1、第十一章積分學(xué) 定積分二重積分三重積分積分域 區(qū) 間 平面域 空間域 曲線積分曲線積分曲線弧曲線弧曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法對弧長的曲線積分 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 tttttfsyxfLd)()()(, )(d),(22二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路基本思路:計算定積分轉(zhuǎn)

2、化定理定理:),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲線積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyOxdydsd說明說明:, 0, 0) 1 (kkts因此積分限必須滿足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述計算公式相當于“換元法”. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果曲線 L 的方程為( ) (),yy xaxb則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標形式:),()(: rrL那么syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()

3、(, )(),(:ttztytx那么szyxfd),(ttttd)()()(22221( )dyxxd)()(22rr( , ( )baf x y x)(),(, )(tttf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 計算計算,dLsy其中 L 是拋物線2xy 與點 B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1 , 1 (B目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 計算半徑為計算半徑為 R ,中心角為中心角為2的圓弧 L 對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量

4、 I (設(shè)線密度 = 1). 解解: 建立坐標系如圖建立坐標系如圖,R xyOLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R那么 )(sincos:RyRxL目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 計算計算,dsxIL其中L為雙紐線)0()()(222222ayxayx解解: 在極坐標系下在極坐標系下它在第一象限部分為)40(2cos:1arL利用對稱性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLOyx44目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 計算計算,d2sx其中

5、 為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱性可知由對稱性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 d d s例例6. 計算計算,d)(222szyxI其中 為球面解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交線與平面 zx29222zyx化為參數(shù)方程 21cos2x sin2y那么目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義kkknkksf),(lim10szyxfd),

6、(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(),()2(szyxfszyxfszyxfd),(21組成由ls d)3( l 曲線弧 的長度)szyxfd),(),(為常數(shù)szyxgd),(目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 計算計算 對光滑曲線弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 對光滑曲線弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 補充補充1. 已知橢圓134:22yxL周長為a , 求syxxyLd)43