滿滿足以下條件：足以下條件：rbqa并且并且 br 這樣的運算叫做這樣的運算叫做。一般記作：。一般記作： )(rqba余rqba或或 讀作讀作“a除以除以b等于等于q余余r”，a還叫做還叫做被除被除數數，b還叫做還叫做除數除數，q叫做叫做不完全商不完全商（有（有時為了簡便也簡稱商），時為了簡便也簡稱商），r叫做叫做余數余數。38 在在 中，如果中，如果 ，那么，那么 ，也就是也就是 ，這樣整除可以看作是，這樣整除可以看作是有余數除有余數除法的特殊情況。法的特殊情況。 rbqa0rbqa ab | 在有余數的除法里，不完全商和余數都在有

17、余數的除法里，不完全商和余數都是唯一的。是唯一的。 有余數除法有余數除法ba 的不完全商的不完全商q q和余數和余數 r總是存在總是存在的。的。39 3、除法和減法的關系、除法和減法的關系 乘法是同數連加來定義的，那乘法是同數連加來定義的，那 么，除法也可以用同數連減來說明。么，除法也可以用同數連減來說明。設設rbqa，也就是也就是)0(brrbqa 于是，于是， rbqarbbbabqaq個）(rbbbaq個） (404 4、除法的運算性質、除法的運算性質 （1）一個數除以兩個自然數的積，）一個數除以兩個自然數的積，等于這個數依次除以積的兩個因數。等于這個數依次除以積的兩個因數。就是：就是：

18、)()(abccbacba41 （2）一個數除以兩個自然數的商，）一個數除以兩個自然數的商，等于這個數先乘以商中的除數，再除以等于這個數先乘以商中的除數，再除以商中的被除數或者這個數先除以商中的商中的被除數或者這個數先除以商中的被除數，再乘以商中的除數。就是被除數，再乘以商中的除數。就是:bcacba)()(或者或者 )()()(abcbacba42 （3）兩個數的積除以一個自然數，）兩個數的積除以一個自然數，等于用除數先去除積的任意一個因數，等于用除數先去除積的任意一個因數，再與另一個因數相乘。就是：再與另一個因數相乘。就是：)|()()(acbcacba或或 )|()()(bccbacba

19、43 （4）兩個數的商除以一個自然數，）兩個數的商除以一個自然數，等于商中的被除數先除以這個數，再等于商中的被除數先除以這個數，再除以原來商中的除數。就是：除以原來商中的除數。就是：)|()()(abcbcacba44 （5）若干個數的和除以一個自然）若干個數的和除以一個自然數，等于用除數去除和里的各個加數數，等于用除數去除和里的各個加數（在能整除的條件下），然后把所得（在能整除的條件下），然后把所得的商加起來。就是：的商加起來。就是：如果如果nababab|,|,|21，那么，那么 babababaaaann2132145 3 3、除法的運算法則、除法的運算法則 （1）表內除法：被除數、除數

20、都是）表內除法：被除數、除數都是一位數，或者被除數是兩位數，除數是一位數，或者被除數是兩位數，除數是一位數的除法，可以利用乘法口訣表來一位數的除法，可以利用乘法口訣表來直接求出商。直接求出商。 例如：例如：62，根據，根據23=6，得出，得出623； 328，根據，根據48=32，得出，得出328=4。 46 （2）多位數除法：）多位數除法： 除數為一位數的除法除數為一位數的除法 多位多位數除以一位數，可以把多位數寫成數除以一位數，可以把多位數寫成不同計數單位的數之和的形式，再不同計數單位的數之和的形式，再根據除法運算性質（根據除法運算性質（5），把它變），把它變成表內除法求出商。成表內除法求

21、出商。 47 7324 （7百百+3十十+2）4 （4百百+33十十+2）4 （4百百+32十十+12）4 4百百4 +32十十4 +124 1百百+8十十+3 183 例如：例如：48用用豎豎式式表表示示為為: :1830121232334732449多位數除以多位數多位數除以多位數 多位數除以多位數也是根據除法多位數除以多位數也是根據除法的運算性質（的運算性質（5）來進行計算的。）來進行計算的。 50例如：例如： 652832 （65百百+2十十+8）32 （64百百+128）32 64百百32 +12832 2百百+4 204 51 用用豎豎式式表表示示為為:20401281286465

22、283252 從被除數的高位起，除數有幾位，從被除數的高位起，除數有幾位，就先看被除數的前幾位；如果前幾位就先看被除數的前幾位；如果前幾位數比除數大，就先看被除數的前幾位，數比除數大，就先看被除數的前幾位，如果前幾位數比除數小，就再往后邊如果前幾位數比除數小，就再往后邊多看一位；除到被除數的哪一位，就多看一位；除到被除數的哪一位，就把商寫到哪一位的上面；那一位不夠把商寫到哪一位的上面；那一位不夠商商1，就在哪一位上商，就在哪一位上商0；每次除得的；每次除得的余數必須比除數小。余數必須比除數小。多位數除法的計算法則：多位數除法的計算法則：53說明做下列除法時應該怎樣試商：說明做下列除法時應該怎樣

23、試商：（1）64824 ；（2）109226 54三、乘除法中各部分之間的關系三、乘除法中各部分之間的關系 1、在乘法中，一個因數等于積除以另一個、在乘法中，一個因數等于積除以另一個、因數。因數。 2、在除法中，被除數等于除數乘以商；除、在除法中，被除數等于除數乘以商；除數等于被除數除以商。數等于被除數除以商。 3、在有余數的除法中，被除數等于除數乘、在有余數的除法中，被除數等于除數乘以不完全商加余數；除數等于被除數減去余以不完全商加余數；除數等于被除數減去余數再除以不完全商。數再除以不完全商。55 按下面的圖示，說一說加、減、乘、除按下面的圖示，說一說加、減、乘、除四種運算間的關系。四種運算

24、間的關系。 加法加法 乘法乘法 減法減法 除法除法 56四、已知數的變化所引起的積四、已知數的變化所引起的積與商的變化與商的變化 （1）如果一個因數擴大（或縮小）一）如果一個因數擴大（或縮小）一個數，另一個因數不變，那么它們的積也個數，另一個因數不變，那么它們的積也擴大（或縮小）相同的倍數。就是：擴大（或縮小）相同的倍數。就是：1、積的變化、積的變化 如果如果 ，那么，那么 cbancbna )(或者或者 )|()(anncbna57例如：例如： 425100， 47542531003300361003600，362536（1004） 36004900又如：又如：58 （2）如果一個因數擴大若

25、干倍，另）如果一個因數擴大若干倍，另一個因數縮小同數倍，那么它們的積一個因數縮小同數倍，那么它們的積不變。就是：不變。就是： 如果如果 ，那么，那么 cba)()()(bncnbna592 2、商的變化、商的變化 （1）如果被除數擴大（或縮小）如果被除數擴大（或縮小）若干倍，除數不變，那么它們的商若干倍，除數不變，那么它們的商也擴大（或縮小）同數倍。就是：也擴大（或縮小）同數倍。就是：如果如果 ，那么，那么qbanqbna )(或者或者 abnnqbna|)(60 （2）如果除數擴大（或縮小）若干）如果除數擴大（或縮小）若干倍，被除數不變，那么商反而縮小（或倍，被除數不變，那么商反而縮小（或擴

26、大）同數倍。就是：擴大）同數倍。就是： 如果如果 ，那么，那么 qbabnnqnba|)()|()(anbnqnba或者或者 61 （3 3）如果被除數和除數都擴大（或）如果被除數和除數都擴大（或縮小）同數倍，那么它們的商不變。縮小）同數倍，那么它們的商不變。就是：就是： 如果如果 ，那么，那么qbaqnbna)()(bnanqnbna|,|)()(或者或者 62 （4）在有余數的除法中，如果被除數）在有余數的除法中，如果被除數和除數都擴大（或縮小）同數倍，雖然和除數都擴大（或縮小）同數倍，雖然不完全商不變，但余數卻隨著擴大（或不完全商不變，但余數卻隨著擴大（或縮小）同數倍。就是：縮小）同數倍。就是： 如果如果)(rqba余，那么，那么 )()()(nrqnbna余或者或者 )|,|()()(bnannrqnbna余63 填空：填空： 如果如果1343（余（余1），那么），那么 13040的商是的商是 ，余數是，余數是 ； 如果如果 ，那么，那么 的商是的商是 ，余數是，余數是 。)(dcba余bmam642、選擇題：、選擇題：如果一個因數擴大如果一個因數擴大10倍，另一個因數也擴大倍，另一個因數也擴大10倍，它們的積倍，它們的積是（是（ ） A、擴大、擴大20倍；倍； B、擴大、擴大10倍；倍； C、擴大、擴大100倍；倍；D、不變、不變被