1、空間向量在空間向量在立幾中應用立幾中應用空間向量在立體幾何中的應用空間向量在立體幾何中的應用江蘇如東馬塘中學江蘇如東馬塘中學 張偉鋒張偉鋒空間向量在空間向量在立幾中應用立幾中應用利用向量判斷位置關系利用向量判斷位置關系 利用向量可證明四點共面、線線平利用向量可證明四點共面、線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直等問行、線面平行、線線垂直、線面垂直等問題，其方法是通過向量的運算來判斷，這題，其方法是通過向量的運算來判斷，這是數形結合的典型問題是數形結合的典型問題空間向量在空間向量在立幾中應用立幾中應用 例例1、在正方體、在正方體AC1中，中，E、F分別是分別是BB1、CD的中點，求證：面的中點，

2、求證：面AED面面A1FD1ABCDA1B1C1D1EFXYZ空間向量在空間向量在立幾中應用立幾中應用評述：評述：此題用綜合推理的方法不易入手。用向量代數的此題用綜合推理的方法不易入手。用向量代數的方法則先證明線線垂直，再由線線垂直來證明線方法則先證明線線垂直，再由線線垂直來證明線面垂直，從而證得面面垂直面垂直，從而證得面面垂直.證明面面垂直的原理證明面面垂直的原理是一致的，只不過是證明的手段不同是一致的，只不過是證明的手段不同利用向量解幾何題的一般方法是：把線段或角轉利用向量解幾何題的一般方法是：把線段或角轉化為向量表示，并用已知向量表示未知向量，通化為向量表示，并用已知向量表示未知向量，通

3、過向量運算去計算或證明過向量運算去計算或證明空間向量在空間向量在立幾中應用立幾中應用利用向量求空間角利用向量求空間角 利用向量可以進行求線線角、線面利用向量可以進行求線線角、線面角、面面角，關鍵是進行向量的計算角、面面角，關鍵是進行向量的計算空間向量在空間向量在立幾中應用立幾中應用 例例2、空間四邊形、空間四邊形ABCD中，中，AB=BC=CD，ABBC，BCCD，AB與與CD成成600角，求角，求AD與與BC所成的角所成的角空間向量在空間向量在立幾中應用立幾中應用注意異面直線所成的角與異面直線上兩向量夾注意異面直線所成的角與異面直線上兩向量夾角的關系：相等或互補角的關系：相等或互補求異面直線

4、所成的角的關鍵是求異面直線上兩求異面直線所成的角的關鍵是求異面直線上兩向量的數量積，而要求兩向量的數量積，必須向量的數量積，而要求兩向量的數量積，必須把所求向量用空間的一組基向量來表示，本題把所求向量用空間的一組基向量來表示，本題正遵循了這一規律正遵循了這一規律本題多次運用了封閉回路本題多次運用了封閉回路評述：評述：空間向量在空間向量在立幾中應用立幾中應用利用向量求空間距離利用向量求空間距離 空間距離是一種重要的幾何量，利空間距離是一種重要的幾何量，利用常規方法求距離，需要較強的轉化能力，用常規方法求距離，需要較強的轉化能力，而用向量法則相對簡單而用向量法則相對簡單空間向量在空間向量在立幾中應

5、用立幾中應用 例例3、正方體、正方體AC1棱長為棱長為1，求平面，求平面AD1C與平面與平面A1BC1的距離的距離A1B1C1D1ABCDXYZ空間向量在空間向量在立幾中應用立幾中應用評述：評述：此題用找公垂線的方法比較難下手，用向量代數此題用找公垂線的方法比較難下手，用向量代數的方法則簡捷，高效，顯示了向量代數方法在解的方法則簡捷，高效，顯示了向量代數方法在解決立體幾何問題的優越性決立體幾何問題的優越性平行平面間的距離可轉化為直線到平面的距離或平行平面間的距離可轉化為直線到平面的距離或再轉化為點到平面的距離再轉化為點到平面的距離空間向量在空間向量在立幾中應用立幾中應用ACBDACABBDAB

6、0 0已已知知二二面面角角 -AB-AB- 為為120120 ，且且，AB=AC=BD=1AB=AC=BD=1，(1)、求、求CD的長的長(2)、CD與與AB所成的角所成的角練習：練習：空間向量在空間向量在立幾中應用立幾中應用練習：練習：ABCDA1B1C1D1 正方體正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，P 為為DD1的中的中點，點，O1,O2,O3分別是平面分別是平面A1B1C1D1、平面、平面BB1C1C、平面、平面ABCD的的中心中心 （1）求證：）求證：B1O3PAO3PXYZO2O1空間向量在空間向量在立幾中應用立幾中應用練習：練習：ABCDA1B1C1D1 正方體正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，P 為為DD1的中的中點，點，O1,O2,O3分別是平面分別是平面A1B1C1D1、平面、平面BB1C1C、平面、平面ABCD的中心的中心O3PXYZ （2） 求異面直線求異面直線PO3與與O1O2成的角成的角O2O1空間向量在空間向量在立幾中應用立幾中應用小小 結結本堂課的學習重點是用向量代數的方法解決本堂課的學習重點是用向量代數的方法解決立體幾何問題，但在學習中應把幾何綜合推立體幾何問題，但在學習中應把幾何綜合推理與向量代數運算推理有機結合起來理與向量代數運算推理有機結合起來向量代數推理是更加精練，嚴密的推理，