1、精選優質文檔-傾情為你奉上2013年高三理科數學第一輪復習（2） 函數的值域及最值考綱要求1、會求函數的值域2、會求函數的最值命題規律函數值域問題高考考查一般都有一定難度，雖然課本上出現較少，但高考中卻時常出現，因此對一些常用方法要熟練掌握。函數的最值問題通常同值域和單調性一起考查。單調性和最值的幾何意義也時常出現，這種題往往具有一定的技巧性。考點解讀考點1 函數的值域 確定函數的值域或最值必須首先探求函數在其定義域內的單調情況。若是基本初等函數，則優先考慮采用特殊方法，如不等式法、配方法、幾何法、換元法，也可直接利用它的圖像和性質求解；若為其他函數，則可先利用單調性定義或導數法確定其性質，再

2、求值域。考點2 函數的最值求最值的方法很多，常見的有單調性法、換元法、判別式法、不等式法及導數法等。用法也比較靈活，解題時要注意具體問題具體分析，根據給出的函數的特征決定用何種方法。分段函數求最值一般以選擇題或填空題的形式出現，難度較小。考點突破考點1 函數的值域典例1 設函數，則的值域是（ ）（A） （B） （C）（D）解題思路 分段函數，分段求值域，然后綜合考慮。解題過程 依題意知，。選D易錯點撥 本題主要考查函數分類函數值域的基本求法，難點在于沒有直接給出分段范圍，要去自己去解，理解上有一定難度。變式1 函數的值域為 ( ) AR B C D點撥 對于分段函數的值域，可看做兩個函數，分別

3、求出值域再取并集。答案 當時，；當時， 所以值域為 選B典例2 已知二次函數f(x)ax2x(aR)，對任意總有，則實數a的最大整數值為( )A -2 B0 C2 D4解題思路 求分式型函數的值域的方法：（1）上下都是一次時，分離常數；（2）既有一次又有二次時，先把一次換為，再用表示二次，最后轉化為“倒和”或“倒差”；（3）上下均為二次時，判別式法。解題過程 由得， 即，所以，題目要求實數的最大值，即求函數的最小值，現令，即求的最小值，則時取最小值2，故選C。易錯點撥 本題也可先換元：令的范圍，再結合的圖象解題。變式1 規定符號表示一種運算，即其中、；若，則函數的值域；點撥 由已知可得1則得所

4、以=，又因為，所以在定義域上單調增，則最小值在時取得，為1，所以值域為。答案 考點2 函數的最值典例1 求在區間上的最大值和最小值。解題思路 解決該問題的方法是結合圖象分類討論。解題過程 ，對稱軸為直線。（1）當時，畫出簡圖，由圖可知，（2）當時，畫出簡圖，由圖可知，（2）當時，畫出簡圖，由圖可知，（2）當時，畫出簡圖，由圖可知，易錯點撥 該題為典型的“軸動區間定”型題目，求最小值時可以分三種情況討論，但對稱軸在區間內所對應的區域時，最大值可能是，也可能是，故應分4種情況。解答此類問題時，畫出草圖是必不可少的，有助于解題。變式1 求函數的最大值。點撥 可以考慮用換元法將其轉化為二次函數的最值問

5、題，但注意倒為增函數，為減函數，則原函數是增函數，于是利用函數的單調性求其最值。答案 法一：令，則所以因為，所以在上為減函數，所以當時，y有最大值。法二：函數的定義域為因為在上遞增，在上遞減，所以在上為增函數，所以當時，y有最大值。綜合突破突破1 函數的最值問題與單調性結合考查典例1 已知函數f(x)對于任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當x0時，f(x)0，f(1)。(1)求證：f(x)在R上是減函數；(2)求f(x)在3，3上的最大值和最小值解題思路 對于抽象函數的單調性的判斷仍然要緊扣單調性的定義，結合題目所給性質和相應的條件，對任意x1，x2在所給區間內比較f(x1)f(

6、x2)與0的大小，或與1的大小有時根據需要，需作適當的變形：如x1x2·或x1x2x1x2等解題過程 (1)證明：法一：函數f(x)對于任意x，yR總有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0。再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1x2，則x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0時，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是減函數法二：設x1x2，則f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0時，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0

7、，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上為減函數(2)解f(x)在R上是減函數，f(x)在3，3上也是減函數，f(x)在3，3上的最大值和最小值分別為f(3)與f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2。f(x)在3，3上的最大值為2，最小值為2。易錯點撥 抽象函數單調性的判斷，仍須緊扣定義，結合題目作適當變形變式1 已知定義在區間(0，)上的函數f(x)滿足ff(x1)f(x2)，且當x1時，f(x)0。(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調性；(3)若f(3)1，求f(x)在2，9上的最小值點撥 (1)令x1x20，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0。(2)

8、任取x1，x2(0，)，且x1x2，則1，由于當x1時，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函數f(x)在區間(0，)上是單調遞減函數(3)f(x)在0，)上是單調遞減函數f(x)在2，9上的最小值為f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2。f(x)在2，9上的最小值為2。答案 （1）f(1)0；（2）單調遞減函數；（3）最小值為2。突破2 函數最值與導數結合考查典例2 已知函數，（I）求的單調區間；（II）求在區間上的最小值。解題思路 對函數進行求導運算，然后根據函數的單調性確定其最值解題過程 （I），令；

9、所以在上遞減，在上遞增；（II）當時，函數在區間上遞增，所以；當即時，由（I）知，函數在區間上遞減，上遞增，所以；當時，函數在區間上遞減，所以易錯點撥 注意求導的準確性。注意各個區間的單調性的討論。快樂訓練1、函數f(x)log2(3x1)的值域為()A(0，) B0，) C(1，) D1，)2、若函數，則（）Alg101BbC1D03、函數的定義域為，對任意，則的解集為（ ）A（，1） B（，+） C（，）D（，+）4、函數的最大值是_。5、方程的解為_。6、已知函數則的值是( )A 27 B C D 7、定義， 則等于（ ） A B C D8、設函數，證明：當0時，0；提高訓練1、設，則的

10、解集為（ ）A。 B。 C。 D。2、設，則_。3、設是定義在上，以1為周期的函數，若函數在區間上的值域為，則在區間上的值域為 。 4、在平面直角坐標系中，過坐標原點的一條直線與函數的圖象交于P、Q兩點，則線段PQ長的最小值是_。5、設函數對任意，恒成立，則實數的取值范圍是6、已知函數，求函數的最大值；7、某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為立方米，且。假設該容器的建造費用僅與其表面積有關。已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為。設該容器的建造費用為千元。（）寫出關于的函數表達式

11、，并求該函數的定義域；（）求該容器的建造費用最小時的。8、設。（1）若在上存在單調遞增區間，求的取值范圍；（2）當時，在上的最小值為，求在該區間上的最大值。超越訓練1、如圖，建立平面直角坐標系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米。某炮位于坐標原點。已知炮彈發射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發射方向有關。炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標。(1)求炮的最大射程;(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3。2千米，試問它的橫坐標不超過多少時，炮彈可以擊中它?請說明理由。2、提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時

12、）是車流密度（單位：輛/千米）的函數當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數（）當時，求函數的表達式；（）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）3、如圖，長方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動，速度為，雨速沿E移動方向的分速度為。E移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設其值與×S成正比，比例系數為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記為E移動過程中的總淋雨量，當移動距離d=100，面積S=時。（）寫出的表達式（）設0v10，