1、例說(shuō)二項(xiàng)式定理的常見(jiàn)題型及 解法作者:日期:例說(shuō)二項(xiàng)式定理的常見(jiàn)題型及解法二項(xiàng)式定理的問(wèn)題相對(duì)較獨(dú)立，題型繁多，解法靈活且比較難掌握。二項(xiàng)式定理既是排列組合的直接應(yīng) 用,又與概率理論中的三大概率分布之一的二項(xiàng)分布有著密切聯(lián)系。二項(xiàng)式定理在每年的高考中基本上都有考到，題型多為選擇題，填空題，偶爾也會(huì)有大題出現(xiàn)。本文將針對(duì)高考試題中常見(jiàn)的二項(xiàng)式定理題 目類(lèi)型一一分析如下，希望能夠起到拋磚引玉的作用。一、求二項(xiàng)展開(kāi)式1. ”(a b)n”型的展開(kāi)式例1.求(3 JX -)4的展開(kāi)式；、x4解：原式=(3X 1)4=(3X 21)、x x104132234=XTC4(3x)C4(3x) C4(3x)

2、C4(3x) C414Q。= =(81x4 84x354x212x 1)x9121= 81x84x 254x x小結(jié)：這類(lèi)題目一般為容易題目，高考一般不會(huì)考到，但是題目解決過(guò)程中的這種“先化簡(jiǎn)在展 開(kāi)”的思想在高考題目中會(huì)有體現(xiàn)的。2 .“(a b)n”型的展開(kāi)式二)4的形式然后按照二項(xiàng)展開(kāi)式的格式 . x例2.求(3& j)4的展開(kāi)式；一尸)4改寫(xiě)成3Jx ( x“問(wèn)題轉(zhuǎn)化”能力。分析:解決此題，只需要把(34<展開(kāi)即可。本題主要考察了學(xué)生的3 .二項(xiàng)式展開(kāi)式的“逆用”例 3 .計(jì)算 1 3C： 9C2 27cn . ( 1)n3nc：;解：原式=C0 C：( 3)1 C2(

3、3)2 C：( 3)3 . C3( 3)n(1 3)n ( 2)n小結(jié):公式的變形應(yīng)用，正逆應(yīng)用，有利于深刻理解數(shù)學(xué)公式，把握公式本質(zhì)。二、通項(xiàng)公式的應(yīng)用1 .確定二項(xiàng)式中的有關(guān)元素例4.已知(a 脛)9的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為9 ,常數(shù)a的值為x 243解：Tri C；(a)9(伯rC；( 1)r 25 a9 r xr 9x 2“ 3一令r 9 3 ,即 r 82依題意，得C；( 1)8 2 4 a9 89,解得 a 142.確定二項(xiàng)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)例5. (42)10展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是5, x 63x1解:Tri ClO( X)10r(31 )r ( 1)匕,0. x即r 6。所以常數(shù)項(xiàng)是(1

4、)七；02103.求單一二項(xiàng)式指定幕的系數(shù)例6. ( 03全國(guó))(x解：Tr 1r / 2. 9 r .C9(x ) (22)9展開(kāi)式中x 2x1、r r 18 2r ,2x)=C9x (9的系數(shù)是令 18 3x 9,則 r3,從而可以得到1 x r 1 r _ r ,2 ) (;) =C9( x xx9的系數(shù)為：1、r 18 3x2)x3/1 3C9( 22121一, 填一22三、求幾個(gè)二項(xiàng)式的和(積)的展開(kāi)式中的條件項(xiàng)的系數(shù)例7.(x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)等于解：x2的系數(shù)是四個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式中4個(gè)含 x2的，則有C0( 1)0C1

5、(1)1C2 ( 1)2C3(1)3(C0C1C2C3)20C2 ()C3()C4 ()C5 ()(C2C 3C 4C5)例8.(02全國(guó))(x2 1)(x 2)7的展開(kāi)式中，x3項(xiàng)的系數(shù)是;解:在展開(kāi)式中，x3的來(lái)源有：第一個(gè)因式中取出x2,則第二個(gè)因式必出x,其系數(shù)為C7( 2)6； 第一個(gè)因式中取出1 ，則第二個(gè)因式中必出x3,其系數(shù)為C4( 2)4x3 的系數(shù)應(yīng)為：C7( 2)6 C7( 2)4 1008,填 1008。四、利用二項(xiàng)式定理的性質(zhì)解題1, 求中間項(xiàng)例9.求(G2)10的展開(kāi)式的中間項(xiàng)；解：Tr 1 CM、反VW i）r,展開(kāi)式的中間項(xiàng)為C；o（JX）5（ J）'3

6、 x3 x5即：252x6。n i nlnl” nlnl當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，（a 3*勺展開(kāi)式的中間項(xiàng)是 C/ahb號(hào)和c/akbk n n n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（a b）n的展開(kāi)式的中間項(xiàng)是 C；a2b，2, 求有理項(xiàng)例10.求（、僅 1）1°的展開(kāi)式中有理項(xiàng)共有項(xiàng)；3, x4r解：Tr1C；0(r)10r(3一),C；o(1)rx 3x當(dāng)r 0,3,6,9時(shí)，所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是有理項(xiàng)。故展開(kāi)式中有理項(xiàng)有 4項(xiàng)。當(dāng)一個(gè)代數(shù)式各個(gè)字母的指數(shù)都是整數(shù)時(shí)，那么這個(gè)代數(shù)式是有理式；當(dāng)一個(gè)代數(shù)式中各個(gè)字母的指數(shù)不都是整數(shù)（或說(shuō)是不可約分?jǐn)?shù)）時(shí)，那么這個(gè)代數(shù)式是無(wú)理式。3. 求系數(shù)最大或最小項(xiàng)（1）特殊的系數(shù)

7、最大或最小問(wèn)題例1 1 . （00上海）在二項(xiàng)式（x 1）11的展開(kāi)式中,系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)是;解：Tr1C；1x11r(1)rr要使項(xiàng)的系數(shù)最小，則r必為奇數(shù)，且使C11為最大，由此得r 5,從而可知最小項(xiàng)的系數(shù)為 C；（ 1）5462（2） 一般的系數(shù)最大或最小問(wèn)題J-1。.例1 2 .求（Vx9一）8展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)；24 x解:記第r項(xiàng)系數(shù)為，設(shè)第k項(xiàng)系數(shù)最大，則有k 1 k 1C8 .2 k 1k 1 k 1C8 .2又Tr C；1.21,那么有kC82.2kC8 .28!8!2(k 1)!.(9 K)! (K2)!.(10 K)!8!28!(K 1)!.(9 K)!K!(8 K

8、)!K 1 K 22%9 K K解得3 k 4, 57系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)T3 7x2和第4項(xiàng)T47x"o(3)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)例13.在(x y)7的展開(kāi)式中，系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)是;解：求系數(shù)絕對(duì)最大問(wèn)題都可以將" (a b)n"型轉(zhuǎn)化為"(a b)n"型來(lái)處理,45故此答案為第4項(xiàng)C7x3y4,和第5項(xiàng) C7x2y5 0五、利用“賦值法”求部分項(xiàng)系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和例 14 .若(2x <3)4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 ,則(a。a2 a4)2 (a1 a3)2 的值為；解：(2x .3)4 a。 &x a2

9、x2 a3x3 a4x4令 x 1,有(2 J3)4 a。a1 a2 a3 a，令 x 1,有(2 . 3)4 (% a2 a4) (a1 a3)故原式=(a。 a1 a2 a3 a4).(a。 a2 a4)(a a3)=(2 .3)4.( 2 .3)4=(1)41在用“賦值法”求值時(shí)，要找準(zhǔn)待求代數(shù)式與已知條件的聯(lián)系，一般而言：1, 1,0特殊值在解題過(guò)程中考慮的比較多例 15.設(shè)(2x 1)6 a6x6 a7x7 . a1x a0,貝U aoaa2. |分析：解題過(guò)程分兩步走；第一步確定所給絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù)的符號(hào)；第二步是用賦值法求的化簡(jiǎn) 后的代數(shù)式的值。解：Tr1 C6(2x)6r(1)

10、rao& a2a6aoaa?a3a4a5a6=(a0 a2 a4a6) (a1a3 a5)六、利用二項(xiàng)式定理求近似值例1 6 .求0.9986的近似值，使誤差小于0.001;分析:因?yàn)?.9986 = (1 0.002)6，故可以用二項(xiàng)式定理展開(kāi)計(jì)算解：0.9986 = (1 0.002)6= 1 6.( 0.002)1 15.( 0.002)2 . ( 0.002)6 222T3 C6.( 0.002)2 15 ( 0.002)2 0.00006 0.001,且第3項(xiàng)以后的絕對(duì)值都小于0.001, 從第3項(xiàng)起，以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì)。0.9986 = (1 0.002)6 1 6 (

11、 0.002) = 1 0.012 0.988小結(jié)，由(1 x)n 1 C1 x C2x2 cnxn當(dāng)x的絕對(duì)值與1相比很小且n很大時(shí)x2 x3 xn/-口 iL-i( Ix)i f n x f n x . f 口 x )-i八h j iij=l j 111Iip</_i_l ipv，, x , x ,.x等項(xiàng)的絕對(duì)值都很小，因此在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計(jì)，因此可以用近似計(jì)算公. n(n 1) 21 nx x 。式:(1 x)n 1 nx,在使用這個(gè)公式時(shí)，要注意按問(wèn)題對(duì)精確度的要求，來(lái)確定對(duì)展開(kāi)式中各項(xiàng)的取舍，若精確度要求較高，則可以使用更精確的公式：(1 x)n利用二項(xiàng)式定理求近似值在近幾年的高考沒(méi)有出現(xiàn)題目 ，但是按照新課標(biāo)要求，對(duì)高中學(xué)生 的計(jì)算能力是有一定的要求，其中比較重要的一個(gè)能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二項(xiàng)式 定理來(lái)求近似值。七、利用二項(xiàng)式定理證明整除問(wèn)題例17 .求證：5151 1能被7整除證明：5151 1_ 51=(49 2)1051= C5149_ 1502492_ 5050_ 5151,C51.49 .2 C51.49 .2. C51.49.2 C/1=4