1、第八章 模糊數學方法建模1965 年 ,美國自動控制學家 L.A.Zadch 首先提出了用 “ 模糊集合 ”描述模糊事物的數學模 型。它的理論和方法從上個世紀七十年代開始受到重視并得到迅速發展，特別是愈來愈廣泛地應 用于解決生產實際問題。模糊數學的理論和方法解決了許多經典數學和統計數學難以解決的問 題，這里，我們通過幾個例子介紹模糊綜合評判、模糊模式識別、模糊聚類、模糊控制等最常用 方法的應用。而相應的理論和算法這里不作詳細介紹，請參閱有關的書籍。 1 模糊綜合評判及其應用一、模糊綜合評判 在我們的日常生活和工作中，無論是產品質量的評級，科技成果的鑒定，還是干部、學生的 評優等等，都屬于評判的

2、范疇。如果考慮的因素只有一個，評判就很簡單，只要給對象一個評價 分數，按分數的高低，就可將評判的對象排出優劣的次序。但是一個事物往往具有多種屬性，評 價事物必須同時考慮各種因素，這就是綜合評判問題。所謂綜合評判，就是對受到多種因素制約 的事物或對象，作出一個總的評價。綜合評判最簡單的方法有兩種方式：一種是總分法，設評判對象有 m 個因素，我們對每一個因素給出一個評分si ，計算出評判對象取得的分數總和mSsii1按 S 的大小給評判對象排出名次。例如體育比賽中五項全能的評判，就是采用這種方法。另一種是采用加權的方法，根據不同因素的重要程度，賦以一定的權重，令ai表示對第i個m因素的權重，并規定

3、 ai 1 ，于是用i1mSai sii1按 S 的大小給評判對象排出名次。 以上兩種方法所得結果都用一個總分值表示，在處理簡單問題時容易做到，而多數情況下評 判是難以用一個簡單的數值表示的，這時就應該采用模糊綜合評判。由于在很多問題上，我們對事物的評價常常帶有模糊性，因此，應用模糊數學的方法進行綜 合評判將會取得更好的實際效果。模糊綜合評判的數學模型可分為一級模型和多級模型兩類，這里僅介紹一級模型。 應用一級模型進行綜合評判，一般可歸納為以下幾個步驟：(1 )建立評判對象的因素集 U Ui，U2, ，Un。因素就是對象的各種屬性或性能，在不同場合,也稱為參數指標或質量指標，它們綜合地反映出對

4、象的質量，人們就是根據這些因素給對象評價。(2)建立評判集V V1,V2,Vm。例如對工業產品，評判集就是等級的集合。(3)建立單因素評判。即建立一個從U到F(V)的模糊映射f :U F(V), Ui UUif(Ui)旦陛噸(0 m 1, 1 in, 1 j m)V V2Vmj由f可誘導出模糊關系R，得到單因素評判矩陣r11r12r1mr21r22r2mRn1rn2rnm(4 )確定權重。由于對U中各因素有不冋的側重，需要對每個因素賦予不冋的權重，它可表示為U上的一個模糊子集nA a1, a2,an，并且規定ai1。i 1(5)綜合評判。在 R與A求出之后，則綜合評判為 B A R，記B gb

5、, ,“，它是V上的模糊子集。其中nbji 1(ai rj) (j 1,2,m)m如果評判結果bj 1，應將它歸一化。j 1在模糊綜合評判的上述步驟中， 建立單因素評判矩陣 R和確定權重分配 A，是兩項關鍵性的工作，沒有統一的格式可以遵循，一般采用統計實驗或專家評分等方法求出。、應用實例 例1 對教師教學質量的綜合評判。設因素集U 比，口2,口3,口4,口5這里U1為教材熟練，U2為邏輯性強，U3為啟發性強，U4為語言生動，U5為板書整齊。設評價集V V1,V2,V3,V4這里V為很好， V為較好，V3為一般，V4為不好。通過調查統計得出對某教師講課各因素的評語比例如下:V1V2V3V4U10

6、.450.250.20.1U20.50.40.10U30.30.40.20.1U40.40.40.10.1U50.30.50.10.1因而得出單因素評判矩陣0.450.250.20.10.50.40.10R0.30.40.20.10.40.40.10.10.30.50.10.1假定確定權重分配為A(0.3, 0.2,0.2,0.2,0.1)得出綜合評判如下BA R(0.3,0.25, 0.2,0.1)對結果進行歸一化B0.30.250.20.1(0.35,0.29, 0.24,0.12)0.850.850.850.85評判結果表明，對該教師的課堂教學認為“很好”的占35%，“較好”的占29%，

7、“一般”的占24%,“不好”的占12%，根據最大隸屬原則，結論是“很好”。例2評判某地區是否適宜種植橡膠。給定三個對橡膠生長影響較大的氣候因素作為因素集，即U U1,U2,U3。這里U1為年平均氣溫，U2為年極端最低氣溫，U 3為年平均風速。再給定評價集V Vi ,V2 ,V3,V4，這里V為很 適宜，V2為較適宜，V3為適宜，V4為不適宜。根據歷年的資料和經驗，選定類似戒上型的隸屬 函數，即對于年平均氣溫 u11 ,U1231（U1）12 ，0U1231 a1(U123)其中a1為參數，一般取a10.0625。對于年極端取低溫度 u21,U282(U2 )12 ，4U281a2(8U2)其中

8、a2為參數，一般取a20.0833。對于年平均風速u31 ,U313 (u3 )1八2，U311 a3(U31)其中a2為參數，一般取a30.8/82 。將某地區自1960年至1978年間每年對三個氣候因素實測的數據，分別代入上面三個隸屬函數公式，求出當年該因素的隸屬度列于下表：年份年平均氣溫年最低氣溫年平均風速19600.890.670.5519610.910.670.5519620.850.750.5019630.930.620.5019640.890.680.5519650.920.710.7119660.940.690.6619670.800.570.6019680.880.650.7

9、119690.850.670.6619700.850.720.8319710.800.620.6019720.910.640.6019730.930.590.7119740.850.580.7119750.910.610.6619760.810.710.6619770.880.610.7819780.920.700.83對隸屬度的大小給予分類，即規定(1 )當 0.9時，為“很適宜”;(2)當0.90.8時，為“較適宜”；(3)當0.80.7時，為“適宜”；(4 )當0.7時，為“不適宜”以單因素Ui為例，該地區在19年中“很適宜”的年份有 8年，占總數的42%，“較適宜”的年份有11年，占5

10、8%，其他兩種均無，占0%,于是得到對u1而言V上的模糊集0.420.58U1V4(0.42,0.58,0,0)同理可得相對其它兩個因素的模糊集u2(0,0,0.26,0.74)，u3 (0,0.11 , 0.26,0.63)。從而建立了單因素評判矩陣R0.420.5800000.260.7400.110.260.63根據三個氣候因素的作用，給定權重分配為A (0.19,0.80,0.01)得出綜合評判如下BAR (0.19,0.19,0.26,0.74)對結果進行歸一化B (0.14,0.14,0.19, 0.53)根據最大隸屬原則，結論是判定該地區種植橡膠為“不適宜”。例3污水處理廠運行管

11、理效果的綜合評判。為了評價污水處理廠經營管理的優劣，給定5個評判因素UU1,U2,U3,U4,U5。這里U1為每天處理污水量(千噸/日)，U2為五日生化需氧量 BOD5去除率(百分比)，U3為浮物SS去除率(百分比)，U4為氣水比(處理一噸污水消耗的空氣量)(立方米/噸)，U5為單耗(用去一公斤BOD5所耗電的度數)。給出評價集V V1,V2,V3,V4 ,V5。這里 V為很好，V2為好，V3為中等，V4為差，V為很差。根據實際情況進行定級，以 U1為例，當U118時，定為“很好” ；18 U117時定為“好”等等，對各因素定級的劃分見下表。很好好中等差很差每天處理污水量18以上1718161

12、71516r 15以下1五日生化需氧量B0D5去除率93以上89938589808580以下浮物SS去除率93以上89938589808580以下氣水比7以下788991010以上單耗0.9以下0.91.01.01.11.11.21.2以上對某污水處理廠多年運行的大量實測數據經技術處理后，按每一旬得出各因素的平均值，見F表。U1U2U3U4U5U1U2U3U4U511.680.381.98.900.9015.993.888.47.771.3011.180.178.57.800.9715.795.595.07.511.0012.091.088.07.200.8316.895.994.38.121

13、.0512.490.284.87.400.8016.094.292.08.841.0212.089.987.47.200.7417.490.890.09.150.9413.091.490.27.300.7316.391.191.67.801.0614.995.491.37.700.7915.492.990.39.280.9513.994.392.77.290.8416.194.195.06.640.8114.195.192.28.220.7518.794.695.86.540.6617.395.992.57.740.8916.695.694.97.000.9417.495.993.86.690

14、.7916.096.191.07.561.1317.391.489.36.220.6817.595.793.36.801.0818.487.683.67.150.6713.996.894.78.201.2415.881.482.46.690.8216.695.889.64.891.2513.787.887.57.390.7115.997.294.82.050.7916.687.684.48.300.8716.196.894.13.460.9815.594.789.87.880.9814.896.294.46.520.9515.994.592.87.241.1114.497.296.67.090

15、.74根據上表建立單因素評判矩陣R，例如對因素U4而言，總共36次統計中它屬于 V的次數為10,占總數的28%，因而410.28，其余類似可求，于是得到0.060.140.250.190.360.640.200.080.080R0.440.280.110.140.030.280.500.170.0600.500.200.140.060.10這是根據以往數據建立的評判矩陣，對今后每旬的運行效果的評價，還須求出權重分配A，各個因素對A的隸屬度，用如下隸屬函數公式計算：(1)Ui對A的隸屬函數(2)(3)(5)1（U1）u2對A的隸屬函數U3對A的隸屬函數U4對A的隸屬函數U5對A的隸屬函數于是權重

16、分配確定為 A1221(U1 18)29|(U115)2,2(U2 )3(U3 )4（U4）5(U5 )U1 18,16.5 U|15 U116.5U1 152U2932 132 U280130U3932 13U3801302 U473U410302U0.32 U51.20.301880U293U280U38.5U486.5 U293U286.580U39386.5 U393U386.580U4U48.5U41010U50.91.05U50.9 U51.05U51.21.21(Uj ,2（U2） ，3（U3），4（5），5(U5)。根據B A R，即可得出當前運行效果的綜合評判。例如該廠某月上旬的各項因素平均數據為:U1 =13.9 ，U 2 =96.8% ， U 3 =9