1、無窮級數總結、概念與性質1 1 . .定義：對數列U1,U2,，Un，Un稱為無窮級數，上稱為一般項;若部分和n1數列Sn有極限S,即 limSlimSnS,稱級數收斂，否則稱為發散. .n2 2 .性質設常數C0,則Un與CUn有相同的斂散性；n1n1設有兩個級數Un與Vn,若UnS,Vn，則（UnVn）S；n1n1n1n1n1若Un收斂，Vn發散，則（4%）發散；n1n1n1若Un,Vn均發散，則（UnVn）斂散性不確定；n1n1n1添加或去掉有限項不影響一個級數的斂散性；設級數Un收斂，則對其各項任意加括號后所得新級數仍收斂于原級數的和.n1注：一個級數加括號后所得新級數發散，則原級數發

2、散；一個級數加括號后收斂，原級數斂散性不確定.級數Un收斂的必要條件：limUn0；n1n注：級數收斂的必要條件，常用判別級數發散；若1而Un0,則Un未必收斂;nn1若Un發散，則limUn0未必成立.n1n二、常數項級數審斂法1.1.正項級數及其審斂法定義：若Un0,則Un稱為正項級數.n1審斂法：（D充要條件：正項級數Un收斂的充分必要條件是其部分和數列有界n1(ii)比較審斂法：設Un與Vn都是正項級數，且UnVn(A1,2,),n1n1則若收斂則收斂；若發散則發散.A.A.若收斂，且存在自然數 N N, ,使得當 nNnN 時有Unkvn(k0)成立，則收斂；若發散，且存在自然數 N

3、 N, ,使得當 nNnN 時有Unkvn(k0)成立，則發散；B.B.設Un為正項級數，若有p1使彳#un；(n1,2,)，則Un收斂；若n1nn11Un一(n1,2,),則Un發目攵.nn1C.C.極限形式：設Un與Vn都是正項級數，若lim叢l(0l),則n1n1nVn注：常用的比較級數:調和級數：1111發散.n1n2n(iii)(iii)比值判別法(達郎貝爾判別法)設an是正項級數，若n1limanr1,則an收斂；lim亙r1,則an發散.nnann1ann1注：若lima，1,或 limJO_1,limJO_1,推不出級數的斂散.例工與4,雖然nann,n1nn1nlima口1,

4、lim向1,但二發散，而三收斂.nann,n1nn1nn,(iV)(iV)根值判別法(柯西判別法)設an是正項級數，limlim后后Unn1Vnn1有相同的斂散性.幾何級數：arn1n11r 發散p p 級數:1 收斂n1np發散n1n級數收斂，若1則級數發散.(v)極限審斂法：設Un0且 limnlimnpU Unl l, ,則limnpunl0且p1,則級nn數Un發散；如果p1,而limnpunl(0l),則其收n1n斂.(書上 P317-2-(1)P317-2-(1)注：凡涉及證明的命題，一般不用比值法與根值法，一般會使用比較判別法.正項級數的比(根)值判別法不能當作收斂與發散的充要條

5、件，是充分非必要條件.2 2 .交錯級數及其審斂法定義:設Un0(n1,2,)，則(1)n1Un稱為交錯級數.n1則(1)n1Un收斂.n1注：比較Un與Un1的大小的方法有三種：比值法，即考察員是否小于 1 1；Un差值法，即考察UnUn1是否大于0；由Un找出一個連續可導函數f(x),使Unf(n),(n1,2,)考察f(x)是否小于0.3 3 . .一般項級數的判別法：若Un絕對收斂，則Un收斂.n1n1若用比值法或根值法判定|Un|發散，則Un必發散.n1n1三、幕級數1 1 . .定義：anXn稱為幕級數.n02 2 . .收斂性阿貝爾定理：設幕級數anXn在X。0處收斂，則其在滿足

6、Ix|Ix0|的所審斂法：萊布尼茲定理：對交錯級數(1)nU,若UnUnn1NlimUNlimUn0,0,nx且可逐項積分，即Sdt0X(antn)dt0n0antndt(xn00(R,R),收斂半徑不有X處絕對收斂.反之，若幕級數anxn在X1處發散，則其在滿足|x|X1n0的所有X處發散.收斂半徑(i)定義：若幕級數在xX0點收斂，但不是在整個實軸上收斂，則必存在一個正數R,使得當|XX0R時，幕級數收斂；當XX0R時，幕級數發散；R R 稱為幕級數的收斂半徑(ii)(ii)求法：設幕級數anXn的收斂半徑為 R R, ,其系數滿足條件limn0n或嚴：；兩l,則當0l時，R1;當l0時，

7、R,當l時，R0.注：求收斂半徑的方法卻有很大的差異.前一個可直接用公式，后一個則須分奇、偶項(有時會出現更復雜的情況)分別來求.在分成奇偶項之后，由于通項中出現缺項，由此仍不能用求半徑的公式直接求，須用求函數項級數收斂性的方法.(iii)(iii)收斂半徑的類型A.A.R0,此時收斂域僅為一點；B.B.R,此時收斂域為(，)；C.C.R= =某定常數，此時收斂域為一個有限區間.3 3 .幕級數的運算(略)4 4 .幕級數的性質若幕級數的收斂半徑R0,則和函數S(x)anxn在收斂區間(R,R)內連續.n0若幕級數的收斂半徑R0,則和函數S(x)anXn在收斂區間(R,R)內可導,n0且可逐項

8、求導，即S(x)(anXn)(anXn)nanXn1,收斂半徑不變.n0n0n1若幕級數的收斂半徑R0,則和函數S(x)anxn在收斂區間(R,R)內可積,n0an1ann/no%(，In2n(iii)(iii)cosx(J：,x(no(2n)!/、(1)(n1)n(v)(1X)17-Xn,x(1,1),(R);n1n!11(vi)4Xn,X1;4(1)nxn,X1.1Xno1Xno6.級數求和幕級數求和函數解題程序(i)(i)求出給定級數的收斂域;(ii)通過逐項積分或微分將給定的幕級數化為常見函數展開式的形式(或易看出其假設和函數s(x)與其導數s(x)的關系),從而得到新級數的和函數；注

9、：系數為立壬項代數和犯！級數2一求和函數時應先將級數寫成各個幕級數的代數和，然后分別求出它們的和函數，最后對和函數求代數和，即得所求級數的和函數.數項級數求和利用級數和的定義求和，即limSns,則Uns,其中nn1nsnU1U2UnUk.根據$n的求法又可分為：直接法、拆項法、遞/nn、(ancosxbnsinx).變.5 5.函數展開成幕級數若f(x)在含有點X。的某個區間I內有任意階導數,f(x)在Xo點的n階泰勒公式為f(X)f(Xo)f(Xo)(XXo)f(n1)()-一號(XXo)(n1),記Rn(x)(n1)!f(Xo)-2f(n1)2(XXo)f(n)(Xo)n!(xXo)(n

10、1)!(n1)(XXo)介于X,Xo之間，則f(x)在I內能展開成為泰勒級數的充要條件為limRn(x)n0,初等函數的泰勒級數(xo0)(ii)sinxn12n1(1)Xn1(2n1)!(iv)ln(1x)nn(1)X(1,1;推法.A.A.直接法：適用于uk為等差或等比數列或通過簡單變換易化為這兩種數列；k1B.B.拆項法：把通項拆成兩項差的形式，在求n項和時，除首尾兩項外其余各項對消掉.(ii)(ii)阿貝爾法(構造幕級數法)anlimanxn,其中幕級數anXn,可通_X1_n0n0n0過逐項微分或積分求得和函數S(x).因此anlims(x).X1n0四、傅里葉級數1.1.定義定義

11、1 1：設f(x)是以2為周期的函數，且在,或0,2上可積，則1一、，1*2、，C、an一f(x)cosnxdx一0f(x)cosnxdx,(n0,1,2),112bn-f(x)sinnxdx。f(x)sinnxdx,(n1,2,),稱為函數f(x)的傅立葉系數.定義 2:2:以f(x)的傅立葉系數為系數的三角級數-a0(ancosnxbnsinnx).2n1稱為函數f(x)的傅立葉級數，表示為(ancosnxbnsinnx).n1定義3:設f(x)是以2l為周期的函數，且在l,l上可積，則以1l一、nan一f(x)cosxdx,(n0,1,2),lllbn1f(x)sinnxdx,(n1,2

12、)為系數的三角級數1ao(ancosxbnsinx)稱為f(x)的傅立葉級數，表示為2n1lln1ll2 2.收斂定理(狄里赫萊的充分條件)設函數f(x)在區間,上滿足條件除有限個第一類間斷點外都是連續的；只有有限個極值點,1f(x)a021f(x)a。2則f(x)的傅立葉級數在,上收斂，且有3.3.函數展開成傅氏級數周期函數注：若f(x)為奇函數，則f(x)bnsinnx(正弦級數),n1l,2lnbn-0f(x)sin丁xdx(n1,2,)；若f(x)為偶函數，則f(x)包ancosx,(余弦級數)2n1l2lnan-0f(x)cosxdx(n0,1,2,),bn0(n1,2,). .非周

13、期函數(i)奇延拓：f(x),0 xA.A.f(x)為0,上的非周期函數，令F(x)I，,則F(x)除x0外在f(x),x0a0(ancosnxbnsinnx)2n1f(x),x 是 f(x)的連續點;1f(xo0)f(xo0),2x0是 f(x)的第一類間斷點；1_2f(0)f(0),x(i)以2為周期的函數f(x):f(x)a1anf(x)cosnxdx(n0,1,2,ancosnxn1、,1),bnbnsinnxf(x)sinnxdx(n1,2,);注：若f(x)為奇函數，則f(x)bnsinnx(正弦級數),n12bn0f(x)sinnxdx(n1,2,);0(n0,1,2,)若f(x

14、)為偶函數，則f(x)與2an0f(x)cosnxdx(n0,1,2,ancosnx(余弦級數),n1),bn0(n1,2,). .(ii)以2l為周期的函數f(x)?11anl1n、，f(x)cosxdx(n0,1,2,n.n、ancosx+ +bnsinx)n1ll1ln),bn-f(x)sinxdx(n1,2,)；lllan0(n0,1,2,)在,上為奇函數，f(x)bnsinn1(n1,2,). .(ii)(ii)偶延拓：A.A.f(x)為0,上的非周期函數，令F(x)則F(x)除x0外在,上為偶函數，f(x尸a_ancosnx(余2n12弦級數),anof(x)cosnxdx(n0,1,2,). .B.B.f(x)為0,l上的非周期函數，令F(x)f：)：則f(x)曳ancosnx(余弦級數)，an2f(x)cosxdx(n0