1、專題2.3 基本初等函數【三年高考】1. 【2017課標1，理11】設x、y、z為正數，且，則A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2xb1.若logab+logba=，ab=ba，則a=，b=.【答案】【解析】設，因為，因此6【2016高考上海理數】已知點在函數的圖像上，則.【答案】【解析】將點帶入函數的解析式得，所以，用表示得，所以.7【2016高考天津理數】已知函數f（x）=（a0,且a1）在R上單調遞減，且關于x的方程恰好有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是（ ）（A）（0， （B）， （C），（D），）【答案】C8【2016高考上海理數】已知，函數.（1）當時，解不等式；

2、（2）若關于的方程的解集中恰好有一個元素，求的取值范圍；（3）設，若對任意，函數在區間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.【解析】（1）由，得，解得（2），當時，經檢驗，滿足題意當時，經檢驗，滿足題意當且時，是原方程的解當且僅當，即；是原方程的解當且僅當，即于是滿足題意的綜上，的取值范圍為（3）當時，所以在上單調遞減函數在區間上的最大值與最小值分別為， 即，對任意成立因為，所以函數在區間上單調遞增，時，有最小值，由，得故的取值范圍為9.【2015高考四川，理8】設a，b都是不等于1的正數，則“”是“”的 （ ）（A） 充要條件 （B）充分不必要條件（C）必要不充分條件 （D）既不充分

3、也不必要條件【答案】B【解析】若，則，從而有，故為充分條件. 若不一定有，比如.，從而不成立.故選B.10.【2015高考天津，理7】已知定義在 上的函數 （為實數）為偶函數，記 ，則 的大小關系為( )（A） （B） （C） （D）【答案】C11.【2015高考浙江，理18】已知函數，記是在區間上的最大值.（1） 證明：當時，；（2）當，滿足，求的最大值.【解析】（1）由，得對稱軸為直線，由，得，故在上單調，當時，由，得，即，當時，由，得，即，綜上，當時，；（2）由得，故，由，得，當，時，且在上的最大值為，即，的最大值為.【2017考試大綱】1.指數函數(1)了解指數函數模型的實際背景.(2

4、)理解有理指數冪的含義,了解實數指數冪的意義,掌握冪的運算.(3)理解指數函數的概念,理解指數函數的單調性,掌握指數函數圖像通過的特殊點.(4)知道指數函數是一類重要的函數模型.2.對數函數(1)理解對數的概念及其運算性質,知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數；了解對數在簡化運算中的作用.(2)理解對數函數的概念,理解對數函數的單調性,掌握對數函數圖像通過的特殊點.(3)知道對數函數是一類重要的函數模型.a(4)了解指數函數與對數函數互為反函數.3.冪函數(1)了解冪函數的概念.(2)結合函數的圖像,了解它們的變化情況.【三年高考命題回顧】縱觀前三年各地高考試題, 對基本初等函數

5、的考查，大部分是以基本初等函數的性質為依托，結合運算推理解決問題，高考中一般以選擇題和填空的形式考查.純基本初等函數的試題，一般考查指對數式的基本運算性質.【2018年高考復習建議與高考命題預測】由前三年的高考命題形式 , 冪函數新課標要求較低，只要求掌握冪函數的概念，圖像與簡單性質，僅限于幾個特殊的冪函數，關于冪函數常以5種冪函數為載體，考查冪函數的概念、圖象與性質，多以小題形式出現，屬容易題二次函數的圖象及性質是近幾年高考的熱點；用三個“二次”間的聯系解決問題是重點，也是難點題型以選擇題和填空題為主，若與其他知識點交匯，則以解答題的形式出現.指數函數在歷年的高考題中占據著重要的地位.對指數

6、函數的考查，大多以基本函數的性質為依托，結合運算推理，能運用它們的性質解決具體問題.為此，我們要熟練掌握指數運算法則，明確算理，能對常見的指數型函數進行變形處理.高考題目形式多以指數函數為載體的復合函數來考察函數的性質.同時它們與其它知識點交匯命題，則難度會加大.對數函數在歷年的高考題中占據著重要的地位.從近幾年的高考形勢來看，對對數函數的考查，大多以基本函數的性質為依托，結合運算推理，能運用它們的性質解決具體問題.為此，我們要熟練掌握對數運算法則，明確算理，能對常見的對數型函數進行變形處理.高考題目形式多以對數函數為載體的復合函數來考察函數的性質.同時它們與其它知識點交匯命題，則難度會加大.

7、基本初等函數是考察函數、方程、不等式很好的載體，預測2018年高考繼續會對基本初等函數圖象和性質的考察.尤其注意以基本初等函數特別是指對函數為模型的抽象函數的考察，這種題型只給出定義域內滿足某些運算性質的法則，往往集定義域、值域、單調性、奇偶性與一身，全面考察學生對函數概念和性質的理解.【2018年高考考點定位】高考對基本初等函數的考查有三種主要形式：一是比較大??；二是基本初等函數的圖象和性質；三是基本初等函數的綜合應用，其中經常以分段函數為載體考察函數、方程、不等式等知識的相聯系.【考點1】指數值、對數值的比較大小【備考知識梳理】指數函數，當時，指數函數在單調遞增；當時，指數函數在單調遞減.

8、對數函數，當時，對數函數在單調遞增；當時，對數函數在單調遞減.冪函數圖象永遠過（1,1），且當時，在時，單調遞增；當時，在時，單調遞減.【規律方法技巧】指數值和對數值較大小，若指數值有底數相同或指數相同，可以考慮構造指數函數和冪函數和對數函數，通過考慮單調性，進而比較函數值的大小；其次還可以借助函數圖象比較大小.若底數和指數不相同時，可考慮選取中間變量，指數值往往和1比較；對數值往往和0、1比較.【考點針對訓練】1. 【吉林省實驗中學2017屆高三第九次模擬】已知，則的大小關系是A. B. C. D. 【答案】A2. 【天津市耀華中學2017屆高三第一次校模擬】若，則（ ）A. B. C. D

9、. 【答案】A【解析】由題意可得：，則：.本題選擇A選項.【考點2】指數函數的圖象和性質【備考知識梳理】yaxa10a0時，y1；x0時，0y0時，0y1；x1過定點(0,1)在(，)上是增函數在(，)上是減函數【規律方法技巧】1、 研究指數函數性質時，一定要首先考慮底數的范圍，分和兩種情況討論，因為兩種情況單調性不同，相應地圖象也不同.2、與指數函數有關的函數的圖像的研究，往往利用相應指數函數的圖像，通過平移、對稱變換得到其圖像3、一些指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖像數形結合求解【考點針對訓練】1. 【云南省民族中學2017屆高三適應性考試（三）】設函數的圖象與的圖象

10、關于直線對稱，且，則_【答案】 2【山西省臨汾第一中學2017屆高三全真模擬】已知函數，則A. B. C. D. 【答案】D【解析】選D.【考點3】對數的運算性質和對數函數的圖象和性質【備考知識梳理】1對數的定義:如果，那么數叫做以為底的對數，記作其中叫做對數的底數，叫做真數2對數的性質與運算及換底公式(1)對數的性質：；(2)對數的換底公式:基本公式 (a，c均大于0且不等于1，b0)(3)對數的運算法則：如果，那么， ()3對數函數的圖像與性質a10a1圖像定義域(0，)值域R定點過點(1,0)單調性在(0，)上是增函數在(0，)上是減函數函數值當0x1，y1時，y0；正負當0x0當x1時

11、，y4,得g(3x+1)-2+g(x)-20.則g(3x+1)g(x).3x+1x，解得.原不等式的解集為.本題選擇B選項. 2【河北省石家莊市2017屆高三沖刺】已知定義在上的奇函數，當時，則使得成立的的取值范圍為_【答案】【解析】當時，在單調遞增，又因為定義在上的奇函數，所以單調遞增，由，所以，得。填.【考點4】二次函數的圖象和性質【備考知識梳理】二次函數的圖象和性質解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0)圖象定義域(，)(，)值域單調性在x上單調遞減；在x上單調遞增在x上單調遞減在x上單調遞增對稱性函數的圖象關于x對稱【規律方法技巧】1、分析二次函數的圖象，主要有兩

12、個要點：一個是看二次項系數的符號，它確定二次函數圖象的開口方向；二是看對稱軸和最值，它確定二次函數的具體位置對于函數圖象判斷類似題要會根據圖象上的一些特殊點進行判斷，如函數圖象與正半軸的交點，函數圖象的最高點與最低點等2、拋物線的開口，對稱軸位置定義區間三者相互制約，常見的題型中這三者有兩定一不定，要注意分類討論.【考點針對訓練】1【2017湖南衡陽三次聯考】數學統綜有如下記載：“有凹錢，取三數，小小大，存三角”.意思是說“在凹（或凸）函數（函數值為正）圖象上取三個點，如果在這三點的縱坐標中兩個較小數之和最大的數，則存在將這三點的縱坐標值作為三邊長的三角形”.現已知凹函數，在上取三個不同的點，

13、均存在為三邊長的三角形，則實數的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由題意可知，或， ，故選A.2.【2017重慶二診】已知函數，設關于的方程有個不同的實數解，則的所有可能的值為（ ）A. 3 B. 1或3 C. 4或6 D. 3或4或6【答案】B【解析】由已知，令，解得或，則函數在和上單調遞增，在上單調遞減，極大值，最小值.綜上可考查方程的根的情況如下（附函數圖）：（1）當或時，有唯一實根；（2）當時，有三個實根；（3）當或時，有兩個實根；（4）當時，無實根.令，則由，得，當時，由，符號情況（1），此時原方程有1個根，由，而，符號情況（3），此時原方程有2個根，綜上得共

14、有3個根；當時，由，又，符號情況（1）或（2），此時原方程有1個或三個根，由，又，符號情況（3），此時原方程有兩個根，綜上得共1個或3個根.綜上所述，的值為1或3.故選B.【考點5】冪函數的圖象和性質【備考知識梳理】(1)定義：形如yx(R)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，是常數(2)冪函數的圖象比較(3)冪函數的性質比較特征 函數性質yxyx2yx3定義域RRR0，)x|xR且x0值域R0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇函數偶函數奇函數非奇非偶函數奇函數單調性增x0，)時，增；x(，0時，減增增x(0，) 時，減；x(，0)時，減【規律方法技巧】1冪函數，其中為常數，其本質特征是以冪的底

15、為自變量，指數為常數，這是判斷一個函數是否是冪函數的重要依據和唯一標準2在上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在(1，)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸冪函數的圖象一定會出現在第一象限內，一定不會出現在第四象限內，至于是否出現在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；冪函數的圖象最多只能同時出現在兩個象限內；如果冪函數的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點【考點針對訓練】1.已知冪函數的圖象過點，則（ ）A B C D與大小無法判定【答案】A【解析】設，則，即，在上是減函數，所以故選A2. 【2017屆湖南省衡陽市高三上學期期末考試】已知：冪函數在上單調遞增；，則是

16、的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【應試技巧點撥】1.指數運算的實質是指數式的積、商、冪的運算，對于指數式的和、差應充分運用恒等變形和乘法公式；對數運算的實質是把積、商、冪的對數轉化為對數的和、差、倍2指數函數且與對數函數且互為反函數，應從概念、圖象和性質三個方面理解它們之間的聯系與區別3明確函數圖象的位置和形狀要通過研究函數的性質,要記憶函數的性質可借助于函數的圖象因此要掌握指數函數和對數函數的性質首先要熟記指數函數和對數函數的圖象4.求解與指數函數有關的復合函數問題時，首先要熟知指數函數的定義域、值域、單調性等相關性質，

17、其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷，最終將問題歸納為與內層函數相關的問題加以解決5.指數函數且的圖象和性質與的取值有關，要特別注意區分與來研究6對可化為或形式的方程或不等式，常借助換元法解決,但應注意換元后“新元”的范圍7指數式且與對數式且的關系以及這兩種形式的互化是對數運算法則的關鍵8在運算性質且時，要特別注意條件，在無的條件下應為 (，且為偶數)9.冪函數的圖象一定會出現在第一象限，一定不會出現在第四象限，至于是否出現在第二、三象限，要看函數的奇偶性；冪函數的圖象最多只能同時出現在兩個象限內；如果冪函數圖象與坐標軸相交，則交點一

18、定是原點1.【2017屆河南省新鄉市高三第二次模擬】設，則的大小關系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由于，所以三數的大小關系是，應選答案B.2. 【四川省師范大學附屬中學2017屆高三下學期5月模擬】已知函數的定義域為且滿足，則（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由，可得，由，得，而，所以，故選D.3. 【云南省師范大學附屬中學2017屆高考適應性月考（八）】若偶函數在上單調遞減，則滿足（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因為函數為偶函數，所以，因為偶函數在上單調遞減，所以在上單調遞增，所以，故選B4. 【吉林省實驗中學2017屆高三上學期第二次模擬】已

19、知 是方程的根， 是方程的根，則 的值為A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 1009【答案】C5. 【山東省日照市2017屆高三下學期第二次模擬】函數為偶函數，且在單調遞增，則的解集為A. B. C. D. 【答案】D【解析】函數為偶函數，則，故，因為在單調遞增，所以.根據二次函數的性質可知，不等式的解集為，故選D6. 【河北省2017屆衡水中學押題卷】定義在上的函數滿足，且當時，對，使得，則實數的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題知問題等價于函數在上的值域是函數在上的值域的子集當時，由二次函數及對勾函數的圖象及性質，得此時，由，可得，當時，則在的

20、值域為當時，則有，解得，當時，不符合題意；當時，則有，解得綜上所述，可得的取值范圍為故本題答案選7. 【2017屆上海市虹口區高三4月二?！恳阎瘮?，、，且，則的值（_）A.一定等于零 B.一定大于零 C.一定小于零 D.正負都有可能【答案】B【解析】由已知可得為奇函數，且在上是增函數，由，同理可得，.8. 【山東省棗莊市第三中學2017屆高三全市“二調”】已知定義在上的函數滿足，且當時，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C9. 【四川省成都市9校2017屆高三第四次聯合】已知函數（，為自然對數的底數）與的圖象上存在關于直線對稱的點，則實數取值范圍是A. B. C. D. 【答案】A【解

21、析】因為函數與（為自然對數的底數）的圖象上存在關于直線對稱的點，所以函數與的圖象有公共點，則有解，即有解，令，則在成立，在上成立，即在單調遞減，在上單調遞增，且，所以；故選A.10. 【內蒙古集寧一中2017屆高三第一次月考】設是定義在上的周期為的函數，當時，則_.【答案】1【解析】由題意可得： .11. 【2016屆山東省濟寧市高三下學期3月模擬】定義在上的奇函數滿足，且在上，則（ ）A B C D【答案】B【解析】 由題意可得，即函數是周期為4的周期函數，又是上的奇函數，在上，故12. 【2016屆浙江省杭州市高三第二次質檢】若直線與函數的圖象及軸分別交于三點，若，則（ ）A或 B或 C或

22、 D【答案】C【解析】由題意可知，,或， 或，或.故選C.13. 【2016屆山東省棗莊市高三12月】2若函數的圖象如右圖所示，則下列函數正確的是（ ）A B C D【答案】B【解析】由函數的圖象可知，函數，則下圖中對于選項A，是減函數，所以A錯誤；對于選項B,的圖象是正確的,故選B14. 【2016屆四川南充高中高三4月模擬三】已知函數，若不等式對任意實數恒成立，則實數的取值范圍是. 【答案】15. 【2016屆山東省濟寧市高三下學期3月模擬】若函數圖象上不同兩點關于原點對稱，則稱點對是函數的一對“和諧點對”（點對與看作同一對“和諧點對”），已知函數，則此函數的“和諧點對”有（ ）A3對 B2對 C1對 D0對【答案】【解析】由題意知函數關于原點對稱的圖象為，即作出兩個函數的圖象如圖，由圖象可知兩個函數在上的交點個數只有2個，所以函數的“和諧點對”有2個，故選B【一年原創真預測】1. 已知函數是奇函數，則方程的根為（）A B C. ， D，【答案】B【解析】因為函數為上的奇函數，