1、z 一元二次方程應用題經典題型匯總一、增長率問題例1恒利商廈九月份的銷售額為 200萬元，十月份的銷售額下降了20% ,商廈從十一月份起加強管理，改善經營，使銷售額穩步上升，十二月份的銷售額達到了193.6萬元，求這兩個月的平均增長率.解 設這兩個月的平均增長率是x.,則根據題意，得200(1 20%)(1+ x)2= 193.6 ,即(1+x)2=1.21 ,解這個方程，得 X1 = 0.1 , x2=2.1 (舍去).答這兩個月的平均增長率是 10%.說明 這是一道正增長率問題，對于正的增長率問題，在弄清楚增長的次數和問題中 每一個數據的意義，即可利用公式 m(1+x)2=n求解，其中mv

2、n.對于負的增長率問題，若經過兩次相等下降后，則有公式m(1 -x)2=n即可求解，其中 m>n.二、商品定價例2 益群精品店以每件21元的價格購進一批商品， 該商品可以自行定價， 若每件商品 售價a元，則可賣出(350 10a)件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過 20% ,商店 計劃要盈利400元，需要進貨多少件？每件商品應定價多少？解 根據題意，得(a21)(350 10a) = 400,整理，得 a2-56a+775 =0,解這個方程，得 a1 = 25, 82 = 31.因為21 X1+20%) =25.2 ,所以82=31不合題意，舍去.所以 350 10 8=350 10

3、 X25 =100 (件).答 需要進貨100件，每件商品應定價25元.說明 商品的定價問題是商品交易中的重要問題，也是各種考試的熱點三、儲蓄問題例3 王紅梅同學將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的 500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調到第一次存款時年利率的90% ,這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時的年利率.(假設不計利息稅)解設第一次存款時的年利率為x.則根據題意，得1000(1+ x) 500(1+0.9 x)=530.整理，得 90x2+145 x3= 0.解這個方程，得 x

4、-0.0204 =2.04% , x2 = 1.63.由于存款利率不能為負數，所以將x2= 1.63 舍去.答 第一次存款的年利率約是 2.04%.說明這里是按教育儲蓄求解的，應注意不計利息稅四、趣味問題例4 一個醉漢拿著一根竹竿進城，橫著怎么也拿不進去，量竹竿長比城門寬4米，旁邊一個醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進去啦，結果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對角斜著拿，二人一試，不多不少剛 好進城，你知道竹竿有多長嗎？解 設渠道的深度為xm ,那么渠底寬為(x+0.1)m ,上口寬為(x+0.1+1.4)m.1則根據題意，得 2(x+0.1+ x

5、+1.4+0.1) x=1.8,整理，得 x2+0.8 x- 1.8 = 0.解這個方程，得x1 = 1.8 (舍去)，x2=1.所以 x+1.4+0.1 =1 + 1.4+0.1 =2.5.答 渠道的上口寬2.5m ,渠深1m.說明 求解本題開始時好象無從下筆，但只要能仔細地閱讀和口味，就能從中找到等量 關系，列出方程求解五、古詩問題例5 讀詩詞解題：（通過列方程式，算出周瑜去世時的年齡）大江東去浪淘盡，千古風流數人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數；十位恰小個位三，個位平方與壽符；哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？解設周瑜逝世時的年齡的個位數字為x,則十位數字為x-3.則根據題意，得 x2=

6、 10（x-3）+ x,即x2-llx+30 =0,解這個方程，得 x=5或x=6.當x=5時，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去；當x=6時，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.答 周瑜去世的年齡為36歲.六、象棋比賽例6 象棋比賽中，每個選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分.如果平局，兩個選手各記 1分，領司有四個同學統計了中全部選手的得分總數，分別是1979 , 1980 , 1984 ,1985.經核實，有一位同學統計無誤.試計算這次比賽共有多少個選手參加.解 設共有n個選手參加比賽，每個選手都要與（n 1）個選手比賽一局，共計 n（n 1）1局，但兩個選手的

7、對局從每個選手的角度各自統計了一次，因此實際比賽總局數應為2 nm1）局.由于每局共計2分，所以全部選手得分總共為n（n 1）分.顯然（n1）與n為相鄰的自然數，容易驗證，相鄰兩自然數乘積的末位數字只能是0,2,6,故總分不可能是1979 ,1984 , 1985 ,因此總分只能是1980 ,于是由n（n 1） = 1980 ,得n2-n- 1980 =0,解得n1 = 45, n2=44 （舍去）.答參加比賽的選手共有45人.說明類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈賀年片等問題，都可以仿照些方法求解.七、情景對話例7 春秋旅行社為吸引市民組團去天水灣風景區旅游，推出了如圖1對話中收費標

8、準.某單位組織員工去天水灣風景區旅游，共支付給春秋旅行社旅游費用27000元.請問該單位這次共有多少員工去天水灣風景區旅游？解設該單位這次共有x名員工去天水灣風景區旅游.因為1000 >25 = 25000 V27000 ,所以員工人數一定超過 25人.則根據題意，得1000 20(x25) x= 27000.整理，得 x2 75X+1350 =0,解這個方程，得 xi = 45, X2=30.當 x=45時，1000 20(x 25) =600 <700 ,故舍去 xi ；當 x2=30 時，1000 20(x25) =900 >700 ,符合題意.答：該單位這次共有30名

9、員工去天水灣風景區旅游 .說明求解本題要時刻注意對話框中的數量關系，求得的解還要注意分類討論，從中找出符合題意的結論.如果人數不超過25人，1/人均旅游費用為1000 xl 管1人數超過25人，每增力小、人，人均旅游費用降(氐20元， J 費用不得78翻1愕八、等積變形例8 將一塊長18米，寬15米的矩形荒地修建成一個花園（陰影部分）所占的面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m ）（1）設計方案1 （如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路（2）設計方案2 （如圖3）花園中每個角的扇形都相同 .以上兩種方案是否都能符合條件？若能，請計算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符

10、合條件，請說明理由.2解 者B能.（1）設小路寬為 x,則 18x+16 x-x2= 3 M8 M5 ,即 x2 34x+180 =0,34 土阿解這個方程，得x=2 ，即x=6.6.2(2)設扇形半徑為 r,則 3.14r2= 3 X18X15,即 r257.32 ,所以 r=7.6.明 等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變； 或形變積也變，但重量不變，等等九、動態幾何問題例9 如圖 4所示，在 ABC 中，/ C=90?/SPAN> , AC = 6cm , BC= 8cm，點 P 從 點A出發沿邊 AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發沿C

11、B邊向點B以2cm/s 的速度移動（1）如果P、Q同時出發，幾秒鐘后，可使 PCQ的面積為8平方厘米?(2)點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得PCQ的面積等于 ABC的面積的一半.若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由解 因為/ C = 90?/SPAN> ,所以 AB = “d+初=10 (cm ).(1)設 xs 后，可使 PCQ 的面積為 8cm 2,所以 AP = xcm , PC=(6 x)cm , CQ = 2xcm.則根據題意，得(6 x) 2x= 8.整理，得x26x+8=0,解這個方程，得 xi = 2, x2=4.所以P、Q同時出發，2s或4s后可使 P

12、CQ的面積為8cm 2.(2)設點P出發x秒后， PCQ的面積等于 ABC面積的一半.1 1 1則根據題意，得 2 (6 x) 2x= 2 x2 X6X8.整理，得 x2-6x+12 =0.由于此方程沒有實數根，所以不存在使PCQ的面積等于ABC面積一半的時刻.說明 本題雖然是一道動態型應用題，但它又要運用到行程的知識，求解時必須依據 路程=速度x時間.十、梯子問題例10 一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.(1)若梯子的頂端下滑1m ,求梯子的底端水平滑動多少米？(2)若梯子的底端水平向外滑動 1m ,梯子的頂端滑動多少米？(3)如果梯子頂端向下滑動的距離等于底端向外滑動的

13、距離，那么滑動的距離是多少 米？解 依題意，梯子的頂端距墻角 也一6' =8 (m).(1)若梯子頂端下滑1m,則頂端距地面7m.設梯子底端滑動xm.則根據勾股定理，列方程 72+(6+ x)2= 102,整理，得x2+12x15 = 0,解這個方程，得x-1.14, X2 = 13.14 （舍去），所以梯子頂端下滑1m ,底端水平滑動約1.14m.（2）當梯子底端水平向外滑動 1m時，設梯子頂端向下滑動xm.則根據勾股定理，列方程 （8 x）2+（6+1） 2=100.整理，得x216X+13 =0.解這個方程，得x1 = 0.86, x2=15.14 （舍去）.所以若梯子底端水平向

14、外滑動 1m ,則頂端下滑約0.86m.（3）設梯子頂端向下滑動 xm時，底端向外也滑動 xm.則根據勾股定理，列方程 （8x）2+（6+ x）2 = 102,整理，得2x24x=0,解這個方程，得x1 = 0 （舍去），x2=2.所以梯子頂端向下滑動 2m時，底端向外也滑動2m.說明 求解時應注意無論梯子沿墻如何上下滑動，梯子始終與墻上、地面構成直角三 角形.十一、航海問題圖5例11如圖5所示，我海軍基地位于 A處，在其正南方向200海里處有一重要目標 B,在B的正東方向200海里處有一重要目標 C,小島D恰好位于AC 的中點，島上有一補給碼頭；小島 F位于BC上且恰好處于小島 D的正南方向

15、，一艘軍艦從A出發，經B到C勻速巡航.一艘補給船同時從D出發，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦.（1）小島D和小島F相距多少海里?(2)已知軍艦的速度是補給船的 2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于 E處，那么相遇時補給船航行了多少海里？(精確到0.1海里)解(1) F位于D的正南方向，則 DFLBC.因為ABXBC, D為AC的中點，所以 DF1=2 AB=100海里，所以，小島 D與小島F相距100海里.(2 )設相遇時補給船航行了 x海里，那么DE = x海里，AB+BE=2x海里，EF= AB+BC(AB+ BE)-CF= (300 2x)海里.在RtADEF中，根據

16、勾股定理可得方程x2 = 100 2+(300 - 2x)2,整理，得3x2-1200 x+100000 =0.解這個方程，得x1 = 200 3 118.4 , x2 = 200+3(不合題意，舍去).所以，相遇時補給船大約航行了118.4海里.說明 求解本題時，一定要認真地分析題意，及時發現題目中的等量關系，并能從圖形中尋找直角三角形，以便正確運用勾股定理布列一元二次方程十二、圖表信息例12 如圖6所示，正方形 ABCD的邊長為12,劃分成12X12個小正方形格，將邊長為n (n為整數，且2wnw11)的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑白相間地擺放， 第一張n為的紙片正好蓋住正方形 AB

17、CD左上角的nM個小正方形格，第二張紙片蓋住第 一張紙片的部分恰好為(n 1) X(n 1)個小正方形.如此擺放下去，直到紙片蓋住正方形ABCD的右下角為止.請你認真觀察思考后回答下列問題：(1)由于正方形紙片邊長 n的取值不同，浣成擺放時所使用正方形紙片的張數也不同， 請 填寫下表:紙片的邊長n23456使用的紙片張數(2)設正方形 ABCD被紙片蓋住的面積(重合部分只計一次)為Si ,未被蓋住的面積為S2.當n=2時，求Si ： S2的值；是否存在使得 Si = S2的n值？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由圖6 解(1)依題意可依次填表為：11、10、9、8、7.(2) S1=n，(

18、12 n)n2(n 1)2 = n，25 n 12.當 n=2 時，S1 = - 22+25 X2-12 =34 , S2= 12 X12 34 = 110.所以 S1 ： S2 = 34 ： 110 = 17 ： 55.1若 S1= S2,則有n2+25 n- 12= 2 X122,即 n2 25n+84 =0,解這個方程，得 n1=4, n2= 21 (舍去).所以當n = 4時，&=S2.所以這樣的n值是存在的.說明 求解本題時要通過閱讀題設條件及提供的圖表，及時挖掘其中的隱含條件，對于求解第(3)小題，可以先假定問題的存在，進而構造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有實數根

19、來加以判斷.十三、探索在在問題例13 將一條長為20cm 的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正 方形.(1)要使這兩個正方形的面積之和等于17cm 2,那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少？(2)兩個正方形的面積之和可能等于12cm 2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長度； 若不能,請說明理由.解(1)設剪成兩段后其中一段為xcm,則另一段為(20x) cm.則根據題意，得= 17,解得 Xi = i6 ,當 x=16時，20 x=4,當 x= 4時，20 x=16,答 這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是4cm和16cm.(2)不能.理由是：不妨設剪成兩段后其中一段為ycm ,則另一段為

20、(20 y) cm.則f20-jr2由題意得4)+1 4 J =12,整理，得y220y+104 =0,移項并配方，得(y-10)2=-4<0,所以此方程無解，即不能剪成兩段使得面積和為12cm 2.說明 本題的第(2)小問也可以運用求根公式中的b2 4ac來判定 若b2-4ac>0,方程有兩個實數根，若b2-4ac<0,方程沒有實數根，本題中的b2 4ac=16 <0即無 解.十四、平分幾何圖形的周長與面積問題例14 如圖7,在等腰梯形 ABCD中，AB = DC = 5, AD = 4, BC=10.點E?E下底邊BC上，點F在月AB上.(1)若EF平分等月梯形 A

21、BCD的周長，設BE長為x,試用含x的代數式表示 BEF 的面積；(2)是否存在線段 EF將等腰梯形 ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由；(3)是否存在線段 EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1 ： 2的兩部分？若存 在，求此時BE的長；若不存在，請說明理由圖7解(1 )由已知條件得，梯形周長為 12,高4,面積為28.過點F作FG± BC于G,過點 A作AK± BC于K.127則可得，FG=5 M,224所以 S/bef=BEFG=- 5 x2+ 5 x (7WXW10).224(2)存在.由(1)得一5 x2+ 5 x=

22、14,解這個方程，得 xi = 7, X2 = 5 (不合題意， 舍去)，所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長與面積同時平分，此時BE= 7.(3)不存在.假設存在，顯然有 SBEF： S多邊形AFECD =1 ： 2,21628即(BE+BF) ： (AF+AD + DC)=1 ： 2.則有一5 x2+ 5 x= 3 ,整理，得3x224x+70 =0,此時的求根公式中的b2-4ac=576 -840 < 0,所以不存在這樣的實數 x.即不存在線段 EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成 1 ： 2的兩部分.說明 求解本題時應注意：一是要能正確確定x的取值范圍；二是在求得x2=5時，并不屬于7WxW10,應及時地舍去；三是處理第(3)個問題時