1、摘 要 學習數(shù)學的過程是學思維的形成與發(fā)展的過程，數(shù)學教學需要培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。逆向思維是從已有的習慣思路的反面去思考和分析問題，從而使問題得到解決的一種思維過程。本文先闡述逆向思維的重要性，再研究逆向思維的作用與培養(yǎng)，論證培養(yǎng)逆向思維是為了我們更好地運用逆向思維去擺脫思維定勢，突破舊有思想框架，產(chǎn)生新思想，發(fā)現(xiàn)新知識的重要思維方式。 Learning math is to learn the process of the thinking process of the formation and development of mathematics teaching need to cul

2、tivate the students' mathematical thinking.Reverse thinking from the opposite of have the habit of thinking to think and analyze problems, a thought process so that the issue is resolved. This paper first expounds the importance of reverse thinking, and then studies the role of reverse thinking

3、and cultivate, argument is to cultivate the reverse thinking we better use reverse thinking to get rid of the mindset, break through the old ideological framework, generate new ideas, find new knowledge of important ways of thinking. 關(guān)鍵詞：逆向思維 反證法 反例法 目 錄1.什么是逆向思維 3 1.1、思維的分類 3 1.2、詳談逆向思維 3 1.3、逆向思維的

4、具體表現(xiàn) 32.逆向思維的重要性 4 2.1逆向思維是一種重要的思考能力 4 2.2逆向思維是一種重要的探究過程 4 2.3逆向思維是一種重要的思維方法 43.逆向思維在數(shù)學論證中的作用 5 3.1逆向思維可以開拓學生的想象空間 5 3.2逆向思維有利于加深學生基礎(chǔ)知識的理解 5 3 .3逆向思維可以發(fā)現(xiàn)解題技巧，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力 64.逆向思維在數(shù)學論證中的培養(yǎng) 6 4.1從反證法的論證中培養(yǎng)逆向思維 6 4.2通過構(gòu)造反例來訓練學生的逆向思維 8 4.3通過分析法來培養(yǎng)學生的逆向思維 9 4.4利用“逆向變式”訓練培養(yǎng)學生的逆向思維 10結(jié)論 11參考文獻 12致謝 12 數(shù)學是思

5、維創(chuàng)新的體操，是一門使人聰明的學問.思維是智力的核心，是人的理性認識的過程。逆向思維是逆著習慣的、常規(guī)的思維方向進行的思維活動，屬于創(chuàng)造性思維。許多情況下將問題倒過來想一想，在思維過程中“反其道而行之”，能使人得到許多通常思路所得不到的思維成果。 1、什么是逆向思維.1.1、思維的分類根據(jù)思維過程的指向性，可將思維分為常規(guī)思維（正向思維）和逆向思維，正向思維是指思維活動按照事物發(fā)展的方向進行，而逆向思維是指思維活動從一個方向轉(zhuǎn)向相反方向. 1.2、詳談逆向思維 逆向思維又被稱為反向思維，它是發(fā)散思維的一種重要形式.逆向思維是從已有的習慣思路的反面去思考和分析問題，從而使問題得到解決的一種思維過

6、程.是擺脫思維定勢，突破舊有思想框架，產(chǎn)生新思想，發(fā)現(xiàn)新知識的重要思維方式. 我們在學習數(shù)學和解決數(shù)學問題的過程中，也都有一些比較自然的習慣，例如在公式的運用中，我們習慣性地會從左往右正用，而不是從右往左逆用，這樣的習慣雖然正確，但正是由于這樣的習慣的影響，有時會使我們運作單調(diào)，思維固化. 1.3、逆向思維的具體表現(xiàn)中學數(shù)學課本中的逆運算、反證法、反例法、分析法、充要條件等都涉及到思維的逆向性，在數(shù)學論證中，通常是從已知到結(jié)論的思維方式，然而有些問題總是按照這種思維定式解答則比較困難，而且常常伴隨有較大的運算量，有時甚至無法解決，在這種情況下，只要我們多注意定理、公式、規(guī)律性例題的逆用，正難則

7、反，往往可以使問題簡化，經(jīng)常性注意這方面的訓練可以培養(yǎng)學生思維的敏捷性.例如從“一組平行且相等的四邊形是平行四邊形”中我們可以反過來想，平行四邊形還有什么性質(zhì)？或者還有什么性質(zhì)可以證明一個四邊形是平行四邊形？再例如，當直線的傾斜角是銳角時，直線的斜率是正數(shù)，那我們會問，如果直線斜率為負數(shù)或零時，直線的傾斜角會是什么角？還有，一些定義或概念之間也會體現(xiàn)著逆向思維，例如函數(shù)與反函數(shù)：指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)y=ax. 2、逆向思維的重要性.2.1、逆向思維是一種重要的思考能力.運用逆向思維去思考和處理問題，實際上就是以“出奇”去達到“制勝”。 對于全面人才的創(chuàng)造能力及解決問題能力具有非常

8、重大的意義。在實踐中使用這一方法，可能取得驚人的效果。 因為逆向思維的訓練可以排除順向思維中的困難,并且能夠培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性,挖掘?qū)W生思維的潛能,使看似簡單的習題,卻能給學生帶來深刻的思考。 2.2、逆向思維是一種重要的探究過程. 逆向思維從反面觀察問題，打破心理學上的心理定勢現(xiàn)象，沖破習慣思維的束縛，在與原來認識方向相反的方向上尋找解決辦法的新方法，有時會產(chǎn)生意想不到的良好效果或獲得新的發(fā)明和創(chuàng)造.例1 設(shè)3a-b是2的倍數(shù)，求證：3a2+2ab-b2能被2整除 分析：設(shè)法從3a2+2ab-b2中先找出3a-b的因式，再證另一個因式也是2的倍數(shù). 原式=(3a-b)(a+b)，至此可以看出求

9、證式已有一個能被2整除的因式3a-b，只需再證另一個因式a+b也能被2整除即可.由于a+b=(3a-b)-2(a-b)，而3a-b是2的倍數(shù)，2(a-b)也是2的倍數(shù)，故a+b能被2整除，因此，本題得證. 2.3、逆向思維是一種重要的思維方法. 逆向思維作為數(shù)學中的一種重要的思維方法，它是在習慣性的思維方向上做完全相反的探索，在社會實踐和學習的過程中，人們都有這樣一個經(jīng)驗：當你對某一問題冥思苦想而不得其解時，不妨從它的反面去想一想，這樣常使人茅塞頓開，獲得意外的成功.例2：若實數(shù)a，b，c滿足a-b=10，ab+c2+5=0，求證a+b+c=0 分析：由a-b=10得a+(-b)=10 由ab

10、+c2+25=0得a (-b)=c2+25逆用韋達定理，可構(gòu)造一個以a，-b為根的一元二次方程 證：a-b=10，ab+c2+25=0 a+(-b)=10，a(-b)=c2+25 以a，-b為根的一元二次方程為x2-10x+ (c2+25) =0 =（-10）2-4(c2+25)0 -4c20故c=0 X2-10x+25=0，(x-5)2=0，x=5 方程有相等的兩個實數(shù)根 a=-b，a+b=0， a+b+c=0 3、逆向思維在數(shù)學論證中的作用.3.1、逆向思維可以開拓學生的想象空間.在數(shù)學論證中，要重視逆向思維過程，加強思維能力訓練比單純地傳授基本知識更重要.通過數(shù)學思維的恰當訓練，逐步掌握

11、數(shù)學思維方法與規(guī)律，是可以改變?nèi)说闹橇湍芰Γ部梢耘囵B(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識.例3: 已知：a>b>0,求證： -<分析：此題由-<可聯(lián)想到以、為直角邊作直角三角形.則斜邊是,由三角形兩邊之差小于第三邊可得 -<. 3.2、逆向思維有利于加深學生基礎(chǔ)知識的理解. 在算術(shù)中，加法和減法、乘法和除法都是相互對立的，但在代數(shù)中，引進了負數(shù)和倒數(shù)的概念，例如：有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)a-b=a+(-b)，而一個數(shù)除以另一個數(shù)，等于被除數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)a÷b=a×1b. 3.3、逆向思維可以發(fā)現(xiàn)解題技巧，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)

12、造能力. 由于數(shù)學中的很多定理、公式、法則都具有可逆性,故從相反的角度來觀察、探索、常常可以求得問題的解決或發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律.我們對公式、法則、性質(zhì)的逆向運用不習慣，缺乏應(yīng)有的潛意識，思維定勢在順向應(yīng)用上，所以應(yīng)強調(diào)逆向運用.逆向思維可以發(fā)現(xiàn)解題技巧，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力。 運用逆向思維，我們從乘法分配律就可以聯(lián)想到提公因式法，提公因式法的理論依據(jù)是乘法分配律的相反過程即ma+mb=m(a+b). 3.4、逆向思維有利于克服思維的遲滯性 加強逆向思維的訓練，可改變我們的思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)思維的靈活性、深刻性和雙向性，從而提高分析問題和解決問題的能力.我們的基礎(chǔ)知識越扎實，以前知識對后學知識的負遷移

13、作用越小，一般來說思維的逆向聯(lián)系也比較容易建立，學習概念時容易較快掌握概念的本質(zhì)；解題時容易產(chǎn)生解題的各種策略.例4：分解因式x3+6x-7解：把-7分裂成為兩個負數(shù)之和，以便按正負搭配分為兩組，得 x3+6x-7=x3+6x-1-6 =(x3-1)+6(x-1) =(x-1)(x2+x+7) 4、逆向思維在數(shù)學論證中的培養(yǎng).4.1、從反證法的論證中培養(yǎng)逆向思維 有些問題從正面入手比較復(fù)雜，不妨從反面入手. 正難則反，直難曲進.有些問題如果按照常規(guī)方法證明，往往感覺無從下手，此時如果我們能及時改變思考角度，從問題的反面去考慮，或把問題倒過來想，常常會使問題簡捷而快速地獲解. 反證法證明是從結(jié)論

14、的反面出發(fā)，邏輯地推出矛盾，從而肯定原命題成立的證明方法，這也體現(xiàn)了逆向思維的思想.例5 求證：3（1+a2+b4）(1+a+a2)2(a>0) 證：假設(shè)3（1+a2+a4）<(1+a+a2)2 則有3(1+a+a2)(1-a+a2)<(1+a+a2)2 由于當a>0時，1-a+a2>0,所以得 3(1-a+a2)<1+a+a2 整理得 1-2a+a2<0 (1-a)2<0 這個不等式顯然不能成立，它說明我們的假定是不正確的 3（1+a2+b4）(1+a+a2)2 在用反證法證題時，應(yīng)當從命題的特點出發(fā)，選取恰當?shù)耐评矸椒?例6 已知函數(shù)f(x)

15、在R上是增函數(shù)，a、bR,若f(a)+f(b)f(-a)+ f(-b),求證：a+b0.分析：欲證上述命題，正向推理，題設(shè)條件不容易使用，轉(zhuǎn)而逆向思考，利用反證法. 證明：假設(shè)a+b<0,則a<-b，b<-a. 根據(jù)單調(diào)性知：f(a)<f(-b),f(b)< f(-a), f(a)+f(b)< f(-a)+ f(-b),這與已知矛盾. a+b<0不成立，即a+b0 證明可利用的公理、定理較少或者難以與已知條件相溝通的命題，應(yīng)考慮采用反證法. 一般地，證明結(jié)論是否定形式的命題；證明結(jié)論是“唯一”或“必然”的命題；證明結(jié)論是“至少”或“至多”的命題；例7

16、已知a、b為相交的兩條直線，求證：a、b只有一個交點.證明：假定直線a與b不只有一個交點，則至少交于兩點，設(shè)這兩個交點為A與B,那么，直線a通過A、B兩點，直線b也通過A、B兩點.這就是說，經(jīng)過A、B兩點可以作兩條直線a和b.這和公理“經(jīng)過兩點可以作一條直線，而且只可以作一條直線”相矛盾.產(chǎn)生矛盾的原因，是由于假定直線a與b不只有一點.假定既然不成立，則原題結(jié)論必成立.數(shù)學中矛盾的雙方比比皆是，巧妙地運用逆向思維，可克服習慣思維的不足.當然，我們還可以找到更多更好的方法來培養(yǎng)逆向思維，例如反例法。 4.2、通過構(gòu)造反例來訓練學生的逆向思維 在數(shù)學這個領(lǐng)域中，肯定一個命題需要嚴格的邏輯推理證明，

17、需要考慮全部可能和所以情形；然而要推翻一個命題的結(jié)論或否定一個命題，往往只需舉出一個例子（符合題設(shè)的條件而與命題結(jié)論相矛盾的例子）予以否定，這種例子通常稱為反例，因而舉反例也是一種證明手段.舉反例是與正向邏輯推理過程恰好是相反的，所以可通過舉反例、構(gòu)造反例來培養(yǎng)學生的逆向思維.重要的反例往往也會成為數(shù)學殿堂的基石.19世紀中葉，數(shù)學界長期認為連續(xù)函數(shù)除極個別點外總是處處可微的.1872年，數(shù)學家魏爾邁斯特拉斯卻構(gòu)造出一個極為精妙的反例：f(x)=bncos(anx)，其中a為奇整數(shù)，0<b<1，且ab>1+3/2，此函數(shù)處處連續(xù)但處處不可微，從而推翻了流傳很久的謬誤.由此可見

18、，舉反例是一種極為重要的數(shù)學思想，也是一種證明方法. 掌握各類反例，才能更好地掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識。對結(jié)論進行分析、推理，得到與結(jié)論有聯(lián)系的命題（如結(jié)論的充分條件、必要條件、充要條件等）而在題設(shè)條件下，這些命題有明顯的謬誤.例8 對邊相等的空間四邊形是平行四邊形.分析： 成為平行四邊形的必要條件是首先為平面圖形，而對邊相等并不能保證該空間四邊形是平面圖形.反例由此產(chǎn)生：將一頁紙（矩形）沿一條對對角線折起，四條邊線對邊相等，但該圖形不是平面圖形，所以不是平行四邊形. 從命題的角度來看，題設(shè)與結(jié)論的地位相似構(gòu)造反例的思路也基本一致.例9 與同一平面所成角相等的兩條直線平行. 分析：空間中僅一個所成角相

19、等無法確定直線的走向，可直接找兩條相交直線，適當擺放使符合題意.構(gòu)造 在與該平面平行的平面上任取兩條相交直線，它們與已知平面都0弧度角，但不平行. 構(gòu)造反例是培養(yǎng)批判性思維能力，發(fā)展逆向思維，優(yōu)化解題過程的重要途徑. 例10 一條直線與一個三角形的兩邊相交，則該直線在三角形所在的平面內(nèi).分析：如果直線與三角形的兩邊正常相交，兩個交點足以確定直線在平面內(nèi)，而如果直線與三角形的兩邊交于一點，即交于頂點，那么命題就有了漏洞.反例由此產(chǎn)生：過一個三角形的頂點作三角形所在平面的垂線，它與三角形的兩邊相交，但不在三角形所在的平面內(nèi).所謂“兵無常勢，水無定形”.以上給出的只是構(gòu)造中的常見方法.反例法和反證法

20、屬于數(shù)學逆向思維的不同層面，反例法教學對學生逆向思維的發(fā)展意義重大，是培養(yǎng)逆向思維，進一步學習反證法的必經(jīng)之路. 4.3、通過分析法來培養(yǎng)學生的逆向思維分析法證明就是假定要證明的不等式成立，利用恒等變形和不等式的性質(zhì)尋求使該不等式成立的充分條件，這樣逐步推理，如能推出已知的不等式，就可斷定所給不等式成立.例11 求證：1/（+）>-2 證： 如果1/（+）>-2由于等式兩邊都是正數(shù)，平方得3+2-2>5+4-4即 2>2+平方，得20>10+4即10>4平方，得100>96.由于100>96成立，并且上面推理每一步都可逆，所以1/（+）>-

21、2 這里的可逆就說明后一式總是前一式成立的充分條件. 分析法也是一種常見的逆向思維的方法，尤其在高中不等式的證明中，從題目的條件出發(fā)，很難入手，引導(dǎo)學生從結(jié)論反推，執(zhí)果索因，解題思路瞬間清晰明了.例12 設(shè)m>0,n>0,且mn,m+n=1,求證：1/m+1/n>4.證：要證1/m+1/n>4成立， 只需證(m+n)/m+(m+n)/n>4成立， 即需證m/n+n/m>2成立， 只需證m2+n2>2mn成立， 又需證m2+n2-2mn>0成立， 即需證(m-n)2>0成立. 而由已知條件可知，mn，所以(m-n)2>0顯然成立.由此命

22、題得證.分析法的特點是:從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.其逐步推理，實際上是要尋找它的充分條件，這尋找的過程就是逆向思維的過程.分析法證明是從待證的結(jié)論出發(fā)，一步步地探索下去，最后達到命題的已知條件，是從未知到已知的思考方法，從充分、必要條件的關(guān)系去看，實際上是從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論的充分條件，一直找到已知條件是結(jié)論的一個充分條件才算證畢.所以分析法是一種執(zhí)果索因的方法，這對我們培養(yǎng)逆向思維有重要的作用. 4.4、利用“逆向變式”訓練培養(yǎng)學生的逆向思維 逆向變式的訓練方法可以靈活多樣，學生可以自編題目進行變式訓練，可以是一些相關(guān)題目組合，也可以使一個題目分層次的變化，等等. 在學習了概念之后，學生若能把課后練習或習題進行選擇分類，排列層次，適當?shù)啬嫦蜃兪剑缓筮M行訓練，會收到事半功倍的效果. 注意公式的逆用，數(shù)學中的定理