1、九年級上冊四邊形壓軸題2.解答題（共30小題）1. （2009臨沂）數學課上，張老師出示了問題：如圖 1,四邊形ABCD是正方形，點 E是邊BC的中點./AEF=90；且EF交正方形外角 /DCG的平分線 CF于點F,求證：AE=EF圖1圖2圖m經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取 AB的中點M,連接ME,則AM=EC,易證 AME0ECF 所以 AE=EF在此基礎上，同學們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖2,如果把 熏E是邊BC的中點”改為熏E是邊BC上（除B, C外） 的任意一點”，其它條件不變，那么結論 AE=EF5然成立，你認為小穎的觀點正確嗎如果正 確，寫出證明過程；如果

2、不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖3,點E是BC的延長線上（除 C點外）的任意一點，其他條件不變， 結論AE=EF5然成立.你認為小華的觀點正確嗎如果正確，寫出證明過程；如果不正確， 請說明理由.2. （2009寧德）如圖（1）,已知正方形 ABCD在直線 MN的上方，BC在直線 MN上，E是 BC上一點，以 AE為邊在直線 MN的上方作正方形 AEFG（1）連接 GD,求證： AADGAABE;（2）連接FG觀察并猜測/FCN的度數，并說明理由；（3）如圖（2）,將圖（1）中正方形 ABCD改為矩形 ABCD, AB=a, BC=b）（a、b為常數），E 是線段BC上一動點（不含端點

3、B、C）,以AE為邊在直線 MN的上方作矩形 AEFG使頂點G恰好落在射線CD上.判斷當點E由B向C運動時，/ FCN的大小是否總保持不變若 / FCN 的大小不變，請用含 a、b的代數式表示tan/FCN的值；若/ FCN的大小發生改變，請舉例 說明.圖3. (2009黃石)如圖， ABC中，點。是邊AC上一個動點，過 O作直線 MN/ BC,設MN 交/ BCA的平分線于點E,交/ BCA的外角平分線于點 F.(1)探究：線段 OE與OF的數量關系并加以證明；(2)當點O在邊AC上運動時，四邊形 BCFE會是菱形嗎若是，請證明；若不是，則說明理由；(3)當點O運動到何處，且 ABC滿足什么

4、條件時，四邊形AECF是正方形4. (2009無錫校級二模)如圖，在平面直角坐標系中，點A、點C同時從點O出發，分別以每秒2個單位、1個單位的速度向x軸、y軸的正半軸方向運動，以 OA、OC為邊作矩形 OABC.以M (4, 0) , N (9, 0)為斜邊端點作直角 PMN,點P在第一象限，且tan/PM距; 當點A出發時，4PMN同時以每秒個單位的速度沿 x軸向右平移.設點 A運動的時間為t 秒，矩形 OABC與4PMN重疊部分的面積為 S.(1)求運動前點P的坐標；(2)求S與t的函數關系式，并寫出自變量 t的取值范圍；(3)若在運動過程中，要使對角線 AC上始終存在點 Q,滿足/ OQ

5、M=g0 ,請直接寫出符 合條彳的t的值或t的取值范圍.了小5. (2008北京)請閱讀下列材料：問題：如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A, B, E在同一條直線上，P是線段DF的 中點，連接PG, PC.若/ABC=/ BEF=60,探究PG與PC的位置關系及的值.小聰同學的思路是： 延長GP交DC于點H,構造全等三角形，經過推理使問題得到解決.請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：(1)寫出上面問題中線段 PG與PC的位置關系及的值；(2)將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD 的邊AB在同一條直線上，原問題中白其他條件不變(如

6、圖2).你在(1)中得到的兩個結論是否發生變化寫出你的猜想并加以證明；(3)若圖1中/ABC=/ BEF=2% (0AB),將紙片折疊一次，使點A與C重合，再展開，折痕 EF交AD邊于E,交BC邊于F,分別連接AF和CE.(1)求證：四邊形 AFCE是菱形；(2)若 AE=10cm, ABF的面積為 24cm2,求 ABF的周長；(3)在線段AC上是否存在一點 P,使得2AE2=acap若存在，請說明點 P的位置，并予以 證明；若不存在，請說明理由.B F C7. (2008嘉興)小麗參加數學興趣小組活動，提供了下面3個有聯系的問題，請你幫助解決：(1)如圖1,正方形 ABCD中，作 AE交B

7、C于E, DFLAE交AB于F,求證：AE=DF;(2)如圖2,正方形 ABCD中，點E, F分別在 AD, BC上，點G, H分別在AB, CD上，且EFl GH,求的值；(3)如圖3,矩形ABCD中，AB=a, BC=b，點E, F分別在 AD, BC上，且EFGH,求的值.BEC B FC圖L圖2A2? A E D A EDABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接,都有 ADQABQ;8. (2008寧夏)如圖，在邊長為 4的正方形DP交AC于點Q.(1)試證明：無論點 P運動到AB上何處時(2)當點P在AB上運動到什么位置時， 4ADQ的面積是正方形 ABCD面積的工；(3)若點P從

8、點A運動到點B,再繼續在BC上運動到點C,在整個運動過程中，當點 P運 動到什么位置時， 4ADQ恰為等腰三角形.9. （2008昌平區二模） 如圖，已知 ABC的頂點B、C為定點，A為動點（不在直線 BC上）， B是點B關于直線AC的對稱點，C是點C關于直線AB的對稱點，連接 BC、CB、BB、CC. （1）猜想線段BC與CB的數量關系，并證明你的結論；（2）當點A運動到怎樣的位置時，四邊形 BCB2菱形這樣的位置有幾個請用語言對這樣 的位置進行描述（不用證明）；（3）當點A在線段BC的垂直平分線（BC的中點及到BC的距離為的點除外上運動時，判 斷以點B、C、B、C為頂點的四邊形的形狀，畫出

9、相應的示意圖.（不用證明）10. （2007常德）如圖1,已知四邊形 ABCD是菱形，G是線段CD上的任意一點時，連接BG交AC于F,過F作FH/ CD交BC于H,可以證明結論瞿增成立.（考生不必證明） AB bG（1）探究：如圖2,上述條件中，若 G在CD的延長線上，其它條件不變時，其結論是否 成立若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（2）計算：若菱形 ABCD中AB=6, / ADC=60 , G在直線CD上，且CG=16,連接BG交AC 所在的直線于 F,過F作FH/ CD交BC所在的直線于 H,求BG與FG的長.（3）發現：通過上述過程，你發現G在直線CD上時，結論四2曳還成立嗎

10、AB BG11. （2007 宜昌）如圖 1,在 4ABC中，AB=BC=5 AC=6. AECDAABC沿 BC方向平移得 到的，連接AE. AC和BE相交于點O.（1）判斷四邊形 ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；(2)如圖2, P是線段BC上一動點(圖2),(不與點B、C重合)，連接PO并延長交線段 AE于點Q, QR，BD,垂足為點R.四邊形PQED的面積是否隨點 P的運動而發生變化若變化，請說明理由；若不變，求出 四邊形PQED的面積； 當線段BP的長為何值時， 4PQR與BOC相似.12. (2007濰坊)已知等腰 4ABC中，AB=AC, AD平分/ BAC交BC于D點，在線段

11、AD上 任取一點P (A點除外)，過P點作EF/ AB,分別交 AC, BC于E, F點，作PM/ AC,交AB 于M點，連接ME.(1)求證：四邊形 AEPM為菱形；(2)當P點在何處時，菱形 AEPM的面積為四邊形 EFBM面積的一半13. (2007 永州)在梯形 ABCD中，AB/ CD, / ABC=90, AB=5, BC=10, tan/ADC=2.(1)求DC的長；(2) E為梯形內一點，F為梯形外一點，若 BF=DE / FBC=Z CDE,試判斷4ECF的形狀, 并說明理由.(3)在(2)的條件下，若 BEX EC, BE: EC=4: 3,求DE的長.14. (2007常

12、州)已知，如圖，正方形ABCD的邊長為6,菱形EFGH的三個頂點 E, G, H分別在正方形 ABCD邊AB, CD, DA上，AH=2,連接CF.(1)當DG=2時，求4FCG的面積；(2)設DG=x,用含x的代數式表示 4FCG的面積；(3)判斷4FCG的面積能否等于1,并說明理由.15. (2007海南)如圖，在正方形 ABCD中，點F在CD邊上，射線 AF交BD于點E,交BC 的延長線于點G.(1)求證：ADECDE;(2)過點C作CH，CE,交FG于點H,求證：FH=GH;(3)設AD=1, DF=x,試問是否存在x的值，使4ECG為等腰三角形若存在， 請求出x的值； 若不存在，請說

13、明理由.16. (2007哈爾濱)如圖1,在正方形 ABCD中，對角線 AC與BD相交于點 E, AF平分/ BAC, 交BD于點F.(1)求證：ef+Uc=ab； 2(2)點C1從點C出發，沿著線段CB向點B運動(不與點B重合)，同時點A1從點A出發， 沿著BA的延長線運動，點 。與A1的運動速度相同，當動點 C1停止運動時，另一動點 A1 也隨之停止運動.如圖 2, A1F1平分/ BA1C1,交BD于點F1,過點F1作F1E1LA1C1,垂足為日，請猜想E1F1, EA1C1與AB三者之間的數量關系，并證明你的猜想；(3)在(2)的條件下，當 A1E1=3,。日=2時，求BD的長.17.

14、 (2006 河南)如圖 4ABC中，/ACB=90度，AC=2, BC=3. D是 BC邊上一點，直線 DEX BC 于D,交AB于點E, CF/ AB交直線 DE于F.設CD=x.(1)當x取何值時，四邊形 EACF是菱形請說明理由；18. (2006溫州)如圖，在 ABCD中，對角線 AC BC, AC=BC=2動點P從點A出發沿 AC 向終點C移動，過點 P分另1J作PM /AB交BC于M, PN/ AD交DC于N.連接AM .設AP=x(1)四邊形PMCN的形狀有可能是菱形嗎請說明理由；(2)當x為何值時，四邊形 PMCN的面積與4ABM的面積相等19. (2006沈陽)如圖1,在正

15、方形 ABCD中，點E、F分別為邊 BG CD的中點，AF、DE 相交于點G,則可得結論：AF=DE,AFLDE (不須證明).(1)如圖，若點E、F不是正方形 ABCD的邊BC CD的中點，但滿足 CE=DF則上面的 結論、是否仍然成立；(請直接回答 成立”或不成立”)(2)如圖，若點E、F分別在正方形 ABCD的邊CB的延長線和 DC的延長線上，且CE=DF 此時上面的結論 、 是否仍然成立若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.(3)如圖，在(2)的基礎上，連接AE和EF,若點 M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點，請先判斷四邊形 MNPQ是 矩形、菱形、正方形、等腰梯

16、形 ”中的哪一種，并寫 出證明過程.20. (2006成都)已知：如圖，在正方形 ABCD中，AD=12,點E是邊CD上的動點(點 E 不與端點C, D重合)，AE的垂直平分線 FP分別交AD, AE, BC于點F, H, G,交AB的延 長線于點P.(1)設DE=m (0vmv12),試用含 m的代數式表示的值；(2)在(1)的條件下，當時，求 BP的長.21. (2006汾陽市)如圖，點 (1)如圖1,當點E運動到(2)如圖2,當點E運動到E在正方形 ABCD的邊CD上運動，AC與BE交于點F.DC的中點時，求 4ABF與四邊形ADEF的面積之比；CE ED=2: 1時，求4ABF與四邊形

17、ADEF的面積之比；(3)當點E運動到CE: ED=3: 1時，寫出4ABF與四邊形ADEF的面積之比；當點 E運動 到CE ED=n： 1 (n是正整數)時，猜想 4ABF與四邊形ADEF的面積之比(只寫結果，不(4)請你利用上述圖形，提出一個類似的問題要求寫出計算過程)22. (2005資陽)閱讀以下短文，然后解決下列問題：如果一個三角形和一個矩形滿足條件： 三角形的一邊與矩形的一邊重合， 且三角形的這邊所 對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的友好矩形，如圖所示，矩形ABEF即為4ABC的 友好矩形”，顯然，當4ABC是鈍角三角形時，其 友好矩形”只有一 個.(1)仿照以上

18、敘述，說明什么是一個三角形的友好平行四邊形”；(2)如圖，若4ABC為直角三角形，且/C=90,在圖中畫出 ABC的所有 友好矩形”, 并比較這些矩形面積的大??；(3)若 ABC是銳角三角形，且 BC AC AB,在圖中畫出 ABC的所有 友好矩形”， 指出其中周長最小的矩形并加以證明.23. (2005重慶)已知四邊形 ABCD中，P是對角線 BD上的一點，過P作MN/AD, EF/ CD,分別交AB CD、AD、BC于點M、N、E、F,設a=PMPE, b=PNPF,解答下列問題：(1)當四邊形ABCD是矩形時，見圖1,請判斷a與b的大小關系，并說明理由；(2)當四邊形ABCD是平行四邊形

19、，且 / A為銳角時，見圖2, (1)中的結論是否成立并說明理由；（3）在（2）的條件下，設，是否存在這樣的實數k,使得包衛史里媽?=9若存在，請S/UBD 9求出滿足條件的所有 k的值；若不存在，請說明理由.AED ED圖I圖224. （2005大連）如圖，操作：把正方形 CGEF的對角線 CE放在正方形 ABCD的邊BC的延 長線上（CG BC）,取線段AE的中點M.探究：線段MD、MF的關系，并加以證明.說明：（1）如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫 3步）；（2）在你經歷說明（1）的過程后，可以從下列 、中選取一個補充或更換已知條

20、件，完成你的證明.注意：選取 完成證明得10分；選取完成證明得7分；選取完成證明得5分.DM的延長線交CE于點N,且AD=NE;將正方形CGEF6繞點C逆時針旋轉45（如圖），其他條件不變；在的條件下，且CF=2AD附加題：將正方形 CGEF繞點C旋轉任意角度后（如圖），其他條件不變.探究：線段 MD、 MF的關系，并加以證明.摩11G=G圖】題鄴25. （2005湖州）如圖，四邊形 ABCD和BEFG均為正方形，則=.（結果不取D26. (2005郴州)附加題：E是四邊形ABCD中AB上一點(E不與A、B重合).(1)如圖，當四邊形 ABCD是正方形時，4ADE、 BCE和 CDE的面積之間

21、有著怎樣的關系證明你的結論.(2)若四邊形 ABCD是矩形時，(1)中的結論是否仍然成立為什么ABCD是平行四邊形呢(3)當四邊形 ABCD是梯形時,(1)中的結論還成立嗎請說明理由.27. (2005深圳校級自主招生)如圖，將一三角板放在邊長為 1的正方形ABCD上，并使它 的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點 B,另一邊與射線 DC相交于Q. 探究：設A、P兩點間的距離為x.(1)當點Q在邊CD上時，線段PQ與PB之間有怎樣的數量關系試證明你的猜想；(2)當點Q在邊CD上時，設四邊形 PBCQ的面積為v,求y與x之間的函數關系，并寫出 函數自變量x的取值范圍；(3)當點P在

22、線段AC上滑動時，4PCQ是否可能成為等腰三角形如果可能，指出所有能使4PCQ成為等腰三角形的點 Q的位置.并求出相應的 x值，如果不可能，試說明理由.AD28. (2004貴陽)如圖，四邊形 ABCD中，AC=6, BD=8且AC, BD.順次連接四邊形 ABCD各邊中點，得到四邊形 A1B1C1D1；再順次連接四邊形 A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2c2D2 如此進行下去得到四邊形 AnBnCnDn.(1)證明：四邊形 A1B1C1D1是矩形；(2)寫出四邊形 A1B1C1D1和四邊形A2B2C2D2的面積；(3)寫出四邊形 AnBnCnDn的面積;(4)求四邊形 A5B5C5

23、D5的周長.29. (2004無為縣)(1)如圖(1),在正方形 ABCD中，對角線 AC、BD相交于點 O,易知AC BD,=-;2(2)如圖(2),若點E是正方形 ABCD的邊CD的中點，即，過 D作DGLAE,分另U交 ACBC于點F、G.求證：；(3)如圖(3),若點P是正方形 ABCD的邊CD上的點，且(n為正整數)，過點D作DNLAP, 分別交AC BC于點M、N,請你先猜想CM與AC的比值是多少，然后再證明你猜想的結論.30. (2004佛山)如果正方形的一邊落在三角形的一邊上，其余兩個頂點分別在三角形的另 外兩條邊上，則這樣的正方形叫做三角形的內接正方形.(1)如圖，在4ABC

24、中，BC=q BC邊上的高AD=ha, EFGH是4ABC的內接正方形.設正萬形EFGH的邊長是x,求證：富=;sd-h,a(2)在RtABC中，AB=4, AC=3, / BAC=90度.請在圖 ，圖 中分別畫出可能的內接 正方形，并根據計算回答哪個內接正方形的面積最大；(3)在銳角4ABC中，BC=a, AC=b, AB=c,且avbvc.請問這個三角形的內接正方形中 哪個面積最大并說明理由.九年級上冊四邊形壓軸題2參考答案與試題解析.解答題（共30小題）1. （2009臨沂）數學課上，張老師出示了問題：如圖 1,四邊形ABCD是正方形，點 E是邊BC的中點./AEF=90；且EF交正方形

25、外角 /DCG的平分線 CF于點F,求證：AE=EF圖1圖2圖m經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取 AB的中點M,連接ME,則AM=EC,易證 AME0ECF 所以 AE=EF在此基礎上，同學們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖2,如果把 熏E是邊BC的中點”改為熏E是邊BC上（除B, C外） 的任意一點”，其它條件不變，那么結論 AE=EF5然成立，你認為小穎的觀點正確嗎如果正 確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；（2）小華提出：如圖3,點E是BC的延長線上（除 C點外）的任意一點，其他條件不變， 結論AE=EF5然成立.你認為小華的觀點正確嗎如果正確，寫出證明過程；如果不

26、正確， 請說明理由.考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質.專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：（1）在AB上取一點M,使AM=EC,連接ME,根據已知條件利用 ASA判定 AMEECF因為全等三角形的對應邊相等，所以 AE=EF（2）在BA的延長線上取一點 N,使AN=CE,連接NE,根據已知利用 ASA判定 ANEECF因為全等三角形的對應邊相等，所以 AE=EF 解答：解：（1）正確.證明：在 AB上取一點 M,使AM=EC,連接 ME.BM=BE,/ BME=45 ；/ AME=135 ； CF是外角平分線，/ DCF=45,/ ECF=135, / AME=/ECF,

27、 / AEB+/ BAE=90 , / AEB+Z CEF=90,/ BAE=Z CEFAME/ECF （ASA）, AE=EF(2)正確.證明：在BA的延長線上取一點 N.使AN=CE連接NE.BN=BE,/ N=/NEC=45 , CF平分 / DCG,/ FCE=45, / N=/ECF 四邊形ABCD是正方形，AD/ BE,/ DAE=Z BEA,即 / DAE+90 = / BEA+90 ,/ NAE=Z CEFAANEAECF (ASA), . AE=EFL A U點評：此題主要考查學生對正方形的性質，角平分線的性質及全等三角形的判定方法的掌握情況.2. （2009?寧德）如圖（1

28、）,已知正方形 ABCD在直線 MN的上方，BC在直線 MN上,E是 BC上一點，以 AE為邊在直線 MN的上方作正方形 AEFG（1）連接 GD,求證： AADGAABE;（2）連接FG觀察并猜測/FCN的度數，并說明理由；（3）如圖（2）,將圖（1）中正方形 ABCD改為矩形 ABCD, AB=a, BC=b）（a、b為常數），E 是線段BC上一動點（不含端點 B、C）,以AE為邊在直線 MN的上方作矩形 AEFG使頂點 G恰好落在射線CD上.判斷當點E由B向C運動時，/ FCN的大小是否總保持不變若 / FCN 的大小不變，請用含 a、b的代數式表示tan/FCN的值；若/ FCN的大小

29、發生改變，請舉例 說明.考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；矩形的性質.專題：壓軸題；動點型.分析：(1)根據三角形判定方法進行證明即可.(2)作FH，MN于H.先證ABEEHF,得到對應邊相等，從而推出 4CHF是等 腰直角三角形，/ FCH的度數就可以求得了.(3)本題也是通過構建直角三角形來求度數，作FHL MN于H, / FCH的正切值就是 FH: CH.解答：(1)證明：二.四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，AB=AD, AE=AG, / BAD=Z EAG=90 , / BAE+/ EAD=Z DAG+/ EAD, Z BAE=Z DAG, ABAEVA DAG.(2

30、)解:/FCN=45, 理由是：作Fhl MN于H, / AEF=/ ABE=90 ； / BAE+Z AEB=90 ； / FEH叱 AEB=90 , / FEH=Z BAE,又 AE=EF / EHF=Z EBA=90 , AEFHAABE,FH=BE EH=AB=BCCH=BE=FH / FHC=90, / FCN=45.(3)解：當點E由B向C運動時，/ FCN的大小總保持不變， 理由是：作FH, MN于H,由已知可得 /EAG=Z BAD=Z AEF=90 ,結合(1) ( 2)得/ FEH=Z BAE=Z DAG, 又.G在射線CD上，/ GDA=Z EHF=Z EBA=90 ；

31、AEFHAGAD, EFHAABE, EH=AD=BC=bCH=BE在 RtA FEH 中，tan / FCN=上, a當點E由B向C運動時，/FCN的大小總保持不變，tan/FCN上.:j點評：本題考查了正方形，矩形的判定及全等三角形的判定方法等知識點的綜合運用，其重 點是通過證三角形全等或相似來得出線段的相等或成比例.3. (2009?黃石)如圖， ABC中，點。是邊AC上一個動點，過 O作直線 MN / BC,設MN 交/ BCA的平分線于點E,交/ BCA的外角平分線于點 F.(1)探究：線段 OE與OF的數量關系并加以證明；(2)當點O在邊AC上運動時，四邊形 BCFE會是菱形嗎若是

32、，請證明；若不是，則說明理由；(3)當點O運動到何處，且 ABC滿足什么條件時，四邊形 AECF是正方形考點：正方形的判定；平行線的性質；角平分線的性質；等腰三角形的性質；菱形的判定.專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：(1)利用平行線的性質由角相等得出邊相等；(2)假設四邊形BCFE再證明與在同一平面內過同一點有且只有一條直線與已知直 線垂直相矛盾；(3)利用平行四邊形及等腰直角三角形的性質證明四邊形AECF是正方形.解答：解：(1) OE=OF.證明如下：.CE是/ACB的平分線，/ 1 = 7 2. MN / BC,/ 1 = 7 3.Z2=Z 3.OE=OC同理可證OC=OFOE=OF (

33、3 分)(2)四邊形BCF環可能是菱形，若四邊形 BCFE為菱形，則BF EC, 而由(1)可知FCEC,在平面內過同一點 F不可能有兩條直線同垂直于一條直線.(3分)(3)當點O運動到AC中點時，且 ABC是直角三角形(/ACB=90)時，四邊形AECF 是正方形.理由如下： .O為AC中點, OA=OG 由(1)知 OE=OF 四邊形AECF為平行四邊形； /1 = /2, /4=/5, Z 1 + Z 2+7 4+7 5=180 ,Z2+Z 5=90 ；即 / ECF=90, .?AECF為矩形，又- AC EF. .?AECF是正方形.當點。為AC中點且 ABC是以/ACB為直角三角形

34、時，四邊形AECF是正方形.(3 分)BC D點評：本題考查的是平行線、角平分線、正方形、平行四邊形的性質與判定，涉及面較廣， 在解答此類題目時要注意角的運用，一般通過角判定一些三角形，多邊形的形狀，需 同學們熟練掌握.4. (2009?無錫校級二模)如圖，在平面直角坐標系中，點A、點C同時從點O出發，分別以每秒2個單位、1個單位的速度向x軸、y軸的正半軸方向運動，以 OA、OC為邊作矩形 OABC.以M (4, 0) , N (9, 0)為斜邊端點作直角 PMN,點P在第一象限，且七皿/F兒即/, 當點A出發時，4PMN同時以每秒個單位的速度沿 x軸向右平移.設點 A運動的時間為t 秒，矩形

35、 OABC與4PMN重疊部分的面積為 S.(1)求運動前點P的坐標；(2)求S與t的函數關系式，并寫出自變量 t的取值范圍；(3)若在運動過程中，要使對角線AC上始終存在點 Q,滿足/ OQM=g0 ,請直接寫出符合條彳的t的值或t的取值范圍.考點：矩形的性質；圓周角定理；切線的性質. 專題：壓軸題；動點型.(1)過點P作PHx軸于H,可求出MH的長即點P的橫坐標，再根據tan/PMN=L,2及勾股定理便可求出點 P的坐標.(2)因為點A;點C同時從點。出發，點M (4, 0), 4PMN同時以每秒個單位的 速度沿x軸向右平移，運動t秒后，OA=2t, OM=4+,當 0V OAC OM 即

36、0V 2t,兩圖形無交點; 當OMvOAC OH即4+v2tw8+,即qt封，矢|形 OABC與 PMN重疊部分的J*面積為S等于重疊的三角形的面積. 當OHv OAC ON即8+v2t w 9 +即v t w酎，矩形OABC與 PMN重疊矩部分的面 積為S等于4MNP的面積減去不重疊的三角形的面積. 當OAON,即2t9+, t6時，矩形 OABC與4PMN重疊矩部分的面積為 S等 于4MNP的面積.(3)根據圓周角定理可知， 當以OM為直徑的圓與 AC有公共點時，公共點即是符合 條件的點Q,即可求出t的取值范圍.解答：解：(1)如圖，過點P作PHI x軸于H. MN=9 4=5,tanZ

37、PMN=,2PM=, PN=, PH=2, MH=4, NH=1.P (8, 2).(2)運動 t 秒后，OA=2t, OC=t,OM=4 -.當t 4寸,S=t23t+4;3當 Vtw 時,S=- -t2+27t- 76;4當 t6 時，S=5.Q.（3）當以OM為直徑的圓與 AC有公共點時，公共點即是符合條件的點 當以OM為直徑的圓與 AC相切時，t= 醫竺11點評：此題是典型的動點問題，比較復雜，考查了同學們對圓及三角形，矩形，等相關知識 的掌握情況，有一定的難度.5. （2008?北京）請閱讀下列材料：問題：如圖1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A, B, E在同一條直線上，P是線

38、段DF的 中點，連接PG, PC.若/ABC=/ BEF=60,探究PG與PC的位置關系及的值.小聰同學的思路是： 延長GP交DC于點H,構造全等三角形，經過推理使問題得到解決.請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：（1）寫出上面問題中線段 PG與PC的位置關系及的值；（2）將圖1中的菱形BEFG繞點B順時針旋轉，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD 的邊AB在同一條直線上，原問題中白其他條件不變（如圖2）.你在（1）中得到的兩個結論是否發生變化寫出你的猜想并加以證明；（3）若圖1中/ABC=/ BEF=2% （0 “V 90）,將菱形BEFG繞點B順時針旋轉任意角度， 原問題中

39、的其他條件不變，請你直接寫出的值（用含“的式子表示）.考點：菱形的性質；全等三角形的判定與性質；銳角三角函數的定義.專題：壓軸題.分析：（1）根據題意可知小聰的思路為，通過判定三角形DHP和PGF為全等三角形來得出證明三角形HCG為等腰三角形且 P為底邊中點的條件；（2）思路同上，延長 GP交AD于點H,連接CH, CG,本題中除了如（1）中證明 GF國 4HDP（得到P是HG中點）外還需證明 HD84GBC（得出三角形 CHG是 等腰三角形）.（3） /ABC=/ BEF=2x （0 a 90）,那么 / PCG=9 0- a,由（1）可知：PG: PC=tan （90 a）.解答：解：（1

40、） CD/ GF, /PDH=/ PFG, / DHP=/ PGF, DP=PF . DPHA FGP，PH=PG DH=GF, . CD=BC GF=GB=DHCH=CGCP HG, /ABC=60,/ DCG=120,/ PCG=60, .PG: PC=tan60 = , 線段PG與PC的位置關系是 PG PC,=;(2)猜想：(1)中的結論沒有發生變化.證明：如圖2,延長GP交AD于點H,連接CH, .P是線段DF的中點，FP=DP1. AD/ GF,/ HDP=Z GFP, /GPF=/ HPD,AGFPAHDP (ASA), .GP=HP, GF=HD, 四邊形ABCD是菱形，CD=

41、CB /HDC=/ ABC=60 , /ABC=/ BEF=60,簍形BEFG的對角線 BF恰好與菱形 ABCD的邊AB在同一條直線 上，Z GBF=60 ；/ HDC=Z GBF, 四邊形BEF靛菱形，GF=GBHD=GB,AHDCAGBC；CH=CG / HCD=Z GCBPG PC (到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上) / ABC=60 / DCB=Z HCD+/ HCB=120 / HCG=Z HCB+Z GCB/ HCG=120 / GCP=60 =tan / GCP=tan60 =;(3) Z ABC=Z BEF=2% (0 aAB）,將紙片折疊一次，使點A與C重合，再

42、展開，折痕 EF交AD邊于E,交BC邊于F,分別連接AF和CE.（1）求證：四邊形 AFCE是菱形；（2）若 AE=10cm, ABF的面積為 24cm2,求 ABF的周長；（3）在線段AC上是否存在一點 P,使得2AE2=ac?ap若存在，請說明點 P的位置，并予以 證明；若不存在，請說明理由.考點：菱形的判定；勾股定理；矩形的性質；相似三角形的判定與性質.專題：壓軸題；開放型；存在型.分析：（1）因為是對折所以 AO=CQ利用三角形全等證明 EO=FQ四邊形便是菱形；（2）因為面積是24,也就是AR BF的積可以求出，所以求周長只要求出AB、BF的和就可以，而結合勾股定理它們和的平方減去乘

43、積二倍就是AF的平方；（3）因為工AC=AO所以可以從與 4AOE相似的角度考慮，即過 E作EP，AD.2解答：（1）證明：連接EF交AC于O,當頂點A與C重合時，折痕EF垂直平分AC,OA=OG / AOE=Z COF=90 （ 1 分） .在矩形 ABCD中，AD/ BC,Z EAO=Z FCO,AAOEACOF （ASA）. .OE=OF （2 分），四邊形AFCN菱形.（3分）（2）解：四邊形 AFCE是菱形，AF=AE=1Q設 AB=x, BF=y, / B=9Q,（x+y） 2 2xy=1QQD又 ; $ abf=24,xy=24,貝U xy=48.（5 分）由、得：（x+y） 2

44、=196 （6分）1- x+y=14, x+y=-14 （不合題意舍去）.ABF 的周長為 x+y+AF=14+10=24. （7 分）（3）解：過E作EP，AD交AC于P,則P就是所求的點.（9分）證明：由作法， /AEP=90,由（1）得：/ AOE=90 ,又 / EAO=Z EARAAOEAAEP,. .二,則 AE2=AO?AP （10 分）四邊形 AFCE菱形，/.AO=1ac, AE2AC?AP （11 分） 222AE2=AC?AP （12 分）即P的位置是：過 E作EP AD交AC于P.點評：本題主要考查（1）菱形的判定方法 對角線互相垂直且平分的四邊形 ”，（2）相似三 角

45、形的判定和性質.7. （2008?嘉興）小麗參加數學興趣小組活動，提供了下面3個有聯系的問題，請你幫助解決：（1）如圖1,正方形 ABCD中，作 AE交BC于E, DFLAE交AB于F,求證：AE=DF;（2）如圖2,正方形 ABCD中，點E, F分別在 AD, BC上，點G, H分別在AB, CD上，且EFl GH,求的值；（3）如圖3,矩形ABCD中，AB=a, BC=b，點E, F分別在 AD, BC上，且EFGH,求的值.考點：矩形的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質；相似三角形的判定與性質.專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：（1）證明AE=DF,只要證明三角形 ABE和DAF全

46、等即可.它們同有一個直角，且AB=AD, 又因為Z AEB=90 - /BAE=/ AFD,這樣就構成了全等三角形判定中的AAG兩三角形就全等了；（2）可通過構建與已知條件相關的三角形來求解. 作AM / EF交BC于M,作DN/ GH 交AB于N,那么AM=EF, DN=GH,（1）中我們已證得 ABM、ADAN全等，那么AM=DN , 即EF=GH它們的比例也就求出來了；（3）做法同（2）也是通過構建三角形來求解.作AM / EF交BC于M,作DN/ GH交AB于N,只不過證明三角形全等改為了證明其相似.解題思路和步驟是一樣的.解答：（1）證明：DFXAE/ AEB=90 - / BAE=

47、/ AFD又 AB=AD, / ABE=Z DAF=90 AABEADAF, . AE=DF(2)解：作 AM/ EF交 BC于 M作DN / GH交AB于N貝U AM=EF, DN=GH由(1)知，AM=DN .EF=GH 即(3)解：作 AM/ EF交 BC于 M作DN / GH交AB于N貝U AM=EF, DN=GHEF GH AMXDNZ AMB=90 - ZBAM=Z AND又 ZABM=Z DAN=90AABMADAN.AM AB a點評：本題中(1 ) (2)和(3)雖然所求不一樣，但是解題思路和步驟是一樣的，都是通過然后證明其全等或相似來得出線段間的相等D ,構建與已知和所求的

48、條件相關的三角形, 或比例關系.8. (2008?寧夏)如圖，在邊長為 4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q.(1)試證明：無論點 P運動到AB上何處時，都有 ADQ0ABQ;(2)當點P在AB上運動到什么位置時，4ADQ的面積是正方形 ABCD面積的；16|(3)若點P從點A運動到點B,再繼續在BC上運動到點C,在整個運動過程中，當點 P運動到什么位置時， 4ADQ恰為等腰三角形.考點：正方形的性質；三角形的面積；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；相似三角形的判定與性質.專題：綜合題；壓軸題；數形結合；分類討論.分析：(1)可由SAS求得 ADQ0 ABQ;

49、(2)過點Q作QE, AD于E, QFLAB于F,則QE=QF若 ADQ的面積是正方形 ABCD正方形ABCD,求得OE的值，再利用 DEM DAP面積的,，貝U有SAadq=!ad?QES ， ： ,1有還理解得Ap值AP DA(3)點P運動時，4ADQ恰為等腰三角形的情況有三種：有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD.由正方形的性質知，當點P運動到與點B重合時，QD=QA,此時4ADQ是等腰三角形，當點P與點C重合時，點Q與點C也重合，此時DA=DQ, AADQ 是等腰三角形， 當AD=AQ=4時，有CP=CQ CP=AC- AD而由正方形的對角線的性 質得到CP的值.解答：(1)證明：在正

50、方形 ABCD中，無論點P運動到AB上何處時，都有AD=AB, / DAQ=Z BAQ, AQ=AQ, AADQA ABQ;(2)解法一：4ADQ的面積恰好是正方形 ABCD面積的過點 Q 作 QE，AD 于 E, QFXAB于 F,則 QE=QF,.在邊長為4的正方形 ABCD中，S正方形 abcd=16,正方形ABCfL X 1ADX 2 EQ/ AP,ADECA DAP,瑞未即解得AP=2,AP，AP=2時，4ADQ的面積是正方形 ABCD面積的一;解法二：以A為原點建立如圖所示的直角坐標系，過點 Q作QE，y軸于點E, QF x 軸于點F.,點Q在正方形對角線 AC上,1- Q點的坐標

51、為（金，-）,y= - 2x+4,過點D （0, 4）, Q （9，$）兩點的函數關系式為:當 y=0 時，x=2,.P點的坐標為（2, 0）,.AP=2時，即當點P運動到AB中點位置時，4ADQ的面積是正方形 ABCD面積的(3)解：若4ADQ是等腰三角形，貝U有 QD=QA或DA=DQ或AQ=AD, 當 AD=DQ 時，貝U /DQA=/DAQ=45/ ADQ=90 ； P 為 C 點， 當 AQ=DQ 時，貝U / DAQ=Z ADQ=45 ,/ AQD=90 ； P 為 B, AD=AQ (P 在 BC 上), CQ=AC- AQ=BC- BC= ( T) BC1. AD/ BC=,即

52、可得=1, .CP=CQ=( - 1) BC=4 (T)綜上，P在B點，C點，或在CP=4(- 1)處，AADQ是等腰三角形.DCDQ點評：本題利用了正方形的性質，全等三角形和相似三角形的判定和性質，三角形的面積公 式，等腰三角形的性質，等腰直角三角形的性質求解.9. (2008?昌平區二模)如圖，已知4ABC的頂點B、C為定點，A為動點(不在直線 BC上)， B是點B關于直線AC的對稱點，C是點C關于直線AB的對稱點，連接 BC、CB、BB、CC. (1)猜想線段BC與CB的數量關系，并證明你的結論；(2)當點A運動到怎樣的位置時，四邊形 BCB2菱形這樣的位置有幾個請用語言對這樣 的位置進

53、行描述(不用證明)；(3)當點A在線段BC的垂直平分線(BC的中點及到BC的距離為的點除外上運動時，判 斷以點B、C、B、C為頂點的四邊形的形狀，畫出相應的示意圖.(不用證明)考點：菱形的判定；線段垂直平分線的性質；軸對稱的性質.專題：壓軸題；動點型.分析：在(1)中，根據題意結合圖形可以很容易發現BC =CB(2)中BCB防菱形，根據菱形的性質對角線互相垂直平分，而AC BB, AB CC,所以只要BB與CC相交于A點即可，即 ABC為直角三角形.(3)分情況討論可以得出結果.解答：解：(1)猜想：BC =CBB是點B關于直線AC的對稱點AC垂直平分BB，.BC=B C同理BC=BC .BC =CB(2)要使BCB俚菱形根據菱形的性質，對角線互相垂直平分,B