1、 高中常見數學思想方法方法一 函數與方程的思想方法函數是中學數學的一個重要概念，它滲透在數學的各部分內容中，一直是高考的熱點、重點內容.函數的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系，建立函數特征，重在對問題的變量的動態研究，從變量的運動變化、聯系和發展角度拓寬解題思路.方程的思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解.函數與方程的思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題；二是

2、在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質,達到化難為易，化繁為簡的目的.有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的.【例1】 設等差數列的前項的和為，已知.（1）求公差的取值范圍；（2）指出、中哪一個值最大，并說明理由.【分析】 （1）利用公式與建立不等式，容易求解的范圍；（2）利用是的二次函數，將中哪一個值最大，變成求二次函數中為何值時取最大值的函數最值問題.【解】（1） 由12,得到122，所以126612(122)66144420，137813(122)78156520. 解得：.（2）解法一：（函數的思想） 因為，故最小時

3、，最大.由得，故正整數6時最小，所以最大.解法二：（方程的思想）由可知.因此，若在中存在自然數，使得，則就是，中的最大值 , 故在、中的值最大【點評】 數列的通項公式及前項和公式實質上是定義在自然數集上的函數，因此可利用函數思想來分析,即用函數方法來解決數列問題；也可以利用方程的思想，利用不等式關系，將問題進行算式化，從而簡潔明快.由此可見，利用函數與方程的思想來解決問題，要求靈活地運用、巧妙的結合，發展了學生思維品質的深刻性、獨創性.ABOF【例1】 在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左右頂點為A,B，右頂點為F，設過點T（）的直線TA,TB與橢圓分別交于點M，其中m>0,（1）設動

4、點P滿足,求點P的軌跡；（2）設，求點T的坐標；（3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）.【解】 （1）由題意知，設，則 化簡整理得.（2）把，代人橢圓方程分別求出， 直線 直線 、聯立得.（3），直線，與橢圓聯立得直線，與橢圓聯立得直線,化簡得令，解得，即直線過軸上定點.【點評】 本題主要考查求簡單曲線的方程，考查直線與橢圓的方程等基礎知識，考查運算求解能力和探究問題的能力.而且，本題在解決問題時，無論求點的坐標，還是求點P的軌跡方程，都靈活運用了方程的思想，特別是在證明過程中更是很好地利用方程的有關知識，使問題畫繁為簡，華難為易.方法二 數形結合的思想方法正確利用數形結

5、合，應注意三個原則：（1）等價性原則數形信息的轉換應該是等價的、充要的.要注意由于圖形的直觀性，往往可以成為嚴格推證的啟導，但有時不能完整表現數的一般性，考慮問題可能不完備.（2）雙向性原則數形結合的含意是雙向的，即考慮問題既注意代數問題幾何化，也注意幾何問題代數化，而不僅僅指前者.（3）簡單性原則有了解題思路，思考用幾何方法，還是代數方法，還是兩者兼而用之，要取決于解題的簡單性原則，而不能形而上學地讓幾何問題代數化，代數問題幾何化成為一種機械模式.運用數形結合的思想方法解題的途徑主要有三條:第一，以形助數：把一些數式的幾何意義明朗化，構造出解題的幾何模型，突顯問題的直觀性，使解題思路變得形像

6、而通暢;第二，以數助形：利用幾何圖形或圖像圖表中隱含的數式特征，構造出解題的代數模型(必要時建立坐標系)，突顯問題的本質，另辟解題的捷徑;第三，數形互助：根據問題的需要，將以形助數和以數助形二方面結合運用.數形結合的應用是廣泛的，數與形的結合點主要集中在以下幾個方面：1.研究函數的性質(單調性、奇偶性、周期性、對稱性、值域與最值等)，可從函數圖像的直觀性得到鮮明的啟示.2.利用數軸與坐標系(包括直角坐標系、極坐標系)，使數與點對應，使函數與圖像、方程與曲線結合，使代數與幾何聯結.這樣，可利用坐標或向量的運算，探索幾何圖形的相關性質；利用函數圖像與方程曲線的直觀性，探索函數或方程的性質.3.從統

7、計圖表、圖像中，收集分析出“數”的信息，由破譯的數量關系建立代數模型，探索相關的結論.這類數形信息的轉換能力是近年高考的新亮點.4.三角函數與單位圓、三角函數曲線的聯系.5.復平面與復數、向量的溝通.6.利用類比法、換元法(如三角換元)、構造法、坐標法等構造代數問題的幾何模型、幾何問題的代數模型，開辟解題的新思路.【例1】 （12年上海模擬）若函數滿足，且時，函數，則函數在區間內的零點個數為_.【答案】9【解】由題意，直接求解會很麻煩，且不易得到正確的答案，所以該題中求的零點,可以轉化為求與兩函數圖像的交點.則畫出與的圖像,由于在上為,且為周期函數,周期為2,而是分段函數,注意其圖像共分為三部

8、分,如圖,可等共有9個交點,其中有一個易錯點,即其中1個交點為(1,0)很容易被遺漏. 【點評】 要求在區間內的零點的個數，可轉化為求與交點的個數，可以作出圖形，觀察圖形易得交點的個數.本題體現了數形結合的思想,正是運用數形結合的思想方法解題的途徑中的以形助數.【例2】 函數y=f(x)的圖像為圓心在原點的兩段圓弧，試解不等式f(x)f(x)十x【解】 解法一：（以數助形）由題意及圖像，有，（1）當0<x1時, f(x)>f(x)+x得>+x, 解得0<x<（2）當1x<0時, 得>+x, 解得1x<, 原不等式的解集為1, )(0, ).解法二

9、：（數形互助）由圖象知f(x)為奇函數， 原不等式為f(x)>，而方程f(x)= 的解為x=±，據圖像可知原不等式解集為1, )(0, ).【點評】 本題以形看數（解式，奇偶性），以數解形（曲線交點A、B），最后以形解數（不等式），這才是真正意義上的數形結合，揚長避短方法三 分類討論的思想方法1.通常引起分類討論的原因，大致可歸納為如下幾點：(1)涉及的數學概念是分類定義的；(2)涉及運算的數學定義、公式或運算性質、法則是分類給出的；(3)涉及題中所給的限制條件或研究對像的性質而引起的；(4)涉及數學問題中參變量的不同取值導致不同結果而引起的；(5)涉及的幾何圖形的形狀、位置的

10、變化而引起的；(6)一些較復雜或非常規的數學問題，需要采用分類討論的解題策略解決的.2.分類討論的步驟一般可分為以下幾步：(1)確定討論的對像及其范圍；(2)確定分類討論的標準，正確進行分類；(3)逐類討論，分級進行；(4)歸納整合，作出結論.其中最重要的一條是“不漏不重”.學生必須對相關知識點或涉及的概念、定義、定理相當清楚，對于一些結論成立的條件掌握牢固，這樣才能在解題時思路清晰，才能知道何時必須進行分類討論，而何時無須討論，從而可以知道怎樣進行分類討論.【例1】（12年上海二模）點是函數圖像上的任意一點，點，則、兩點之間距離的最小值是_.【答案】【解】 當時，.時，即y9或y3，取最小值

11、0，但都為負數，不成立；當時，.當y4時，取最小值為綜上所述，、兩點之間距離的最小值為【點評】 由于題中給出的是絕對值函數，需要利用分類討論的思想去掉絕對值，然后再求解.體現了數學概念是分類定義的而引起的分類討論.【例2】設等比數列的公比為，前項和，求的取值范圍.【分析】在應用等比數列前n項和的公式時，由于公式的要求，分1和1兩種情況.【解】是等比數列，且前項和，且當時，；當時，即.上式等價于 或 ,由得,由得,的取值范圍為.【點評】本題正是分類討論中運算的數學定義、公式或運算性質、法則是分類給出的體現.【例4】已知實數,函數若,則的值為_.【答案】【解】首先討論，與1的關系.當時，所以；.因

12、為，所以，所以；當時，所以；.因為，所以，所以（舍去）.綜上，滿足條件的.【點評】本題的解題關鍵在于討論，與1的關系，正是體現了數學問題中參變量的不同取值導致不同結果而引起的分類討論.方法四 概括歸納的思想方法概括是在思維中將同一種類型的對像共同的本質屬性集中起來，結合為一般類型的屬性.歸納是一種邏輯型的思維形狀，是從幾個特殊情形做出一般結論的不完全的屬性.一類是性質和法則的歸納，如數列的基本性質，對數運算的法則的歸納過程；另一類是解題方法的歸納，如向量在物理中的應用等；第三類是歸納猜想，如由表格所給數據歸納幾個連續奇數的和等.【例2】在數列中， =13 ，且前項的算術平均數等于第項的2-1倍

13、（N*）（1）寫出此數列的前5項；（2）歸納猜想的通項公式，并用數學歸納法證明【分析】（1）利用數列前項的算術平均數等于第項的2-1倍，推出關系式，通過=2，3，4，5求出此數列的前5項；（2）通過（1）歸納出數列的通項公式，然后用數學歸納法證明第一步驗證=1成立；第二步，假設=猜想成立，然后證明=時猜想也成立.【解】（1）由已知= ， =（2-1），分別取=2，3，4，5，得，所以數列的前5項是：， ， .（2）由（1）中的分析可以猜想（N*） 下面用數學歸納法證明：當=1時，猜想顯然成立.假設當=（1且N*）時猜想成立，即 那么由已知，得，即所以，即，又由歸納假設，得，所以，即當時，猜想也

14、成立.綜上和知，對一切N*，都有成立【點評】 本題考查數列的項的求法，通項公式的猜想與數學歸納法證明方法的應用，注意證明中必須用上假設，考查計算能力，分析問題解決問題的能力正是體現了概括歸納的思想方法.方法五 化歸與等價變換的思想方法在解決數學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，需將原問題轉化成一個新問題（相對來說，對自己較熟悉的），通過對新問題的求解，達到解決原問題的目的.這一思想方法我們稱之為“轉換化歸思想”.而轉換化歸思想的基本原則就是：化難為易，化生為熟，化繁為簡，化未知為已知.1.利用轉換化歸思想解決數學問題時必須明確三個問題：（1）把什么東西進行轉換化歸，即化歸對像；（2）化歸

15、轉換到何處，即化歸轉換的目的；（3）如何進行轉換化歸，即轉換化歸的方法.2. 化歸與轉化常遵循以下幾個原則.（1）目標簡單化原則：將復雜的問題向簡單的問題轉化；（2）和諧統一性原則：即化歸應朝著使待解決問題在表現形式上趨于和諧，在量、形關系上趨于統一的方向進行，使問題的條件和結論更均勻和恰當；（3）熟悉化原則：將陌生的問題轉化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經驗和問題來解決；（4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決；（5）正難則反原則：即當問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設法從問題的反面去探求，使問題獲解3轉化與化歸常用到的方法（1）直接轉化法：把問題直接

16、轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題（2）換元法：運用“換元”把超越式轉化為有理式或使整式降冪等，把較復雜的函數、方程、不等式問題轉化為易于解決的基本問題（3）數形結合法：研究原問題中數量關系（解式）與空間形式（圖形）關系，通過互相變換獲得轉化途徑（4）構造法：“構造”一個合適的數學模型，把問題變為易于解決的問題（5）坐標法：以坐標系為工具，用計算方法解決幾何問題，是轉化方法的一個重要途徑（6）類比法：運用類比推理，猜測問題的結論，易于確定轉化途徑（7）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的結論適合原問題（8）等價問題法：把原問題轉化為一個易于解決的等價命題，達到轉化目

17、的（9）加強命題法：在證明不等式時，原命題難以得證，往往把命題的結論加強，即命題的結論加強為原命題的充分條件，反而能將原命題轉化為一個較易證明的命題，比如在證明不等式時：原命題往往難以得證，這時常把結論加強，使之成為原命題的充分條件，從而易證（10）補集法：如果下面解決原問題有困難，可把原問題結果看作集合A，而包含該問題的整體問題的結果類比為全集U，通過解決全集U及補集使原問題得以解決.化歸與等價變換的思想方法所涉及到的具體問題很多很多，如果不斷努力地用這種方法去解決一些數學問題或數學范疇以外的問題時，往往會出現事半功倍的奇特效果.【例1】 設、R且，求的范圍.【解】 方法一：等價轉化法(轉化

18、為函數問題)由0得02.設，則，代入已知等式得：，即，其對稱軸為=3.由02得0,4.所以的范圍是：04.方法二：數形結合法（轉化為解幾何問題）：由得，即表示如圖所示橢圓，其一個頂點在坐標原點.的范圍就是橢圓上的點到坐標原點的距離的平方.由圖可知最小值是0,距離最大的點是以原點為圓心的圓與橢圓相切的切點.設圓方程為，代入橢圓中消得.由判別式得,所以的范圍是：.方法三： 三角換元法，對已知式和待求式都可以進行三角換元（轉化為三角問題）：由得，設，則所以的范圍是：.【點評】本題運用多種方法進行解答，實現了多種角度的轉化，聯系了多個知識點，有助于提高發散思維能力.而且各種方法的運用，分別將代數問題轉

19、化為了其它問題，屬于問題轉換題型,正是體現了熟悉化原則，將不熟悉的知識轉化為自己熟悉的知識.【例2】設等比數列an的公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1、Sn、Sn+2成等差數列，則q=_.【答案】-2【解】， (a10)或（舍去）.【點評】 由于該題為填空題，我們不防用特殊情況來求的值.如：成等差，求的值.這樣就避免了一般性的復雜運算.既體現簡單化原則，也是特殊化方法的使用，正是轉化與化歸的思想方法的典型體現。【例4】 對于滿足的所有實數，求使不等式恒成立的取值范圍.【解】 原不等式化為，令，它是關于的一次函數，定義域為。由依次函數的單調性知解得：或【點評】 本題正是利用主元與參變量的關系，

20、視參變量為主元（即變量與主元的角色換位）,簡化問題在求解，正是轉化與化歸思想的典型體現.人生中每一次對自己心靈的釋惑，都是一種修行，都是一種成長。相信生命中的每一次磨礪，都會讓自己的人生折射出異常的光芒，都會讓自己的身心煥發出不一樣的香味。我們常常用人生中的一些痛，換得人生的一份成熟與成長，用一些不可避免的遺憾，換取生命的一份美麗。在大風大雨，大風大浪，大悲大喜之后，沉淀出一份人生的淡然與淡泊，靜好與安寧，深邃與寬厚，慈悲與欣然生活里的每個人，都是我們的一面鏡子，你給別人什么，別人就會回待你什么。當你為一件事情不悅的時候，應該想想你給過人家怎樣負面的情緒。世界上的幸福，沒有一處不是來自用心經營

21、和珍惜。當你一味的去挑剔指責別人的時候，有沒有反思過自己是否做得盡善盡美呢？假如你的心太過自我，不懂得經營和善待，不懂得尊重他人的感受，那么你永遠也不會獲得真正的愛和幸福人生就像一場旅行，我們所行走的每一步都是在豐富生命的意義。我們一邊穿越在陌生的吸引里，一邊咀嚼回味著一抹遠走光陰的舊味，一切都是不可預料，一切又似在預料之中。人生看的多了，走的多了，經歷的多了，也就懂得多了。每一份深刻的感悟大多來自一個人深刻的經歷。人生總有那么一兩件重大的事情讓你成熟和改變。這份錯失，會讓你反思自己，檢討自己，叩問自己，也讓你意識到了自己真正的缺失，這或許就是一份痛苦的領悟吧！人生可以平平淡淡，亦可以異彩紛呈。相信只要自己的德馨足夠善美，上天就會把最好的一切賜予你。予人快樂，收獲快