1、南京師范大學泰州學院本科畢業論文南 京 師 范 大 學 泰 州 學 院畢 業 論 文（設 計）（ 一 四 屆）題 目： 數學世家伯努利家族的貢獻 院（系、部）： 數學科學與應用學院 專 業： 數學與應用數學 姓 名： 夏玲玲 學 號 08100439 指導教師： 馬云 南京師范大學泰州學院教務處 制摘要：在18世紀的世界科學史上，瑞士伯努利家族發出了耀眼的光輝，創造了這樣一個神話，在一個家族跨世紀的幾代人中，連續出過十余位科學家，堪稱科學史上的一個奇跡。伯努利家族在力學、數學、天文學、生理學、領域里具有根本性的貢獻，伯努利家族3代人中產生了8位科學家，出類拔萃的至少有3位,而在他們一代又一代的

2、眾多子孫中，至少有一半相繼成為杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人們系統地追溯過，他們在數學、科學、技術、工程乃至法律、管理、文學、藝術等方面享有名望，有的甚至聲名顯赫。最不可思議的是這個家族中有兩代人，他們中的大多數數學家，并非有意選擇數學為職業，然而卻忘情地沉溺于數學之中。在整個世界科學界起著承前啟后，開辟科學新時代的作用。關鍵詞：伯努利家族；數學；成就；物理學；Abstract: In eighteenth Centurythe world history of science,the Swissfamily Bernoulli issued a dazzling brilli

3、ance, created such a myth, in a family of several generations century, continuous over-dozen scientists, called the history of science a miracle. theBernoulli family, in mechanics, mathematics, astronomy, physiology, in the field of fundamental contribution to the Bernoulli family of three generatio

4、ns of people had eight scientists, at least three outstanding; while in their generations many descendants, at least half have become outstanding figures. Bernoulli family, the descendants of not less than 120 had been systematically traced them in math, science, technology, engineering and even leg

5、al, management, literature, art, etc. enjoy fame, some even prominent. The most incredible is that there are two generations of this family, most of them mathematicians, math is not intended as a career choice, but it drunkenly indulging in mathematics among. Scientific community in the whole world

6、plays the past and open up a new era of science role.Keywords: the Bernoulli family;mathematics; achievement; physics;目錄1 緒論31.1 研究背景31.2 研究意義31.3本課題的研究現狀31.4本文解決的主要問題42 介紹伯努利家族52.1伯努利家族概況52.2伯努利家族的傳奇和軼事62.3伯努利家族主要成員介紹63 伯努利家族在數學中的貢獻83.1伯努利微分方程83.2伯努利概型103.3伯努利大數定理113.4伯努利不等式144 伯努利在科學界的貢獻164.2伯努利在物

7、理中的應用164.2伯努利在醫學中的應用19總結20謝 辭21參考文獻221 緒論1.1 研究背景瑞士的伯努利家族是科學史上著名的科學家族之一，其家族成員天資聰明，在科學上頗有建樹。尤其是在數學方面，更是人才輩出，祖孫三代曾經出現過八位數學家和物理學家，其中著名的有雅科布伯努利，雅科布的弟弟約翰伯努利,約翰的次子丹尼爾伯努利等等。在發展微分理論及其應用上的伯努利家族起了重要作用，有力地推動了近代數學的發展，伯努利數學家族從繁榮到衰落的過程，其原因是值得后人思考的。在此之前，有很多科學家和歷史學家，對伯努利家族進行過研究，縱觀伯努利家族的家族史不難發現，自17世紀后半葉開始至20世紀30年代，這

8、個名門望族中有據可查的120多人中近半數是優秀人才，伯努利家族作為科學家的家族，是一個特殊的群體，他們以家族關系為紐帶，以學術研究為中心，研究科學家家族這種科學共同體，有利于更加深刻全面的了解科學家這個特殊的職業，認識到不同的科學家群體的產生是有其獨特的歷史環境和主觀條件，在這樣的背景下，對這個科學家群體進行一個系統的總結是很必要的。1.2 研究意義伯努利家族的成功，對我們具有重要的研究意義，他們的數學熱情,興趣，數學的天才以及這個家庭的良好的數學傳統的熏陶成為他們成功的主客觀原因。從方法論的角度看，“對于科研人員來說，最基本的兩種品格就是對科學的熱愛和難以滿足的好奇心”。這是科學家確定自己的

9、科研方向和選擇課題的重要條件，他們具備了這個條件。對數學的極大熱情和興趣，使伯努利家族的成員們看到了數學的光輝前景，確定了自己的理想和事業的目標，成為他們研究數學的非常可貴的動力，致使雅格布醉心于天心學和數學，獨自地學習和研究它們，他們受到了良好的家庭教育，使得他們更加了數學的熱情，有了良好的數學素養，運用他們的數學才能善于抓住當時各數學分支中最關鍵的，需要發展和完善的基本概念和基本問題創造性地工作，從而在數學上做出了突出的成就。1.3本課題的研究現狀隨著生產力的發展和科學技術的進步，國內外有不少學者對伯努利理論進行研究，研究內容主要集中在數學、物理學、力學、醫學等方面，比如著名學者王靜發表的

10、淺談伯努利家族在科學界貢獻，印向東的伯努利概型的應用等。同時在應用的過程中也產生了一系列問題，因此對伯努利家族的貢獻繼續研究，尤其是在流體動力學方面的研究越來越深刻，并不斷將研究成果賦予實踐，推動航天事業的發展。另外研究者也在不斷的嘗試著用伯努利理論來解決生活中的問題。不斷豐富其理論，為其他的科學的發展提供理論支持，也為后人的研究打下了堅實的基礎，對于理論的研究是無止境的，因此有關伯努利理論的研究也是無止境的！1.4 本文解決的主要問題在現在看來，伯努利家族的貢獻是有長遠發展的意義的，有必要對它們家族的歷史和他們的生活習慣或是他們如何成功的，更重要的是對他們的研究成果，做一個系統，全面的了解，

11、本文利用一些重要的參考文獻或是他人對伯努利家族的評價，以及加上我自己對伯努利世家的了解，和對伯努利成就的理解和生產實踐應用等諸多方面，本文試圖就這些方面做出一定的分析，歸納起來，本文的主要研究內容如下：（1）伯努利家族的概況，這是怎樣的一個家族，是什么在讓這個家族，人才輩出。以及家族的傳奇和軼事；（2）對家族中比較卓越的幾位成員的個人經歷進行概括的介紹，看看這個家族的數學家是如何成為大數學家的；（3）介紹一些經典的以伯努利命名的定理、定律，以及他們在數學分析中的應用。（4）對于這樣一個不平凡的家族，不僅在數學方面頗有成就，所以本文也將在物理，醫學等方面對伯努利家族的貢獻做一些介紹。2 介紹伯努

12、利家族 2.1 伯努利家族的概況伯努利家族（1718世紀）Bernoulli family，原籍比利時安特衛普，1583年遭天主教迫害遷往德國法蘭克福，最后定居瑞士巴塞爾。17世紀的歐洲大陸在思想上處于相對保守的時期，科學剛剛有所發展，伯努利家族定居的瑞士處于歐洲大陸文化和經濟的交匯處，是個“自由”風氣盛行的國度，特別是瑞士的第二大名城巴塞爾自由城，長久以來是歐洲大陸文化和學術中心，巴塞爾大學又是歐洲最古老的的大學之一，這些為伯努利家族的成長提供了良好的社會環境，其家族成員就是在這樣的社會文化氛圍中接受熏陶和培養，展現自己的數學天賦。同時，伯努利家族也有著適合數學思維的良好遺傳，這也是伯努利家

13、族成功的不可否認的原因。伯努利這個名門望族中有據可查的120人紅近半數是優秀人才，其中有學者、教育家、藝術家、科學家、政治家，不少人名傳后世，堪稱數學史上的一個神話。圖1 伯努利家族主要成員世系老尼古拉伯努利（Nicolaus Bernoulli，公元16231708年）生于巴塞爾，受過良好教育，曾在當地政府和司法部門任高級職務。他有3個有成就的兒子。其中長子雅各布（Jocob，公元16541705年）和第三個兒子約翰（Johann，公元16671748年）成為著名的數學家，第二個兒子小尼古拉（Nicolaus I，公元16621716年）在成為彼得堡科學院數學界的一員之前，是伯爾尼的第一個法

14、律學教授。其中家族中成就最大的三人是雅各布第一伯努利（Jacob Bernoulli），約翰第一伯努利（Johann Bernoulli），丹尼爾第一伯努利（Daniel Bernoulli）。2.2 伯努利家族的傳奇和軼事伯努利家族曾產生許多傳奇和軼事，對于這樣一個既有科學天賦然而又語言粗暴的家族來說，這似乎是很自然的事情。一個關于丹尼爾的傳說這是樣的：有一次在旅途中，年輕的丹尼爾同一個風趣的陌生人閑談，他謙虛地自我介紹說：“我是丹尼爾伯努利。”陌生人立即帶著譏諷的神情回答道：“那我就是伊薩克牛頓。”作為丹尼爾，這是他有生以來受到過的最誠懇的贊頌，這使他一直到晚年都甚感欣慰。最為人們津津樂道

15、的軼事之一，是雅各布癡心于研究對數螺線()，他發現，對數螺線經過各種變換后仍然是對數螺線：如它的漸屈線和漸伸線是對數螺線，自極點至切線的垂足的軌跡，以極點為發光點經對數螺線反射后得到的反射線，以及與所有這些反射線相切的曲線（回光線）都是對數螺線他驚嘆這種曲線的神奇，竟在遺囑里要求后人將對數螺線刻在自己的墓碑上，并附以頌詞“縱然變化，依然故我”，用以象征死后永生不朽2.3 伯努利家族主要成員介紹2.3.1雅各布第一伯努利生平1654年12月27日，雅各布伯努利生于巴塞爾，畢業于巴塞爾大學，1671年17歲時獲藝術碩士學位。這里的藝術指“自由藝術”，包括算術、幾何學、天文學、數理音樂和文法、修辭、

16、雄辯術共7大門類。 1678年和1681年，雅各布伯努利兩次外出旅行學習，到過法國、荷蘭、英國和德國，接觸和交往了許德、玻意耳、胡克、惠更斯等科學家，寫有關于彗星理論（1682年）、重力理論（1683年）方面的科技文章。1687年，雅各布在教師學報上發表數學論文用兩相互垂直的直線將三角形的面積四等分的方法，同年成為巴塞爾大學的數學教授，直至1705年8月16日逝世。 1699年，雅各布當選為巴黎科學院外籍院士；1701年被柏林科學協會（后為柏林科學院）接納為會員。 許多數學成果與雅各布的名字相聯系。例如懸鏈線問題（1690年），曲率半徑公式（1694年），“伯努利雙紐線”（1694年），“伯努

17、利微分方程”（1695年），“等周問題”（1700年）等。 雅各布對數學最重大的貢獻是在概率論研究方面。他從1685年起發表關于賭博游戲中輸贏次數問題的論文，后來寫成巨著猜度術，這本書在他死后8年，即1713年才得以出版。 2.3.2 約翰伯努利生平約翰伯努利（Johann Bernoulli，1667年7月27日1748年1月1日）出生于瑞士巴塞爾，是一位杰出的數學家。他是雅各布伯努利的弟弟，丹尼爾伯努利（伯努利定律發明者）與尼古拉二世伯努利的父親。 從巴塞爾大學畢業后，約翰遷移至日內瓦，在那里教微分方程。1694年，約翰與 (Dorothea Falkner)共結連理。不久后，他成為格羅寧

18、根大學的數學教授。1705年，由于岳父病重，想要與女兒共享天倫之樂。因此，約翰決定返回巴塞爾家鄉教書。在歸途中，他得到哥哥雅各布因患肺結核過世的噩耗。約翰原本去巴塞爾大學當希臘文教授的計劃，也因而有所改變。為了紀念雅各布對學術界的貢獻，巴塞爾大學聘請他繼承哥哥的數學教授職位。 在舉世矚目的牛頓-萊布尼茨辯論中，牛頓與萊布尼茨兩派人馬，因為誰是微積分的發明者的榮譽，產生了激烈地爭執 (Newton-Leibniz debate)。約翰是萊布尼茨微積分的學生；他站在萊布尼茨這一邊。約翰甚至為萊布尼茨辯護；一些牛頓方法無法解答的問題，萊布尼茨的優秀方法可以給予圓滿的答案。但是，由于約翰對于牛頓的反對

19、，以及他和笛卡兒跟隨者的合作，他大力支持笛卡兒的渦旋理論，同時又強烈地攻擊牛頓萬有引力定律。因此，牛頓理論在歐洲地廣泛接受被拖延了很久。 1691年，約翰成功地解答了雅各布著名的懸鏈線問題，這使兄弟倆之間的緊張關系更猶如火上澆油。1696年，約翰提出了自己已解出的最速降線問題。在短短的兩年內，他接到五個解答，其中一個是雅各布給予的。約翰也曾經建議了一個流體永動機。 2.3.3丹尼爾伯努利生平丹尼爾伯努利，(Daniel Bernoulli 17001782)瑞士物理學家、數學家、醫學家。1700年2月8日生于荷蘭格羅寧根。著名的伯努利家族中最杰出的一位。他是數學家伯努利的次子，和他的父輩一樣，

20、違背家長要他經商的愿望，堅持學醫，他曾在海得爾貝格、斯脫思堡和巴塞爾等大學學習哲學、論理學、醫學。1721年取得醫學碩士學位。努利在25歲時(1725)就應聘為圣彼得堡科學院的數學院士。8年后回到瑞士的巴塞爾，先任解剖學教授，后任動力學教授，1750年成為物理學教授。在17251749年間，伯努利曾十次榮獲法國科學院的年度獎。 1782年3月17日，伯努利在瑞士巴塞爾逝世，終年82歲。 約翰伯努利想迫使他的第二個兒子丹尼爾去經商，但丹尼爾在不由自主地陷進數學之前，曾寧可選擇醫學成為醫生。 丹尼爾認為圣彼得堡那地方的生活比較粗鄙，以至于8年以后的1733年，他找到機會返回巴塞爾，終于在那兒成為解

21、剖學和植物學教授，最后又成為物理學教授。 1734年，丹尼爾榮獲巴黎科學院獎金，以后又10次獲得該獎金。能與丹尼爾媲美的只有大數學家歐拉。丹尼爾和歐拉保持了近40年的學術通信，在科學史上留下一段佳話。 在伯努利家族中，丹尼爾是涉及科學領域較多的人。他出版了經典著作流體動力學(1738年)；研究彈性弦的橫向振動問題(17411743年)，提出聲音在空氣中的傳播規律(1762年)。他的論著還涉及天文學(1734年)、地球引力(1728年)、湖汐(1740年)、磁學(1743、1746年)，振動理論(1747年)、船體航行的穩定(1753、1757年)和生理學(1721、1728年)等。凡尼爾的博學

22、成為伯努利家族的代表。 丹尼爾于1747年當選為柏林科學院院士，1748年當選巴黎科學院院士，1750年當選英國皇家學會會員。他一生獲得過多項榮譽稱號。3 伯努利家族在數學中的貢獻3.1 伯努利方程伯努利方程：形如 (3.1)的方程稱為伯努利方程，其中為常數，且.伯努利方程是一類非線性方程，但是通過適當的變換，就可以把它化為一階線性的.伯努利方程的解法(1)一般解法伯努利方程： （0，1），其一般解法步驟如下： 方程兩端同除以得： 令即可化為一階線性微分方程： 通過常數變易法求得一階線性非齊次方程的通解 最后經變量代換得原方程的通解， 即： 例3.1.1 求解方程 解 這是一個伯努利方程，兩端

23、同乘以2y，得 令y ,這已經是線性方程，它的解為 z = Cx+.于是，原方程的解為 y = .(2)常數變易法方程， （3.2）（3.2）的齊次方程的通解為：.設原方程的通解為：，代入（3.2）得：這是一個可分離變量的微分方程，可求出即： ，則原方程的通解為:例3.1.2 解微分方程：解 原伯努利方程的齊次方程為：，其通解為：設原方程的通解為：，代入原方程得：，整理得：，積分得： ，則原方程的通解為： 3.2 伯努利概型對于伯努利家族在概率方面的研究，我們很容易想到曾經學過的伯努利概型，在許多問題中，我們對試驗感興趣的是試驗中某件事是否發生。例如，擲硬幣試驗中，關心的是出現正面還是出現反面

24、;產品抽樣檢查中，注意抽取的產品是正品還是廢品；射擊試驗中命中還是不命中；比賽中，勝還是負；。在這類問題中試驗的結果只有兩個，或者事件發生，或者事件不發生即不發生，這種只有兩個結果的試驗稱為伯努利試驗。現在考慮重復進行n次獨立的伯努利試驗。這里“重復”的意思是指各次試驗的田間是相同的。它意味著各次試驗中事件發生的概率保持不變，設這都是（從而的概率也保持不變設都是。“獨立”的意思是指各次試驗的結果是相互獨立的。這種試驗所對應的數學模型成為伯努利模型。有時為了突出試驗次數n，也稱為n次伯努利概型或n重伯努利概型。 關于伯努利概型，有如下的重要的定理。 定理3.2 對于伯努利概型，事件在n次試驗中發

25、生k次的概率為（0）證明 記得“n次試驗中事件發生k次”，=“第i次試驗中事件發生”，i=1,2,3，,n.事件應是n次試驗中k次發生A其余n-k次發生的一切可能的事件的和，即 AAA顯見，和式中共有項，且兩兩互不相容；有試驗的獨立性，可以知道各項中的諸事件是相互獨立的，于是不難算得各項概率均為。利用概率的有限可加性知P（B）=，即 .例3.2.1 在圖書館中只有存放技術書和數學書，任一讀者借技術書的概率為0.2，而借數學書的概率為0.8.設每人只借一本書，有5名讀者依次借書，求至多有2人借數學書的概率。解 一個讀者節一本書有兩種結果，或者借數學書（事件A）。或者借技術書（事件）,因此一個讀者

26、借一本書可以看作是一次伯努利試驗,5名讀者各借一本書可以看作是n=5的伯努利概型。問題歸結為計算5次伯努利概型事件中A至多發生2次的概率，其中P(A)=0.8，P()=0.2.按照定理的所求概率為 P = = C(0.2)+C(0.8)(0.2)+C(0.8)(0.2) 例3.2.2 某廠每天的產品分三批包裝，規定每批產品的次品率低于0.01才能出產。某日有三批產品等待檢驗出廠，檢驗員進行抽樣檢查，從三批產品中各抽出一件進行檢驗，發現有一件是次品,問該日產品能否出廠？解： 假設該日產品能出廠，表明每批產品的次品率都低于0.01，在這條件下，我們來計算事件B=“3件產品中至少有1件是次品”的概率

27、。假如將抽出的一件產品是次品看作事件A，是正品看作,那么P（A）=p，所求概率為3次伯努利概型中事件A至少發生一次的概率，于是 P（B）= = 1- P(0) =1- Cp （1-p） =1-（1-p）1-（0.99）這是一個小概率，在一次試驗中B可以認為是不可能發生的。然而現在經過一次檢查中發現有一次是次品，也就是小概率事件B在一次試驗中竟然發生了，這表明原來假設不正確，即該日產品不能出廠。3.3 伯努利大數定律伯努利是第一個研究這一問題的數學家，他于1713年首先提出后人稱之為“大數定律”的極限定理。因此概率論歷史上第一個極限定理屬于伯努利。它是概率論與數理統計學的基本定律之一，屬于弱大數

28、定律之一，當然也稱為伯努利大數定律。 它可以通俗的理解，有些隨機事件無規律可循，但不少卻是有規律的，這些“有規律的隨機事件”中在大量重復出現的條件下，往往呈現幾乎必然的統計特性，這個規律就是大數定律。通俗地說，這個定理就是，在試驗不變的條件下，重復試驗多次，隨機事件的頻率近似于它的概率。例如：在重復投擲一枚硬幣的隨機試驗中，觀測投擲n次硬幣中出現正面的次數。不同的n次試驗，出現正面的頻率（出現正面次數與n之比）可能不同，但當試驗的次數n越來越大時，出現正面的頻率將大體上逐漸接近于。頻率靠近概率的一種客觀存在的，可以直接觀察到的現象。而伯努利給這種現象給予了一種確切的含義。隨著數學的發展，隨機變

29、量序列服從大數定律的證明，出現了更多更廣泛的大數定律，例如契貝曉夫大數定律，伯努利大數定律就是契貝曉夫大數定律的一個特例。定理（伯努利大數定律）設是n重伯努利實驗中事件A出現的次數，且A在每次試驗中出現的概率為p（0p1）,則，有 證明 令 E（）= p，D()=p(1-p)，i=1,2,n,而于是從而有即 此定理表明：當n很大時，n重伯努利試驗中事件A發生的頻率幾乎等于事件A在每次試驗中發生的概率 即p=，這個定律以嚴格的數學形式刻畫了頻率的穩定性，因此，在實際應用中，當試驗次數很大時，便可以用事件發生的頻率來代替事件的概率。例3.3.1 拋擲一顆均勻的骰子，為了至少有95的把握使六點向上的

30、概率與概率之差落在0.01的范圍之內，問需要拋擲多少次？解 問題是求滿足不等式 參照伯努利大數定理的證明過程，顯見D（）=npq=，從而 欲使，只要，解上述不等式，求得n3.4 伯努利不等式伯努利不等式：對任意整數，和任意實數，有成立；如果是偶數，則不等式對任意實數成立。可以看到在或時等號成立；而對任意正整數和任意實數，有嚴格不等式：。伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。伯努利不等式的一般式為：，當且僅當時等號成立。證明 設，則。證用數學歸納法證明。當時，易知上述不等式成立，設對，有：成立，則即，有。推廣 下面把伯努利不等式推廣到實數冪形式：若或，有； 若，有例3.4.1已知（1）對

31、于。已知，求證：（2）求出滿足等式的所有正整數n證明：（1）當，時；由（1）知于是 （2）由（1）知，當時，即，即當時不存在滿足該等式的正整數n，故只需討論的情況，經檢驗，可求n只有4 伯努利家族在科學界的貢獻4.1 伯努利方程在物理中的應用伯努利不僅是一位數學家，還是一位物理學家 (1)1738年出版了流體動力學一書，共13章。這是他最重要的著作。書中用能量守恒定律解決流體的流動問題，寫出了流體動力學的基本方程，后人稱之為“伯努利方程”，提出了“流速增加、壓強降低”的伯努利原理。 (2)他還提出把氣壓看成氣體分子對容器壁表面撞擊而生的效應，建立了分子運動理論和熱學的基本概念，并指出了壓強和分

32、子運動隨溫度增高而加強的事實。 (3)從1728年起，他和歐拉還共同研究柔韌而有彈性的鏈和梁的力學問題，包括這些物體的平衡曲線，還研究了弦和空氣柱的振動。 (4)他曾因天文測量、地球引力、潮汐、磁學、洋流、船體航行的穩定、土星和木星的不規則運動和振動理論等成果而獲獎。伯努利通過實驗得出：理想流體在做穩定流動時，流速大的地方壓強小，流速小的地方壓強大(但并非反比關系)，其數學表達式為 這就是著名的伯努利方程.利用伯努利方程來解決實際問題(1)確定靜止液面下深度為h處的壓強如右圖所示，在裝有液體的容器里取液面上的點A和在液面下深h處的點B來研究，以點B處的水平面作為零(勢能)參考面，則,又因液體靜

33、止，代入伯努利方程得(2)求液體從小孔中流出的流速設在液面下深為h的容器壁上有一小孔，液體從小孔中流出，取在液面上點A和小孔處點B來研究，因為容器的截面比小孔的截面大得多，所以容器中水面的下降很慢，點A處的液體微粒的流速可以不計，即，以B點處高度為零，則，點A、B處與大氣接觸，所以（大氣壓），代入伯努利方程得 即(3)測量流體的流速測量流體在管中的流速時，可用下圖所示的儀器， 因為它常用來測量氣流速度，所以叫做氣流速度計，分別把必多管A(必多管是一根一端封閉的彎管，封閉端A光滑微尖，并在靠近封閉端的側面上開有很多的小孔)和一個管口朝向氣流的管子B(動壓管)接在U形管壓強計上，據U形管兩邊的液柱

34、的高度差便可求出氣體的流速。設氣體穩定流動的速度是v，氣體的密度是，壓強計內液體的密度是，在管A上小孔處氣體的壓強是，管B中氣體的壓強是，管B中氣體因受管里流體的阻礙，它的流速等于0，由于管A與管B的端口均在同一高度上且氣體的同一流線上，據伯努利方程得 故 .根據U形管兩邊的高度差h，可求出兩管中的氣體的壓強差為 由以上各式得因此，測量出h就可以求出氣流的速度(1) 液流和氣流的空吸作用如下圖所示，若在水平管的細頸處開一小孔A，用細管接入容器B中容器內，流動液體不但不會流出，而且容器B中液體可以被吸上去，為研究此原理，做如下推導：設左上方容器E很大，流體流動時，液面無顯著下降，液面與出液孔的高

35、度差為h，和分別表示水平管上小孔A與出液孔F處的橫截面積，用表示液體的密度，設液體為理想流體，取容器E中液面上的點C和水平管上小孔A以及出液孔F處的水作為研究對象，據伯努利方程，得到：又因為代入上式得到 據流體在水平管中做穩定流動時，管中各處的流量不變，有:由上述幾式綜合得到則 即小孔C處有一定的真空度，因此可將B中液體吸入，這種現象叫做空吸作用不但液流有空吸作用，氣流也同樣有空吸作用，所遵循的規律也相同，空吸作用的應用很廣，化學實驗室中的水流抽氣機、內燃機的汽化器、蒸汽鍋加水所用的射水器是根據這個原理制成的 伯努利效應 1726年，伯努利通過無數次實驗，發現了“邊界層表面效應”：流體速度加快時,物體與流體接觸的界面上的壓力會減小，反之壓力會增加。為紀念這位科學家的貢獻，這一發現被稱為“伯努利效應”。伯努利效應適用于包括氣體在內的一切流體,是流體作穩定流動時的基本現象之一，反映出流體的壓強與流速的關系，流速與壓強的關系：流體的流速越大，壓強越小；流體的流速越小，壓強越大。 比如，管道內有一穩定流動的流體，在管道不同截面處的豎直開口細管內的液柱的高度不同，表明在穩定流動中，流速大的地