1、西南交通大學(xué)峨眉校區(qū)2016年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽第二次預(yù)選賽試題題目（A題 自動(dòng)倒車(chē)策略）姓名吳佩倫何青霞學(xué)號(hào)20141207712014121382專(zhuān)業(yè)14級(jí)機(jī)電14級(jí)鐵道運(yùn)輸聯(lián)系電話(huà)QQ792160313546452637自動(dòng)倒車(chē)策略摘要本文針對(duì)自動(dòng)泊車(chē)系統(tǒng)的研究，參考生活中人工入庫(kù)的實(shí)際情況，對(duì)整個(gè)倒車(chē)過(guò)程車(chē)輛運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行深入分析之后，運(yùn)用了幾何學(xué)相關(guān)知識(shí)求出了車(chē)輛在各段泊車(chē)的位置，列出了相關(guān)不等式并采用數(shù)形結(jié)合的方法，求解出了泊車(chē)起始點(diǎn)范圍，并根據(jù)車(chē)輛在泊車(chē)點(diǎn)附近安全行駛的區(qū)域范圍及泊車(chē)最終停靠位置的合理性，列出約束條件，通過(guò)構(gòu)建多目標(biāo)非線(xiàn)性規(guī)劃模型，很好的解決了安全倒車(chē)入庫(kù)的起始

2、點(diǎn)位置問(wèn)題和最佳泊車(chē)策略問(wèn)題，最后運(yùn)用了Matlab軟件對(duì)模型進(jìn)行求解。問(wèn)題一中，題目要求尋找能夠安全倒車(chē)入庫(kù)的起始點(diǎn)位置所在的區(qū)域范圍，首先我們要明確的是影響汽車(chē)安全入庫(kù)的因素就是車(chē)庫(kù)周?chē)矬w的阻礙，然后我們將汽車(chē)倒車(chē)入庫(kù)的過(guò)程劃分為三個(gè)階段，仔細(xì)分析汽車(chē)倒車(chē)入庫(kù)的過(guò)程之后我們考慮這三段過(guò)程中可能會(huì)發(fā)生的接觸車(chē)庫(kù)警戒線(xiàn)，列出約束條件，建立數(shù)學(xué)模型，并采用數(shù)形結(jié)合的方法對(duì)模型進(jìn)行求解，最終求出汽車(chē)能夠安全入庫(kù)的起始點(diǎn)位置范圍為下列曲線(xiàn)所包絡(luò)的不規(guī)則區(qū)域。問(wèn)題二中，題目要求設(shè)計(jì)出從任意倒車(chē)入庫(kù)起始點(diǎn)開(kāi)始的最佳泊車(chē)策略，并求出采用最佳策略時(shí)的前輪轉(zhuǎn)角和后輪行駛距離。我們應(yīng)該在汽車(chē)能夠安全倒車(chē)入庫(kù)并

3、停在最恰當(dāng)位置的前提下尋求滿(mǎn)足前輪轉(zhuǎn)角之和最小和后輪行駛距離最短的最佳泊車(chē)策略，先針對(duì)設(shè)任意起始點(diǎn)分析，對(duì)問(wèn)題一中所構(gòu)建的模型稍加改動(dòng)，增加了對(duì)最終停車(chē)位置的約束條件，并針對(duì)前輪轉(zhuǎn)角和后輪行駛距離構(gòu)建雙目標(biāo)函數(shù)，由幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，因?yàn)榉蔷唧w值，無(wú)法通過(guò)軟件直接求解，通過(guò)任意選取多個(gè)具體的值，運(yùn)用Matlab軟件的fgoalattain函數(shù)對(duì)該雙目標(biāo)非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題求解，得到多個(gè)起始點(diǎn)的最佳泊車(chē)策略，并進(jìn)行了比較分析。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合，Matlab，多目標(biāo)函數(shù)非線(xiàn)性規(guī)劃一、問(wèn)題提出若考慮系統(tǒng)控制容易性，參考人工倒車(chē)入庫(kù)，當(dāng)車(chē)輛位于與車(chē)位垂直的任意位置時(shí)，先通過(guò)前行或后退到達(dá)倒車(chē)

4、入庫(kù)起始點(diǎn)后，再確定前進(jìn)轉(zhuǎn)角或后退轉(zhuǎn)角，使車(chē)身與車(chē)位在同一直線(xiàn)上后，直接倒車(chē)完成入庫(kù)，即“一進(jìn)二退”。這種兩段式倒車(chē)模式提高了泊車(chē)過(guò)程中車(chē)輛行駛的緊湊性，同時(shí)減少了泊車(chē)行駛空間。考慮某型汽車(chē)，假定其長(zhǎng)3550mm，寬1495mm，軸距2340mm，前輪距1280mm，后輪距1280mm，目標(biāo)車(chē)庫(kù)為小型汽車(chē)庫(kù)標(biāo)準(zhǔn)大小長(zhǎng)6m，寬2.8m，車(chē)庫(kù)周?chē)闆r如圖，圖中a=400mm，b=8000mm，c=300mm。建立模型給出泊車(chē)策略，最終實(shí)現(xiàn)汽車(chē)自動(dòng)、安全的停車(chē)入庫(kù)。（1）假定汽車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)固定按照36度的轉(zhuǎn)向角前進(jìn)和后退，建立數(shù)學(xué)模型，尋找能夠安全倒車(chē)入庫(kù)的起始點(diǎn)位置所在的區(qū)域范圍。（2）建立模型，給出

5、從任意倒車(chē)入庫(kù)起始點(diǎn)開(kāi)始的最佳泊車(chē)策略，包括前輪轉(zhuǎn)角、后輪行駛距離。二、基本假設(shè)1、假設(shè)汽車(chē)在自動(dòng)泊車(chē)過(guò)程中不存在車(chē)輪打滑的情況。2、假設(shè)汽車(chē)在自動(dòng)泊車(chē)入庫(kù)的過(guò)程中沒(méi)有其他正在行駛的汽車(chē)及行人干擾其倒車(chē)入庫(kù)。3、假設(shè)在汽車(chē)自動(dòng)泊車(chē)入庫(kù)的過(guò)程中每一段泊車(chē)車(chē)車(chē)輪轉(zhuǎn)角都為定值。4、假設(shè)汽車(chē)在自動(dòng)泊車(chē)過(guò)程中車(chē)的行駛速度都為7km/h以下的自動(dòng)泊車(chē)安全速度。三、符號(hào)說(shuō)明符號(hào)意義單位備注與之間的夾角rad汽車(chē)后輪軸中點(diǎn)到車(chē)頭頂點(diǎn)連線(xiàn)與汽車(chē)中心軸之間的夾角rad汽車(chē)在第一段倒車(chē)過(guò)程中的前輪轉(zhuǎn)角rad汽車(chē)在第二段倒車(chē)過(guò)程中的前輪轉(zhuǎn)角rad汽車(chē)車(chē)身的寬度mt汽車(chē)的后輪距m汽車(chē)的長(zhǎng)度m汽車(chē)的軸距m車(chē)位的長(zhǎng)度m車(chē)位

6、的寬度m已經(jīng)停放好的汽車(chē)車(chē)身左側(cè)與車(chē)位左側(cè)邊界線(xiàn)之間的距離m表示與之間的距離m已經(jīng)停放好的汽車(chē)車(chē)身前沿與車(chē)位上邊界線(xiàn)之間的距離md車(chē)身與車(chē)位在同一條直線(xiàn)上之后，車(chē)直線(xiàn)行駛到最終泊車(chē)點(diǎn)的距離m汽車(chē)第一段行駛軌跡的半徑m汽車(chē)第二段行駛軌跡的半徑m四、問(wèn)題分析4.1 問(wèn)題背景隨著人們生活水平的逐步提高以及汽車(chē)產(chǎn)業(yè)及科技的高速發(fā)展，很多人都擁有自己的汽車(chē)，停車(chē)問(wèn)題成為了很多新司機(jī)的困擾，而自動(dòng)泊車(chē)系統(tǒng)就可以解決停車(chē)這一難題。自動(dòng)泊車(chē)是一項(xiàng)非常具有挑戰(zhàn)性和實(shí)用性的技術(shù)。自動(dòng)泊車(chē)系統(tǒng)可通過(guò)各類(lèi)傳感器獲取車(chē)位相對(duì)汽車(chē)的距離，通過(guò)控制汽車(chē)前輪轉(zhuǎn)角和瞬時(shí)速度控制車(chē)輛行駛。 分析影響最佳泊車(chē)策略的因素對(duì)倒車(chē)入庫(kù)過(guò)

7、程的分析4.2 問(wèn)題分析 停車(chē)位置的優(yōu)化 車(chē)庫(kù)周?chē)系K物的限制前輪轉(zhuǎn)角及后輪行駛距離的限制 建立問(wèn)題一數(shù)學(xué)模型建立問(wèn)題二的非線(xiàn)性規(guī)劃模型 從日常經(jīng)驗(yàn)可知，以自行車(chē)為例，如果前輪有一定轉(zhuǎn)角，在維持轉(zhuǎn)角不變狀態(tài)和無(wú)軸向移動(dòng)前提下自行車(chē)走過(guò)的路徑將會(huì)以某個(gè)圓點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)，同樣的狀態(tài)也會(huì)出現(xiàn)在汽車(chē)上。其走過(guò)路徑如下圖。 根據(jù)阿曼克數(shù)學(xué)模型，從幾何關(guān)系及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知，在如上圖后輪軸心的運(yùn)動(dòng)軌跡可以描述為以半徑的圓周運(yùn)動(dòng)。兩個(gè)后輪的軌跡分別為和的圓,為該車(chē)前輪轉(zhuǎn)角，推導(dǎo)詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)5。 在問(wèn)題一中，首先明確問(wèn)題，題目要求尋找汽車(chē)能夠安全入庫(kù)的起始點(diǎn)位置的區(qū)域范圍；然后，我們結(jié)合題目信息以及實(shí)際生活中的倒

8、車(chē)過(guò)程，分析了制約汽車(chē)安全入庫(kù)的影響因素，主要是受到車(chē)庫(kù)周?chē)挛锏挠绊懀晃覀儗⑵?chē)倒車(chē)入庫(kù)的過(guò)程分為三段，前兩段軌跡為圓弧，其中第一段圓弧與第二段圓弧相切，第三段軌跡為直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；最后根據(jù)車(chē)庫(kù)周?chē)系K物的制約構(gòu)建不等式，并采用數(shù)形結(jié)合的方法得到區(qū)域范圍，求出區(qū)域邊界方程，最后得出滿(mǎn)足汽車(chē)安全入庫(kù)的起始點(diǎn)位置的區(qū)域。 在問(wèn)題二中，題目要求根據(jù)前輪轉(zhuǎn)角和后輪行駛距離設(shè)計(jì)出從任意入庫(kù)起始點(diǎn)開(kāi)始的最佳泊車(chē)策略，即在問(wèn)題一汽車(chē)安全入庫(kù)的基礎(chǔ)上尋求倒車(chē)優(yōu)化方案，從而建立優(yōu)化模型。為了使得汽車(chē)出庫(kù)和入庫(kù)時(shí)行駛方便，參考上圖中車(chē)位旁邊的兩輛汽車(chē)的停放位置，要使停車(chē)位置最佳，則需要在滿(mǎn)足問(wèn)題一中約束條件的的前提下

9、增加對(duì)停車(chē)位置的約束，并構(gòu)建有關(guān)汽車(chē)行駛距離和兩段泊車(chē)轉(zhuǎn)角的多目標(biāo)函數(shù)非線(xiàn)性規(guī)劃，將任意點(diǎn)看做取多個(gè)具體點(diǎn)，最后運(yùn)用Matlab軟件進(jìn)行求解，得到每個(gè)具體起始點(diǎn)的最優(yōu)泊車(chē)策略。五、模型的建立與求解5.1 問(wèn)題一模型建立與求解5.1.1 問(wèn)題一的分析問(wèn)題一中，我們參考了生活中倒車(chē)實(shí)際情況的同時(shí)，結(jié)合題目信息，將倒車(chē)的過(guò)程分為三段。如圖所示，從汽車(chē)位于與車(chē)位垂直的任意位置時(shí)起，至汽車(chē)按照題目已知的轉(zhuǎn)向角36度前進(jìn)到某一合適的地點(diǎn)止，為第一段，第一段路程的軌跡是一段半徑為圓心角為的圓弧；汽車(chē)從第一段行程的終點(diǎn)按照相同的轉(zhuǎn)向角36度后退到車(chē)身與車(chē)位在同一條直線(xiàn)上止為第二段，由如圖1幾何關(guān)系知第二段路程

10、的軌跡是一段半徑為圓心角為的圓弧；最后汽車(chē)沿直線(xiàn)行駛距離后直接后退到車(chē)位的合適位置停車(chē)，為第三段。那么，為保證汽車(chē)能夠安全倒車(chē)入庫(kù)，影響其倒車(chē)起始點(diǎn)位置所在區(qū)域范圍的約束條件有四個(gè)：第一，汽車(chē)位于第一段路程的起始點(diǎn)與車(chē)位垂直時(shí)，車(chē)身不能越過(guò)和；第二，汽車(chē)在第一段路程的終點(diǎn)處不能越過(guò)上邊界線(xiàn)；第三，汽車(chē)在倒車(chē)的第二段過(guò)程中，車(chē)身（輪廓線(xiàn)在地面的投影）不能越過(guò)D點(diǎn)；第四，汽車(chē)在倒車(chē)的第三段過(guò)程終點(diǎn)停車(chē)時(shí)，車(chē)身左側(cè)不能越過(guò)FG，右側(cè)不能越過(guò)DE。5.1.2 問(wèn)題一模型的建立通過(guò)對(duì)原問(wèn)題的分析，我們以汽車(chē)兩后輪連線(xiàn)中心點(diǎn)的軌跡代替汽車(chē)的運(yùn)行軌跡，可以建立如下的數(shù)學(xué)模型. 首先明確變量：如圖，以車(chē)位的左

11、下角頂點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)汽車(chē)位于初始點(diǎn)位置時(shí)，兩后輪連線(xiàn)中心點(diǎn)坐標(biāo)為,汽車(chē)位于第一段路程的 終點(diǎn)處時(shí)，兩后輪連線(xiàn)中心點(diǎn)坐標(biāo)為，汽車(chē)位于第二段路程的終點(diǎn)處時(shí)，兩后輪連線(xiàn)中心點(diǎn)坐標(biāo)為，汽車(chē)在第三段路程的終點(diǎn)處停車(chē)時(shí)，兩后輪中心點(diǎn)坐標(biāo)為，汽車(chē)在第一段和第二段過(guò)程中兩后輪連線(xiàn)中心點(diǎn)軌跡為圓弧，設(shè)第一段軌跡圓心為，半徑為,第二段軌跡圓心為，半徑為，。 圖1Step1：取F點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）用不等式表示出約束條件1，即汽車(chē)位于第一段路程的起始點(diǎn)與車(chē)位垂直時(shí)，車(chē)身不能越過(guò)。 （1-1）式中：n表示車(chē)位的長(zhǎng)度 b表示之間的距離 W表示汽車(chē)的寬度Step2:用不等式表示出約束條件2，即汽車(chē)在第一段路程的終點(diǎn)處不

12、能越過(guò)上邊界線(xiàn)。 汽車(chē)從運(yùn)動(dòng)到過(guò)程中，軌跡為以為圓心，為半徑的圓弧，為汽車(chē)沿圓弧前進(jìn)時(shí)的前輪轉(zhuǎn)角，則的坐標(biāo)用表示為 ， ，由勾股定理得 ，則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由圖像易得由此可得 （1-2）式中：W表示汽車(chē)的寬度 S表示汽車(chē)的長(zhǎng)度 L表示汽車(chē)的軸距Step3:用不等式表示出約束條件3，即汽車(chē)在倒車(chē)的第二段過(guò)程中，車(chē)身（輪廓線(xiàn)在地面的投影）不能越過(guò)D點(diǎn)。在第二段過(guò)程中，當(dāng)汽車(chē)運(yùn)行到車(chē)身與線(xiàn)段垂直時(shí)，汽車(chē)兩后輪連線(xiàn)中點(diǎn)為，此時(shí)汽車(chē)剛好以全部的車(chē)身長(zhǎng)度側(cè)對(duì),車(chē)身離車(chē)位邊角點(diǎn)的距離最小，所以需滿(mǎn)足。在直角三角形中,點(diǎn)橫坐標(biāo)為,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）,則由兩點(diǎn)間的距離公式得。當(dāng)且時(shí)需滿(mǎn)足,即當(dāng)且

13、 時(shí)， （1-3） 式中：m表示車(chē)位的寬度Step4: 用不等式表示出約束條件4，即汽車(chē)在倒車(chē)的第三段過(guò)程終點(diǎn)停車(chē)時(shí)，車(chē)身左側(cè)不能越過(guò)FG，右側(cè)不能越過(guò)DE。如圖所示，兩后輪連線(xiàn)中點(diǎn)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則，由此可得 （1-4） （1-5）另外兩后輪連線(xiàn)中心點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則， 在問(wèn)題一中，題目假定汽車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)固定按照36度的轉(zhuǎn)向角前進(jìn)和后退，即，綜上所述，由1-1到1-5知問(wèn)題一的模型為5.1.3 問(wèn)題一模型的求解算法步驟與結(jié)果。如果模型求解比較困難，可以采取簡(jiǎn)化方法或者啟發(fā)式算法或者暴力索或者計(jì)算機(jī)模擬等方法求解搜。對(duì)于問(wèn)題一，我們采用了數(shù)形結(jié)合的方法求解，求解結(jié)果為下列曲線(xiàn) 所包絡(luò)的不規(guī)則區(qū)域。 S

14、tep1:分析模型的解法首先我們先將題目已知的數(shù)據(jù)代入模型一建立的不等式中，得由模型知必須滿(mǎn)足且當(dāng)時(shí)，必須有,設(shè)，其中由 化簡(jiǎn)得先將看作常量，在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)滿(mǎn)足上述不等式的可行域注意到圓心的橫縱坐標(biāo)由上述圓的參數(shù)方程得點(diǎn)的軌跡為以為圓心，6.44為半徑的1/4圓，設(shè)，為與y軸的夾角。因?yàn)椋浴t如下圖所示每一個(gè)角都可以對(duì)應(yīng)一個(gè)如上圖所示的一個(gè)范圍，在該范圍內(nèi)的起始點(diǎn)坐標(biāo)均滿(mǎn)足約束條件，則當(dāng)在變化時(shí)，只要落在每個(gè)對(duì)應(yīng)的范圍掃過(guò)的區(qū)域之內(nèi)則表示對(duì)于該點(diǎn)至少存在一個(gè)使?jié)M足以上不等式所有約束條件。 則上述黑粗實(shí)線(xiàn)包絡(luò)區(qū)域則為滿(mǎn)足上述不等式的的區(qū)域范圍，而又因?yàn)椋员仨氁獫M(mǎn)足不等式，則由數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)

15、一步縮小包絡(luò)區(qū)域。Step2：求區(qū)域邊界的方程對(duì)于最上邊界，由圖知最頂端邊界為。對(duì)于左上邊界，由模型式2：知左上端的的曲線(xiàn)方程為，而, ，帶入得曲線(xiàn)軌跡方程為。對(duì)于左邊界，由圖知左邊界垂線(xiàn)為。對(duì)于最下端邊界，由圖知對(duì)于右下中部邊界。某個(gè)對(duì)應(yīng)區(qū)域范圍距離圓心的距離最短時(shí)的點(diǎn)即為下部邊界上一點(diǎn)，設(shè)當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)區(qū)域最低點(diǎn)P離N點(diǎn)的距離為該區(qū)域距離N的最短距離，則連線(xiàn)剛好與區(qū)域最下端點(diǎn)相交，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，則每個(gè)對(duì)應(yīng)范圍最低點(diǎn)P為該范圍距離N最短的點(diǎn)，則右下中部邊界為P點(diǎn)掃過(guò)的軌跡，P點(diǎn)相對(duì)于M點(diǎn)的坐標(biāo)為帶入M點(diǎn)軌跡方程得P點(diǎn)的軌跡方程即為右下中部邊界軌跡方程。當(dāng)。對(duì)于右下邊界，右下端為以為圓心2.47

16、為半徑的軌跡圓，軌跡方程為。對(duì)于右邊界滿(mǎn)足。綜上所述，求得問(wèn)題一的結(jié)果為下列曲線(xiàn)方程所包絡(luò)的不規(guī)則區(qū)域。用幾何畫(huà)板在相應(yīng)范圍內(nèi)作出上述各邊界的軌跡曲線(xiàn)，并同時(shí)作出車(chē)庫(kù)各邊界，得到滿(mǎn)足汽車(chē)安全倒車(chē)入庫(kù)的起始點(diǎn)范圍如下圖。 圖a5.1.4 問(wèn)題一結(jié)果的分析及驗(yàn)證由模型一求解得知求解出區(qū)域?yàn)槠邨l曲線(xiàn)所包絡(luò)的范圍，由該區(qū)域知若行駛的車(chē)輛在到達(dá)起始點(diǎn)過(guò)程中若太靠近停車(chē)場(chǎng)左端，曲線(xiàn)所包絡(luò)起始點(diǎn)區(qū)域較少，則以36°車(chē)輪轉(zhuǎn)角自動(dòng)泊車(chē)很難實(shí)現(xiàn)，若希望車(chē)輛自動(dòng)泊車(chē)更順利，有更多起始點(diǎn)，則應(yīng)在停車(chē)場(chǎng)行駛到泊車(chē)起始點(diǎn)過(guò)程中應(yīng)盡量靠右端行駛。在圖a網(wǎng)格圖中在包絡(luò)區(qū)域左下角任取起始點(diǎn)，帶入問(wèn)題一模型式1,2,3

17、,4,5得取，帶入不等式成立，即滿(mǎn)足模型成立。同理，在圖a網(wǎng)格圖中在包絡(luò)區(qū)域中上部分任取起始點(diǎn)，帶入問(wèn)題一模型式1,2,3,4,5，取成立，滿(mǎn)足模型成立。右下部分取一點(diǎn)，帶入模型，取成立，此點(diǎn)也滿(mǎn)足模型。現(xiàn)在圖a網(wǎng)格圖中取區(qū)域外一點(diǎn)，帶入模型中得不等式解為空集，所以不成立。繼續(xù)取區(qū)域邊界外靠近邊界一點(diǎn)（5，5），帶入模型得不等式解集也為空集。由大致取點(diǎn)驗(yàn)證知，模型一模型求解正確。5.2 問(wèn)題二模型建立與求解5.2.1 問(wèn)題二的分析 在問(wèn)題二中，題目要求根據(jù)前輪轉(zhuǎn)角和后輪行駛距離設(shè)計(jì)出從任意入庫(kù)起始點(diǎn)開(kāi)始的最佳泊車(chē)策略，即在問(wèn)題一汽車(chē)安全入庫(kù)的基礎(chǔ)上尋求停車(chē)位置的優(yōu)化方案。為了使得汽車(chē)出庫(kù)和入庫(kù)

18、時(shí)行駛方便，參考上圖中車(chē)位旁邊的兩輛汽車(chē)的停放位置，要使停車(chē)位置最佳，則需要在滿(mǎn)足問(wèn)題一中約束條件的的前提下滿(mǎn)足如下約束條件：第一，汽車(chē)停車(chē)過(guò)程結(jié)束時(shí)，車(chē)身左側(cè)與車(chē)位左側(cè)邊界線(xiàn)之間的距離應(yīng)大于a，車(chē)身右側(cè)與車(chē)位右側(cè)邊界線(xiàn)之間的距離也應(yīng)大于a；第二，汽車(chē)停車(chē)過(guò)程結(jié)束時(shí)，車(chē)身前沿與車(chē)位上邊界線(xiàn)之間的距離應(yīng)大于c，車(chē)身后沿與車(chē)位下邊界線(xiàn)之間的距離也應(yīng)大于c。根據(jù)互聯(lián)網(wǎng)相關(guān)資料，因?yàn)槠?chē)自動(dòng)泊車(chē)借助傳感器雷達(dá)等電子設(shè)備感應(yīng)周?chē)系K物，通過(guò)計(jì)算機(jī)來(lái)控制方向盤(pán)轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)角越大，計(jì)算機(jī)則需要通過(guò)控制汽車(chē)動(dòng)力系統(tǒng)提供更多動(dòng)能以供更大的轉(zhuǎn)矩，不便于計(jì)算機(jī)控制，以及長(zhǎng)時(shí)間會(huì)損耗動(dòng)力系統(tǒng)。所以為了使得泊車(chē)策略最佳，停

19、車(chē)更方便快捷，則需滿(mǎn)足汽車(chē)在第一段倒車(chē)過(guò)程中的前輪轉(zhuǎn)角與第二段倒車(chē)過(guò)程中的前輪轉(zhuǎn)角之和較小（前輪轉(zhuǎn)角即汽車(chē)轉(zhuǎn)向角，經(jīng)查閱資料知，一般汽車(chē)的轉(zhuǎn)向角在30度到40度之間），并且，汽車(chē)在整個(gè)倒車(chē)入庫(kù)過(guò)程中后輪的行駛距離也應(yīng)盡可能的小使得汽車(chē)能耗小。則有約束條件建立了一個(gè)多目標(biāo)非線(xiàn)性規(guī)劃模型因?yàn)槠鹗键c(diǎn)為任意點(diǎn)，無(wú)法編程運(yùn)行，則可取多個(gè)滿(mǎn)足模型條件的具體分別求每個(gè)點(diǎn)最優(yōu)泊車(chē)策略，用matlab求解完成5.2.2 問(wèn)題二模型的建立Step1:用不等式表示出約束條件一，即汽車(chē)停車(chē)過(guò)程結(jié)束時(shí)，車(chē)身左側(cè)與車(chē)位左側(cè)邊界線(xiàn)之間的距離應(yīng)大于a，車(chē)身右側(cè)與車(chē)位右側(cè)邊界線(xiàn)之間的距離也應(yīng)大于a； 設(shè)任意一起始點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)槠?/p>

20、車(chē)在停車(chē)終點(diǎn)處時(shí)，兩后輪連線(xiàn)中心點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則，即 （2-1） （2-2） 式中：表示汽車(chē)車(chē)身的寬度 表示車(chē)位的寬度 表示圖中已經(jīng)停放好的汽車(chē)車(chē)身左側(cè)與車(chē)位左側(cè)邊界線(xiàn)之間的距離Step2:用不等式表示出約束條件二，即汽車(chē)停車(chē)過(guò)程結(jié)束時(shí)，車(chē)身前沿與車(chē)位上邊界線(xiàn)之間的距離應(yīng)大于c，車(chē)身后沿與車(chē)位下邊界線(xiàn)之間的距離也應(yīng)大于c。 因?yàn)槠?chē)在停車(chē)終點(diǎn)處時(shí)，兩后輪連線(xiàn)中心點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，即 （2-3） （2-4） 式中：表示汽車(chē)在第三段停車(chē)過(guò)程中直線(xiàn)行駛的距離 表示汽車(chē)的長(zhǎng)度 表示汽車(chē)的軸距 表示車(chē)位的長(zhǎng)度 表示圖中已經(jīng)停放好的汽車(chē)車(chē)身前沿與車(chē)位上邊界線(xiàn)之間的距離Step3:建立目標(biāo)函數(shù)。因?yàn)樵诘谝欢蔚?/p>

21、車(chē)過(guò)程中后輪行駛距離，第二段倒車(chē)過(guò)程中后輪行駛距離為,第三段倒車(chē)過(guò)程中后輪行駛距離為d。則 式中：表示汽車(chē)在第一段倒車(chē)過(guò)程中的前輪轉(zhuǎn)角 表示汽車(chē)在第二段倒車(chē)過(guò)程中的前輪轉(zhuǎn)角 表示汽車(chē)在第三段倒車(chē)過(guò)程中后輪行駛的直線(xiàn)距離 綜上所述： 目標(biāo)函數(shù)為5.2.3 問(wèn)題二模型的求解該模型為多目標(biāo)非線(xiàn)性規(guī)劃模型，求解該優(yōu)化問(wèn)題程序主要應(yīng)用了matlab的fgoalattain函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)多目標(biāo)規(guī)劃的求解，在求解程序中分別另，由于是求解任意下的最優(yōu)解，若不設(shè)為具體數(shù)值的話(huà)無(wú)法用程序運(yùn)行出結(jié)果，則本題解法主要采用將取為若干具體值，分別求解在若干下的最優(yōu)解（程序見(jiàn)附錄）。程序的功能為一運(yùn)行則彈出可自行輸入的值的框

22、,實(shí)現(xiàn)此功能部分程序?yàn)閜rompt='輸入x0的取值：','輸入y0的取值：'name='參數(shù)設(shè)定'numlines=1;answer=inputdlg(prompt,name,numlines);x0=str2double(answer(1);y0=str2double(answer(2);自行輸入具體滿(mǎn)足模型的的數(shù)值后，在命令窗口中輸入x則運(yùn)行出在輸入的值下該多目標(biāo)規(guī)劃模型盡可能滿(mǎn)足行駛路程最小和兩次轉(zhuǎn)角之和最小的最優(yōu)解的值，輸入fval則得到倆目標(biāo)函數(shù)的值。以下為輸入的7組的值，及滿(mǎn)足約束條件目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的x:（附錄中由上到下）的值及目

23、標(biāo)函數(shù)fval:（附錄中由上到下）的值（完整程序數(shù)據(jù)結(jié)果見(jiàn)附錄）(-2,10)(-1,9)(0,7)(1,8)(2,9)（-1,10）（1,7）0.74290.71820.52360.5236 0.52360.70220.52360.47880.50360.58000.69810.69810.5195 0.6981 0.68100.78301.07130.93310.59150.91881.00579.75435.57633.61784.11703.6016 4.96343.33371.15981.28661.65131.63121.28961.43841.703813.68809.05295

24、.97976.87138.18837.94125.82605.2.4 問(wèn)題二結(jié)果的分析及驗(yàn)證 任意取了五組起始點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)最優(yōu)解數(shù)據(jù)情況可知，當(dāng)。及起始點(diǎn)未越過(guò)車(chē)庫(kù)口時(shí)，要滿(mǎn)足最佳泊車(chē)策略普遍需要滿(mǎn)足泊車(chē)前進(jìn)轉(zhuǎn)角大于后退轉(zhuǎn)角，當(dāng)起始點(diǎn)越過(guò)車(chē)庫(kù)口時(shí)，要滿(mǎn)足最佳泊車(chē)策略普遍需要滿(mǎn)足泊車(chē)前進(jìn)轉(zhuǎn)角小于后退轉(zhuǎn)角，該規(guī)律滿(mǎn)足自動(dòng)泊車(chē)轉(zhuǎn)角的普遍規(guī)律，結(jié)論正確。六、模型的評(píng)價(jià)與推廣6.1 模型的評(píng)價(jià)對(duì)于我們所建立的模型，是從生活中垂直倒車(chē)入庫(kù)的實(shí)際情況出發(fā)研究的，能夠較好的反映實(shí)際情況，客觀合理。在問(wèn)題一所建立的模型中，盡管約束條件很多，不等式較為復(fù)雜，但是我們克服了數(shù)據(jù)冗雜不易求解的缺點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方法

25、，把變動(dòng)的角度掃過(guò)的范圍的軌跡方程求出，并根據(jù)列出的不等式約束條件確立了區(qū)域的范圍，處理方法較為精細(xì)，所求出的區(qū)域邊界方程和所繪制的曲線(xiàn)能夠直觀清晰的反映出倒車(chē)入庫(kù)起始點(diǎn)范圍，簡(jiǎn)潔明了，一目了然。最后針對(duì)問(wèn)題一的結(jié)果做出了科學(xué)合理的分析及驗(yàn)證。但在求解過(guò)程中由于數(shù)值表達(dá)式中無(wú)限不循環(huán)小數(shù)較多，為了作圖方便，通常僅保留了兩位小數(shù)，所求解出范圍與實(shí)際情況可能有微小偏差。在問(wèn)題二中模型建立較為復(fù)雜，為多目標(biāo)非線(xiàn)性規(guī)劃，matlab編程求解過(guò)程中又并未涉及智能算法，可能精確度會(huì)受到影響，起始點(diǎn)位置為任意點(diǎn)，我們?cè)谇蠼膺^(guò)程中，僅選取選取了部分點(diǎn)以程序求出了在這些點(diǎn)的最優(yōu)解及對(duì)應(yīng)各個(gè)未知參數(shù)，這種以點(diǎn)代面

26、的處理方法較為粗糙，并且選取的數(shù)據(jù)組數(shù)不多，不易比較，但該模型建立上與第一問(wèn)相似，通過(guò)程序完成了全部求解過(guò)程，并且程序易于操作，簡(jiǎn)潔明了，便于理解，具有很強(qiáng)的實(shí)用性。6.2 模型的推廣本文在第二問(wèn)中所建立的多目標(biāo)函數(shù)非線(xiàn)性規(guī)劃模型，很清晰的反映了現(xiàn)在自動(dòng)垂直泊車(chē)在現(xiàn)實(shí)生活中的真實(shí)最佳策略，所用的求解程序易于操作理解，可一定程度在實(shí)際生活中利用借鑒，在車(chē)輛工程的科技研究，軌跡分析等方面具有一定的實(shí)效性。但是模型的結(jié)果存在一定的誤差，不夠全面。在時(shí)間充裕的條件下，應(yīng)該綜合多項(xiàng)指標(biāo)，探求多方因素影響下、更具實(shí)際意義的模型，尋找更為簡(jiǎn)單準(zhǔn)確的求解方法。7、 參考文獻(xiàn)1高航.自動(dòng)垂直泊車(chē)方法研究.北京.

27、中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社.2011年5月2 姜啟源等.數(shù)學(xué)模型（第四版）.北京：高等教育出版社，2003年8月3 司守奎，孫璽箐.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2012.4 數(shù)學(xué)建模-側(cè)位泊車(chē)問(wèn)題5 何峰.自動(dòng)泊車(chē)系統(tǒng)的研究及實(shí)現(xiàn),2009八、附錄8.1 附錄清單附錄1：求解問(wèn)題二的matlab程序附錄2：?jiǎn)栴}二的完整數(shù)據(jù)結(jié)果8.2 附錄正文附錄1：求解問(wèn)題二的matlab程序適應(yīng)性M定義初始數(shù)據(jù)文件begin_dataclear,clcn=6;W=1.495;L=2.34;b=8;S=3.55;a=0.4;m=2.8;c=0.3;bt=atan(W/(S+L);save('

28、information.mat');適應(yīng)性M文件fun.mfunction f=fun(x)load information.mat;f=x(2)+x(3);x(1)*L*cos(x(2)+(pi/2-x(1)*L*cot(x(3)+x(4);End適應(yīng)性M文件mycon2.mload information.mat;g= y0+L*cot(x(2)*(1-cos(x(1)+sqrt(S+L)/2)2+(W/2)2)*sin(x(1)+bt)-n-b;. sqrt(m-x0-(L*cot(x(2)+L*cot(x(3)*sin(x(1)2+(n-y0+(L*cot(x(2)+L*cot

29、(x(3)*cos(x(1)-L*cot(x(2)2)-L*cot(x(3)+W/2;. -x0-L*cot(x(2)*sin(x(1)+L*cot(x(3)*(1-sin(x(1)+W/2+a;. x0+L*cot(x(2)*sin(x(1)-L*cot(x(3)*(1-sin(x(1)+W/2+a-m;. y0+L*cot(x(2)*(1-cos(x(1)-x(4)-L*cot(x(3)*cos(x(1)+(S+L)/2-n+c;. -y0-L*cot(x(2)*(1-cos(x(1)+x(4)+L*cot(x(3)*cos(x(1)+(S-L)/2+c;ceq=;end主程序clear,clc%x=aef st1 st2 d x0 y0load information.mat;prompt='輸入x