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1、例說(shuō)二項(xiàng)式定理的常見(jiàn)題型及 解法作者:日期:例說(shuō)二項(xiàng)式定理的常見(jiàn)題型及解法二項(xiàng)式定理的問(wèn)題相對(duì)較獨(dú)立,題型繁多,解法靈活且比較難掌握。二項(xiàng)式定理既是排列組合的直接應(yīng) 用,又與概率理論中的三大概率分布之一的二項(xiàng)分布有著密切聯(lián)系。二項(xiàng)式定理在每年的高考中基本上都有考到,題型多為選擇題,填空題,偶爾也會(huì)有大題出現(xiàn)。本文將針對(duì)高考試題中常見(jiàn)的二項(xiàng)式定理題 目類(lèi)型一一分析如下,希望能夠起到拋磚引玉的作用。一、求二項(xiàng)展開(kāi)式1. ”(a b)n”型的展開(kāi)式例1.求(3 JX -)4的展開(kāi)式;、x4解:原式=(3X 1)4=(3X 21)、x x104132234=XTC4(3x)C4(3x) C4(3x)

2、C4(3x) C414Q。= =(81x4 84x354x212x 1)x9121= 81x84x 254x x小結(jié):這類(lèi)題目一般為容易題目,高考一般不會(huì)考到,但是題目解決過(guò)程中的這種“先化簡(jiǎn)在展 開(kāi)”的思想在高考題目中會(huì)有體現(xiàn)的。2 .“(a b)n”型的展開(kāi)式二)4的形式然后按照二項(xiàng)展開(kāi)式的格式 . x例2.求(3& j)4的展開(kāi)式;一尸)4改寫(xiě)成3Jx ( x“問(wèn)題轉(zhuǎn)化”能力。分析:解決此題,只需要把(34<展開(kāi)即可。本題主要考察了學(xué)生的3 .二項(xiàng)式展開(kāi)式的“逆用”例 3 .計(jì)算 1 3C: 9C2 27cn . ( 1)n3nc:;解:原式=C0 C:( 3)1 C2(

3、3)2 C:( 3)3 . C3( 3)n(1 3)n ( 2)n小結(jié):公式的變形應(yīng)用,正逆應(yīng)用,有利于深刻理解數(shù)學(xué)公式,把握公式本質(zhì)。二、通項(xiàng)公式的應(yīng)用1 .確定二項(xiàng)式中的有關(guān)元素例4.已知(a 脛)9的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為9 ,常數(shù)a的值為x 243解:Tri C;(a)9(伯rC;( 1)r 25 a9 r xr 9x 2“ 3一令r 9 3 ,即 r 82依題意,得C;( 1)8 2 4 a9 89,解得 a 142.確定二項(xiàng)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)例5. (42)10展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是5, x 63x1解:Tri ClO( X)10r(31 )r ( 1)匕,0. x即r 6。所以常數(shù)項(xiàng)是(1

4、)七;02103.求單一二項(xiàng)式指定幕的系數(shù)例6. ( 03全國(guó))(x解:Tr 1r / 2. 9 r .C9(x ) (22)9展開(kāi)式中x 2x1、r r 18 2r ,2x)=C9x (9的系數(shù)是令 18 3x 9,則 r3,從而可以得到1 x r 1 r _ r ,2 ) (;) =C9( x xx9的系數(shù)為:1、r 18 3x2)x3/1 3C9( 22121一, 填一22三、求幾個(gè)二項(xiàng)式的和(積)的展開(kāi)式中的條件項(xiàng)的系數(shù)例7.(x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5的展開(kāi)式中,x2的系數(shù)等于解:x2的系數(shù)是四個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式中4個(gè)含 x2的,則有C0( 1)0C1

5、(1)1C2 ( 1)2C3(1)3(C0C1C2C3)20C2 ()C3()C4 ()C5 ()(C2C 3C 4C5)例8.(02全國(guó))(x2 1)(x 2)7的展開(kāi)式中,x3項(xiàng)的系數(shù)是;解:在展開(kāi)式中,x3的來(lái)源有:第一個(gè)因式中取出x2,則第二個(gè)因式必出x,其系數(shù)為C7( 2)6; 第一個(gè)因式中取出1 ,則第二個(gè)因式中必出x3,其系數(shù)為C4( 2)4x3 的系數(shù)應(yīng)為:C7( 2)6 C7( 2)4 1008,填 1008。四、利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì)解題1, 求中間項(xiàng)例9.求(G2)10的展開(kāi)式的中間項(xiàng);解:Tr 1 CM、反VW i)r,展開(kāi)式的中間項(xiàng)為C;o(JX)5( J)'3

6、 x3 x5即:252x6。n i nlnl” nlnl當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),(a 3*勺展開(kāi)式的中間項(xiàng)是 C/ahb號(hào)和c/akbk n n n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),(a b)n的展開(kāi)式的中間項(xiàng)是 C;a2b,2, 求有理項(xiàng)例10.求(、僅 1)1°的展開(kāi)式中有理項(xiàng)共有項(xiàng);3, x4r解:Tr1C;0(r)10r(3一),C;o(1)rx 3x當(dāng)r 0,3,6,9時(shí),所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)。故展開(kāi)式中有理項(xiàng)有 4項(xiàng)。當(dāng)一個(gè)代數(shù)式各個(gè)字母的指數(shù)都是整數(shù)時(shí),那么這個(gè)代數(shù)式是有理式;當(dāng)一個(gè)代數(shù)式中各個(gè)字母的指數(shù)不都是整數(shù)(或說(shuō)是不可約分?jǐn)?shù))時(shí),那么這個(gè)代數(shù)式是無(wú)理式。3. 求系數(shù)最大或最小項(xiàng)(1)特殊的系數(shù)

7、最大或最小問(wèn)題例1 1 . (00上海)在二項(xiàng)式(x 1)11的展開(kāi)式中,系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)是;解:Tr1C;1x11r(1)rr要使項(xiàng)的系數(shù)最小,則r必為奇數(shù),且使C11為最大,由此得r 5,從而可知最小項(xiàng)的系數(shù)為 C;( 1)5462(2) 一般的系數(shù)最大或最小問(wèn)題J-1。.例1 2 .求(Vx9一)8展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng);24 x解:記第r項(xiàng)系數(shù)為,設(shè)第k項(xiàng)系數(shù)最大,則有k 1 k 1C8 .2 k 1k 1 k 1C8 .2又Tr C;1.21,那么有kC82.2kC8 .28!8!2(k 1)!.(9 K)! (K2)!.(10 K)!8!28!(K 1)!.(9 K)!K!(8 K

8、)!K 1 K 22%9 K K解得3 k 4, 57系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)T3 7x2和第4項(xiàng)T47x"o(3)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)例13.在(x y)7的展開(kāi)式中,系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)是;解:求系數(shù)絕對(duì)最大問(wèn)題都可以將" (a b)n"型轉(zhuǎn)化為"(a b)n"型來(lái)處理,45故此答案為第4項(xiàng)C7x3y4,和第5項(xiàng) C7x2y5 0五、利用“賦值法”求部分項(xiàng)系數(shù),二項(xiàng)式系數(shù)和例 14 .若(2x <3)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 ,則(a。a2 a4)2 (a1 a3)2 的值為;解:(2x .3)4 a。 &x a2

9、x2 a3x3 a4x4令 x 1,有(2 J3)4 a。a1 a2 a3 a,令 x 1,有(2 . 3)4 (% a2 a4) (a1 a3)故原式=(a。 a1 a2 a3 a4).(a。 a2 a4)(a a3)=(2 .3)4.( 2 .3)4=(1)41在用“賦值法”求值時(shí),要找準(zhǔn)待求代數(shù)式與已知條件的聯(lián)系,一般而言:1, 1,0特殊值在解題過(guò)程中考慮的比較多例 15.設(shè)(2x 1)6 a6x6 a7x7 . a1x a0,貝U aoaa2. |分析:解題過(guò)程分兩步走;第一步確定所給絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)的符號(hào);第二步是用賦值法求的化簡(jiǎn) 后的代數(shù)式的值。解:Tr1 C6(2x)6r(1)

10、rao& a2a6aoaa?a3a4a5a6=(a0 a2 a4a6) (a1a3 a5)六、利用二項(xiàng)式定理求近似值例1 6 .求0.9986的近似值,使誤差小于0.001;分析:因?yàn)?.9986 = (1 0.002)6,故可以用二項(xiàng)式定理展開(kāi)計(jì)算解:0.9986 = (1 0.002)6= 1 6.( 0.002)1 15.( 0.002)2 . ( 0.002)6 222T3 C6.( 0.002)2 15 ( 0.002)2 0.00006 0.001,且第3項(xiàng)以后的絕對(duì)值都小于0.001, 從第3項(xiàng)起,以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì)。0.9986 = (1 0.002)6 1 6 (

11、 0.002) = 1 0.012 0.988小結(jié),由(1 x)n 1 C1 x C2x2 cnxn當(dāng)x的絕對(duì)值與1相比很小且n很大時(shí)x2 x3 xn/-口 iL-i( Ix)i f n x f n x . f 口 x )-i八h j iij=l j 111Iip</_i_l ipv,, x , x ,.x等項(xiàng)的絕對(duì)值都很小,因此在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計(jì),因此可以用近似計(jì)算公. n(n 1) 21 nx x 。式:(1 x)n 1 nx,在使用這個(gè)公式時(shí),要注意按問(wèn)題對(duì)精確度的要求,來(lái)確定對(duì)展開(kāi)式中各項(xiàng)的取舍,若精確度要求較高,則可以使用更精確的公式:(1 x)n利用二項(xiàng)式定理求近似值在近幾年的高考沒(méi)有出現(xiàn)題目 ,但是按照新課標(biāo)要求,對(duì)高中學(xué)生 的計(jì)算能力是有一定的要求,其中比較重要的一個(gè)能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二項(xiàng)式 定理來(lái)求近似值。七、利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題例17 .求證:5151 1能被7整除證明:5151 1_ 51=(49 2)1051= C5149_ 1502492_ 5050_ 5151,C51.49 .2 C51.49 .2. C51.49.2 C/1=4

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