1、第第七七章章立立體體幾幾何何第八第八節節立體立體幾何幾何中的中的向量向量方法方法( (理理) )抓抓 基基 礎礎明明 考考 向向提提 能能 力力教教 你你 一一 招招我我 來來 演演 練練 備考方向要明了備考方向要明了考考 什什 么么1.理解直線的方向向量與平面的法向量理解直線的方向向量與平面的法向量2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平 面的垂直、平行關系面的垂直、平行關系3.能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的有關命能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的有關命 題題4.能用向量方法解決兩異面直線所成角、直線與平面所成能用向

2、量方法解決兩異面直線所成角、直線與平面所成 角、二面角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何角、二面角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何 問題中的應用問題中的應用. 怎怎 么么 考考 利用向量法求空間角的大小是命題的熱點著重考利用向量法求空間角的大小是命題的熱點著重考查學生建立空間坐標系及空間向量坐標運算的能力題查學生建立空間坐標系及空間向量坐標運算的能力題型多為解答題，難度中檔型多為解答題，難度中檔.2在空間中，給定一個點在空間中，給定一個點A和一個向量和一個向量a，那么以向量，那么以向量a為為 法向量且經過點法向量且經過點A的平面是的平面是 一、平面的法向量一、平面的法向量1所謂平面的

3、法向量，就是指所在的直線與所謂平面的法向量，就是指所在的直線與 的的向量，顯然一個平面的法向量有向量，顯然一個平面的法向量有 多個，它們是多個，它們是 向量向量平面垂直平面垂直無數無數共線共線唯一的唯一的二、利用向量求空間角二、利用向量求空間角1兩條異面直線所成角的求法兩條異面直線所成角的求法設兩條異面直線設兩條異面直線a，b的方向向量為的方向向量為a，b，其夾角為，其夾角為，則，則cos|cos| (其中其中為異面直線為異面直線a，b所成的角所成的角)3求二面角的大小求二面角的大小(1)如圖，如圖，AB、CD是二面角是二面角l的兩個面內與棱的兩個面內與棱l垂垂 直的直線，則二面角的大小直的直

4、線，則二面角的大小 (2)如圖，如圖，n1，n2分別是二面角分別是二面角l的兩個半平的兩個半平面面，的法向量，則二面角的小大的法向量，則二面角的小大 n1，n2 (或或n1，n2)答案：答案：A1若平面若平面1，2垂直，則下面可以是這兩個平面的垂直，則下面可以是這兩個平面的 法向量的是法向量的是 ()An1(1,2,1)，n2(3,1,1)Bn1(1,1,2)，n2(2,1,1)Cn1(1,1,1)，n2(1,2,1)Dn(1,2,1)，n2(0，2，2)解析：解析：兩個平面垂直時其法向量也垂直，只有選項兩個平面垂直時其法向量也垂直，只有選項A中的兩個向量垂直中的兩個向量垂直2(教材習題改編教

5、材習題改編)已知已知a(1,1,1)，b(0,2，1)，cmanb(4，4,1)若若c與與a及及b都垂直，則都垂直，則m，n的的值分別為值分別為()A1,2B1，2C1,2 D1，2答案：答案： A答案：答案： A4在四棱錐在四棱錐PABCD中，底面中，底面ABCD為直角梯形，為直角梯形，ABCD，BAAD，PA平面平面ABCD，ABAPAD3，CD6.則直線則直線PD與與BC所成的角為所成的角為_解析：解析：以以A為坐標原點，為坐標原點，AD、AB、AP所在的直線分別為所在的直線分別為x軸、軸、y軸、軸、z軸，建軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0

6、)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，D(3,0,0)，C(3,6,0)答案：答案： 601平面的法向量的求法平面的法向量的求法設出平面的一個法向量設出平面的一個法向量n(x，y，z)，利用其與該平面，利用其與該平面內的兩個不共線向量垂直，即數量積為內的兩個不共線向量垂直，即數量積為0，列出方程組，列出方程組，兩個方程，三個未知數，此時給其中一個變量恰當賦值，兩個方程，三個未知數，此時給其中一個變量恰當賦值，求出該方程組的一個非零解，即得到這個法向量的坐求出該方程組的一個非零解，即得到這個法向量的坐標注意，賦值不同得到法向量的坐標也不同，法向量標注意，賦值不同得到法向量的坐標也不同，法向量的

7、坐標不唯一的坐標不唯一2利用向量法求空間角利用向量法求空間角利用向量法求空間角時，要注意空間角的取值范圍利用向量法求空間角時，要注意空間角的取值范圍與向量夾角取值范圍的區別，特別地二面角的大小與向量夾角取值范圍的區別，特別地二面角的大小等于其法向量的夾角或其補角，到底等于哪一個，等于其法向量的夾角或其補角，到底等于哪一個，要根據題目的具體情況看二面角的大小是銳角還是要根據題目的具體情況看二面角的大小是銳角還是鈍角鈍角巧練模擬巧練模擬(課堂突破保分題，分分必保！課堂突破保分題，分分必保！)沖關錦囊沖關錦囊 利用直線的方向向量與平面的法向量，可以判定直利用直線的方向向量與平面的法向量，可以判定直線

8、與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直1設直線設直線l1的方向向量的方向向量v1(a1，b1，c1)，l2的方向向量的方向向量v2(a2，b2，c2)則則l1l2v1v2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)l1l2v1v2a1a2b1b2c1c20.2設直線設直線l的方向向量為的方向向量為v(a1，b1，c1)，平面，平面的法向的法向量為量為n(a2，b2，c2)，則，則lvna1a2b1b2c1c20.lvn(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)3設平面設平面的法向量的法向量n1(a1，b1，c1)，的法向量為的法向量為n2(

9、a2，b2，c2)，則則n1n2，n1n2.精析考題精析考題 例例2 (2011大綱版全國高考大綱版全國高考)如圖，四棱如圖，四棱錐錐SABCD中，中，ABCD，BCCD，側面側面SAB為等邊三角形為等邊三角形ABBC2，CDSD1.(1)證明：證明：SD平面平面SAB；(2)求求AB與平面與平面SBC所成的角的正弦值所成的角的正弦值2(2011湖州第一次質檢湖州第一次質檢)如圖，正方如圖，正方形形ADEF和等腰梯形和等腰梯形ABCD垂直，垂直，已知已知BC2AD4，ABC60，BFAC.(1)求證：求證：AC平面平面ABF；(2)求異面直線求異面直線BE與與AC所成的角的余弦值所成的角的余弦

10、值解：解：(1)證明：因為平面證明：因為平面ADEF平面平面ABCD，平面，平面ADEF平面平面ABCDAD，AFAD，AF平面平面ADEF，所以所以AF平面平面ABCD.故故AFAC，又，又BFAC，AFBFF，所以所以AC平面平面ABF.3.(2012廣州調研廣州調研)如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐 PABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形， PA平面平面ABCD，PAAD2， AB1，BMPD于點于點M. (1)求證：求證：AMPD； (2)求直線求直線CD與平面與平面ACM所成角的余弦值所成角的余弦值解：解：(1)證明：證明：PA平面平面ABCD，AB平面平面ABCD，P

11、AAB.ABAD，ADPAA，AB平面平面PAD.PD平面平面PAD，ABPD，BMPD，ABBMB，PD平面平面ABM.AM平面平面ABM，AMPD.沖關錦囊沖關錦囊2利用向量法求線面角的方法利用向量法求線面角的方法一是分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向一是分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角或其補角)；二是通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量二是通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角就

12、是斜線和平面所成的角.解：解：如圖，以如圖，以D為坐標原點，線段為坐標原點，線段DA的長為單位長度，射線的長為單位長度，射線DA為為x軸軸的正半軸建立空間直角坐標系的正半軸建立空間直角坐標系Dxyz.巧練模擬巧練模擬(課堂突破保分題，分分必保！課堂突破保分題，分分必保！)4. （2012南通模擬）一個幾何體是南通模擬）一個幾何體是由如圖所示的圓柱由如圖所示的圓柱ADD1A1和三和三棱錐棱錐E ABC組合而成，點組合而成，點A、B、C在圓柱上底面圓在圓柱上底面圓O的圓周上，的圓周上，且且BC過圓心過圓心O，EA平面平面ABC. (1)求證：求證：ACBD； (2)求銳二面角求銳二面角ABDC的大

13、小的大小解：解：(1)證明：因為證明：因為EA平面平面ABC，AC平面平面ABC，所，所以以EAAC，即，即EDAC.又因為又因為ACAB，ABEDA，所以所以AC平面平面EBD.因為因為BD平面平面EBD，所以所以ACBD.沖關錦囊沖關錦囊1利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別在利用空間向量求二面角可以有兩種方法：一是分別在二面角的兩個半平面內找到一個與棱垂直且從垂足出二面角的兩個半平面內找到一個與棱垂直且從垂足出發的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面發的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通過平面的法向量來求：設角的平面角的大小；二是通過平面的法向量來求：設二面角的兩個半平面的法向量分別為二面角的兩個半平面的法向量分別為n1和和n2，則二面，則二面角的大小等于角的大小等于n1，n2(或或n1，n2)2利用空間向量求二面角時，注意結合圖形判斷二面角利用空間向量求二面角時，注意結合圖形判斷二面角是銳角還是鈍角是銳角還是鈍角答題模板答題模板 向量法求空間角的規范解答向量法求空間角的規范解答模板建構模板建構1本題中易忽略的步驟為本題中易忽略的步驟