1、習題111 設A( 5(5 B10 3 寫出AB AB AB及A(AB的表達式 解 AB( 3(5 AB10 5 AB( 10(5 A(AB10 5 2 設A、B是任意兩個集合 證明對偶律 (ABCAC BC 證明 因為x(ABCxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC 所以 (ABCAC BC 3 設映射f X Y AX BX 證明(1f(ABf(Af(B (2f(ABf(Af(B 證明 因為yf(ABxAB 使f(xy(因為xA或xB yf(A或yf(Byf(Af(B 所以 f(ABf(Af(B (2因為yf(ABxAB 使f(xy(因為xA且xB yf(A且yf(B y f(Af

2、(B所以 f(ABf(Af(B 4 設映射f XY 若存在一個映射g YX 使 其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射 即對于每一個xX 有IX xx 對于每一個yY 有IY yy 證明 f是雙射 且g是f的逆映射 gf 1 證明 因為對于任意的yY 有xg(yX 且f(xfg(yIy yy 即Y中任意元素都是X中某元素的像 所以f為X到Y的滿射 又因為對于任意的x1x2 必有f(x1f(x2 否則若f(x1f(x2g f(x1gf(x2 x1x2 因此f既是單射 又是滿射 即f是雙射 對于映射g YX 因為對每個yY 有g(yxX 且滿足f(xfg(yIy yy 按逆映射的定義 g是f的逆映

3、射 5 設映射f XY AX 證明 (1f 1(f(AA (2當f是單射時 有f 1(f(AA 證明 (1因為xA f(xyf(A f 1(yxf 1(f(A 所以 f 1(f(AA (2由(1知f 1(f(AA 另一方面 對于任意的xf 1(f(A存在yf(A 使f 1(yxf(xy 因為yf(A且f是單射 所以xA 這就證明了f 1(f(AA 因此f 1(f(AA 6 求下列函數的自然定義域 (1解 由3x20得 函數的定義域為 (2解 由1x20得x1 函數的定義域為( 1(1 1(1 (3解 由x0且1x20得函數的定義域D1 0(0 1(4解 由4x20得 |x|2 函數的定義域為(

4、2 2 (5解 由x0得函數的定義D0 (6 ytan(x1解 由(k0 1 2 得函數的定義域為(k0 1 2 (7 yarcsin(x3 解 由|x3|1得函數的定義域D2 4 (8 解 由3x0且x0得函數的定義域D( 0(0 3 (9 yln(x1 解 由x10得函數的定義域D(1 (10 解 由x0得函數的定義域D( 0(0 7 下列各題中 函數f(x和g(x是否相同？為什么？(1f(xlg x2 g(x2lg x(2 f(xx g(x (3 (4f(x1 g(xsec2xtan2x 解 (1不同 因為定義域不同 (2不同 因為對應法則不同 x0時 g(xx (3相同 因為定義域、對

5、應法則均相相同 (4不同 因為定義域不同 8 設 求 (2 并作出函數y(x的圖形 解 9 試證下列函數在指定區間內的單調性 (1 ( 1 (2yxln x (0 證明 (1對于任意的x1 x2( 1 有1x10 1x20 因為當x1x2時 所以函數在區間( 1內是單調增加的 (2對于任意的x1 x2(0 當x1x2時 有 所以函數yxln x在區間(0 內是單調增加的 10 設 f(x為定義在(l l內的奇函數 若f(x在(0 l內單調增加 證明f(x在(l 0內也單調增加 證明 對于x1 x2(l 0且x1x2 有x1 x2(0 l且x1x2 因為f(x在(0 l內單調增加且為奇函數 所以

6、f(x2f(x1 f(x2f(x1 f(x2f(x1 這就證明了對于x1 x2(l 0 有f(x1 f(x2 所以f(x在(l 0內也單調增加11 設下面所考慮的函數都是定義在對稱區間(l l上的 證明 (1兩個偶函數的和是偶函數 兩個奇函數的和是奇函數(2兩個偶函數的乘積是偶函數 兩個奇函數的乘積是偶函數 偶函數與奇函數的乘積是奇函數 證明 (1設F(xf(xg(x 如果f(x和g(x都是偶函數 則F(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為偶函數 即兩個偶函數的和是偶函數 如果f(x和g(x都是奇函數 則F(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為奇函數 即兩個奇函數的和是奇函

7、數 (2設F(xf(xg(x 如果f(x和g(x都是偶函數 則F(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為偶函數 即兩個偶函數的積是偶函數 如果f(x和g(x都是奇函數 則F(xf(xg(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為偶函數 即兩個奇函數的積是偶函數 如果f(x是偶函數 而g(x是奇函數 則F(xf(xg(xf(xg(xf(xg(xF(x 所以F(x為奇函數 即偶函數與奇函數的積是奇函數 12 下列函數中哪些是偶函數 哪些是奇函數 哪些既非奇函數又非偶函數？(1yx2(1x2 (2y3x2x3(3 (4yx(x1(x1(5ysin xcos x1(6解 (1因為f(x(x

8、21(x2x2(1x2f(x 所以f(x是偶函數 (2由f(x3(x2(x33x2x3可見f(x既非奇函數又非偶函數 (3因為 所以f(x是偶函數 (4因為f(x(x(x1(x1x(x1(x1f(x 所以f(x是奇函數 (5由f(xsin(xcos(x1sin xcos x1可見f(x既非奇函數又非偶函數 (6因為 所以f(x是偶函數 13 下列各函數中哪些是周期函數？對于周期函數 指出其周期 (1ycos(x2解 是周期函數 周期為l2 (2ycos 4x解 是周期函數 周期為(3y1sin x解 是周期函數 周期為l2(4yxcos x解 不是周期函數(5ysin2x解 是周期函數 周期為

9、l14 求下列函數的反函數 (1 解 由得xy31 所以的反函數為yx31(2解 由得 所以的反函數為(3(adbc0 解 由得 所以的反函數為(4 y2sin3x 解 由y2sin 3x得 所以y2sin3x的反函數為(5 y1ln(x2 解 由y1ln(x2得xey12 所以y1ln(x2的反函數為yex12(6 解 由得 所以的反函數為15 設函數f(x在數集X上有定義 試證 函數f(x在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界 證明 先證必要性 設函數f(x在X上有界 則存在正數M 使|f(x|M 即Mf(xM 這就證明了f(x在X上有下界M和上界M 再證充分性 設函數f(x在

10、X上有下界K1和上界K2 即K1f(x K2 取Mmax|K1| |K2| 則 M K1f(x K2M 即 |f(x|M 這就證明了f(x在X上有界 16 在下列各題中 求由所給函數復合而成的函數 并求這函數分別對應于給定自變量值x1和x2的函數值 (1 yu2 usin x 解 ysin2x (2 ysin u u2x 解 ysin2x (3 u1x2 x11 x2 2解 (4 yeu ux2 x1 0 x21解 (5 yu2 uex x11 x21解 ye2x y1e21e2 y2e2(1e217 設f(x的定義域D0 1 求下列各函數的定義域 (1 f(x2 解 由0x21得|x|1 所

11、以函數f(x2的定義域為1 1(2 f(sinx 解 由0sin x1得2nx(2n1 (n0 1 2 所以函數f(sin x的定義域為2n (2n1 (n0 1 2 (3 f(xa(a>0 解 由0xa1得ax1a 所以函數f(xa的定義域為a 1a(4 f(xaf(xa(a0 解 由0xa1且0xa1得 當時 ax1a 當時 無解 因此當時函數的定義域為a 1a 當時函數無意義18 設 g(xex 求fg(x和gf(x 并作出這兩個函數的圖形 解 即 即 19 已知水渠的橫斷面為等腰梯形 斜角40(圖137 當過水斷面ABCD的面積為定值S0時 求濕周L(LABBCCD與水深h之間的

12、函數關系式 并指明其定義域 圖137解 又從得 所以 自變量h的取值范圍應由不等式組h0 確定 定義域為 20 收斂音機每臺售價為90元 成本為60元 廠方為鼓勵銷售商大量采購 決定凡是訂購量超過100臺以上的 每多訂購1臺 售價就降低1分 但最低價為每臺75元 (1將每臺的實際售價p表示為訂購量x的函數 (2將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數 (3某一商行訂購了1000臺 廠方可獲利潤多少？解 (1當0x100時 p90 令001(x01009075 得x01600 因此當x1600時 p75 當100x1600時 p90(x100001910 01x 綜合上述結果得到 (2 (3 P3

13、110000011000221000(元 習題121 觀察一般項xn如下的數列xn的變化趨勢 寫出它們的極限 (1 解 當n時 0 (2解 當n時 0 (3解 當n時 2 (4 解 當n時 0 (5 xnn(1n 解 當n時 xnn(1n沒有極限2 設數列xn的一般項 問? 求出N 使當nN時 xn與其極限之差的絕對值小于正數 當 0001時 求出數N解 0 要使|x n0| 只要 也就是 取 則nN 有|xn0| 當 0001時 10003 根據數列極限的定義證明(1分析 要使 只須 即 證明 因為0 當nN時 有 所以 (2分析 要使 只須 即 證明 因為0 當nN時 有 所以 (3 分析

14、 要使 只須 證明 因為0 當nN時 有 所以 (4分析 要使|099 91| 只須 即 證明 因為0 當nN時 有|099 91| 所以 4 證明 并舉例說明 如果數列|xn|有極限 但數列xn未必有極限 證明 因為 所以0 NN 當nN時 有 從而|un|a|una| 這就證明了 數列|xn|有極限 但數列xn未必有極限 例如 但不存在 5 設數列xn有界 又 證明 證明 因為數列xn有界 所以存在M 使nZ 有|xn|M 又 所以0 NN 當nN時 有 從而當nN時 有 所以6 對于數列xn 若x2k1a(k x2k a(k 證明 xna(n 證明 因為x2k1a(k x2k a(k 所

15、以0 K1 當2k12K11時 有| x2k1a| K2 當2k2K2時 有|x2ka| 取Nmax2K11 2K2 只要nN 就有|xna| 因此xna (n習題131 根據函數極限的定義證明 (1 分析 因為|(3x18|3x9|3|x3| 所以要使|(3x18| 只須 證明 因為0 當0|x3|時 有|(3x18| 所以 (2 分析 因為|(5x212|5x10|5|x2| 所以要使|(5x212| 只須 證明 因為 0 當0|x2|時 有|(5x212| 所以 (3 分析 因為 所以要使 只須 證明 因為 0 當0|x(2|時 有 所以 (4 分析 因為 所以要使 只須 證明 因為 0

16、 當時 有 所以 2 根據函數極限的定義證明 (1 分析 因為 所以要使 只須 即 證明 因為 0 當|x|X時 有 所以 (2 分析 因為 所以要使 只須 即 證明 因為0 當xX時 有 所以 3 當x2時 yx24 問等于多少 使當|x2|<時 |y4|<0001？解 由于當x2時 |x2|0 故可設|x2|1 即1x3 要使|x24|x2|x2|5|x2|0001 只要 取00002 則當0|x2|時 就有|x24|0 001 4 當x時 問X等于多少 使當|x|X時 |y1|001?解 要使 只要 故 5 證明函數f(x|x|當x0時極限為零 證明 因為|f(x0|x|0|

17、x|x0| 所以要使|f(x0| 只須|x| 因為對0 使當0|x0| 時有|f(x0|x|0| 所以大致可分為（1）普通違例：如帶球走步、兩次運球、腳踢球或以拳擊球。（2）跳球違例、（3）跳球時的違例：除了跳球球員以外的人被可在跳球者觸到球之前進入中央跳球區。 x 0 時的左右極限 并說明它們在）基本規則二： 24秒鐘規則 -進攻球隊在場上控球時必須在24秒鐘內投籃出手(NBA,CBA,CUBA,WNBA. 秒,全美大學體育聯合會比賽中為35秒. 存在 - (對方的半場. 5秒鐘規則 -持球后,球員必須在5秒鐘之內擲界外球出手.FIBA規則規定罰球也必須在5秒鐘內出手(NBA規則中為10秒.

18、 3秒鐘規則 -分為進攻3秒和防守3秒。進攻秒：進攻方球員不得滯留于x秒以上；防守3秒：當某防守方球員對位的進攻方球員不在3秒區或者3秒區邊緣、且徹底擺脫防守球員時，防守方球員不得滯留禁區3秒以上。 侵人犯規 -與對方發生身體接觸而產生的犯規行為. 技術犯規 -隊員或教練員因表現惡劣而被判犯規,比如與裁判發生爭執等情況. 取消比賽資格的犯規 -球員做出的不體現運動員精神的犯規動作, 球員應立即被罰出場外. 證明5次犯規 -無論是侵人犯規,還是技術犯規,一名球員犯規共所以次必須離開球場,不得再進行比賽. 違例 -既不屬于侵人犯規0 使當xX1-球員帶球或球本身觸及界線或蚧線以外區域,即屬球出界.

19、在球觸線或線外區域之前,球在空中不算出界. 干擾球 -投籃的球向籃下落時,雙方隊員都不得觸球.當球在球籃里的時候,防守隊員不得觸球. 被緊密盯防的選手 -被防守隊員緊密盯防的球員必須在5秒鐘之內傳球, 使當規則中無此規定. 球回后場 -球隊如已將球從后場移至前場,該球隊球員便不能再將球移過中線,運回后場. 籃球基本技巧 1.持球 使用五根手指持球，并將手指向內緊縮。在球落下的一刻使用手掌接住。 2.軀干盤球 將球放在腰際盤旋，這個動作的關鍵在于臉面朝前，同時眼睛不要看著球，然后做順時鐘、逆時鐘的盤球練習。 3.頸部盤球 將球沿著頸部環繞練習，這個練習同樣臉面朝前，頸部切忌不可移動，并且做正、反

20、時針方向的交替練習。 4.單腳盤球 兩腳分開并且重心放低，持球在單腳一側做盤球練習。眼睛不要看球，并利用左、右腳做正、反時針方向的交替練習。 5.跨下前后拋球 兩腳分開同時重心放低。將球從前方輕拋到后方，兩手迅速由后方接住球，并將球輕拋回前方，如此反覆記時練習，試試看叁十秒內能完成幾次。 6.膝部盤球 兩腳稍微靠攏同時身體重心放低 ，將球沿著兩膝做盤球練習。眼睛不要看球，并按正、反時針方向交替練習。 7.跨下自行盤球 這是單腳盤球的應用，將球沿著雙腳在跨下做8字形的盤球，同時眼睛不要看著球，并按正、反時針方向交替練習。 籃球術語 (1扣籃：運動員用單手或雙手持球，跳起在空中自上而下直接將球扣進

21、籃圈。 x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等(3卡位：進攻人運用腳步動作把防守者擋住自己身后，這種步法叫卡位。 先證明必要性 設f(xA(x(10蓋帽：進攻人投籃出手時，防守人設法在空中將球打掉的動作。 (11則>0 0 使當0<|x個防守人失掉正確防守位置時，另1防守人及時補占其正確防守位 置。 (12協防：協助同伴防守。 有|f(xA|< 因此當x0(18策應：進攻隊在前場或全場通過中間隊員組織的接應和轉移球的戰術配合，造成空切、繞切以及掩護等進攻機會。 x0<x(20突分：持球進攻隊員突破后傳球配合。 時都有(21傳切：持球進攻隊員利用傳

22、球后立即空切，準務接球進攻。 (22|< 這說明f(x近的另1防守隊員立即放棄自己的對手，去防持球突破的進攻者。 (23換防：防止隊員交換防守。 再證明充分性設 f ( x 0名進攻隊員，封堵其傳球路線。 (26擠過：兩名進攻隊員進行掩護配合時，防地被掩護者的隊員向其對后靠近，在0A 則(28擋拆:1>0 使當x0賽事情況 2008-02-17 13:06:33 閱讀109 評論 有| f(xA< 2 控球后衛（PG0 控球后衛（ 有| f(x 得分后衛（SG 取min得分后衛經常要做的有兩件事，第一是有很好的空檔來投外線，因此他的外線準頭和穩定性一定要好，要不然隊友千辛萬苦

23、擋出個好機會，卻又投不進去的話，對全隊的士氣和信心打擊頗大。第二則是要在小小的縫隙中找出空檔來投外線，所以他出手的速度要快。一個好的得分后衛總不能企望每次都有這么好的空檔，應該能在很短的時間內找機會出手，而命中率也要有一定的水準，如此的話，才能讓敵方的防守有所顧忌，必須拉開防守圈，而更利于隊友在禁區內的攻勢。 2 則當0<|xx小前鋒（SF） 小前鋒（Small Forward）乃是球隊中最重要的得分者。對小前鋒最根本的要求就是要能得分，而且是較遠距離的得分。小前鋒一接到球，第一個想到的就是要如何把球往籃框里塞。他可能會抓籃板，但并不必要；他可能很會傳球，但也不必要；他可能彈跳很好，但仍

24、不必要；他可能防守極佳，但還是不必要。小前鋒的基本工作，就是得分、得分、再得分。 0< 大前鋒（PF） 大前鋒（Power Forward）在隊上擔任的任務幾乎都是以苦工為主，要搶籃板、防守、卡位都少不了他，但是要投籃、得分，他卻經常是最后一個。所以說，大前鋒可以算是籃球場上最不起眼的角色了。 大前鋒的首要工作便是抓籃板球。大前鋒通常都是隊上籃板搶得最多的人，他在禁區卡位，與中鋒配合，往往要挑起全隊的籃板重任。而在進攻時，他又常常幫隊友擋人，然后在隊友出手后設法擠進去抓籃板，做第二波的進攻。 即f(A ( x C ） 中鋒（Center）顧名思義乃是一個球隊的中心人物。他多數的時間是要待

25、在禁區里賣勞力、賣身材的，他在攻在守，都是球隊的樞紐，故名之為中鋒。 中鋒要做哪些工作呢？首先，他既然是在禁區里面混飯吃，那么籃板球是絕對不可或缺的。再來，禁區又是各隊的兵家必爭之地，當然不能讓對手輕易攻到這里面來，所以阻攻、蓋火鍋的能力也少不得。而在進攻時，中鋒經常有機會站在靠近罰球線的禁區內（此乃整個進攻場的中心位置）接球，此時他也應具備不錯的導球能力，將球往較適當的角落送試給出x時函數極限的局部有界性的定理 并加以證明 解 x時函數極限的局部有界性的定理 如果f(x當x時的極限存在 則存在X0及M0 使當|x|X時 |f(x|M 證明 設f(xA(x 則對于 1 X0 當|x|X時 有|

26、f(xA| 1 所以|f(x|f(xAA|f(xA|A|1|A| 這就是說存在X0及M0 使當|x|X時 |f(x|M 其中M1|A| 習題141 兩個無窮小的商是否一定是無窮小？舉例說明之 解 不一定 例如 當x0時 (x2x (x3x都是無窮小 但 不是無窮小 2 根據定義證明 (1當x3時為無窮小; (2當x0時為無窮小 證明 (1當x3時 因為0 當0|x3|時 有 所以當x3時為無窮小 (2當x0時 因為0 當0|x0|時 有 所以當x0時為無窮小 3 根據定義證明 函數為當x0時的無窮大 問x應滿足什么條件 能使|y|104？證明 分析 要使|y|M 只須 即 證明 因為M0 使當

27、0|x0|時 有 所以當x0時 函數是無窮大取M104 則 當時 |y|104 4 求下列極限并說明理由 (1; (2 解 (1因為 而當x 時是無窮小 所以 (2因為(x1 而當x0時x為無窮小 所以 5 根據函數極限或無窮大定義 填寫下表f(xAf(xf(xf(xxx00 0 使當0|xx0|時 有恒|f(xA| xx0xx0x0 X0 使當|x|X時 有恒|f(x|Mxx解f(xAf(xf(xf(xxx00 0 使當0|xx0|時 有恒|f(xA| M0 0 使當0|xx0|時 有恒|f(x|MM0 0 使當0|xx0|時 有恒f(xMM0 0 使當0|xx0|時 有恒f(xMxx00

28、0 使當0xx0時 有恒|f(xA| M0 0 使當0xx0時 有恒|f(x|MM0 0 使當0xx0時 有恒f(xMM0 0 使當0xx0時 有恒f(xMxx00 0 使當0x0x時 有恒|f(xA| M0 0 使當0x0x時 有恒|f(x|MM0 0 使當0x0x時 有恒f(xMM0 0 使當0x0x時 有恒f(xMx0 X0 使當|x|X時 有恒|f(xA| 0 X0 使當|x|X時 有恒|f(x|M0 X0 使當|x|X時 有恒f(xM0 X0 使當|x|X時 有恒f(xMx0 X0 使當xX時 有恒|f(xA| 0 X0 使當xX時 有恒|f(x|M0 X0 使當xX時 有恒f(xM

29、0 X0 使當xX時 有恒f(xMx0 X0 使當xX時 有恒|f(xA| 0 X0 使當xX時 有恒|f(x|M0 X0 使當xX時 有恒f(xM0 X0 使當xX時 有恒f(xM6 函數yxcos x在( 內是否有界？這個函數是否為當x 時的無窮大？為什么？解 函數yxcos x在( 內無界這是因為M0 在( 內總能找到這樣的x 使得|y(x|M 例如y(2k2k cos2k2k (k0 1 2 當k充分大時 就有| y(2k|M 當x 時 函數yxcos x不是無窮大 這是因為M0 找不到這樣一個時刻N 使對一切大于N的x 都有|y(x|M 例如(k0 1 2 對任何大的N 當k充分大時

30、 總有 但|y(x|0M 7 證明 函數在區間(0 1上無界 但這函數不是當x0+時的無窮大 證明 函數在區間(0 1上無界 這是因為M0 在(0 1中總可以找到點xk 使y(xkM 例如當(k0 1 2 時 有 當k充分大時 y(xkM當x0+ 時 函數不是無窮大 這是因為M0 對所有的0 總可以找到這樣的點xk 使0xk 但y(xkM 例如可取(k0 1 2 當k充分大時 xk 但y(xk2ksin2k0M 習題151 計算下列極限 (1 解 (2解 (3解 (4解 (5解 (6解 (7解 (8解 (分子次數低于分母次數 極限為零 或 (9解 (10解 (11解 (12解 (13解 (分子

31、與分母的次數相同 極限為最高次項系數之比 或 (14解 2 計算下列極限 (1解 因為 所以 (2解 (因為分子次數高于分母次數 (3 解 (因為分子次數高于分母次數 3 計算下列極限 (1解 (當x0時 x2是無窮小 而是有界變量 (2解 (當x時 是無窮小 而arctan x是有界變量 4 證明本節定理3中的(2習題161 計算下列極限 (1 解 (2解 (3解 (4解 (5解 或 (6(x為不等于零的常數解 2 計算下列極限 (1解 (2解 (3解 (4(k為正整數解 3 根據函數極限的定義 證明極限存在的準則I 證明 僅對xx0的情形加以證明 設為任一給定的正數 由于 故由定義知 對0

32、 存在10 使得當0|xx0|1時 恒有|g(xA| 即Ag(xA 由于 故由定義知 對0 存在20 使得當0|xx0|2時 恒有|h(xA| 即Ah(xA 取min1 2 則當0|xx0|時 Ag(xA與Ah(xA同時成立 又因為g(xf(xh(x 所以 Af(xA 即 |f(xA|因此 證明 僅對xx0的情形加以證明 因為 所以對任一給定的0 存在0 使得當0|xx0|時 恒有|g(xA|及|h(xA|即 Ag(xA及Ah(xA又因為 g(xf(xh(x 所以 Af(xA 即 |f(xA|因此4 利用極限存在準則證明 (1證明 因為 而 且 由極限存在準則I (2證明 因為 而 所以 (3

33、數列 的極限存在 證明 (n1 2 3 先證明數列xn有界 當n1時 假定nk時xk2 則當nk1時 所以xn2(n1 2 3 即數列xn有界 再證明數列單調增 因為 而xn20 xn10 所以xn1xn0 即數列xn單調增 因為數列xn單調增加有上界 所以此數列是有極限的 (4 證明 當|x|1時 則有1x1|x|(1|x|n 1x1|x|(1|x|n 從而有 因為 根據夾逼準則 有 (5 證明 因為 所以 又因為 根據夾逼準則 有 習題 171 當x0時 2xx2 與x2x3相比 哪一個是高階無窮??？ 解 因為 所以當x0時 x2x3是高階無窮小 即x2x3o(2xx2 2 當x1時 無窮

34、小1x和(11x3 (2是否同階？是否等價？解 (1因為 所以當x1時 1x和1x3是同階的無窮小 但不是等價無窮小 (2因為 所以當x1時 1x和是同階的無窮小 而且是等價無窮小 3 證明 當x0時 有 (1 arctan xx (2證明 (1因為(提示 令yarctan x 則當x0時 y0 所以當x0時 arctanxx (2因為 所以當x0時 4 利用等價無窮小的性質 求下列極限 (1(2(n m為正整數(3 (4 解 (1 (2 (3 (4因為(x0 (x0(x0所以 5 證明無窮小的等價關系具有下列性質 (1 (自反性(2 若 則(對稱性 (3若 則(傳遞性證明 (1 所以 (2

35、若 則 從而 因此 (3 若 因此習題181 研究下列函數的連續性 并畫出函數的圖形 (1 解 已知多項式函數是連續函數 所以函數f(x在0 1和(1 2內是連續的 在x1處 因為f(11 并且 所以 從而函數f(x在x1處是連續的 綜上所述，函數f(x在0 2上是連續函數 (2 解 只需考察函數在x1和x1處的連續性 在x1處 因為f(11 并且 所以函數在x1處間斷 但右連續 在x1處 因為f(11 并且f(1 f(1 所以函數在x1處連續 綜合上述討論 函數在( 1和(1 內連續 在x1處間斷 但右連續 2 下列函數在指出的點處間斷 說明這些間斷點屬于哪一類 如果是可去間斷點 則補充或改

36、變函數的定義使它連續 (1 x1 x2解 因為函數在xspan2和x1處無定義 所以x2和x1是函數的間斷點 因為 所以x2是函數的第二類間斷點 因為 所以x1是函數的第一類間斷點 并且是可去間斷點 在x1處 令y2 則函數在x1處成為連續的 (2 xk (k0 1 2 解 函數在點xk(kZ和(kZ處無定義 因而這些點都是函數的間斷點 因(k0 故xk(k0是第二類間斷點 因為 (kZ 所以x0和(kZ 是第一類間斷點且是可去間斷點 令y|x01 則函數在x0處成為連續的 令時 y0 則函數在處成為連續的 (3 x0 解 因為函數在x0處無定義 所以x0是函數的間斷點 又因為不存在 所以x0

37、是函數的第二類間斷點 (4 x 1解 因為 所以x1是函數的第一類不可去間斷點 3 討論函數的連續性數 學(理科解 (考試時間：2014年1月15日滿分：100分(必考試卷50x1為函數的第一類不可去間斷點 在分段點x1處一、選擇題：本大題共7小題，每小題5分，共35分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 4 證明 若函數f(x在點x0連續且(x0A. 則存在x0的某一鄰域U(x0 當xU(x0時 f(x0A.x>1 B.x<1 因為f(x在0連續 所以 由極限的局部保號性定理 存在2cos sin x，則f(U(x0時 f(x>0 這就是說cos 的某一鄰

38、域U(xC.2sin cos U(x0時 4.x0，z2不能比較大小；虛數不能比較大??；z1，z2試分別舉出具有以下性質的函數f(x的例子 (1x05.若a(1，2，b(2，1,1，a與b的夾角為60°，則的值為n 解|F在點x0 1 B.20 D.47.對于R上可導的任意函數f(x，若滿足n 處是間斷的A.f(3f(3<2且這些點是函數的無窮間斷點B.f(3f(7>2f(2x在C.f(3f(32f(2 D.f(3(x|在R上處處連續 解 函數在R上處處不連續 但|f(x|1在R上處處連續 8.復數3f(x在R上處處有定義 但僅在一點連續 解 函數在R上處處有定義 它只在

39、9.用反證法證明命題：“若x，y>0，且xy>2，則，解 函數在( 內除點xax3外是連續的 所以函數f(x 在函數的間斷點x2和x3處 2 設函數f(x與g(x在點x0連續 證明函數(xmaxf(x g(x (xminf(x g(x在點x0也連續 證明 已知 可以驗證 因此 因為 (x0所以(x在點x0也連續 同理可證明(x在點x0也連續 3 求下列極限 (1 (2 (3 (4(5(6(7解 (1因為函數是初等函數 f(x在點x0有定義 所以 (2因為函數f(x(sin 2x3是初等函數 f(x在點有定義 所以 (3因為函數f(xln(2cos2x是初等函數 f(x在點有定義 所

40、以 (4 (5(6 (74 求下列極限 (1(2 (3(4 (5 (6 解 (1 (2 (3 (4 (5 因為 所以 (6 5 設函數 應當如何選擇數a 使得f(x成為在( 內的連續函數？ 解 要使函數f(x在( 內連續 只須f(x在x0處連續 即只須 因為 所以只須取a1 習題1101 證明方程x53x1至少有一個根介于1和2之間證明 設f(xx53x1 則f(x是閉區間1 2上的連續函數 因為f(13 f(225 f(1f(20 所以由零點定理 在(1 2內至少有一點(12 使f(0 即x 是方程x53x1的介于1和2之間的根 因此方程x53x1至少有一個根介于1和2之間 2 證明方程xa

41、sinxb 其中a0 b0 至少有一個正根 并且它不超過ab證明 設f(xasin xbx 則f(x是0 ab上的連續函數 f(0b f(aba sin (abb(abasin(ab10 若f(ab0 則說明xab就是方程xasinxb的一個不超過ab的根 若f(ab0 則f(0f(ab0 由零點定理 至少存在一點(0 ab 使f(0 這說明x 也是方程x=asinxb的一個不超過ab的根 總之 方程xasinxb至少有一個正根 并且它不超過ab 3 設函數f(x對于閉區間a b上的任意兩點x、y 恒有|f(xf(y|L|xy| 其中L為正常數 且f(af(b0 證明 至少有一點(a b 使得

42、f(0 證明 設x0為(a b內任意一點 因為 所以 即 因此f(x在(a b內連續 同理可證f(x在點a處左連續 在點b處右連續 所以f(x在a b上連續因為f(x在a b上連續 且f(af(b0 由零點定理 至少有一點(a b 使得f(04 若f(x在a b上連續 ax1x2 xnb 則在x1 xn上至少有一點 使證明 顯然f(x在x1 xn上也連續 設M和m分別是f(x在x1 xn上的最大值和最小值 因為xix1 xn(1 in 所以有mf(xiM 從而有 由介值定理推論 在x1 xn上至少有一點 使 5 證明 若f(x在( 內連續 且存在 則f(x必在( 內有界證明 令 則對于給定的0

43、 存在X0 只要|x|X 就有|f(xA| 即Af(xA 又由于f(x在閉區間X X上連續 根據有界性定理 存在M0 使|f(x|M xX X 取NmaxM |A| |A| 則|f(x|N x( 即f(x在( 內有界6 在什么條件下 (a b內的連續函數f(x為一致連續？總習題一1 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中選擇一個正確的填入下列空格內 (1數列xn有界是數列xn收斂的_條件 數列xn收斂是數列xn有界的_的條件(2f(x在x0的某一去心鄰域內有界是存在的_條件 存在是f(x在x0的某一去心鄰域內有界的_條件 (3 f(x在x0的某一去心鄰域內無界是的_條件 是f(x在x0的某一

44、去心鄰域內無界的_條件 (4f(x當xx0時的右極限f(x0及左極限f(x0都存在且相等是存在的_條件解 (1 必要 充分 (2 必要 充分(3 必要 充分(4 充分必要 2 選擇以下題中給出的四個結論中一個正確的結論 設f(x2x3x2 則當x0時 有( (Af(x與x是等價無窮小 (Bf(x與x同階但非等價無窮小 (Cf(x是比x高階的無窮小 (Df(x是比x低階的無窮小 解 因為(令2x1t 3x1u 所以f(x與x同階但非等價無窮小 故應選B 3 設f(x的定義域是0 1 求下列函數的定義域 (1 f(ex (2 f(ln x (3 f(arctan x (4 f(cos x 解 (1

45、由0ex1得x0 即函數f(ex的定義域為( 0 (2 由0 ln x1得1xe 即函數f(ln x的定義域為1 e(3 由0 arctan x 1得0xtan 1 即函數f(arctan x的定義域為0 tan 1(4 由0 cos x1得(n0 1 2 即函數f(cos x的定義域為 (n0 1 2 4 設 求ff(x gg(x fg(x gf(x 解 因為f(x0 所以ff(xf(x 因為g(x0 所以gg(x0因為g(x0 所以fg(x0因為f(x0 所以gf(xf 2(x 5 利用ysin x的圖形作出下列函數的圖形 (1y|sin x| (2ysin|x| (3 6 把半徑為R的一

46、圓形鐵片 自中心處剪去中心角為的一扇形后圍成一無底圓錐 試將這圓錐的體積表為的函數 解 設圍成的圓錐的底半徑為r 高為h 依題意有R(22r 圓錐的體積為 (02 7 根據函數極限的定義證明 證明 對于任意給定的0 要使 只需|x3| 取 當0|x3|時 就有|x3| 即 所以 8 求下列極限 (1 (2 (3 (4 (5(a0 b0 c0 (6 解 (1因為 所以 (2 (3 (4(提示 用等價無窮小換(5 因為 所以 提示 求極限過程中作了變換ax1t bx1u cx1v (6 因為 所以 9 設 要使f(x在( 內連續 應怎樣選擇數a?解 要使函數連續 必須使函數在x0處連續 因為f(0

47、a 所以當a0時 f(x在x0處連續 因此選取a0時 f(x在( 內連續 10 設 求f(x的間斷點 并說明間斷點所屬類形 解 因為函數f(x在x1處無定義 所以x1是函數的一個間斷點 因為(提示 (提示 所以x1是函數的第二類間斷點 又因為 所以x0也是函數的間斷點 且為第一類間斷點 11 證明 證明 因為 且 所以 12 證明方程sin xx10在開區間內至少有一個根 證明 設f(xsin xx1 則函數f(x在上連續 因為 所以由零點定理 在區間內至少存在一點 使f(0 這說明方程sin xx10在開區間內至少有一個根 13 如果存在直線L ykxb 使得當x(或x x時 曲線yf(x上

48、的動點M(x y到直線L的距離d(M L0 則稱L為曲線yf(x的漸近線 當直線L的斜率k0時 稱L為斜漸近線 (1證明 直線L ykxb為曲線yf(x的漸近線的充分必要條件是 (2求曲線的斜漸近線 證明 (1 僅就x的情況進行證明按漸近線的定義 ykxb是曲線yf(x的漸近線的充要條件是 必要性 設ykxb是曲線yf(x的漸近線 則 于是有 同時有 充分性 如果 則 因此ykxb是曲線yf(x的漸近線 (2因為 所以曲線的斜漸近線為y2x1 習題211 設物體繞定軸旋轉 在時間間隔0 t內轉過的角度為 從而轉角是t的函數 (t 如果旋轉是勻速的 那么稱為該物體旋轉的角速度 如果旋轉是非勻速的

49、 應怎樣確定該物體在時刻t0的角速度？解 在時間間隔t0 t0t內的平均角速度為 故t0時刻的角速度為 2 當物體的溫度高于周圍介質的溫度時 物體就不斷冷卻 若物體的溫度T與時間t的函數關系為TT(t 應怎樣確定該物體在時刻t的冷卻速度？解 物體在時間間隔t0 t0t內 溫度的改變量為TT(ttT(t 平均冷卻速度為 故物體在時刻t的冷卻速度為 3 設某工廠生產x單位產品所花費的成本是f(x元 此函數f(x稱為成本函數 成本函數f(x的導數f(x在經濟學中稱為邊際成本 試說明邊際成本f(x的實際意義 解 f(xxf(x表示當產量由x改變到xx時成本的改變量 表示當產量由x改變到xx時單位產量的

50、成本 表示當產量為x時單位產量的成本4 設f(x10x2 試按定義 求f (1 解 5 證明(cos xsin x 解 6 下列各題中均假定f (x0存在 按照導數定義觀察下列極限 指出A表示什么 (1 解 (2 其中f(00 且f (0存在 解 (3 解 f (x0f (x02f (x0 7 求下列函數的導數 (1yx4 (2 (3yx1 6(4 (5(6(7 解 (1y(x44x414x3 (2 (3y(x1 616x1 6116x 0 6 (4 (5(6(78 已知物體的運動規律為st3(m 求這物體在t2秒(s時的速度 解v(s3t2 v|t212(米/秒 9 如果f(x為偶函數 且f

51、(0存在 證明f(00 證明 當f(x為偶函數時 f(xf(x 所以 從而有2f (00 即f (00 10 求曲線ysin x在具有下列橫坐標的各點處切線的斜率 x 解 因為ycos x 所以斜率分別為 11 求曲線ycos x上點處的切線方程和法線方程式 解ysin x 故在點處 切線方程為 法線方程為 12 求曲線yex在點(0span1處的切線方程span 解yex y|x01 故在(0 1處的切線方程為y11(x0 即yx1 13 在拋物線yx2上取橫坐標為x11及x23的兩點 作過這兩點的割線 問該拋物線上哪一點的切線平行于這條割線？解 y2x 割線斜率為 令2x4 得x2 因此拋

52、物線yx2上點(2 4處的切線平行于這條割線 14 討論下列函數在x0處的連續性與可導性勞務分包合同鋼筋工工程分項甲方：|sin 項目部 (2 解 根據中華人民共和國勞動法、中華人民共和國建筑法建筑安裝工程承包合同條例的原則，結合公司有關規定和本工程的具體情況，經公司決定，本工程 y(00 2 、工程地址：所以函數在x0處連續承包形式：本工程采取包工不包料的分包形式，（扎絲、扎鉤和鋼筋所需機械等材料工具由乙方自理）把鋼筋分項工程承包給乙方。又因為 而y(0y(0 所以函數在x0處不可導 （7）因為 又y(00 所以函數在x（8） 對每次驗筋時業主、監理、建筑主管部門及現場施工管理人員提出的質量問題及時整改，無正當理由乙方拒不整改，甲方有權采取整改措施直至更換勞務分承包方，責令乙方退場，并由乙方承擔因此給甲方造成的全部損失（9） 所以函數在點x0處可導 4y（0（2）乙方現場管理人員必須具備良好的業務素質，良好的溝通能力，強有力的執行力。對乙方工人的管理符合項目部制定的