1、考點10 導數(shù)的應用（單調性、最值、極值）【高考再現(xiàn)】熱點一 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性1.（2012年高考（遼寧文）函數(shù)y=x2x的單調遞減區(qū)間為（）A(1,1B(0,1C1,+)D(0,+)【答案】B【解析】故選B2.（2012年高考（浙江理）設a0，b0A若，則ab B若，則abC若，則ab D若，則ab3.（2012年高考（浙江文）已知aR,函數(shù)(1)求f(x)的單調區(qū)間。(2)證明:當0x1時, 。【解析】(1)由題意得,當時,恒成立,此時的單調遞增區(qū)間為.當時,此時函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.(2)由于,當時,.當時,.設,則.則有01-0+1減極小值增1所以.當時,.故.4.（2012年

2、高考（新課標理）已知函數(shù)滿足滿足;(1)求的解析式及單調區(qū)間;(2)若,求的最大值.得:當時,令;則當時,當時,的最大值為5.（2012年高考（陜西理）設函數(shù),則（）A為的極大值點B為的極小值點C為的極大值點D為的極小值點【答案】D【解析】,令得,時,為減函數(shù);時,為增函數(shù),所以為的極小值點,選D.6.（2012年高考（重慶理）設函數(shù)在R上可導,其導函數(shù)為,且函數(shù)的圖像如題(8)圖所示,則下列結論中一定成立的是（）A函數(shù)有極大值和極小值B函數(shù)有極大值和極小值C函數(shù)有極大值和極小值D函數(shù)有極大值和極小值7.（2012年高考（重慶文）已知函數(shù)在處取得極值為(1)求a、b的值;(2)若有極大值28,

3、求在上的最大值.【解析】:()因 故 由于 在點 處取得極值故有即 ,化簡得解得()由()知,令 ,得當時,故在上為增函數(shù);當 時, 故在 上為減函數(shù)當 時 ,故在 上為增函數(shù).由此可知 在 處取得極大值, 在 處取得極小值由題設條件知 得此時,因此 上的最小值為8.（2012年高考（廣東文）設,集合,.()求集合(用區(qū)間表示);()求函數(shù)在內的極值點.綜上所述,當時,;當時,;當時,;當時,.其中,.(),令可得.因為,所以有兩根和,且.當時,此時在內有兩根和,列表可得1+0-0+遞增極小值遞減極大值遞增所以在內有極大值點1,極小值點.當時,此時在內只有一根,列表可得+0-+遞增極小值遞減遞

4、增所以在內只有極小值點,沒有極大值點.當時,此時(可用分析法證明),于是在內只有一根,列表可得+0-+遞增極小值遞減遞增所以在內只有極小值點,沒有極大值點.9.（2012年高考（江西文）已知函數(shù)在上單調遞減且滿足.(1)求的取值范圍;(2)設,求在上的最大值和最小值.【解析】(1)由,則,依題意須對于任意,有,當時,因為二次函數(shù)的圖像開口向上,而,所以須,即,當時,對任意,有,符合條件;當時,對任意,符合要求,當時,因,不符合條件,故的取值范圍為.(2)因當時,在上取得最小值,在上取得最大值;當時,對于任意,有,在上取得最大值,在上取得最小值;當時,由,10.（2012年高考（江蘇）若函數(shù)在處

5、取得極大值或極小值,則稱為函數(shù)的極值點.已知是實數(shù),1和是函數(shù)的兩個極值點.(1)求和的值;(2)設函數(shù)的導函數(shù),求的極值點;(3)設,其中,求函數(shù)的零點個數(shù).【解析】(1)由,得. 1和是函數(shù)的兩個極值點, ,解得. (3)令,則. 先討論關于 的方程 根的情況:當時,由(2 )可知,的兩個不同的根為I 和一2 ,注意到是奇函數(shù),的兩個不同的根為一和2. 當時, ,一2 , -1,1 ,2 都不是的根. 由(1)知. 當時, ,于是是單調增函數(shù),從而. 此時在無實根. 當時.,于是是單調增函數(shù). 又,的圖象不間斷, 在(1 , 2 )內有唯一實根. 同理,在(一2 ,一I )內有唯一實根.

6、當時,于是是單調減兩數(shù). 又, ,的圖象不間斷,在(一1,1 )內有唯一實根. 因此,當時,有兩個不同的根滿足;當 時有三個不同的根,滿足. 現(xiàn)考慮函數(shù)的零點:( i )當時,有兩個根,滿足. 而有三個不同的根,有兩個不同的根,故有5 個零點. ( 11 )當時,有三個不同的根,滿足. 而有三個不同的根,故有9 個零點. 綜上所述,當時,函數(shù)有5 個零點;當時,函數(shù)有9 個零點. 11.（2012年高考（湖南理）已知函數(shù)=,其中a0.(1)若對一切xR,1恒成立,求a的取值集合.(2)在函數(shù)的圖像上取定兩點,記直線AB的斜率為K,問:是否存在x0(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范圍;若

7、不存在,請說明理由. ()由題意知,令則【方法總結】1.求函數(shù)極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根和不可導點的x的值順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并形成表格(4)由f(x)0的根左右的符號以及f(x)在不可導點左右的符號來判斷f(x)在這個根或不可導點處取極值的情況.2.函數(shù)的最大(小)值是在函數(shù)極大(小)值基礎上的發(fā)展從函數(shù)圖象上可以直觀地看出：如果在閉區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值，只要把函數(shù)yf(x)的所有極值連同端點處的函數(shù)值進行比較，就可以求出函數(shù)的最大(小)值.熱點三 利用導數(shù)研

8、究綜合問題12.（2012年高考（天津文）已知函數(shù)(I)求函數(shù)的單調區(qū)間; (II)若函數(shù)在區(qū)間內恰有兩個零點,求的取值范圍;(III)當時,設函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為,記,求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.13.（2012年高考（陜西文）設函數(shù)(1)設,證明:在區(qū)間內存在唯一的零點;(2)設n為偶數(shù),求b+3c的最小值和最大值;(3)設,若對任意,有,求的取值范圍;【解析】（）當 又當， 解法三：由題意，知 解得， 又， 當時，；當， 的最小值是-6，最大值是0（2）當時， 對任意上的最大值 與最小值之差,據(jù)此分類討論如下：14.（2012年高考（天津理）已知函數(shù)的最小值為,其中.()求的值;

9、()若對任意的,有成立,求實數(shù)的最小值;()證明.【解析】(1)的定義域為得：時，（2）設則在上恒成立（*）15.（2012年高考（陜西理）設函數(shù)(1)設,證明:在區(qū)間內存在唯一的零點;(2)設,若對任意,有,求的取值范圍;(3)在(1)的條件下,設是在內的零點,判斷數(shù)列的增減性.【解析】(1),時,在內存在零點.又當時, 在上是單調遞增的,所以在內存在唯一零點.注:()()也可合并證明如下:用表示中的較大者.當,即時,恒成立(3)證法一 設是在內的唯一零點,于是有又由(1)知在上是遞增的,故,所以,數(shù)列是遞增數(shù)列.證法二 設是在內的唯一零點則的零點在內,故,所以,數(shù)列是遞增數(shù)列.【考點剖析】

10、一明確要求1.了解函數(shù)單調性和導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間(對多項式函數(shù)不超過三次)2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(對多項式函數(shù)不超過三次).3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(對多項式函數(shù)不超過三次)4.會利用導數(shù)解決某些實際問題.二命題方向1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值是近幾年高考的熱點2.選擇題、填空題側重于利1用導數(shù)確定函數(shù)的單調性和極值解答題側重于導數(shù)與函數(shù)、解析幾何、不等式、數(shù)列的綜合應用，一般難度較大，屬中高檔題.3.利用導數(shù)研究函數(shù)的最值以及解決生活中的優(yōu)化問題，已成為近幾年高考的考點且每年必考

11、！4.選擇題、填空題主要考查函數(shù)的最值，而解答題則考查函數(shù)綜合問題，一般難度較大.三規(guī)律總結兩個注意(1)注意函數(shù)定義域的確定(2)在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較兩個條件(1)f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上單調遞增的充分條件(2)對于可導函數(shù)f(x)，f(x0)0是函數(shù)f(x)在xx0處有極值的必要不充分條件三個防范【基礎練習】1.(教材習題改編)函數(shù)f(x)1xsin x在(0,2)上是()A增函數(shù)B減函數(shù) C在(0，)上增，在(，2)上減D在(0，)上減，在(，2)上增答案

12、：A解析：f(x)1cos x>0，f(x)在(0,2)上遞增2(教材習題改編)函數(shù)f(x)12xx3在區(qū)間3,3上的最小值是 ()A9B16C12 D11答案： B解析：由f(x)123x20，得x2或x2.又f(3)9，f(2)16，f(2)16，f(3)9，函數(shù)f(x)在3,3上的最小值為16.3(經典習題)已知函數(shù)f(x)x3mx2(m6)x1既存在極大值又存在極小值，則實數(shù)m的取值范圍是_答案：(，3)(6，)解析：f(x)3x22mxm60有兩個不等實根，即4m212×(m6)>0.m>6或m<3.4. (經典習題)若a>3，則方程x3ax2

13、10在(0,2)上恰有_個實根答案：1解析：設f(x)x3ax21，則f(x)3x22axx(3x2a)，由于a>3，則在(0,2)上f(x)<0，f(x)為減函數(shù)，而f(0)1>0，f(2)94a<0，則方程x3ax210在(0,2)上恰有1個實根5. (教材習題改編)函數(shù)f(x)x315x233x6的單調減區(qū)間為_【答案】 (1,11)【解析】f(x)3x230x333(x11)(x1)，當1<x<11時，f(x)<0，f(x)單調遞減【名校模擬】一基礎扎實1(浙江省2012屆重點中學協(xié)作體高三第二學期4月聯(lián)考試題理 )已知向量，滿足，且關于的函數(shù)

14、在實數(shù)集上單調遞增，則向量，的夾角的取值范圍是 A B C D2.(2012年云南省第一次統(tǒng)一檢測理)函數(shù)的極大值等于（A）（B） （C） （D）【答案】A【解析】，.當或時，當時，當時，取得極大值.的極大值等于.故選（A）.3.(山西省2012年高考考前適應性訓練文)若商品的年利潤（萬元）與年產量（百萬件）的函數(shù)關系式：（，則獲得最大利潤時的年產量為（ ） A4百萬件 B3百萬件 C2百萬件 D1百萬件【答案】B 【解析】依題意得，當時，；當時，因此當時，該商品的年利潤最大，依題意得知，選B.4(浙江省溫州中學2012屆高三10月月考理）函數(shù)在區(qū)間上的最大值是.解析：，5.(東城區(qū)普通高中示

15、范校高三綜合練習(二) （文）) (本題滿分13分) 已知函數(shù)，.() 當時, 求函數(shù)的單調區(qū)間；() 當時，若任意給定的,在上總存在兩個不同的，使 得成立，求的取值范圍由題意可得 解得. 綜上，a的取值范圍為. -13分6.(河南省鄭州市2012屆高三第二次質量預測文)已知函數(shù).(I)當時，求在上的最大值和最小值(II)若函數(shù)在1, e上為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍.所以，只需，所以. 12分7.(2012云南省第一次高中畢業(yè)生統(tǒng)一檢測復習文)已知實數(shù)是常數(shù)，. 當時，是增函數(shù).（）求的取值范圍；（）設是正整數(shù)，證明：解：（），. 當時，是增函數(shù)，在時恒成立.即在時恒成立.當時，是減函數(shù)，

16、當時，. 8.(長春市實驗中學2012屆高三模擬考試（文）)（本題滿分12分）已知函數(shù)（1） 當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2） 若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。9.(湖北省八校2012屆高三第一次聯(lián)考文)（本小題滿分14分）已知二次函數(shù)對任意實數(shù)均滿足 （1）求的表達式； （2）若關于的方程在1，2上有兩個不同實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍； （3）設，若成立，求實數(shù)m的取值范圍。（3）由題意可得（）當時，在為增函數(shù)，顯然，如，使得成立，所以符合題意;9分當時，恒成立，所以不符合題意; 10分當時，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)；，13分綜上：14分10.（湖北省黃岡中學2012屆高三五月模擬考試理）(

17、本小題滿分14分)已知函數(shù)（）求此函數(shù)的單調區(qū)間及最值；（）求證：對于任意正整數(shù)n，均有（為自然對數(shù)的底數(shù)）；（）當a1時，是否存在過點（1，1）的直線與函數(shù)的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由()取，由知，故，取，則9分二能力拔高 11.（海南省2012洋浦中學高三第三次月考）設直線x=t 與函數(shù)f（x）=，g（x）=lnx的圖象分別交于點M，N，則當|MN|達到最小時t的值為（）A1 B. C. D.【答案】C【解析】解：設函數(shù)y=f（x）-g（x）=x2-lnx，求導數(shù)得y =2x-1 /x =(2x 2 -1) /x當0x 時，y0，函數(shù)在(0， )上為單調減函數(shù)，當x 時

18、，y0，函數(shù)在(，+)上為單調增函數(shù)所以當x= 時，所設函數(shù)的最小值為1 /2 +1/ 2 ln2所求t的值為 .4.12. (2012年長春市高中畢業(yè)班第二次調研測試文)已知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，滿足，則的取值范圍是A.B.C. D. 13. （湖北襄陽五中2012高三年級第二次適應性考試文）若函數(shù)在處有極值，則函數(shù)的圖象在處的切線的斜率為 ( )A B C D答案：A 解析：由題意得，函數(shù)在處有極值， 所以，則， 即， 即函數(shù)在處的切線的斜率為，故選A。14.(湖北省八校2012屆高三第一次聯(lián)考文) 函數(shù)，其中是常數(shù)，其圖像是一條直線，稱這個函婁為線性函數(shù)，而對于非線性可導函

19、數(shù)，在已知點附近一點的函數(shù)值可以用下面方法求其近似代替值，利用這一方法，對于實數(shù)，取的值為4，則m的近似代替值是。答案：解析：由題意得，所以在上單調遞增，選擇附近的點，則。15.(湖北省武漢市2012年普通高等學校招生適應性訓練文)（本小題滿分14分）已知函數(shù).（為自然對數(shù)的底）（）求的最小值；（）是否存在常數(shù)使得對于任意的正數(shù)恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.16.（山東省濟南市2012屆高三3月（二模）月考理）（本小題滿分14分）已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，其中a為常數(shù)，設e為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當a=-1時，求f（x）的最大值；（2）若f（x）在區(qū)間（0，e上的最大值為

20、-3，求a的值；（3）當a=-1時，試推斷方程=是否有實數(shù)解.17.（長安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學2012屆第三次模擬理）(本小題14分)已知，函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)） （）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值； （）設數(shù)列的通項，是前項和，證明：18.(浙江省2012屆重點中學協(xié)作體高三第二學期高考仿真試題理)（本題滿分15分）設函數(shù)（），（）關于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)的取值范圍；（）對于函數(shù)與定義域上的任意實數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”設，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由（）解法一：不等式

21、的解集中的整數(shù)恰有3個，等價于恰有三個整數(shù)解，故，令，由且， 所以函數(shù)的一個零點在區(qū)間， 則另一個零點一定在區(qū)間， 4分故解之得6分因此11分 下面證明恒成立設，則所以當時，；當時，因此時取得最大值，則故所求“分界線”方程為：15分19.（2012理科數(shù)學試卷）(本題滿分14分) 設和是函數(shù)的兩個極值點，其中，() 求的取值范圍；() 若，求的最大值注：e是自然對數(shù)的底數(shù) ()解:當時，若設，則于是有 構造函數(shù)（其中），則所以在上單調遞減，故的最大值是 14分20.(北京市東城區(qū)2011-2012學年度第二學期高三綜合練習（二）理)（本小題共13分）已知函數(shù)（）（）試討論在區(qū)間上的單調性；（）

22、當時，曲線上總存在相異兩點，使得曲線在點，處的切線互相平行，求證：. 【命題分析】第一問用求導數(shù)的方法求函數(shù)的單調區(qū)間，注意的兩個根的大小。第二問曲線在點，處的切線互相平行，所以兩個斜率相等，轉化出恒成立問題，只需求出的最值即可。（）證明：由題意可得，當時，（，且）.即 ，所以，. 8分因為，且，所以恒成立，所以，又，所以，整理得. 11分令，因為，所以在上單調遞減，所以在上的最大值為， 所以. 13分21.(2012年石家莊市高中畢業(yè)班第二次模擬考試理) (本小題滿分12分）已知函數(shù)(a ,bR，e為自然對數(shù)的底數(shù)），.(I )當b=2時，若存在單調遞增區(qū)間，求a的取值范圍；(II)當a&g

23、t;0 時，設的圖象C1與的圖象C2相交于兩個不同的點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線交C1于點，求證.法二：等價于在R上有解，即三提升自我22. (2012年石家莊市高中畢業(yè)班第一次模擬考試理)已知點P在曲線y=ex(e自然對數(shù)的底數(shù))上，點Q在曲線y=lnx上，則丨PQ丨的最小值是A.B. 2eC.D. e【答案】A【解析】：曲線y=ex（e自然對數(shù)的底數(shù)）與曲線y=lnx互為反函數(shù)，其圖象關于y=x對稱，故可先求點P到直線y=x的最近距離d，設曲線y=ex上斜率為1的切線為y=x+b，y=ex，由ex=1，得x=0，故切點坐標為（0，1），即b=1，d=丨PQ丨的最小值為2d= ，故

24、選 A23(湖北省八校2012屆高三第一次聯(lián)考理)定義在R上的函數(shù)，則（ ）ABCD24（海南省2012洋浦中學高三第三次月考）已知函數(shù)f (x)=f (p-x),且當時，f (x)=x+sinx,設a=f (1),b=f (2),c=f (3),則（ ）A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b【答案】D【解析】解：函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（-x），函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x= 2 對稱，因為當 x(0，/ 2 )時，f（x）=x+sinx，所以f（x）=1+cosx0在(0，/ 2 )上恒成立，所以函數(shù)在(0

25、，/2 )上是增函數(shù)，所以函數(shù)y=f（x）在（ /2 ， ）上是減函數(shù)因為2距離對稱軸最近，其次是1，最遠的時3，所以根據(jù)函數(shù)的有關性質可得：f（3）f（1）f（2），即 cab，故選D.25. (湖北文科數(shù)學沖刺試卷（二）)26.(2012北京海淀區(qū)高三年級第二學期期末練習理)（本小題滿分14分）已知函數(shù).（）求的單調區(qū)間；（）若，求證：函數(shù)只有一個零點，且；（）當時，記函數(shù)的零點為，若對任意且都有成立，求實數(shù)的最大值.（本題可參考數(shù)據(jù)：）（）解：的定義域為. 1分令，或. 當時，函數(shù)與隨的變化情況如下表：00極小值極大值所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是和.3分當時，. 所以，函數(shù)

26、的單調遞減區(qū)間是.4分當時，函數(shù)與隨的變化情況如下表：000極小值極大值所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是和.5分（）解：因為，所以對任意且由()可知：，且. 10分因為函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以，. 11分所以.當時，=>0. 所以. 13分所以的最小值為.所以使得恒成立的的最大值為.14分27.(2012東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習（二）理)（本小題滿分13分）已知函數(shù)： ,（1） 當時，求的最小值；（2）當時，若存在,使得對任意的恒成立，求的取值范圍.(2) 若存在,使得對任意的恒成立，即當時，由（1）可知，, 為增函數(shù)，,當時為減函數(shù)，13分28.(2012年大連沈陽聯(lián)合考試第二次模擬試題理) (本小題滿分12分)已知函數(shù)()討論函數(shù)在定義域內的極值點的個數(shù)；()若函數(shù)在處取得極值，對,恒成立，求實數(shù)的取值范圍；()當，證明：（沈陽）()當且時，試比較的大小（大連）（）證明：，8分令，則只要證明在上單調遞增，又，顯然函數(shù)在上單調遞增10分，即，在上單調遞增，即，當