1、例說二項式定理的常見題型及 解法作者:日期:例說二項式定理的常見題型及解法二項式定理的問題相對較獨立，題型繁多，解法靈活且比較難掌握。二項式定理既是排列組合的直接應 用,又與概率理論中的三大概率分布之一的二項分布有著密切聯系。二項式定理在每年的高考中基本上都有考到，題型多為選擇題，填空題，偶爾也會有大題出現。本文將針對高考試題中常見的二項式定理題 目類型一一分析如下，希望能夠起到拋磚引玉的作用。一、求二項展開式1. ”(a b)n”型的展開式例1.求(3 JX -)4的展開式；、x4解：原式=(3X 1)4=(3X 21)、x x104132234=XTC4(3x)C4(3x) C4(3x)

2、C4(3x) C414Q。= =(81x4 84x354x212x 1)x9121= 81x84x 254x x小結：這類題目一般為容易題目，高考一般不會考到，但是題目解決過程中的這種“先化簡在展 開”的思想在高考題目中會有體現的。2 .“(a b)n”型的展開式二)4的形式然后按照二項展開式的格式 . x例2.求(3& j)4的展開式；一尸)4改寫成3Jx ( x“問題轉化”能力。分析:解決此題，只需要把(34<展開即可。本題主要考察了學生的3 .二項式展開式的“逆用”例 3 .計算 1 3C： 9C2 27cn . ( 1)n3nc：;解：原式=C0 C：( 3)1 C2(

3、3)2 C：( 3)3 . C3( 3)n(1 3)n ( 2)n小結:公式的變形應用，正逆應用，有利于深刻理解數學公式，把握公式本質。二、通項公式的應用1 .確定二項式中的有關元素例4.已知(a 脛)9的展開式中x3的系數為9 ,常數a的值為x 243解：Tri C；(a)9(伯rC；( 1)r 25 a9 r xr 9x 2“ 3一令r 9 3 ,即 r 82依題意，得C；( 1)8 2 4 a9 89,解得 a 142.確定二項展開式的常數項例5. (42)10展開式中的常數項是5, x 63x1解:Tri ClO( X)10r(31 )r ( 1)匕,0. x即r 6。所以常數項是(1

4、)七；02103.求單一二項式指定幕的系數例6. ( 03全國)(x解：Tr 1r / 2. 9 r .C9(x ) (22)9展開式中x 2x1、r r 18 2r ,2x)=C9x (9的系數是令 18 3x 9,則 r3,從而可以得到1 x r 1 r _ r ,2 ) (;) =C9( x xx9的系數為：1、r 18 3x2)x3/1 3C9( 22121一, 填一22三、求幾個二項式的和(積)的展開式中的條件項的系數例7.(x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5的展開式中，x2的系數等于解：x2的系數是四個二項展開式中4個含 x2的，則有C0( 1)0C1

5、(1)1C2 ( 1)2C3(1)3(C0C1C2C3)20C2 ()C3()C4 ()C5 ()(C2C 3C 4C5)例8.(02全國)(x2 1)(x 2)7的展開式中，x3項的系數是;解:在展開式中，x3的來源有：第一個因式中取出x2,則第二個因式必出x,其系數為C7( 2)6； 第一個因式中取出1 ，則第二個因式中必出x3,其系數為C4( 2)4x3 的系數應為：C7( 2)6 C7( 2)4 1008,填 1008。四、利用二項式定理的性質解題1, 求中間項例9.求(G2)10的展開式的中間項；解：Tr 1 CM、反VW i）r,展開式的中間項為C；o（JX）5（ J）'3

6、 x3 x5即：252x6。n i nlnl” nlnl當n為奇數時，（a 3*勺展開式的中間項是 C/ahb號和c/akbk n n n當n為偶數時，（a b）n的展開式的中間項是 C；a2b，2, 求有理項例10.求（、僅 1）1°的展開式中有理項共有項；3, x4r解：Tr1C；0(r)10r(3一),C；o(1)rx 3x當r 0,3,6,9時，所對應的項是有理項。故展開式中有理項有 4項。當一個代數式各個字母的指數都是整數時，那么這個代數式是有理式；當一個代數式中各個字母的指數不都是整數（或說是不可約分數）時，那么這個代數式是無理式。3. 求系數最大或最小項（1）特殊的系數

7、最大或最小問題例1 1 . （00上海）在二項式（x 1）11的展開式中,系數最小的項的系數是;解：Tr1C；1x11r(1)rr要使項的系數最小，則r必為奇數，且使C11為最大，由此得r 5,從而可知最小項的系數為 C；（ 1）5462（2） 一般的系數最大或最小問題J-1。.例1 2 .求（Vx9一）8展開式中系數最大的項；24 x解:記第r項系數為，設第k項系數最大，則有k 1 k 1C8 .2 k 1k 1 k 1C8 .2又Tr C；1.21,那么有kC82.2kC8 .28!8!2(k 1)!.(9 K)! (K2)!.(10 K)!8!28!(K 1)!.(9 K)!K!(8 K

8、)!K 1 K 22%9 K K解得3 k 4, 57系數最大的項為第3項T3 7x2和第4項T47x"o(3)系數絕對值最大的項例13.在(x y)7的展開式中，系數絕對值最大項是;解：求系數絕對最大問題都可以將" (a b)n"型轉化為"(a b)n"型來處理,45故此答案為第4項C7x3y4,和第5項 C7x2y5 0五、利用“賦值法”求部分項系數，二項式系數和例 14 .若(2x <3)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 ,則(a。a2 a4)2 (a1 a3)2 的值為；解：(2x .3)4 a。 &x a2

9、x2 a3x3 a4x4令 x 1,有(2 J3)4 a。a1 a2 a3 a，令 x 1,有(2 . 3)4 (% a2 a4) (a1 a3)故原式=(a。 a1 a2 a3 a4).(a。 a2 a4)(a a3)=(2 .3)4.( 2 .3)4=(1)41在用“賦值法”求值時，要找準待求代數式與已知條件的聯系，一般而言：1, 1,0特殊值在解題過程中考慮的比較多例 15.設(2x 1)6 a6x6 a7x7 . a1x a0,貝U aoaa2. |分析：解題過程分兩步走；第一步確定所給絕對值符號內的數的符號；第二步是用賦值法求的化簡 后的代數式的值。解：Tr1 C6(2x)6r(1)

10、rao& a2a6aoaa?a3a4a5a6=(a0 a2 a4a6) (a1a3 a5)六、利用二項式定理求近似值例1 6 .求0.9986的近似值，使誤差小于0.001;分析:因為0.9986 = (1 0.002)6，故可以用二項式定理展開計算解：0.9986 = (1 0.002)6= 1 6.( 0.002)1 15.( 0.002)2 . ( 0.002)6 222T3 C6.( 0.002)2 15 ( 0.002)2 0.00006 0.001,且第3項以后的絕對值都小于0.001, 從第3項起，以后的項都可以忽略不計。0.9986 = (1 0.002)6 1 6 (

11、 0.002) = 1 0.012 0.988小結，由(1 x)n 1 C1 x C2x2 cnxn當x的絕對值與1相比很小且n很大時x2 x3 xn/-口 iL-i( Ix)i f n x f n x . f 口 x )-i八h j iij=l j 111Iip</_i_l ipv，, x , x ,.x等項的絕對值都很小，因此在精確度允許的范圍內可以忽略不計，因此可以用近似計算公. n(n 1) 21 nx x 。式:(1 x)n 1 nx,在使用這個公式時，要注意按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項的取舍，若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：(1 x)n利用二項式定理求近似值在近幾年的高考沒有出現題目 ，但是按照新課標要求，對高中學生 的計算能力是有一定的要求，其中比較重要的一個能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二項式 定理來求近似值。七、利用二項式定理證明整除問題例17 .求證：5151 1能被7整除證明：5151 1_ 51=(49 2)1051= C5149_ 1502492_ 5050_ 5151,C51.49 .2 C51.49 .2. C51.49.2 C/1=4